第7章 2.2 古典概型的应用（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦古典概型的应用这一核心知识点，从巩固古典概型特点出发，通过书架取书、排队等实际案例引导学生选择概率模型解决问题，进而衔接互斥事件加法公式与对立事件概率公式，构建完整知识支架。 资料通过一题多解（如摸球问题四种方法）培养数学思维灵活性，借助树状图、列表等直观手段发展几何直观，结合民意调查、射击等情境引导学生用数学眼光观察现实，反思感悟提炼方法，课时练习覆盖不同题型，课中助力教师高效授课，课后辅助学生查漏补缺。

2.2　古典概型的应用 学习目标　1.进一步熟悉古典概型的特点，学会选择简单、适用的概率模型解决实际生活中的相关概率问题.2.掌握互斥事件的概率加法公式和对立事件的概率公式.3.学会利用互斥事件和对立事件的概率公式解决与古典概型有关的问题. 导语 古典概型在概率论的发展中占有相当重要的地位，在实际中有着广泛的应用，这节课我们继续探讨如何用古典概型解决简单的实际问题. 一、古典概型的实际应用 例1　(课本例2)书架上放有三套不同的小说，每套均分上、下册，共六本，从中任取两本，试求下列事件的概率： (1)取出的书不成套； (2)取出的书均为上册； (3)取出的书上、下册各一本，但不成套. 解　设取出第一套书的上、下册分别记为A1，A2，取出第二套书的上、下册分别记为B1，B2，取出第三套书的上、下册分别记为C1，C2. 不区分取出的两本书的顺序，依题意可知样本空间Ω＝{A1A2，A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1B2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2，C1C2}，共含有15个样本点，可以认为这15个样本点出现的可能性是相等的，从而用古典概型来计算概率. (1)设事件A表示“取出的书不成套”，则A＝{A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2}，样本点有12个，故P(A)＝. (2)设事件B表示“取出的书均为上册”，则B＝{A1B1，A1C1，B1C1}，样本点有3个，故P(B)＝. (3)设事件C表示“取出的书上、下册各一本，但不成套”，则C＝{A1B2，A1C2，A2B1，A2C1，B1C2，B2C1}，样本点有6个，故P(C)＝. 例1　甲、乙、丙、丁四名学生按任意次序站成一排，求甲站在乙的左边的概率. 解　方法一　利用树状图来列举样本点，如图所示. 由树状图可看出共有24个样本点.设事件A＝“甲站在乙的左边”，则A事件包含的样本点为(甲乙丙丁)，(甲乙丁丙)，(甲丙乙丁)，(甲丙丁乙)，(甲丁乙丙)，(甲丁丙乙)，(丙甲乙丁)，(丙甲丁乙)，(丙丁甲乙)，(丁甲乙丙)，(丁甲丙乙)，(丁丙甲乙)，共12个.所以甲站在乙的左边的概率为P＝. 方法二　因为要计算“甲站在乙的左边的概率”，所以可以只考虑甲、乙两个人排队.所有样本点为(甲乙)，(乙甲)，共2个，事件“甲站在乙的左边”包含1个样本点，即(甲乙).所以甲站在乙的左边的概率为P＝. 延伸探究　本例条件不变，求下列事件的概率： (1)甲在边上； (2)甲和乙都在边上； (3)甲和乙都不在边上. 解　由例题解析的树状图可知，共有24个样本点. (1)甲在边上有12个样本点： (甲乙丙丁)，(甲乙丁丙)，(甲丙乙丁)，(甲丙丁乙)，(甲丁乙丙)，(甲丁丙乙)，(乙丙丁甲)，(乙丁丙甲)，(丙乙丁甲)，(丙丁乙甲)，(丁乙丙甲)，(丁丙乙甲). 故甲在边上的概率为P＝. (2)甲和乙都在边上有4个样本点： (甲丙丁乙)，(甲丁丙乙)，(乙丙丁甲)，(乙丁丙甲)，故甲和乙都在边上的概率为P＝. (3)甲和乙都不在边上有4个样本点： (丙甲乙丁)，(丙乙甲丁)，(丁甲乙丙)，(丁乙甲丙)，故甲和乙都不在边上的概率为P＝. 反思感悟　如何建立概率模型(古典概型) (1)在建立概率模型(古典概型)时，把什么看作一个样本点(即一个试验结果)是人为规定的.我们只要求每次试验有且只有一个样本点出现.对于同一个随机试验，可以根据需要(建立概率模型的主观原因)建立满足我们要求的概率模型. (2)注意验证是否满足古典概型的两个特征，即样本点的有限性；每个样本点发生的可能性相等. 跟踪训练1　(课本例3)口袋里共有4个球，其中有2个是白球，2个是黑球，这4个球除颜色外完全相同.4个人按顺序依次从中摸出一个球(不放回)，试计算第二个人摸到白球的概率. 