第7章 1.4 随机事件的运算（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦高中数学“随机事件的运算”核心知识点，衔接随机事件基本概念，系统讲解交事件、并事件的含义及运算，深入阐释互斥事件、对立事件的概念与联系，通过问题引入、知识梳理、例题解析及跟踪训练构建完整学习支架。 资料以抛掷骰子、抽取扑克牌等生活实例为载体，引导学生用数学眼光抽象事件关系，通过表格对比、Venn图分析培养逻辑推理的数学思维，借助符号语言与文字叙述提升数学表达能力。课中助力教师直观教学，课后通过多样练习帮助学生巩固知识、查漏补缺。

1.4　随机事件的运算 学习目标　1.了解随机事件的交、并的含义，会进行简单的随机事件的运算.2. 理解互斥事件、对立事件的概念，弄清它们的区别与联系. 导语 从前面的学习中可以看到，我们在一个随机试验中可以定义很多随机事件.这些事件有的简单，有的复杂.我们希望从简单事件的概率推算出复杂事件的概率，所以需要研究事件之间的关系和运算. 一、交事件与并事件 问题1　在试验E“抛掷一枚骰子，观察骰子掷出的点数”中，试验E的样本空间Ω＝{1，2，3，4，5，6}.设事件A表示随机事件“掷出的点数为偶数”，事件B表示随机事件“掷出的点数大于4”，事件C表示随机事件“掷出的点数为6”，事件D表示随机事件“掷出的点数为2，4，5，6”，则事件A，B，C之间、事件A，B，D之间各具有什么关系呢？ 提示　A＝{2，4，6}，B＝{5，6}，C＝{6}，D＝{2，4，5，6}，所以C＝A∩B，D＝A∪B. 知识梳理　事件的运算 事件的运算 定义 记法 图示 交事件 一般地，由事件A与事件B都发生所构成的事件，称为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B (或AB) 并事件 一般地，由事件A和事件B至少有一个发生(即A发生，或B发生，或A，B都发生)所构成的事件，称为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B (或A＋B) 注意点： “事件A与B至少有一个发生”的含义是： (1)事件A发生事件B不发生. (2)事件A不发生事件B发生. (3)事件A和事件B同时发生. 例1　连续抛掷两枚骰子，观察落地时的点数.记事件A＝{两次出现的点数相同}，事件B＝{两次出现的点数之和为4}，事件C＝{两次出现的点数之差的绝对值为4}，事件D＝{两次出现的点数之和为6}. (1)用样本点表示事件C∩D，A∪B； (2)若事件E＝{(1，3)，(1，5)，(2，2)，(2，6)，(3，1)，(5，1)，(6，2)}，则事件E与已知事件是什么运算关系？ 解　由题意得，事件A＝{(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)}， 事件B＝{(1，3)，(2，2)，(3，1)}， 事件C＝{(1，5)，(2，6)，(5，1)，(6，2)}， 事件D＝{(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)}. (1)C∩D＝{(1，5)，(5，1)}，A∪B＝{(1，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)}. (2)E＝B∪C. 反思感悟　事件间的运算方法 (1)利用事件间运算的定义.列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算. (2)利用Venn图.借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算. 跟踪训练1　盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}. 问：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？ (2)事件C与A的交事件是什么事件？ 解　(1)对于事件D，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球，故D＝A∪B. (2)对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球或3个均为红球， 故C∩A＝A. 二、互斥事件与对立事件 问题2　在试验E“抛掷一枚骰子，观察骰子掷出的点数”中，试验E的样本空间Ω＝{1，2，3，4，5，6}.设事件A表示随机事件“掷出的点数为偶数”，事件B表示随机事件“掷出的点数为奇数”，则事件A，B的交事件与并事件分别是什么呢？ 提示　A＝{2，4，6}，B＝{1，3，5}， 所以A∩B＝∅，A∪B＝Ω. 知识梳理　互斥事件与对立事件 定义 图示 互斥事件 一般地，不能同时发生的两个事件A与B(A∩B＝∅)称为互斥事件 对立事件 若A∩B＝∅，且A∪B＝Ω，则称事件A与事件B互为对立事件，事件A的对立事件记作 注意点： 对立事件是特殊的互斥事件，若事件A，B是对立事件，则事件A与事件B互斥，且A∪B是必然事件. 