第4章 2.1 对数的运算性质（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦高中数学对数的运算性质核心知识点，从指数式与对数式的联系切入，通过问题链推导积的对数、商的对数、幂的对数运算性质，结合例题解析与跟踪训练，构建从理解到应用的学习支架。 以“每天进步/退步”的生活实例引入，培养数学眼光，通过问题引导推导性质发展数学思维，分层练习强化数学语言表达。课中助力教师引导探究，课后帮助学生巩固应用，有效查漏补缺。

2.1　对数的运算性质 学习目标　1.理解并会推导对数的运算性质2.能利用对数的运算性质进行化简、求值. 导语 “学如逆水行舟，不进则退”，我们可以把(1＋1%)365看作每天进步一点点，一年后是1.01365≈37.783 434 33，你将进步很大；而把(1－1%)365看作每天退步一点点，一年后是0.99365≈0.025 517 964，远远被人抛在后面，将会是“1”事无成，而一年后的“进步”的大约是“退步”的≈1 480.7倍.那么除了利用指数幂外，还可以怎样来计算1.01365和0.99365呢？ 一、对数的运算性质的理解 问题1　设a>0且a≠1，若aα＝M，aβ＝N，则M·N＝aα·aβ＝aα＋β，将这三个指数式化成对数式后，它们之间有什么联系呢？ 提示　α＝logaM，β＝logaN. 由M·N＝aα＋β得α＋β＝loga(M·N). 从而得出loga(M·N)＝logaM＋logaN(a>0，且a≠1，M>0，N>0). 问题2　结合问题1，若＝aα－β，又能得到什么结论？ 提示　将指数式＝aα－β化为对数式，得 loga＝α－β＝logaM－logaN(a>0，且a≠1，M>0，N>0). 问题3　结合问题1，若Mb＝(aα)b＝abα(b∈R)，又能有何结果？ 提示　由Mb＝abα， 得logaMb＝bα＝blogaM(a>0，且a≠1，M>0，b∈R). 知识梳理　对数的运算性质 若a>0，且a≠1，M>0，N>0，b∈R，则 (1)loga(M·N)＝logaM＋logaN. (2)loga＝logaM－logaN. (3)logaMb＝blogaM. 注意点： (1)简记为：“积对和，商对差，遇到指数就搬家”. (2)公式成立的条件是M>0，N>0，而不是M·N>0，比如式子log2[(－2)·(－3)]有意义，而log2(－2)与log2(－3)都没有意义. (3)性质(1)可以推广为：loga(N1·N2·…·Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk，其中Nk>0，k∈N＋. (4)运算性质的逆运算仍然成立. 例1　(多选)若a>0，且a≠1，x>y>0，n∈N＋，则下列四个式子中，正确的有(　　) A.loga(x±y)＝logax±logay B.loga(xy)＝logax·logay C.logax＝－loga D.＝loga 答案　CD 解析　根据对数的运算性质logaMn＝nlogaM(M>0，a>0，且a≠1)知，C与D正确. 反思感悟　对数运算性质的适用条件：对数的运算性质的适用条件是“同底，且真数为正”，即a>0，且a≠1，M>0，N>0. 跟踪训练1　(多选)若a>0且a≠1，则下列四个式子中，不正确的是(　　) A.logax·logay＝loga(x＋y) B.＝loga C.logax2＝2loga|x| D.loga＝logax÷logay 答案　ABD 二、利用对数的运算性质化简、求值 例2　(课本例1)计算： (1)log2(64×512)； (2)lg 0.000 1； (3)log3. 解　(1)log2(64×512)＝log264＋log2512＝6＋9＝15. (2)lg 0.000 1＝lg 10－4＝－4lg 10＝－4. (3)log3＝log3log33＝. 例2　计算下列各式的值： (1)log5；　(2)log2(32×42)； (3)log535－2log5 ＋log57－log5. 解　(1)原式＝log5625＝log554＝. (2)原式＝log232＋log242＝5＋4＝9. (3)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－(log59－log55)＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2log55＝2. 反思感悟　利用对数运算性质化简求值的常用方法 (1)“收”：将同底的两个对数的和(差)合并为积(商)的对数，即公式逆用. (2)“拆”：将积(商)的对数拆成同底的两个对数的和(差)，即公式的正用. (3)“凑”：将同底数的对数凑成特殊值，如利用lg 2＋lg 5＝1，进行计算或化简. 