解　方法一　考察试验E8：4个人按顺序依次从中摸出一个球，记录摸球的所有可能结果. 把2个白球编上序号1，2，记摸到1，2号白球的结果分别为w1，w2；2个黑球也编上序号1，2，记摸到1，2号黑球的结果分别为b1，b2. 如图，试验E8的样本空间Ω8＝{w1w2b1b2，w1w2b2b1，w1b1w2b2，w1b1b2w2，w1b2w2b1，w1b2b1w2，w2w1b1b2，w2w1b2b1，w2b1w1b2，w2b1b2w1，w2b2w1b1，w2b2b1w1，b1w1w2b2，b1w1b2w2，b1w2w1b2，b1w2b2w1，b1b2w2w1，b1b2w1w2，b2w1b1w2，b2w1w2b1，b2w2w1b1，b2w2b1w1，b2b1w2w1，b2b1w1w2}，共24个样本点.由于口袋内的4个球除颜色外完全相同，因此可以认为这24个样本点出现的可能性是相等的，从而用古典概型来计算概率. 用事件A表示“第二个人摸到白球”，则此时事件A＝{w1w2b1b2，w1w2b2b1，w2w1b1b2，w2w1b2b1，b1w1w2b2，b1w1b2w2，b1w2w1b2，b1w2b2w1，b2w1b1w2，b2w1w2b1，b2w2w1b1，b2w2b1w1}，包含12个样本点， 因此P(A)＝. 即第二个人摸到白球的概率为. 方法二　因为是计算“第二个人摸到白球”的概率，所以只考虑前两个人摸球的情况.考察试验E9：前两个人按顺序依次从中摸出一个球，记录摸球的所有可能结果. 前两个人按顺序依次从袋中摸出一个球的所有结果用树状图表示，如图. 从上面的树状图可以看出，试验E9的样本空间Ω9＝{w1w2，w1b1，w1b2，w2w1，w2b1，w2b2，b1w1，b1w2，b1b2，b2w1，b2w2，b2b1}，共有12个样本点.由于口袋内的4个球除颜色外完全相同，因此可以认为这12个样本点出现的可能性是相等的，从而用古典概型来计算概率. 依题意可知此时事件A＝{w1w2，w2w1，b1w1，b1w2，b2w1，b2w2}，包含6个样本点， 因此P(A)＝. 即第二个人摸到白球的概率为. 方法三　因为口袋里的4个球除颜色外完全相同，因此可以对2个白球不加区别，对2个黑球也不加区别，由此得到另一种解法. 考察试验E10：4个人按顺序依次从中摸出一个球，只记录摸出球的颜色.试验E10的所有可能结果用树状图表示，如图. 记摸到白球、黑球的结果分别为w，b，试验E10的样本空间Ω10＝{wwbb，wbwb，wbbw，bbww，bwwb，bwbw}，共有6个样本点.由于口袋内的4个球除颜色外完全相同，因此可以认为这6个样本点出现的可能性也是相等的，从而用古典概型来计算概率. 依题意可知此时事件A＝{wwbb，bwwb，bwbw}，包含3个样本点，因此，P(A)＝. 即第二个人摸到白球的概率为. 方法四　进一步简化，只考虑第二个人摸球的情况. 考察试验E11：4个人按顺序依次从中摸出一个球，只记录第二个人摸出球的情况. 把2个白球、2个黑球分别编上序号1，2，记摸到1，2号白球的结果分别为w1，w2，记摸到1，2号黑球的结果分别为b1，b2.则试验E11的样本空间Ω11＝{w1，w2，b1，b2}，共有4个样本点.由于口袋内的4个球除颜色外完全相同，因此可以认为这4个样本点出现的可能性是相等的，从而用古典概型来计算概率. 依题意可知此时事件A＝{w1，w2}，包含2个样本点，因此，P(A)＝. 即第二个人摸到白球的概率为. 跟踪训练1　某学校举行了班级合唱比赛，歌曲有《中国梦，我们的梦》《国家》《我和我的祖国》(分别用字母A，B，C依次表示这三首歌曲).比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，(1)班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由(2)班班长从中随机抽取一张卡片，进行合唱比赛. (1)求《中国梦，我们的梦》被(1)班班长抽中的概率； (2)试用树状图或列表的方法表示所有可能的样本点，并求出(1)班和(2)班抽中不同歌曲的概率. 解　(1)共有三首歌曲《中国梦，我们的梦》《国家》《我和我的祖国》.(1)班班长先从中随机抽取一张卡片，抽到《中国梦，我们的梦》的概率为 . (2)根据题意画树状图如图所示. 