例2　(课本例4)把标号为1，2，3，4的四张卡片分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人1张，事件A表示随机事件“甲分得1号卡片”，事件B表示随机事件“乙分得1号卡片”. (1)A∩B，A∪B分别指什么事件？ (2)事件A与事件B是否为互斥事件？若是互斥事件，则是否互为对立事件？若不是对立事件，请分别说出事件A、事件B的对立事件. 解　(1)根据题意，事件A和事件B不可能同时发生，所以A∩B是不可能事件；A∪B表示事件“甲分得1号卡片或乙分得1号卡片”. (2)由(1)可知事件A和事件B不可能同时发生，所以事件A与事件B是互斥事件.又因为事件A与事件B可以都不发生(A∪B≠Ω)，如甲分得2号卡片，同时乙分得3号卡片，所以事件A与事件B不是对立事件.事件A的对立事件是指事件“甲未分得1号卡片”，事件B的对立事件是指事件“乙未分得1号卡片”. 例2　从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1~10各4张)中，任取一张. (1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”； (2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”； (3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”. 判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由. 解　(1)是互斥事件，不是对立事件. 理由：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件.同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件. (2)既是互斥事件，又是对立事件. 理由：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件. (3)不是互斥事件，也不是对立事件. 理由：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽出的牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件. 反思感悟　互斥事件、对立事件的判定方法 (1)利用基本概念来判断 ①互斥事件不可能同时发生； ②对立事件首先是互斥事件，且必须有一个要发生. (2)利用集合的观点来判断 设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A，B. ①事件A与B互斥，即集合A∩B＝∅； ②事件A与B对立，即集合A∩B＝∅，且A∪B＝Ω，即A＝∁ΩB或B＝∁ΩA. 跟踪训练2　(多选)从一批产品(既有正品也有次品)中取出3件产品，设A＝{3件产品全不是次品}，B＝{3件产品全是次品}，C＝{3件产品不全是次品}，则下列结论正确的是(　　) A.A与B互斥 B.A与C互斥 C.A与B对立 D.B与C对立 答案　AD 解析　A＝{3件产品全不是次品}，指的是3件产品全是正品，B＝{3件产品全是次品}，C＝{3件产品不全是次品}，它包括1件次品2件正品，2件次品1件正品，3件全是正品，3个事件，由此知，A与B是互斥事件，但不是对立事件；A与C的交事件不是∅，不是互斥事件，更不是对立事件；B与C是互斥事件，也是对立事件. 三、事件运算的综合问题 例3　抛掷编号为1，2的两枚骰子，记“1号骰子掷出的点数为2”为事件A，“2号骰子掷出的点数为3”为事件B，判断下列各题中的两个事件是否为互斥事件，为什么？ (1)事件A与事件A∩B； (2)事件B与事件A∩. 解　由题意得，A＝{(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)}，B＝{(1，3)，(2，3)，(3，3)，(4，3)，(5，3)，(6，3)}. (1)A∩B＝{(2，3)}，所以A∩(A∩B)＝{(2，3)}≠∅，所以事件A与事件A∩B不是互斥事件. (2)＝{(1，1)，(1，2)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}，所以A∩＝{(2，1)，(2，2)，(2，4)，(2，5)，(2，6)}， 所以B∩(A∩)＝∅，所以事件B与事件A∩是互斥事件. 反思感悟　事件运算应注意的两个问题 (1)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析. (2)在一些比较复杂的判断事件之间互斥关系的题目中，要严格按照定义来推理. 跟踪训练3　投掷一枚均匀的硬币，连续投掷3次.Ai表示第i次正面朝上，试用文字叙述下列事件： (1)A1∪A2； (2)A1∪A2∪A3； (3)A3； (4)； (5)∩； (6)A1A2∪A2A3∪A1A3. 解　(1)A1∪A2表示第1次和第2次投掷硬币至少有1次正面朝上. (2)A1∪A2∪A3表示3次投掷硬币中至少有1次正面朝上. (3)A3表示第2次投掷硬币反面朝上且第3次正面朝上. (4)表示第1次和第2次投掷硬币均反面朝上. (5)∩表示第1次和第2次投掷硬币均反面朝上. (6)A1A2∪A2A3∪A1A3表示3次投掷硬币中至少有2次正面朝上. 1.知识清单： (1)交事件与并事件. (2)互斥事件与对立事件. 2.方法归纳：列举法、Venn图法. 3.常见误区：未弄清事件之间的关系，导致互斥、对立事件判断错误. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共18分 1.抛掷一枚质地均匀的骰子，观察朝上的面的点数.记事件A＝“点数为奇数”，事件B＝“点数大于4”，则事件A∩B为(　　) A.点数为3 B.点数为4 C.点数为5 D.点数为6 答案　C 解析　由题意，可知A＝{1，3，5}，B＝{5，6}，A∩B＝{5}，即A∩B＝“点数为5”. 2.抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为(　　) A.至多有2件次品 B.至多有1件次品 C.至多有2件正品 D.至少有2件正品 答案　B 解析　至少有2件次品包含2，3，4，5，6，7，8，9，10件次品，故它的对立事件为含有1或0件次品，即至多有1件次品. 3.(多选)下列各组事件中是互斥事件的是(　　) A.一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6 B.统计一个班的数学成绩，平均分不低于90分与平均分不高于90分 C.播种100粒菜籽，发芽90粒与发芽80粒 D.检验某种产品，合格率高于70%与合格率低于70% 答案　ACD 解析　对于A，一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6，不可能同时发生，故A中两事件为互斥事件；对于B，设事件A1为平均分不低于90分，事件A2为平均分不高于90分， 则A1∩A2为平均分等于90分，A1，A2可能同时发生，故它们不是互斥事件；对于C，播种100粒菜籽，发芽90粒与发芽80粒，不可能同时发生，故C中两事件为互斥事件；对于D，检验某种产品，合格率高于70%与合格率低于70%，不可能同时发生，故D中两事件为互斥事件. 4.打靶3次，事件Ai表示“击中i发”，其中i＝0，1，2，3.那么事件A＝A1∪A2∪A3表示(　　) A.全部击中 B.至少击中1发 C.都未击中 D.击中3发 答案　B 解析　A1表示击中1发，A2表示击中2发，A3表示击中3发，则A1∪A2∪A3表示至少击中1发. 5.设M，N，P是三个事件，则M，N至少有一个不发生且P发生可表示为(　　) A.(∪)P B.()P C.(∪)∪P D.(N)∪(M) 答案　A 6.从装有10个红球和10个白球的罐子里任取2球，下列情况中是互斥而不对立的两个事件是(　　) A.至少有一个红球；至少有一个白球 B.恰有一个红球；都是白球 C.至少有一个红球；都是白球 D.至多有一个红球；都是红球 答案　B 解析　对于A，“至少有一个红球”可能为一个红球、一个白球，“至少有一个白球”可能为一个白球、一个红球，故两事件可能同时发生，所以不是互斥事件；对于B，“恰有一个红球”，则另一个必是白球，与“都是白球”是互斥事件，而任取2个球还有都是红球的情形，故两事件不是对立事件；对于C，“至少有一个红球”为都是红球或一红一白，与“都是白球”是对立事件；对于D，“至多有一个红球”为都是白球或一红一白，与“都是红球”是对立事件. 7.(5分)设某随机试验的样本空间Ω＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{2，3，4}，B＝{3，4，5}，C＝{5，6，7}.则 (1)A∪B＝　　　　　　　　；  (2)∩B＝　　　　；  (3)A∩(B∩C)＝　　　　.  答案　(1){2，3，4，5}　(2){5}　(3)∅ 8.(5分)电路如图所示.用A表示事件“电灯变亮”，用B，C，D依次表示“开关Ⅰ闭合”“开关Ⅱ闭合”“开关Ⅲ闭合”，则A＝　　　　　　.(用B，C，D间的运算关系式表示)  答案　(BC)∪(BD)或B∩(C∪D) 9.(10分)抛掷相同硬币3次，设事件A＝{至少有1次正面向上}，事件B＝{1次正面向上，2次反面向上}，事件C＝{2次正面向上，1次反面向上}，事件D＝{至少1次反面向上}，事件E＝{3次都正面向上}. (1)试判断事件A与事件B，C，E的关系；(4分) (2)试求事件A与事件D的交事件，事件B与事件C的并事件，并判断二者的关系.(6分) 解　(1)B⊆A，C⊆A，E⊆A，且A＝B∪C∪E. (2)A∩D＝{有正面向上，也有反面向上}，B∪C＝{1次正面向上或2次正面向上}，A∩D＝B∪C. 10.