7.2.2 古典概型的应用-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦古典概型的应用，核心知识点包括互斥事件概率加法公式、对立事件概率公式，以及“放回”与“不放回”抽样、概率模型建立等复杂问题的解法。通过公式推导、例题解析到分层作业，构建从基础到综合的学习支架，衔接古典概型基础与实际应用。 资料以核心素养为导向，通过互斥事件公式推导培养数学抽象素养，结合“摸球”“取产品”等实例培养数学建模素养。采用树状图、图表等直观工具，帮助学生用数学眼光观察问题，课中辅助教师高效授课，课后分层作业助力学生巩固知识、查漏补缺，提升解决实际概率问题的能力。

2.2　古典概型的应用 学习任务 核心素养 1．理解互斥事件的概率加法公式、对立事件的概率公式，并能应用公式解决应用问题．(重点、易混点) 2．掌握较复杂的古典概型的概率计算问题的解法．(重点、难点) 1．通过对互斥事件的概率加法公式、对立事件的概率公式的推导和应用，培养数学抽象素养． 2．通过解决较复杂的古典概型的概率问题，培养数学建模素养． 1．求古典概型的概率问题的关键是什么？ 2．互斥事件的概率加法公式是什么？ 互斥事件的概率加法公式 (1)在一个试验中，如果事件A和事件B是互斥事件，那么有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，这一公式称为互斥事件的概率加法公式．特别地，P(A)＝1－P()． (2)一般地，如果事件A1，A2，…，An两两互斥，那么有P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)． (1)设事件A发生的概率为P(A)，事件B发生的概率为P(B)，那么事件A＋B发生的概率是P(A)＋P(B)吗？ (2)从某班任选6名同学作为志愿者参加市运动会服务工作，记 “其中至少有3名女同学”为事件A，那么事件A的对立事件是什么？ [提示]　(1)不一定．当事件A与B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；当事件A与B不互斥时，P(A∪B)≠P(A)＋P(B)． (2)事件A的对立事件是“其中至多有2名女同学”． 1．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是(　　) A．0.42 　 B．0.28 C．0.3 　 D．0.7 C　[∵“摸出黑球”是“摸出红球或摸出白球”的对立事件，∴“摸出黑球”的概率是1－0.42－0.28＝0.3，故选C．] 2．甲、乙两队进行足球比赛，若两队战平的概率是，乙队胜的概率是，则甲队胜的概率是________． 　[记甲队胜为事件A， 则P(A)＝1－＝．] 类型1　互斥事件的概率加法公式及应用 【例1】　【链接教材P203例4】 一盒中装有各色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球．从中随机取出1球，求： (1)取出1球是红球或黑球的概率； (2)取出的1球是红球或黑球或白球的概率． [解]　法一：(1)从12个球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得红球或黑球共有5＋4＝9种不同取法，任取1球有12种取法． ∴任取1球得红球或黑球的概率为P1＝＝． (2)从12个球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得白球有2种取法，从而得红球或黑球或白球的概率为＝． 法二：(利用互斥事件求概率) 记事件A1＝{任取1球为红球}，A2＝{任取1球为黑球}，A3＝{任取1球为白球}，A4＝{任取1球为绿球}，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(A4)＝． 根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得 (1)取出1球为红球或黑球的概率为 P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝＝． (2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为 P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＝． 法三：(利用对立事件求概率) (1)由法二知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1∪A2的对立事件为A3∪A4，所以取得1球为红球或黑球的概率为 P(A1∪A2)＝1－P(A3∪A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－＝＝． (2)A1∪A2∪A3的对立事件为A4，所以P(A1∪A2∪A3)＝1－P(A4)＝1－＝． 【教材原题·P203例4】 例4　某学校准备对秋季运动会的竞赛项目进行调整，为此，学生会进行了一次民意调查．100个人接受了调查，他们被要求在赞成调整、反对调整、对这次调整不发表看法中任选一项．调查结果如表7-3． 