列表法如表所示. (2)班 (1)班 A B C A (A，A) (A，B) (A，C) B (B，A) (B，B) (B，C) C (C，A) (C，B) (C，C) 由图(表)可知共有9个样本点，其中(1)班和(2)班抽中不同歌曲的样本点有6个.所以(1)班和(2)班抽中不同歌曲的概率P＝. 二、互斥事件的概率 问题1　在试验E“抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子掷出的点数”中，设事件A表示“掷出的点数为偶数”，事件B表示“掷出的点数为5”，事件A与B互斥吗？你能发现P(A)，P(B)与P(A∪B)的关系吗？ 提示　事件A，B为互斥事件， 且P(A)＝，P(B)＝， P(A∪B)＝＝P(A)＋P(B). 知识梳理　互斥事件的概率加法公式 概率公式 互斥事件的概率加法公式 在一个试验中，如果事件A和事件B是互斥事件，那么有P(A∪B)＝P(A)＋P(B) 一般情况下的互斥事件的概 率加法公式 一般地，如果事件A1，A2，…，An两两互斥，那么有P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An) 注意点： 在同一试验中，对任意两个事件A，B，只有A与B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)才成立. 例2　(课本例4)某学校准备对秋季运动会的竞赛项目进行调整，为此，学生会进行了一次民意调查.100个人接受了调查，他们被要求在赞成调整、反对调整、对这次调整不发表看法中任选一项.调查结果如表. 观点 男生人数 女生人数 总人数 赞成 18 9 27 反对 12 25 37 不发表看法 20 16 36 总计 50 50 100 随机选取一个被调查者，他对这次调整表示反对或不发表看法的概率是多少？ 解　用事件A表示“对这次调整表示反对”，事件B表示“对这次调整不发表看法”，则事件A和事件B是互斥事件，并且事件A∪B就表示“对这次调整表示反对或不发表看法”. 由互斥事件的加法公式，得P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝. 因此，随机选取一个被调查者，他对这次调整表示反对或不发表看法的概率是. 例2　一名射击运动员在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.24，0.28，0.19，0.16，0.13.计算这名射击运动员在一次射击中： (1)射中10环或9环的概率； (2)求射中环数小于8环的概率. 解　设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”分别为事件A，B，C，D，E，可知它们彼此之间互斥，且P(A)＝0.24，P(B)＝0.28，P(C)＝0.19，P(D)＝0.16，P(E)＝0.13. (1)设“射中10环或9环”为事件F， 则P(F)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.24＋0.28＝0.52，所以射中10环或9环的概率为0.52. (2)设“射中环数小于8环”为事件H，则P(H)＝P(D∪E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.13＝0.29. 反思感悟　应用互斥事件的概率加法公式的关注点 (1)公式：P(A∪B)＝P(A)＋P(B). (2)条件：A，B两事件是互斥事件. (3)目的：求互斥的两个事件的并事件的概率. (4)推广：公式可推广为求有限个互斥事件的并事件的概率. 跟踪训练2　在某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如表所示： 年最高水位 (单位：m) [8，10) [10，12) [12，14) [14，16) [16，18] 概率 0.1 0.28 0.38 0.16 0.08 计算在同一时期内，这条河流这一处的年最高水位(单位：m)在下列范围内的概率： (1)[10，16)；(2)[8，12)；(3)[14，18]. 