跟踪训练2　计算下列各式的值： (1)lg ；　(2)log345－log35； (3)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2； (4). 解　(1)原式＝lg 10lg 100＝×2＝. (2)原式＝log3＝log39＝log332＝2. (3)原式＝(lg 5＋lg 2)(lg 5－lg 2)＋2lg 2 ＝lg 10(lg 5－lg 2)＋2lg 2 ＝lg 5－lg 2＋2lg 2 ＝lg 5＋lg 2＝1. (4)原式＝ ＝. 三、带有附加条件的对数式求值 例3　(课本例2)已知log23＝a，log25＝b，用a，b表示下列各数的值： (1)log230； (2)log2； (3)log2. 解　(1)log230＝log2(2×3×5) ＝log22＋log23＋log25＝1＋a＋b. (2)log2＝log25－log29＝log25－log232 ＝log25－2log23＝b－2a. (3)log2＝log21－log22 ＝log215－log220 ＝(log23＋log25)－(log24＋log25) ＝(a＋b)－(2＋b) ＝－1. 例3　已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1. (1)求lg 15的值； (2)求lg 的值. 解　(1)lg 15＝lg(3×5)＝lg 3＋lg 5 ＝lg 3＋(1－lg 2)＝1＋lg 3－lg 2 ≈1＋0.477 1－0.301 0＝1.176 1. (2)lg lg 45＝lg(5×9)＝(lg 9＋lg 5) ＝(2lg 3－lg 2＋1) ≈×(2×0.477 1－0.301 0＋1)＝0.826 6. 反思感悟　转化法解决附加条件的对数式求值问题 将未知对数转化为用已知对数表示的形式，是解决此类问题的方法.同时活用等式lg 2＋lg 5＝1及其变形式lg 2＝1－lg 5或lg 5＝1－lg 2. 跟踪训练3　(1)设lg 3＝a，lg 5＝b，则lg 等于(　　) A. B. C.3a－2b D.3a＋2b－2 答案　D 解析　由题意知lg 3＝a，lg 5＝b， 则lg ＝lg 27－lg 4＝3lg 3－2lg 2＝3lg 3－2lg ＝3lg 3－2＋2lg 5＝3a＋2b－2. (2)若lg x－lg y＝a，则lg－lg等于(　　) A.3a B.a C.a D. 答案　A 解析　lg－lg＝3(lg x－lg 2)－3(lg y－lg 2)＝3(lg x－lg y)＝3a. 1.知识清单： 对数的运算性质(M >0，N>0，a>0且a≠1，b∈R) (1)loga(M·N)＝logaM＋logaN. (2)loga＝logaM-logaN. (3)logaMb＝blogaM. 2.方法归纳：转化归纳.活用“1”的代换，如lg 2＝1－lg 5，lg 5＝1－lg 2. 3.常见误区：要注意对数的运算性质的结构形式及公式使用的条件. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共45分；多选题每小题6分，共6分 1.10lg 2＋lg 5＋lg 2等于(　　) A.3 B.2 C.1 D.0 答案　A 解析　原式＝2＋lg 10＝2＋1＝3. 2.如果lg x＝lg a＋3lg b－5lg c，那么(　　) A.x＝ B.x＝ C.x＝a＋3b－5c D.x＝a＋b3－c3 答案　A 解析　∵lg x＝lg a＋3lg b－5lg c ＝lg a＋lg b3－lg c5＝lg， ∴x＝. 3.若lg a－2lg 2＝1，则a等于(　　) A.4 B.10 C.20 D.40 答案　D 解析　∵lg a－2lg 2＝lg a－lg 4＝lg ＝1， ∴＝10， ∴a＝40. 4.下列各式中正确的是(　　) A.loga6＝loga2＋loga4(a>0，且a≠1) B.loga9＝(loga3)2(a>0，且a≠1) C.loga6＝loga2·loga3(a>0，且a≠1) D.loga(－2)2＝2loga2(a>0，且a≠1) 答案　D 解析　对于D项，loga(－2)2＝loga22＝2loga2，正确，其余均错误. 5.设a＝log32，则log38－2log36用a表示的形式是(　　) A.a－2 B.3a－(1＋a)2 C.5a－2 D.－a2＋3a－1 答案　A 解析　∵a＝log32， ∴log38－2log36＝3log32－2(log32＋1) ＝3a－2(a＋1)＝a－2. 6.已知2lg(x－2y)＝lg x＋lg y，则的值为(　　) A.1 B.4 C.1或4 D.