表7-3 观点 男生人数 女生人数 总人数 赞成 18 9 27 反对 12 25 37 不发表看法 20 16 36 总计 50 50 100 随机选取一个被调查者，他对这次调整表示反对或不发表看法的概率是多少？ [解]　用事件A表示“对这次调整表示反对”，事件B表示“对这次调整不发表看法”，则事件A和事件B是互斥事件，并且事件A∪B就表示“对这次调整表示反对或不发表看法”．由互斥事件的加法公式，得P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＝． 因此，随机选取一个被调查者，他对这次调整表示反对或不发表看法的概率是． 　概率公式的应用 (1)互斥事件的概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)是一个非常重要的公式，运用该公式解题时，首先要分清事件间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件，然后求出各事件的概率，用加法公式得出结果． (2)当直接计算符合条件的事件个数比较烦琐时，可间接地先计算出其对立事件的个数，求得对立事件的概率，然后利用对立事件的概率加法公式P(A)＋P()＝1，求出符合条件的事件的概率． [跟进训练] 1．在数学考试中，小王的成绩在90分以上(含90分)的概率是0.18，在80～89分的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09，在60分以下(不含60分)的概率是0.07．求： (1)小王在数学考试中取得80分以上(含80分)成绩的概率； (2)小王数学考试及格的概率． [解]　设小王的成绩在90分以上(含90分)、在80～89分、在60分以下(不含60分)分别为事件A，B，C，且A，B，C两两互斥． (1)设小王的成绩在80分以上(含80分)为事件D，则D＝A＋B， 所以P(D)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.18＋0.51＝0.69． (2)设小王数学考试及格为事件E，由于事件E与事件C为对立事件， 所以P(E)＝1－P(C)＝1－0.07＝0.93． 类型2　“放回”与“不放回”问题 【例2】　从含有两件正品a1，a2和一件次品b的三件产品中，每次任取一件． (1)若每次取后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率； (2)若每次取后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率． [解]　(1)每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的样本点有6个，即(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)．其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．总的事件个数为6，而且可以认为这些样本点是等可能的． 用A表示“取出的两件中恰有一件次品”这一事件， 所以A＝{(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}． 因为事件A由4个样本点组成，所以P(A)＝＝． (2)有放回地连续取出两件，其所有可能的结果为(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，b)，共9个样本点．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些样本点的出现是等可能的．用B表示“恰有一件次品”这一事件，则B＝{(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}．事件B由4个样本点组成，因而P(B)＝． 　解决有序和无序问题应注意的两点 (1)关于不放回抽样，计算样本点个数时，既可以看做是有顺序的，也可以看做是无顺序的，其最后结果是一致的．但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会产生错误． (2)关于有放回抽样，应注意在连续取出两次的过程中，因为先后顺序不同，所以(a1，b)，(b，a1)不是同一个样本点．解题的关键是要清楚无论是“不放回抽取”还是“有放回抽取”，每一件产品被取出的机会都是均等的． [跟进训练] 2．一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4． (1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率； (2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m＋2的概率． [解]　(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的样本点有：1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4，共6个．