解　记该河流这一处的年最高水位(单位：m)在[8，10)，[10，12)，[12，14)，[14，16)，[16，18]内分别为事件A，B，C，D，E. (1)P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.28＋0.38＋0.16＝0.82. (2)P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.28＝0.38. (3)P(D∪E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.08＝0.24. 所以年最高水位(单位：m)在[10，16)，[8，12)，[14，18]内的概率分别为0.82，0.38，0.24. 三、对立事件的概率 问题2　在试验E“连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，观察每次掷出的点数”中，设事件A表示“第一次掷出的点数为1”，事件B表示“第一次掷出的点数不是1”，试探究P(A)，P(B)与P(A∪B)的关系. 提示　事件A，B为对立事件，P(A)＋P(B)＝1＝P(A∪B). 知识梳理 对立事件的概率公式：P()＝1－P(A). 注意点： 辨析互斥事件与对立事件的思路 (1)从发生的角度看 ①在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能同时发生. ②两个对立事件必有一个发生，但不可能同时发生，即两事件对立，必定互斥，但两事件互斥，未必对立.对立事件是互斥事件的一个特例. (2)从事件个数的角度看 互斥的概念适用于两个或多个事件，但对立的概念只适用于两个事件. (3)从集合的角度看 互斥事件对应集合的交集为空集，对立事件对应集合互为补集，其并集为全集. 例3　(课本例5)某网站登录密码由四位数字组成.某同学注册时将自己生日的四个数字0，3，2，5重新编排了一个顺序作为密码，由于长时间未登录该网站，他忘记了密码.若登录时随机输入由0，3，2，5组成的一个四位数字，则该同学不能顺利登录的概率是多少？ 解　用事件A表示“输入由0，3，2，5组成的一个四位数字，但不是密码”.由于事件A比较复杂，可考虑它的对立事件，即“输入由0，3，2，5组成的一个四位数字，恰是密码”，显然它只有一种结果.四个数字0，3，2，5随机编排顺序，所有可能结果可用树状图表示，如图. 从上面的树状图可以看出，将四个数字0，3，2，5随机编排顺序，共有24种可能的结果，即样本空间共含有24个样本点，且24个样本点出现的结果是等可能的，因此可以用古典概型来解决.由P()＝，得P(A)＝1－P()＝.因此，随机输入由0，3，2，5组成的一个四位数字，但不是密码，即该同学不能顺利登录的概率为. 例3　甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，求： (1)甲获胜的概率； (2)甲不输的概率. 解　(1)“甲获胜”与“和棋或乙获胜”是对立事件， 所以“甲获胜”的概率为1－. (2)方法一　设事件A为“甲不输”，可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件， 所以P(A)＝， 即“甲不输”的概率为. 方法二　设事件A为“甲不输”，可看成是“乙获胜”的对立事件，所以P(A)＝1－， 即“甲不输”的概率是. 反思感悟　(1)公式P(A)＝1－P()的应用说明 ①当直接求某一事件的概率较为复杂或根本无法求时，常常使用该公式转化为求其对立事件的概率. ②该公式的使用，实际是运用逆向思维(正难则反)，比较适合含有“至多”“至少”“最少”等关键词语型题目. (2)较复杂的古典概型问题的转化策略 ①设法把一个复杂事件分拆为几个互斥事件，然后求出各事件的概率，用加法公式得出结果. ②当直接计算复合条件的事件的概率比较麻烦时，可间接地计算出其对立事件的概率，再用对立事件的概率公式求解. 跟踪训练3　某医院要派医生下乡义诊，派出医生的人数及其概率如表所示： 人数 0 1 2 3 4 大于等于5 概率 0.1 0.16 0.3 0.2 0.2 0.04 (1)求派出至多2名医生的概率； (2)求派出至少2名医生的概率. 解　设“不派出医生”为事件A，“派出1名医生”为事件B，“派出2名医生”为事件C，“派出3名医生”为事件D，“派出4名医生”为事件E，“派出5名及5名以上医生”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F彼此互斥，且P(A)＝0.1，P(B)＝0.16，P(C)＝0.3，P(D)＝0.2，P(E)＝0.2，P(F)＝0.04. (1)“派出至多2名医生”的概率为P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56. (2)方法一　“派出至少2名医生”的概率为P(C∪D∪E∪F)＝P(C)＋P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.2＋0.2＋0.04＝0.74. 