第7章 §4 事件的独立性（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦高中数学“相互独立事件”核心知识点，系统梳理其定义、判断方法、概率公式及与互斥事件的综合应用。通过抛掷硬币问题情境引入，结合知识表格梳理、多选判断例题、概率计算实例，构建从概念理解到综合应用的递进式学习支架。 该资料以“三个臭皮匠抵诸葛亮”情境化导语激发兴趣，引导学生用数学眼光观察现实问题。通过抛掷硬币实验驱动探究，培养数学思维中的推理能力，如推导独立事件概率关系。例题设计贴近生活，如密码破译、射击问题，助力学生用数学语言表达实际问题，课中辅助教师授课，课后帮助学生回顾强化，弥补知识盲点。

学习目标　1.结合具体试验理解相互独立事件的含义，会对事件的独立性进行判断.2.掌握相互独立事件的性质及概率公式，会求相互独立事件同时发生的概率.3.能综合运用互斥事件的概率加法公式及相互独立事件的乘法公式解题. 导语 “常言道，三个臭皮匠能抵诸葛亮.”怎样从数学上来解释呢？将问题具体化：假如对某事件诸葛亮想出计谋的概率为0.88，三个臭皮匠甲、乙、丙想出计谋的概率各为0.6，0.5，0.5.请问这三个臭皮匠能胜过诸葛亮吗？ 一、相互独立事件的判断 问题　分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A＝“第一枚硬币正面朝上”，B＝“第二枚硬币反面朝上”.计算P(A)，P(B)，P(AB)，你有什么发现？ 提示　用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则样本空间为Ω＝{(1，1)，(1，0)，(0，1)，(0，0)}，包含4个等可能的样本点.而A＝{(1，1)，(1，0)}，B＝{(1，0)，(0，0)}，所以AB＝{(1，0)}.由古典概型概率公式，得 P(A)＝P(B)＝，P(AB)＝. 于是P(AB)＝P(A)P(B). 知识梳理　相互独立事件 相互独立事件 相关内容 定义 事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫作相互独立事件 两个相互独立事件 同时发生的概率公式 P(AB)＝P(A)P(B) 性质 若事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立 注意点： 正确理解相互独立事件与对立事件 (1)相互独立事件是指事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，是以它们能够同时发生为前提. (2)对立事件首先应是互斥事件，是指不可能同时发生的两个事件. 例1　(多选)下列事件中，A，B是相互独立事件的是(　　) A.一枚硬币掷两次，A＝“第一次为正面”，B＝“第二次为反面” B.袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两球，A＝“第一次摸到白球”，B＝“第二次摸到白球” C.掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为3或4” D.掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为偶数” 答案　AC 解析　把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后次序的影响，故A中事件A，B是相互独立事件；B中是不放回地摸球，显然事件A与事件B不相互独立；对于C，事件A为出现1，3，5点，P(A)＝，P(B)＝，事件AB为出现3点，P(AB)＝，P(AB)＝ P(A)P(B)，事件A，B相互独立；D中两事件是互斥事件，不是相互独立事件. 反思感悟　两个事件是否相互独立的判断 (1)定义法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响. (2)充要条件法：事件A，B相互独立的充要条件是P(AB)＝P(A)P(B). 跟踪训练1　甲、乙两名射击手同时向一目标射击，设事件A＝“甲击中目标”，事件B＝“乙击中目标”，则事件A与事件B(　　) A.相互独立但不互斥 B.互斥但不相互独立 C.相互独立且互斥 D.既不相互独立也不互斥 答案　A 解析　对同一目标射击，甲、乙两射击手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射击手可能同时击中目标，也就是说事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件. 