从袋中取出的两个球的编号之和不大于4的事件有：1和2，1和3，共2个，因此所求事件的概率为P＝＝． (2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m，n)有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16个． 又满足条件n≥m＋2的有：(1，3)，(1，4)，(2，4)，共3个． 所以满足条件n≥m＋2的事件的概率为P1＝， 故满足条件n＜m＋2的事件的概率为1－P1＝1－＝． 类型3　建立概率模型解决问题 【例3】　【链接教材P203例5】 有A，B，C，D四位贵宾，应分别坐在a，b，c，d四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就座． (1)求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率； (2)求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率． (3)求这四人恰好有1位坐在自己的席位上的概率． (4)求这四人中至少有2人坐在自己的席位上的概率． [解]　将A，B，C，D四位贵宾就座情况用下面图形表示出来： 样本点的总数为24． (1)设事件A为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，则事件A只包含1个样本点，所以P(A)＝． (2)设事件B为“这四个人恰好都没有坐在自己席位上”，则事件B包含9个样本点，所以P(B)＝＝． (3)设事件C为“这四个人恰有1位坐在自己席位上”，则事件C包含8个样本点，所以P(C)＝＝． (4)法一：设事件D为“这四人中至少有2人坐在自己的席位上”，事件E为“这四人中有2人坐在自己的席位上”，则事件E包含6个样本点，则D＝A∪E，且事件A与E为互斥事件，所以P(D)＝P(A∪E)＝P(A)＋P(E)＝＝． 法二：设事件D为“这四人中至少有2人坐在自己的席位上”，则＝B∪C，所以P(D)＝1－P(B∪C)＝1－P(B)－P(C)＝1－＝． 【教材原题·P203例5】 例5　某网站登录密码由四位数字组成．某同学注册时将自己生日的四个数字0，3，2，5重新编排了一个顺序作为密码．由于长时间未登录该网站，他忘记了密码．若登录时随机输入由0，3，2，5组成的一个四位数字，则该同学不能顺利登录的概率是多少？ [解]　用事件A表示“输入由0，3，2，5组成的一个四位数字，但不是密码”．由于事件A比较复杂，可考虑它的对立事件，即“输入由0，3，2，5组成的一个四位数字，恰是密码”，显然它只有一种结果．四个数字0，3，2，5随机编排顺序，所有可能结果可用树状图表示，如图7-10． 从上面的树状图可以看出，将四个数字0，3，2，5随机编排顺序，共有24种可能的结果，即样本空间共含有24个样本点，且24个样本点出现的结果是等可能的，因此可以用古典概型来解决．由P()＝．因此，随机输入由0，3，2，5组成的一个四位数字，但不是密码，即该同学不能顺利登录的概率为． 　1．当事件个数没有很明显的规律，并且涉及的样本点又不是太多时，我们可借助树状图直观地将其表示出来，这是进行列举的常用方法．树状图可以清晰准确地列出所有的样本点，并且画出一个树枝之后可猜想其余的情况． 2．在求概率时，若事件可以表示成有序数对的形式，则可以把全体样本点用平面直角坐标系中的点表示，即采用图表的形式可以准确地找出样本点的个数．故采用数形结合法求概率可以使解决问题的过程变得形象、直观，给问题的解决带来方便． [跟进训练] 3．甲、乙、丙、丁四名学生按任意次序站成一排，试求下列事件的概率： (1)甲在边上； (2)甲和乙都在边上； (3)甲和乙都不在边上． [解]　利用树状图来列举样本点，如图所示． 由树状图可看出共有24个样本点． (1)甲在边上有12种情形： (甲，乙，丙，丁)，(甲，乙，丁，丙)，(甲，丙，乙，丁)，(甲，丙，丁，乙)，(甲，丁，乙，丙)，(甲，丁，丙，乙)，(乙，丙，丁，甲)，(乙，丁，丙，甲)，(丙，乙，丁，甲)，(丙，丁，乙，甲)，(丁，乙，丙，甲)，(丁，丙，乙，甲)． 故甲在边上的概率为P＝＝． (2)甲和乙都在边上有4种情形： (甲，丙，丁，乙)，(甲，丁，丙，乙)， (乙，丙，丁，甲)，(乙，丁，丙，甲)， 故甲和乙都在边上的概率为P＝＝． (3)甲和乙都不在边上有4种情形： (丙，甲，乙，丁)，(丙，乙，甲，丁)， (丁，甲，乙，丙)，(丁，乙，甲，丙)， 故甲和乙都不在边上的概率为P＝＝． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若A与B为互斥事件，则P(A)＋P(B)＝1． (　　) (2)若P(A)＋P(B)＝1，则事件A与B为对立事件． (　　) (3)某班统计同学们的数学测试成绩，事件“所有同学的成绩都在60分以上”的对立事件为“所有同学的成绩都在60分以下”． (　　) [提示]　(1)错误．只有当A与B为对立事件时，P(A)＋P(B)＝1． (2)错误． (3)错误．事件“所有同学的成绩都在60分以上”的对立事件为“至少有一个同学的成绩不高于60分”． [答案]　(1)×　(2)×　(3)× 2．