方法二　“派出至少2名医生”的概率为1－P(A∪B)＝1－0.1－0.16＝0.74. 1.知识清单： (1)古典概型的实际应用. (2)互斥事件的概率加法公式及应用. (3)对立事件的概率公式及应用. 2.方法归纳：树状图法、列举法、转化法. 3.常见误区： (1)混淆“放回”与“不放回”抽取，导致列举样本点错误. (2)将事件拆分为若干个事件时出现遗漏，导致计算概率错误. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1.已知随机事件A，B，C中，A与B互斥，B与C对立，且P(A)＝0.3，P(C)＝0.6，则P(A∪B)等于(　　) A.0.3 B.0.6 C.0.7 D.0.8 答案　C 解析　因为A与B互斥，B与C对立，所以P(B)＝1－P(C)＝0.4，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.7. 2.某校高三(1)班50名学生参加1 500 m体能测试，其中23人成绩为A，其余人成绩都是B或C.从这50名学生中任抽1人，若抽得B的概率是0.4，则抽得C的概率是(　　) A.0.14 B.0.20 C.0.40 D.0.60 答案　A 解析　由于成绩为A的有23人，故抽到C的概率为1－－0.4＝0.14. 3.从集合{2，4，6，8}中任取两个不同元素，则这两个元素相差2的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　从集合{2，4，6，8}中任取两个不同元素的取法有(2，4)，(2，6)，(2，8)，(4，6)，(4，8)，(6，8)，共6种，其中满足两个元素相差2的取法有(2，4)，(4，6)，(6，8)，共3种，故这两个元素相差2的概率为. 4.(多选)下列说法正确的是(　　) A.甲、乙、丙三位同学争着去参加一个公益活动，抽签决定谁去，则先抽的概率大些 B.若事件A发生的概率为P(A)，则0≤P(A)≤1 C.如果事件A与事件B互斥，那么一定有P(A)＋P(B)＝1 D.已知事件A发生的概率P(A)＝0.3，则它的对立事件发生的概率P()＝0.7 答案　BD 解析　对于A，甲、乙、丙三位同学抽签决定谁去，则每位同学被抽到的概率都是，故A错误； 对于B，由概率的性质可知，0≤P(A)≤1，故B正确； 对于C，如果事件A与事件B对立，那么一定有P(A)＋P(B)＝1，但互斥事件不一定对立，故C错误； 对于D，因为事件A发生的概率P(A)＝0.3，所以它的对立事件发生的概率P()＝1－0.3＝0.7，故D正确. 5.若事件A和事件B是互斥事件，且P(A)＝0.1，则P(B)的取值范围是(　　) A.[0，0.9] B.[0.1，0.9] C.(0，0.9] D.[0，1] 答案　A 解析　由于事件A和事件B是互斥事件， 则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋P(B)， 又0≤P(A∪B)≤1，所以0≤0.1＋P(B)≤1， 又0≤P(B)≤1，所以0≤P(B)≤0.9. 6.(多选)在一次随机试验中，三个事件A1，A2，A3发生的概率分别是0.2，0.3，0.5，则下列说法正确的是(　　) A.A1∪A2与A3是互斥事件，也是对立事件 B.A1∪A2∪A3不一定是必然事件 C.P(A2∪A3)＝0.8 D.P(A1∪A2)≤0.5 答案　BD 解析　因为A1，A2，A3不一定是互斥事件，所以A不正确，B正确；P(A2∪A3)≤0.8，P(A1∪A2)≤0.5，所以C不正确，D正确. 7.(5分)在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖.若甲、乙两人各抽取1张，则两人都中奖的概率是　　　　.  答案　 解析　用1表示一等奖，2表示二等奖，0表示无奖，样本点为(1，2)，(1，0)，(2，1)，(2，0)，(0，1)，(0，2)，共有6个，甲、乙两人各抽取一张奖券，两人都中奖的样本点有(1，2)，(2，1)，共2个，所以两人都中奖的概率为P＝. 