二、相互独立事件同时发生的概率 例2　(课本例1)甲、乙两人独立破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求： (1)两人都译出密码的概率； (2)两人都译不出密码的概率； (3)恰有一人译出密码的概率； (4)至多有一人译出密码的概率； (5)至少有一人译出密码的概率. 解　记“甲独立译出密码”为事件A，“乙独立译出密码”为事件B，A与B为相互独立事件， 且P(A)＝，P(B)＝. (1)设事件C表示“两人都译出密码”，则C＝AB.因为A与B相互独立，所以P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝×. 即两人都译出密码的概率为. (2)设事件D表示“两人都译不出密码”，则D＝ .因为A与B相互独立，所以与也相互独立.因此，P(D)＝P( )＝P()P()＝[1－P(A)][1－P(B)] ＝. 即两人都译不出密码的概率为. (3)设事件E表示“恰有一人译出密码”，事件E可以看作事件“甲译出密码且乙未译出密码”与事件“甲未译出密码且乙译出密码”的并事件，所以E＝A∪B，且两个事件A与B彼此互斥，因此P(E)＝P(A∪B) ＝P(A)＋P(B) ＝P(A)P()＋P()P(B) ＝P(A)[1－P(B)]＋[1－P(A)]P(B) ＝×× ＝. 即恰有一人译出密码的概率为. (4)设事件F表示“至多有一人译出密码”. 方法一　事件F可以看作事件“两人都译不出密码”与“恰有一人译出密码”的并事件，所以F＝D∪E，且D与E彼此互斥，因此 P(F)＝P(D∪E)＝P(D)＋P(E)＝. 即至多有一人译出密码的概率为. 方法二　事件F的对立事件为“两人都译出密码”，所以＝C，因此 P(F)＝1－P()＝1－P(C)＝1－. 即至多有一人译出密码的概率为. (5)设事件G表示“至少有一人译出密码”. 方法一　事件G可以看作事件“两人都译出密码”与“恰有一人译出密码”的并事件，所以G＝C∪E，且C与E彼此互斥，因此 P(G)＝P(C∪E)＝P(C)＋P(E)＝. 即至少有一人译出密码的概率为. 方法二　事件G的对立事件为“两人都译不出密码”，所以＝D，因此 P(G)＝1－P()＝1－P(D)＝1－. 即至少有一人译出密码的概率为. 例2　甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求： (1)2人都射中目标的概率； (2)2人中恰有1人射中目标的概率； (3)2人至少有1人射中目标的概率. 解　记“甲射击1次，击中目标”为事件A，“乙射击1次，击中目标”为事件B，则A与B，与B，A与，与为相互独立事件， (1)设事件C表示“两人都射中目标”，则C＝AB， ∴P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.8×0.9＝0.72， ∴2人都射中目标的概率是0.72. (2)设事件D表示“2人中恰有1人射中目标”，则D＝A∪B，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，P(D)＝P(A∪B) ＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B) ＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9＝0.08＋0.18＝0.26. ∴2人中恰有1人射中目标的概率是0.26. (3)设事件E表示“2人至少有1人射中目标”， 方法一　E＝A∪B∪AB， ∵事件A，B，AB两两互斥， ∴P(E)＝P(A∪B∪AB) ＝P(A)＋P(B)＋P(AB) ＝0.26＋0.72＝0.98. 方法二　事件E的对立事件为“2人都未射中”， ， ∴P(E)＝1－P()＝1－P() ＝1－(1－0.8)×(1－0.9)＝0.98. 反思感悟　(1)求相互独立事件同时发生的概率的步骤 ①首先确定各事件之间是相互独立的； ②确定这些事件可以同时发生； ③求出每个事件的概率，再求积. (2)使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件——各个事件是相互独立的，而且它们同时发生. 跟踪训练2　设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的.求： (1)进入商场的1位顾客，甲、乙两种商品都购买的概率； (2)进入商场的1位顾客只购买甲商品的概率. 解　记A表示事件“进入商场的1位顾客购买甲种商品”，则P(A)＝0.5； 记B表示事件“进入商场的1位顾客购买乙种商品”，则P(B)＝0.6； 记C表示事件“进入商场的1位顾客，甲、乙两种商品都购买”； 记D表示事件“进入商场的1位顾客只购买甲商品”. (1)易知C＝AB，则P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.5×0.6＝0.3. (2)易知D＝A，则P(D)＝P(A)＝P(A)·P()＝0.5×0.4＝0.2. 三、相互独立事件概率的综合应用 例3　有甲、乙、丙三支足球队互相进行比赛，每场都要分出胜负，已知甲队胜乙队的概率是0.4，甲队胜丙队的概率是0.3，乙队胜丙队的概率是0.5，现规定比赛顺序：第一场甲队对乙队，第二场是第一场中的胜者对丙队，第三场是第二场中的胜者对第一场中的败者，以后每一场都是上一场中的胜者对前一场中的败者，若某队连胜四场则比赛结束，求： (1)第四场结束比赛的概率； (2)第五场结束比赛的概率. 解　(1)因为甲连胜四场的概率P1＝0.4×0.3×0.4×0.3＝0.014 4. 乙连胜四场的概率 P2＝0.6×0.5×0.6×0.5＝0.09， 所以第四场结束比赛的概率 P＝P1＋P2＝0.014 4＋0.09＝0.104 4. (2)第五场结束比赛即某队从第二场起连胜四场，只有丙队有可能. 若甲胜第一场，则丙连胜四场的概率P3＝0.4×0.7×0.5×0.7×0.5＝0.049， 若乙胜第一场，则丙连胜四场的概率P4＝0.6×0.5×0.7×0.5×0.7＝0.073 5， 所以第五场结束比赛的概率P5＝P3＋P4＝0.122 5. 反思感悟　相互独立事件的综合问题的解题策略 (1)正难则反.灵活应用对立事件的概率关系(P(A)＋P()＝1)简化问题，是求解概率问题最常用的方法. (2)化繁为简.将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找所求事件与已知事件之间的关系.“所求事件”分几类(考虑加法公式转化为互斥事件)还是分几步(考虑乘法公式转化为相互独立事件)组成. 跟踪训练3　为了普及国家安全教育，某校组织了一次国家安全知识竞赛，已知甲、乙、丙三位同学答对某道题目的概率分别为，，p，且三人答题互不影响. (1)求甲、乙两位同学恰有一个人答对的概率； (2)若甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对的概率为，求p的值. 解　(1)设事件A＝“甲答对”，事件B＝“乙答对”， 则P(A)＝，P(B)＝，P()＝，P()＝， “甲、乙两位同学恰有一个人答对”的事件为A∪B，且A与B互斥， 由三人答题互不影响，知A，B互相独立，则A与，与B，与均相互独立， 则P(A∪B)＝P(A)＋P(B) ＝P(A)P()＋P()P(B) ＝××， 所以甲、乙两位同学恰有一个人答对的概率为. (2)设事件C＝“丙答对”， 则P(C)＝p，P()＝1－p， 设事件D＝“甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对”，由(1)知， P(D)＝1－P()＝1－P()P()P() ＝1－××(1－p)＝， 解得p＝，所以p的值为. 1.知识清单： (1)相互独立事件的概念及判断. (2)相互独立事件同时发生的概率. (3)相互独立事件概率的综合应用. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：把互斥事件与相互独立事件混淆. 课时对点练 [分值：90分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共24分 1.一个不透明的口袋中有黑、白两种颜色的球，这些球除颜色外完全相同，从中进行有放回地摸球，用A1表示“第一次摸得白球”，A2表示“第二次摸得白球”，则A1与A2是(　　) A.相互独立事件 B.不相互独立事件 C.互斥事件 D.对立事件 答案　A 解析　事件A1是否发生对事件A2的概率没有影响，故A1与A2是相互独立事件. 2.种植两株不同的花卉，若它们的成活率分别为p和q，则恰有一株成活的概率为(　　) A.pq B.p＋q C.p＋q－pq D.p＋q－2pq 答案　D 解析　恰有一株成活的概率为p(1－q)＋(1－p)q＝p＋q－2pq. 3.甲盒中有200个螺杆，其中有160个A型的，乙盒中有240个螺母，其中有180个A型的.现从甲、乙两盒中各任取一个，则恰好可配成A型螺栓的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　设“从甲盒中任取一螺杆为A型螺杆”为事件M，“从乙盒中任取一螺母为A型螺母”为事件N，则M与N相互独立，P(M)＝， P(N)＝， 则从甲、乙两盒中各任取一个，恰好可配成A型螺栓的概率为P(MN)＝P(M)P(N)＝×. 4.从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋中各摸出一个球，则等于(　　) A.2个球不都是红球的概率 B.2个球都是红球的概率 C.至少有1个红球的概率 D.2个球中恰有1个红球的概率 答案　C 解析　记“从甲、乙袋中摸出一个红球”分别为事件A，B，则P(A)＝，P(B)＝.由于A，B相互独立，所以1－P()P()＝1－×.根据互斥事件可知C正确. 5.(多选)设A，B为两个随机事件，则下列命题正确的是(　　) A.若A与B对立，则P(AB)＝1 B.若A与B互斥，P(A)＝，P(B)＝，则P(A∪B)＝ C.若P()＝，P()＝，且P(AB)＝，则A与B相互独立 D.若A与B相互独立，P(A)＝，P(B)＝，则P(A)＝ 答案　BD 解析　若A与B对立，则P(AB)＝0，故A错误； 若A与B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝，故B正确； 因为P()＝，P()＝，故P(A)＝，P(B)＝，故P(A)P(B)＝≠P(AB)，故A与B不相互独立，故C错误； 因为P(B)＝，所以P()＝，而A与B相互独立，故A与相互独立，故P(A)＝×，故D正确. 6.(多选)将两个质地均匀且四面分别标有1，2，3，4的正四面体各掷一次，记事件A＝“第一个四面体向下的一面为偶数”；事件B＝“第二个四面体向下的一面为奇数”；事件C＝“两个四面体向下的一面均为奇数或者均为偶数”.则下列结论正确的是(　　) A.P(A)＝ B.P(AB)＝ C.P(ABC)＝ D.P(B)＝ 答案　AB 解析　由题意知P(A)＝，故A正确； ∵P(B)＝，事件A与B相互独立， ∴P(AB)＝×，故B正确，D错误； ∵事件AB与事件C为互斥事件， ∴P(ABC)＝0，故C错误. 7.(5分)假设P(A)＝0.3，P(B)＝0.4，且A与B相互独立，则P(AB)＝　　　　　　，P(A∪B)＝　　　　　　.  答案　0.12　0.58 解析　P(AB)＝P(A)P(B)＝0.3×0.4＝0.12. P(A∪B)＝1－P()P()＝1－0.7×0.6＝0.58. 8.(5分)甲、乙、丙三人独立破译同一份密码.已知甲、乙、丙各自独立破译出密码的概率分别为，，，且他们是否破译出密码互不影响，则至少有1人破译出密码的概率是　　　　.  答案　 解析　依题意，设事件A＝“至少有1人破译出密码”，则A的对立事件＝“三人都没有破译出密码”，则P()＝××，P(A)＝1－P()＝1－. 9.(10分)为普及法律知识，弘扬宪法精神，某校教师举行法律知识竞赛.比赛共分为两轮，即初赛和决赛，决赛通过后将代表学校参加市级比赛.在初赛中，已知甲教师晋级决赛的概率为，乙教师晋级决赛的概率为a.若甲、乙能进入决赛，在决赛中甲、乙两人能胜出的概率分别为和.假设甲、乙初赛是否晋级和在决赛中能否胜出互不影响. (1)若甲、乙有且只有一人能晋级决赛的概率为，求a的值；(5分) (2)在(1)的条件下，求甲、乙两人中有且只有一人能参加市级比赛的概率.(5分) 解　(1)设事件A表示“甲教师晋级决赛”，事件B表示“乙教师晋级决赛”， 由题意可知，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝(1－a)＋a＝， 解得a＝. (2)设事件C为“甲、乙两人中有且只有一人能参加市级比赛”，事件D为“甲能参加市级比赛”，事件E为“乙能参加市级比赛”， 则P(D)＝×，P(E)＝×， 所以P(C)＝××. 10.(11分)某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案. 方案一：考三门课程，至少有两门及格为考试通过. 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过. 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别为0.5，0.6，0.9，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响. 求：(1)该应聘者用方案一考试通过的概率；(5分) (2)该应聘者用方案二考试通过的概率.(6分) 解　记“该应聘者对三门指定课程考试及格”的事件分别为A，B，C，则P(A)＝0.5，P(B)＝0.6，P(C)＝0.9. (1)应聘者用方案一考试通过的概率为 P1＝P(AB)＋P(BC)＋P(AC)＋P(ABC) ＝0.5×0.6×0.1＋0.5×0.6×0.9＋0.5×0.4×0.9＋0.5×0.6×0.9＝0.75. (2)应聘者可选择的方案为(A，B)，(A，C)，(B，C)，且每一个选择发生的概率均为，所以应聘者用方案二考试通过的概率为 P2＝P(AB)＋P(BC)＋P(AC) ＝×0.5×0.6＋×0.6×0.9＋×0.5×0.9 ＝0.43. 11.为丰富老年人的精神文化生活，提高老年人的生活幸福指数，某街道举办以社区为代表队的老年门球比赛，比赛分老年男组和老年女组，男女组分别进行淘汰赛.经过多轮淘汰后，西苑社区的老年男子“龙马”队和老年女子“风采”队都进入了决赛.按照以往的比赛经验，在决赛中“龙马”队获胜的概率为，“风采”队获胜的概率为p，“龙马”队和“风采”队两队中只有一支队伍获胜的概率为(“龙马”队和“风采”队在比赛中互不影响)，则西苑社区的“龙马”队和“风采”队同时获得冠军的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由题意得两队中只有一队获胜包含“龙马”队获胜“风采”队未获胜、“龙马”队未获胜“风采”队获胜； 则×(1－p)＋p＝p＝， 解得p＝. 所以两队同时获得冠军的概率为p＝×. 12.(多选)在如图所示的电路中，5个盒子表示保险匣，设5个盒子分别被断开为事件A，B，C，D，E.盒子中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，则下列结论正确的是(　　) A.A，B两个盒子串联后畅通的概率为 B.D，E两个盒子并联后畅通的概率为 C.A，B，C三个盒子混联后畅通的概率为 D.当开关合上时，整个电路畅通的概率为 答案　ACD 解析　由题意知，P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝，P(E)＝，所以A，B两个盒子串联后畅通的概率为×，因此A正确；D，E两个盒子并联后畅通的概率为1－×＝1－，因此B错误；A，B，C三个盒子混联后畅通的概率为1－×＝1－，因此C正确；当开关合上时，整个电路畅通的概率为×，因此D正确. 13.如图，一个正八面体的八个面分别标有数字1，2，3，…，8，任意抛掷一次该正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，若事件A＝{2，4，6，8}，事件B＝{1，3，5，8}，事件C＝{1，6，7，8}，则下列结论错误的是(　　) A.事件A，B相互独立 B.事件A，C相互独立 C.事件B，C相互独立 D.P(ABC)＝P(A)P(B)P(C) 答案　A 解析　因为事件A＝{2，4，6，8}，事件B＝{1，3，5，8}，事件C＝{1，6，7，8}， 所以A∩B∩C＝{8}，A∩B＝{8}，A∩C＝{6，8}，B∩C＝{1，8}， 所以P(A)＝P(B)＝P(C)＝，P(AB)＝， P(AC)＝，P(BC)＝，P(ABC)＝， A选项，P(AB)≠P(A)P(B)，事件A，B不相互独立，A错误； B选项，P(AC)＝P(A)P(C)，事件A，C相互独立，B正确； C选项，P(BC)＝P(B)P(C)，事件B，C相互独立，C正确； D选项，P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)，D正确. 14.(5分)事件A，B，C相互独立，如果P(AB)＝，P(C)＝，P(AB)＝，则P(B)＝　　　，P(B)＝　　　.  答案　　 解析　∵P(AB)＝P(AB)P()＝P()＝，∴P()＝，即P(C)＝. 又P(C)＝P()·P(C)＝， ∴P()＝，P(B)＝. 又P(AB)＝，则P(A)＝， ∴P(B)＝P()·P(B)＝×. 15.(多选)已知某数据库有视频a个，图片b张(a，b∈N且a>b>1).从中随机选出一个视频和一张图片，记“视频甲和图片乙入选”为事件A，“视频甲入选”为事件B，“图片乙入选”为事件C，则下列判断中正确的是(　　) A.P(A)＝P(B)＋P(C) B.P(A)＝P(B)P(C) C.P()>P(C)＋P(B) D.P(C)<P(B) 答案　BC 解析　显然事件B，C相互独立，且A＝BC， 于是P(A)＝P(B)P(C)，A错误，B正确； 事件包含“视频甲未入选，图片乙入选”“视频甲入选，图片乙未入选”“视频甲、图片乙都未入选”三种情况， 因此P()＝P(C)＋P(B)＋P( )， 则P()>P(C)＋P(B)，C正确； 依题意，P(C)＝P()P(C)＝·，P(B)＝P(B)P()＝·，而a，b∈N且a>b>1，因此>，即P(C)>P(B)，D错误. 学科网（北京）股份有限公司 $