甲、乙两名乒乓球运动员在一场比赛中甲获胜的概率是0.2，若不出现平局，那么乙获胜的概率为(　　) A．0.2 　 B．0.8 C．0.4 　 D．0.1 B　[乙获胜的概率为1－0.2＝0.8．] 3．某天上午要安排语文、数学、历史、体育四节课，则体育课不排在第一节的概率为(　　) A． 　 B． C． 　 D． D　[我们不考虑语文、数学、历史排在第几节课，只考虑体育课的排法，体育课等可能地排在第一节、第二节、第三节、第四节，共4个样本点，因此体育课不排在第一节的概率为．] 4．如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.35，0.3，0.25，则不中靶的概率是________． 0.1　[令“射手命中圆面Ⅰ”为事件A，“命中圆环Ⅱ”为事件B，“命中圆环Ⅲ”为事件C，“不中靶”为事件D，则A，B，C彼此互斥，故射手中靶的概率为P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.35＋0.3＋0.25＝0.9．因为中靶和不中靶是对立事件，故不中靶的概率为P(D)＝1－P(A∪B∪C)＝1－0.9＝0.1．] 5．中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为，乙夺得冠军的概率为，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________． 　[由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事件的概率加法公式进行计算，即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为＝．] 课时分层作业(四十一)　古典概型的应用 一、选择题 1．某射手的一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.2，0.3，0.1．则此射手在一次射击中不够8环的概率为(　　) A．0.4 　 B．0.3 C．0.6 　 D．0.9 A　[不够8环的概率为1－0.2－0.3－0.1＝0.4．] 2．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率是90%，则甲、乙两人下和棋的概率是(　　) A．60% 　 B．30% C．10% 　 D．50% D　[“甲获胜”与“甲、乙下成和棋”是互斥事件，“甲不输”即“甲获胜或甲、乙下成和棋”，故P(甲不输)＝P(甲胜)＋P(甲、乙和棋)，∴P(甲、乙和棋)＝P(甲不输)－P(甲胜)＝90%－40%＝50%．] 3．从分别写有A，B，C，D，E的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母按字母顺序恰好是相邻的概率为(　　) A． 　 B． C． 　 D． B　[试验的样本空间Ω＝{AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE}，共有10 个样本点，其中事件“这2张卡片上的字母按字母顺序恰好是相邻的”包含4个样本点，故所求的概率为＝．] 4．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为(　　) A． 　 B． C． 　 D． C　[试验的样本空间Ω＝{金木，金水，金火，金土，木水，木火，木土，水火，水土，火土}，共10个样本点，事件“抽取的两种物质不相克”包含5个样本点，故其概率为＝．] 5．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若a＝b或a＝b－1，就称甲、乙“心有灵犀”，现在任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为(　　) A． 　 B． C． 　 D． C　[由于甲、乙各记一个数，则样本点总数为36个，而满足a＝b或a＝b－1的共有(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)，(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，(5，6)，共11个．∴他们“心有灵犀”的概率P＝．] 二、填空题 6．甲、乙两人打乒乓球， 两人打平的概率是， 乙获胜的概率是，则乙不输的概率是________． 　[乙不输表示甲、乙打成平局或乙胜，故其概率为P＝＝．] 7．从集合A＝{－3，－2，－1，2}中随机选取一个数记为k，从集合B＝{－2，1，2}中随机选取一个数记为b，则k>0，b>0的概率为________． 　[根据题意可知，总的样本点(k，b)共有12个，事件“k>0，b>0”包含的样本点有(2，1)，(2，2)，共2个，根据古典概型的概率计算公式可知所求概率为＝．] 8．如图所示，a，b，c，d，e是处于断开状态的开关，任意闭合其中的两个，则电路接通的概率是________． 　[“任意闭合其中的两个开关”所包含的样本点总数是10，“电路接通”包含6个样本点，所以电路接通的概率P＝．] 三、解答题 9．