第7章 周末练16 章末检测试卷六(第7章)（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（北师大版）

**基本信息** 聚焦概率统计核心模块，以题串联概念辨析、古典概型计算及统计应用，强化数学思维与数据观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |随机事件与概率|单选1-2、多选9-10|互斥对立判断、概率意义辨析|从事件关系（互斥/对立）到概率本质理解，构建概念体系| |古典概型|单选4-6、填空12|列举法求概率、不等式转化|通过样本空间分析，强化“等可能”思想与计数方法| |统计与概率应用|单选3/5/7-8、填空13-14、解答15-19|频率估计概率、随机模拟、独立性判断|从统计数据（频率分布、标记重捕）到概率模型应用，体现数学语言表达现实问题的能力|

周末练16　章末检测试卷六(第七章) [时间：120分钟　分值：150分] 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1.抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1 000次，那么第999次出现正面朝上的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　抛掷一枚质地均匀的硬币，只考虑第999次，只有正面朝上和反面朝上两种等可能的结果，故所求概率为. 2.把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是(　　) A.对立事件 B.必然事件 C.互斥但不对立事件 D.不可能事件 答案　C 解析　事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不可能同时发生，也可能都不发生，故它们是互斥但不对立事件. 3.某个地区从某年起几年内的新生婴儿数及其中的男婴数如表： 时间范围 1年内 2年内 3年内 4年内 新生婴儿数 5 544 9 013 13 520 17 191 男婴数 2 716 4 899 6 812 8 590 这一地区男婴出生的概率约是(　　) A.0.4 B.0.5 C.0.6 D.0.7 答案　B 解析　由表格可知，男婴出生的频率依次约为0.49，0.54，0.50，0.50，故这一地区男婴出生的概率约为0.5. 4.若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m，n，则点P(m，n)在直线x＋y＝4上的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　连续抛掷两次骰子出现的结果共有6×6＝36(个)，其中每个结果出现都是等可能的，点P(m，n)在直线x＋y＝4上包含的结果有(1，3)，(2，2)，(3，1)，共3个，所以点P(m，n)在直线x＋y＝4上的概率是. 5.某项饱和潜水作业一次需要3名饱和潜水员完成，利用计算机产生0~9之间整数随机数，我们用0，1，2，3表示饱和潜水深海作业成功，4，5，6，7，8，9表示饱和潜水深海作业不成功，现以每3个随机数为一组，作为3名饱和潜水员完成潜水深海作业的结果，经随机模拟产生如下10组随机数：713，517，659，491，275，937，740，632，845，946.由此估计“3名饱和潜水员中至少有1人成功”的概率为(　　) A.0.6 B.0.7 C.0.8 D.0.9 答案　B 解析　由题意可知，10组随机数中，表示“3名饱和潜水员中都不成功”的有659，845，946，共3个，所以估计“3名饱和潜水员中至少有1人成功”的概率为1－＝0.7. 6.将一枚质地均匀的正方体骰子投掷两次，得到的点数依次记为a和b，则ln a－ln b≥0的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　以(a，b)作为一个样本点，可知样本点总数为36， 由ln a－ln b≥0可得a≥b>0， 满足不等式ln a－ln b≥0所包含的样本点有 (1，1)，(2，1)，(2，2)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共21个， 因此，所求事件的概率P＝. 7.学校足球赛决赛计划在周三、周四、周五三天中的某一天进行，若这一天下雨，则推迟至后一天，若这三天都下雨，则推迟至下一周.已知这三天每天下雨的概率均为，则这周能进行决赛的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　设这周能进行决赛为事件A，恰好在周三、周四、周五进行决赛分别为事件A3，A4，A5， 则A＝A3∪A4∪A5， 又事件A3，A4，A5两两互斥， 故P(A)＝P(A3)＋P(A4)＋P(A5) ＝×××. 8.一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，抛掷这枚骰子两次，事件A表示“第一次向上一面的数字是1”，事件B表示“第二次向上一面的数字是2”，事件C表示“两次向上一面的数字之和是7”，事件D表示“两次向上一面的数字之和是8”，则(　　) A.C与D相互独立 B.A与D相互独立 C.B与D相互独立 D.A与C相互独立 答案　D 解析　由题意知P(A)＝，P(B)＝， P(C)＝，P(D)＝， P(CD)＝0≠P(C)P(D)，所以C与D不相互独立， P(AD)＝0≠P(A)P(D)，所以A与D不相互独立， P(BD)＝≠P(B)P(D)，所以B与D不相互独立， P(AC)＝＝P(A)P(C)，所以A与C相互独立. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.“今天北京的降雨概率是80%，上海的降雨概率是20%”，下列说法正确的是(　　) A.北京今天一定降雨，而上海一定不降雨 B.上海今天可能降雨，而北京可能没有降雨 C.北京和上海都可能没降雨 D.北京降雨的可能性比上海大 答案　BCD 解析　概率表示某个随机事件发生的可能性大小，因此BCD正确，A错误. 10.一个人连续射击2次，则下列各事件关系中，说法正确的是(　　) A.事件“两次均击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件 B.事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”为互斥事件 C.事件“第一次击中”与事件“第二次击中”为互斥事件 D.事件“两次均未击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件 答案　BD 解析　对于A，事件“至少一次击中”包含“一次击中”和“两次均击中“，所以不是对立事件，A错误； 对于B，事件“恰有一次击中”是“一次击中、一次不中”它与事件“两次均击中”为互斥事件，B正确； 对于C，事件“第一次击中”包含“第一次击中、第二次击中”和“第一次击中、第二次不中”，所以与事件“第二次击中”不是互斥事件，C错误； 对于D，事件“两次均未击中”的对立事件是“至少一次击中”，D正确. 11.已知关于x的二次函数f(x)＝ax2－bx＋1，设集合P＝{1，2，3}，Q＝{－1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数a和b得到数对(a，b).则(　　) A.所有的数对(a，b)共有30种可能 B.函数y＝f(x)有零点的概率为 C.使函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增的数对(a，b)共有13个 D.函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增的概率为 答案　BC 解析　(a，b)有(1，－1)，(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，－1)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，－1)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，共15种情况，故A不正确； 函数y＝f(x)有零点等价于Δ＝b2－4a≥0，有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6种情况满足条件，所以函数y＝f(x)有零点的概率为，故B正确； 因为a>0，函数y＝f(x)图象的对称轴为直线x＝，且在区间[1，＋∞)上单调递增， 所以有≤1. 满足条件的数对有(1，－1)，(1，1)，(1，2)，(2，－1)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，－1)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，共13个， 所以函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增的概率为，故C正确，D错误. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.从2，3，8，9中任取两个不同的数值，分别记为a，b，则logab为整数的概率为　　　　.  答案　 解析　从2，3，8，9中任取两个数记为a，b，分别作为对数logab的底数与真数，共有12个样本点，其中为整数的只有(2，8)，(3，9)两个样本点， 所以所求概率P＝. 13.为了调查新疆卡拉麦里山野生动物保护区内鹅喉羚的数量，调查人员逮到这种动物400只，标记后放回.一个月后，调查人员再次逮到该种动物800只，其中标记的有2只，估算该保护区有鹅喉羚　　　只.  答案　160 000 解析　设保护区内有鹅喉羚x只，每只鹅喉羚被逮到的概率是相同的，所以， 解得x＝160 000. 14.甲、乙两人投篮命中的概率分别为p，q，已知p＝，且他们各投2次，甲比乙投中次数多的概率为，则q的值为　　　　.  答案　 解析　甲比乙投中次数多的可能情形有两种. 记事件A＝“甲投中1次，乙投中0次”， 事件B＝“甲投中2次，乙投中1次或0次.” 所以P(A)＝(1－q)2， P(B)＝×[2q(1－q)＋(1－q)2]. 显然事件A，B互斥， 所以由甲比乙投中次数多的概率为得 P(A)＋P(B)＝， 即(1－q)2＋×[2q(1－q)＋(1－q)2]＝， 解得q＝或q＝(舍去). 故q的值为. 四、解答题(本题共5小题，共77分) 15.(13分)某电脑公司现有A，B，C三种型号的甲品牌电脑和D，E两种型号的乙品牌电脑，某中学要从甲、乙两种品牌电脑中各随机选购一种型号的电脑. (1)写出所有选购方案；(6分) (2)如果(1)中各种选购方案被选中的可能性相同，那么A型号电脑被选中的概率是多少？(直接写出结果即可)(7分) 解　(1)画出树状图如图， 则选购方案为(A，D)，(A，E)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E). (2)A型号电脑被选中的情形为(A，D)，(A，E)， 即含2个样本点， 所以A型号电脑被选中的概率为P＝. 16.