8.(5分)掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率都为.事件A表示“出现小于5的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点数”，则一次试验中，事件表示事件B的对立事件)发生的概率为　　　　，事件A∪发生的概率为　　　　.  答案　　 解析　由题意知，表示“出现大于或等于5的点数”，则P()＝， 又P(A)＝， 且事件A与事件互斥，故由互斥事件的概率加法公式， 可得P(A∪)＝P(A)＋P()＝. 9.(10分)用红、黄、蓝三种颜色给图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色.则 (1)求3个矩形颜色都相同的概率；(5分) (2)求3个矩形颜色都不同的概率.(5分) 解　该事件是古典概型，所有样本点共有27个，如图所示. (1)记“3个矩形颜色都相同”为事件A，由图知，事件A所包含的样本点有3个，故P(A)＝. (2)记“3个矩形颜色都不同”为事件B，由图可知，事件B所包含的样本点有6个，故P(B)＝. 10.(10分)袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两个球，求下列事件的概率： (1)A＝“取出的两球都是白球”；(3分) (2)B＝“取出的两球1个白球，1个红球”；(3分) (3)C＝“取出的两球中至少有一个白球”.(4分) 解　设4个白球的编号为1，2，3，4，2个红球的编号为5，6.从袋中的6个球中任取2个球，对应的样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)}，共有15个样本点. (1)A＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)}，共有6个样本点. ∴取出的两个球全是白球的概率为P(A)＝. (2)B＝{(1，5)，(1，6)，(2，5)，(2，6)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)}，共有8个样本点. ∴取出的两个球一个是白球，一个是红球的概率为P(B)＝. (3)方法一　∵C＝A∪B，且A，B为互斥事件， ∴P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝. 方法二　设C的对立事件为，则＝“取出的两球中没有白球(全为红球)”，且＝{(5，6)}. ∴P(C)＝1－P()＝1－. 11.某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别.公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料.若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为不合格.假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力.则下列结论错误的是(　　) A.此人被评为优秀的概率为 B.此人被评为良好的概率为 C.此人被评为不合格的概率为 D.此人被评为良好及以上的概率为 答案　B 解析　将5杯饮料编号为1，2，3，4，5，编号1，2，3表示A饮料，编号4，5表示B饮料，则从5杯饮料中选出3杯的所有样本点为(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，共有10个.令事件D表示“此人被评为优秀”，事件E表示“此人被评为良好”，事件F表示“此人被评为不合格”，事件G表示“此人被评为良好及以上”，则事件D包括的样本点为(1，2，3)，只有1个，事件E包括的样本点为(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，共6个.故P(D)＝，P(E)＝，P(F)＝1－P(D)－P(E)＝，P(G)＝P(D)＋P(E)＝. 12.已知a∈{0，1，2}，b∈{－1，1，3，5}，则函数f(x)＝ax2－2bx在区间(1，＋∞)上单调递增的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　∵a∈{0，1，2}，b∈{－1，1，3，5}， ∴共含有12个样本点. 