或4 答案　B 解析　由题可得lg(x－2y)2＝lg(xy)， 所以(x－2y)2＝xy，即x2－5xy＋4y2＝0， 所以(x－y)(x－4y)＝0，解得x＝y或x＝4y， 所以＝1或＝4. 又所以>2，所以＝4. 7.(5分)计算log2(47×25)＝　　　　.  答案　19 解析　log2(47×25)＝log2219＝19log22＝19. 8.(5分)方程lg x＋lg (x－1)＝1－lg 5的根是　　　　.  答案　2 解析　方程变形为lg [x(x－1)]＝lg 2， 所以x(x－1)＝2，解得x＝2或x＝－1. 又因为x>1，所以x＝－1不符合题意，舍去， 所以原方程的根为x＝2. 9.(10分)求下列各式的值： (1)2log32－log3＋log38－3log55；(5分) (2).(5分) 解　(1)原式＝log34－log3＋log38－3＝ log3－3＝log332－3＝2－3＝－1. (2)原式＝ ＝. 10.(12分)用lg x，lg y，lg z表示下列各式： (1)lg(xy3z2)；(3分)(2)lg；(3分) (3)lg；(3分)(4)lg.(3分) 解　(1)lg(xy3z2)＝lg x＋lg y3＋lg z2 ＝lg x＋3lg y＋2lg z. (2)lg＝lg(xy2)－lg z＝lg x＋2lg y－lg z. (3)lg＝lg(xy3)－lg＝lg x＋3lg y－lg z. (4)lg＝lg－lg(y2z)＝lg x－2lg y－lg z. 11.已知logax＝2，logbx＝1，logcx＝4(a，b，c，x>0且a，b，c，x≠1)，则logx(abc)等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由题意得x＝a2＝b＝c4， 所以(abc)4＝x7，所以abc＝，即logx(abc)＝. 12.(多选)已知2log3＋log3b＝0，则下列等式一定正确的是(　　) A.(2a)2＝2b B.a·eln a＝b C.b＝2a D.b＝a2 答案　BD 解析　由2log3＋log3b＝0，得a>0，b>0，且log3a－2＋log3b＝0， 即log3(a－2b)＝0，∴a－2b＝1，b＝a2， 而b＝2a不总是成立，则C错误，D正确； 由于(2a)2＝2b，即22a＝2b， ∴b＝2a，结合以上分析可知A错误； 由于a·eln a＝b，即为a·a＝a2＝b，故B正确. 13.观察下表： x 1.5 3 5 6 8 9 lg x 3a－b＋c 2a－b a＋c 1＋a－b－c 3[1－(a＋c)] 2(2a－b) 已知表中的对数值有且只有一个是错误的，则其中对数值错误的是(　　) A.lg 1.5 B.lg 5 C.lg 6 D.lg 8 答案　A 解析　观察表格发现，lg 3＝2a－b，lg 9＝2(2a－b)，满足lg 9＝2lg 3，由于表中的对数值有且只有一个是错误的，因此lg 3与lg 9都正确. 同理，lg 8＝3lg 2＝3(1－lg 5)，所以lg 8与lg 5都正确. lg 6＝lg 2＋lg 3＝(1－lg 5)＋lg 3＝1－(a＋c)＋(2a－b)＝1＋a－b－c，所以lg 6也正确.因此，只能是lg 1.5错误. 14.(5分)已知a，b是关于x的方程x2＋px＋q＝0的两根，若a，b满足lg(a＋b)＝lg a＋lg b，则一组符合题意的p，q的值分别为　　　　　　. 答案　p＝－5，q＝5(答案不唯一，需满足p＋q＝0，q>0，p2－4q≥0) 解析　由题意得 又lg(a＋b)＝lg a＋lg b＝lg(ab)， 即a＋b＝ab，即－p＝q>0， 令p＝－5，则q＝5， ∴一组符合题意的值为p＝－5，q＝5.答案不唯一. 15.设m＝265＋1，n＝245，则约等于(参考数据：lg 2≈0.3)(　　) A.1020 B.103 C.106 D.109 答案　C 解析　∵m＝265＋1，n＝245，且lg 2≈0.3， ∴lg ＝lg m－lg n＝lg(265＋1)－lg 245 ≈lg 265－lg 245＝65lg 2－45lg 2＝20lg 2≈6， ∴≈106. 16.(12分)甲、乙两人解关于x的方程：(log2x)2＋blog2x＋c＝0.甲写错了系数b，得到根为，，乙写错了常数c，得到根为，64.求方程真正的根. 解　原方程为(log2x)2＋blog2x＋c＝0， ∵甲写错了b，得到根为，， ∴c＝log2×log2＝－2×(－3)＝6. 又∵乙写错了c，得到根为，64， ∴b＝－＝－5， ∴原方程为(log2x)2－5log2x＋6＝0， 即(log2x－2)(log2x－3)＝0， ∴log2x＝2或log2x＝3， 解得x＝4或x＝8. 学科网（北京）股份有限公司 $