(15分)随机抽取一个年份，对某市该年4月份的天气情况进行统计，结果如表所示： 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 天气 晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 晴 日期 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 天气 晴 阴 雨 阴 阴 晴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 雨 (1)在4月份任取一天，估计该市在该天不下雨的概率；(6分) (2)该市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率.(9分) 解　(1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天，该市不下雨的概率为P＝. (2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如1日与2日，2日与3日等)，这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为， 以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为. 17.(15分)某班有两个课外活动小组，其中第一小组有足球票6张，排球票4张；第二小组有足球票4张，排球票6张.甲从第一小组的10张票中任抽1张，乙从第二小组的10张票中任抽1张.求： (1)两人都抽到足球票的概率是多少？(6分) (2)两人中至少有1人抽到足球票的概率是多少？(9分) 解　记“甲从第一小组的10张票中任抽1张，抽到足球票”为事件A； “乙从第二小组的10张票中任抽1张，抽到足球票”为事件B； “甲从第一小组的10张票中任抽1张，抽到排球票”为事件； “乙从第二小组的10张票中任抽1张，抽到排球票”为事件， 于是P(A)＝，P()＝，P(B)＝，P()＝. 由于甲(或乙)是否抽到足球票，对乙(或甲)是否抽到足球票没有影响，因此A与B是相互独立事件. (1)甲、乙两人都抽到足球票就是事件AB发生，根据相互独立事件的概率公式，得 P(AB)＝P(A)P(B)＝×. (2)甲、乙两人均未抽到足球票(事件 发生)的概率为P( )＝P()·P()＝×， 所以两人中至少有1人抽到足球票的概率为 P＝1－P( )＝1－. 18.(17分)某心理调查机构为了解市民在地震后的心理健康状况，随机抽取n位市民进行心理健康问卷调查，按所得评分(满分100分)从低到高将心理健康状况分为四个等级： 调查评分 [40，50) [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100] 心理等级 有隐患 一般 良好 优秀 并绘制成如图所示的频率分布直方图.已知调查评分在[70，80)的市民有400人. (1)求n的值及频率分布直方图中t的值；(6分) (2)在抽取的心理等级为“有隐患”的市民中，按照调查评分抽取3人进行心理疏导.据以往数据统计，经过心理疏导后，调查评分在[40，50)的市民心理等级转为“良好”的概率为，调查评分在[50，60]的市民心理等级转为“良好”的概率为，若经过心理疏导后的恢复情况相互独立，试问在抽取的3人中，经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为“良好”的概率为多少？(11分) 解　(1)由已知条件可得n＝＝2 000， 由(t＋0.004＋7t＋0.020＋0.035＋0.025)×10＝1，解得t＝0.002. (2)由(1)知t＝0.002， 所以调查评分在[40，50)的人数占调查评分在[50，60)人数的，若按分层随机抽样抽取3人，则调查评分在[40，50)的抽取1人，[50，60)的抽取2人，因为经过心理疏导后的恢复情况相互独立， 所以选出的3人经过心理疏导后， 心理等级均达不到良好的概率为××， 所以经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为良好的概率P＝1－. 19.(17分)某校以课程建设为核心，建立了学生劳动实践基地，开发了农事劳作课程，开展课外种植、养殖活动，打算引进小动物甲以及成立养殖小组.为了解学生的养殖意愿，该校在一年级的100名学生中进行问卷调查，调查数据如表所示： 性别 养殖小动物甲 喜欢 不喜欢 男生 20 30 女生 40 10 (1)分别估计该校男、女生中喜欢养殖小动物甲的概率；(7分) (2)学校决定由一年级负责养殖小动物甲，现用分层随机抽样的方法从一年级喜欢养殖小动物甲的学生中随机抽取6名学生组成养殖小组，再从这6名学生中随机抽取2人担任养殖小组主要负责人，求这2人恰好都是女生的概率.(10分) 解　(1)由题意知，男生中喜欢养殖小动物甲的频率为；女生中喜欢养殖小动物甲的频率为，所以估计该校男、女生中喜欢养殖小动物甲的概率分别为，. (2)抽取的这6人中男生人数为6×＝2，分别记为A，B， 女生人数为6×＝4，分别记为a，b，c，d. 设抽取的2人分别为m，n，用数组(m，n)表示这个实验的一个样本点， 因此该试验的样本空间Ω＝{(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(A，d)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(B，d)，(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)}，共15个样本点. 设事件E＝“抽取的2人恰好都是女生”， 则E＝{(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)}，共6个样本点. 因为样本空间Ω中每一个样本点出现的可能性相等，所以该试验是古典概型，因此P(E)＝.　　　 学科网（北京）股份有限公司 $