函数f(x)＝ax2－2bx在区间(1，＋∞)上单调递增， ①当a＝0时，f(x)＝－2bx，需要满足－2b>0，即b<0，符合条件的只有(0，－1)，即a＝0，b＝－1，共1个样本点； ②当a≠0时，a>0，需要满足≤1，即b≤a，符合条件的有(1，－1)，(1，1)，(2，－1)，(2，1)，共4个样本点. ∴函数f(x)＝ax2－2bx在区间(1，＋∞)上单调递增的概率P＝. 13.(5分)袋中装有红球、黑球、黄球、绿球共12个.从中任取一球，取到红球的概率是，取到黑球或黄球的概率是，取到黄球或绿球的概率是.则取到黑球、绿球的概率分别是　　　　　　　.  答案　， 解析　从袋中任取一球，记“取到红球”“取到黑球”“取到黄球”和“取到绿球”分别为事件A，B，C，D，则事件A，B，C，D显然是两两互斥的. 由题意得 则 解得 故取到黑球、绿球的概率分别是，. 14.(5分)在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目，若选中男教师的概率为，则参加联欢会的教师共有　　　　人.  答案　120 解析　设参加联欢会的教师共有n人，由于从这些教师中选一人，“选中男教师”和“选中女教师”两个事件是对立事件，所以选中女教师的概率为1－.再由题意，知n－n＝12，解得n＝120. 15.(多选)素数分布是数论研究的核心领域之一，含有众多著名的猜想.19世纪中叶，法国数学家波利尼亚克提出了“广义孪生素数猜想”：对所有自然数k，存在无穷多个素数对(p，p＋2k).其中当k＝1时，称(p，p＋2)为“孪生素数”，当k＝2时，称(p，p＋4)为“表兄弟素数”.在不超过30的素数中，任选两个不同的素数p，q(p<q)，令事件A＝{(p，q)|(p，q)为孪生素数}，B＝{(p，q)|(p，q)为表兄弟素数}，C＝{(p，q)|q－p≤4}，记事件A，B，C发生的概率分别为P(A)，P(B)，P(C)，则下列关系式不成立的是(　　) A.P(A)P(B)＝P(C) B.P(A)＋P(B)＝P(C) C.P(A)＋P(B)>P(C) D.P(A)＋P(B)<P(C) 答案　ABC 解析　由题设，不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个， 从中任意取两个不同的素数p，q(p<q)：p＝2有9个，p＝3有8个，p＝5有7个，p＝7有6个，p＝11有5个，p＝13有4个，p＝17有3个，p＝19有2个，p＝23有1个， 所以共有9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1 ＝45(个)样本点； A＝{(3，5)，(5，7)，(11，13)，(17，19)}，共4个样本点； B＝{(3，7)，(7，11)，(13，17)，(19，23)}，共4个样本点； C＝{(2，3)，(2，5)，(3，5)，(3，7)，(5，7)，(7，11)，(11，13)，(13，17)，(17，19)，(19，23)}，共10个样本点， 所以P(A)＝P(B)＝，P(C)＝， 显然P(A)P(B)≠P(C)，P(A)＋P(B)<P(C). 16.(12分)科学家在1927年至1929年间发现自然界中的氧含有三种同位素，分别为16O，17O，18O，根据1940年比较精确的质谱测定，自然界中这三种同位素的含量比为16O占99.759%，17O占0.037%，18O占0.204%.现有3个16O，2个17O，n个18O，若从中随机选取1个氧原子，这个氧原子不是17O的概率为. (1)求n；(5分) (2)若从中随机选取2个氧原子，求这2个氧原子是同一种同位素的概率.(7分) 解　(1)依题意，从这些氧原子中随机选取1个，这个氧原子是17O的概率P1＝，则有1－，解得n＝1. (2)记3个16O分别为a，b，c，2个17O分别为x，y，1个18O为m，从中随机选取2个，所有的情况为(a，b)，(a，c)，(a，x)，(a，y)，(a，m)，(b，c)，(b，x)，(b，y)，(b，m)，(c，x)，(c，y)，(c，m)，(x，y)，(x，m)，(y，m)，共15种，它们等可能的，其中这2个氧原子是同一种同位素的情况有(a，b)，(a，c)，(b，c)，(x，y)，共4种，其概率为P2＝，所以这2个氧原子是同一种同位素的概率是. 学科网（北京）股份有限公司 $