(10分)某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件. (1)恰有1名男生与恰有2名男生；(2分) (2)至少有1名男生与全是男生；(2分) (3)至少有1名男生与全是女生；(3分) (4)至少有1名男生与至少有1名女生.(3分) 解　(1)因为“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当恰有2名女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件. (2)因为“至少有1名男生”与“全是男生”可能同时发生，所以它们不是互斥事件. (3)因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件；由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件. (4)当选出的是1名男生1名女生时，“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件. 11.(多选)一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品.从这批产品中任意抽取5件，给出以下四个事件： 事件A：恰有一件次品； 事件B：至少有两件次品； 事件C：至少有一件次品； 事件D：至多有一件次品. 下列选项正确的是(　　) A.A∪B＝C B.B∪D是必然事件 C.A∩B＝C D.A∩D＝C 答案　AB 解析　对于A选项，事件A∪B指至少有一件次品，即事件C，故A正确； 对于B选项，事件B∪D指至少有两件次品或至多有一件次品，次品件数包含0到5，即代表了所有情况，故B正确； 对于C选项，事件A和B不可能同时发生，即A∩B＝∅，故C错误； 对于D选项，事件A∩D指恰有一件次品，即事件A，而事件A和C不相等，故D错误. 12.(多选)下列命题中为真命题的是(　　) A.若事件A与事件B互为对立事件，则事件A与事件B为互斥事件 B.若事件A与事件B为互斥事件，则事件A与事件B互为对立事件 C.若事件A与事件B互为对立事件，则事件A∪B为必然事件 D.若事件A∪B为必然事件，则事件A与事件B为互斥事件 答案　AC 解析　对于A，对立事件首先是互斥事件，故A为真命题； 对于B，互斥事件不一定是对立事件，如将一枚硬币抛掷两次，共出现(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)四种结果，事件M＝“两次出现正面”与事件N＝“只有一次出现反面”是互斥事件，但不是对立事件，故B为假命题； 对于C，事件A，B为对立事件，则在一次试验中A，B一定有一个发生，故C为真命题； 对于D，事件A∪B表示事件A，B至少有一个要发生，A，B不一定互斥，故D为假命题. 13.同时抛掷两枚均匀的骰子，事件“都不是5点且不是6点”的对立事件为(　　) A.一个是5点，另一个是6点 B.一个是5点，另一个是4点 C.至少有一个是5点或6点 D.至多有一个是5点或6点 答案　C 解析　同时抛掷两枚均匀的骰子，可能出现的结果共有36个，“都不是5点且不是6点”包含16个，其对立事件是“至少有一个是5点或6点”. 14.如果事件M与事件N是互斥事件，那么(　　) A.M∪N是必然事件 B.与一定是互斥事件 C.与一定不是互斥事件 D.∪是必然事件 答案　D 解析　因为M，N为互斥事件，则有如图所示的两种情况. 无论哪种情况，∪都是必然事件. 15.设A，B为两事件，则(A∪B)∩(∪)表示(　　) A.必然事件 B.不可能事件 C.A与B恰有一个发生 D.A与B不同时发生 答案　C 解析　A∪B表示事件A，B至少有1个发生， ∪表示事件A，B至少有一个不发生， ∴(A∪B)∩(∪)表示A与B恰有一个发生. 16.(12分)某班要进行一次辩论比赛，现有4名男生和2名女生随机分成甲、乙两个辩论小组，每组3人.考虑甲组的人员组成情况，记事件Ak＝“甲组有k名女生”. (1)事件A1含有多少个样本点？(4分) (2)若事件B＝“甲组至少有一名女生”，则事件B与事件Ak有怎样的运算关系？(4分) (3)判断事件A2与事件∪A0是什么关系？(4分) 解　(1)用1，2，3，4表示4名男生，用a，b表示2名女生，因为事件A1＝“甲组有1名女生”，所以A1＝{(1，2，a)，(1，2，b)，(1，3，a)，(1，3，b)，(1，4，a)，(1，4，b)，(2，3，a)，(2，3，b)，(2，4，a)，(2，4，b)，(3，4，a)，(3，4，b)}，共含12个样本点. (2)事件B＝“甲组至少有一名女生”，其含义是甲组有一名女生或甲组有两名女生，所以B＝A1∪A2. (3)因为A2与A0∪A1是对立事件，所以＝A0∪A1，所以∪A0＝A0∪A1，所以事件A2与事件∪A0是对立事件. 学科网（北京）股份有限公司 $