学校射击队的某一选手射击一次，其命中环数的概率如表： 命中环数 10环 9环 8环 7环 概率 0.32 0.28 0.18 0.12 求该选手射击一次． (1)命中9环或10环的概率； (2)至少命中8环的概率； (3)命中不足8环的概率． [解]　记“射击一次，命中k环”为事件Ak(k＝7，8，9，10)． (1)因为A9与A10互斥，所以P(A9∪A10)＝P(A9)＋P(A10)＝0.28＋0.32＝0.60． (2)记“至少命中8环”为事件B，B＝A8＋A9＋A10，又A8，A9，A10两两互斥， 所以P(B)＝P(A8)＋P(A9)＋P(A10)＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78． (3)记“命中不足8环”为事件C，则事件C与事件B是对立事件． 所以P(C)＝1－P(B)＝1－0.78＝0.22． 10．一个盒子里装有三张卡片，分别标记数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c．求： (1)“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率； (2)“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率． [解]　(1)由题意知，试验的样本空间Ω＝{(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)}， 共27个样本点． 设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，则事件A＝{(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)}，共3种．所以P(A)＝＝． 因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为． (2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件)＝1－＝． 因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为． 11．掷一个骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A发生的概率为(　　) A． 　 B． C． 　 D． C　[掷一个骰子的试验有6种可能结果，依题意P(A)＝＝，P(B)＝＝， 所以P(表示“出现5点或6点”的事件，因此事件A与互斥，从而P(A)＝＝．] 12．《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事．“田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．”双方从各自的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为(　　) A． 　 B． C． 　 D． A　[设齐王的上、中、下三个等次的马分别为a，b，c，田忌的上、中、下三个等次的马分别记为A，B，C，从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛的所有的可能为Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，根据题意，其中Ab，Ac，Bc是田忌获胜，则田忌获胜的概率为＝．故选A．] 13．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，所选3人中至少有1名女生的概率为，那么所选3人中都是男生的概率为________． 　[设A＝{3人中至少有1名女生}，B＝{3人都为男生}，则A，B为对立事件， ∴P(B)＝1－P(A)＝．] 14．如果事件A与B是互斥事件，且事件A＋B发生的概率是0.64，事件B发生的概率是事件A发生的概率的3倍，则事件A发生的概率为________． 0.16　[设P(A)＝x，P(B)＝3x， ∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝x＋3x＝0.64． ∴P(A)＝x＝0.16．] 15．先后抛掷两枚大小相同的骰子． (1)求点数之和为7的概率； (2)求出现两个4点的概率； (3)求点数之和能被3整除的概率． [解]　如图所示，从图中容易看出样本点与所描点一一对应，共36种． (1)记“点数之和为7”为事件A，从图中可以看出，事件A包含的样本点共6个：(6，1)，(5，2)，(4，3)，(3，4)，(2，5)，(1，6)．故P(A)＝＝． (2)记“出现两个4点”为事件B，从图中可以看出，事件B包含的样本点只有1个，即(4，4)．故P(B)＝． (3)记“点数之和能被3整除”为事件C，则事件C包含的样本点共12个：(1，2)，(2，1)，(1，5)，(5，1)，(2，4)，(4，2)，(3，3)，(3，6)，(6，3)，(4，5)，(5，4)，(6，6)．故P(C)＝＝． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $