第7章 概率（复习讲义）数学北师大版2019必修第一册

第7章 概率（复习讲义） 1.随机现象与随机事件：理解随机现象、样本空间、随机事件的概念，能准确判断随机现象与确定性现象，会写出试验的样本点和样本空间；掌握随机事件的运算，理解互斥事件、对立事件的概念及事件间的相互关系； 2.古典概型： 理解古典概型的定义（样本点有限且等可能），熟练掌握古典概型的概率公式，并能应用该公式解决实际问题； 3.频率与概率：理解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，明确频率与概率的区别与联系，掌握用频率估计概率的方法，了解概率的统计定义及其在实际生活中的作用； 4.事件的独立性：理解两个事件相互独立的概念，能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决简单的实际应用问题； 5.数据分析能力：能对随机试验的频率数据进行收集、整理和分析，理解频率的稳定性，从而掌握用频率估计概率的方法，提升从数据中提取信息的能力. ●一、随机现象与随机事件 （一）随机现象： 1.在自然界和人类社会中，普遍存在着两种现象。一类是在一定条件下必然出现的现象，称为确定性现象. 2.在一定条件下，进行试验或观察会出现不同的结果，而且每次试验之前都无法预言会出现哪一种结果的现象，称为随机现象. （二）样本空间： 1.一般地，将试验E的所有可能结果组成的集合称为试验E的样本空间，记作Ω. 2.样本空间Ω的元素，即试验E的每种可能结果，称为试验E的样本点，记作ω. 3.如果样本空间Ω的样本点的个数是有限的，那么称样本空间Ω为有限样本空间. （三）随机事件： 1.一般地，把试验E的样本空间Ω的子集称为E的随机事件，简称事件，常用A,B,C等表示.在每次试验中，当一个事件发生时，这个子集中的样本点必出现一个；反之，当这个子集中的一个样本点出现时，这个事件必然发生. 2.样本空间Ω是其自身的子集，因此Ω也是一个事件；又因为它包含所有的样本点，每次试验无论哪个样本点ω出现，Ω都必然发生，因此称Ω为必然事件. 3.空集∅也是Ω的一个子集，可以看作一个事件；由于它不包含任何样本点，它在每次试验中都不会发生，故称∅为不可能事件. （4） 随机事件的运算： 1.交事件（积事件）：一般地，由事件A与事件B都发生所构成的事件，称为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作A∩B（或AB）.事件A∩B是由事件A和事件B所共有的样本点构成的集合。事件A与事件 B的交事件可用 Venn 图1表示. 2.并事件（和事件）：一般地，由事件A和事件B至少有一个发生（即A发生，或B发生，或A,B都发生）所构成的事件，称为事件A与事件B的并事件（或和事件），记作A∪B（或A+B）.事件A与事件B的并事件是由事件A或事件B所包含的样本点构成的集合.事件A与事件B的并事件可用 Venn 图2表示. 3.互斥事件：一般地，不能同时发生的两个事件A与B（A∩B=∅）称为互斥事件.它可以理解为A,B同时发生这一事件是不可能事件.互斥事件可用 Venn 图3表示. 4.对立事件：给定事件A，A不发生也是一个事件，记为B.显然，每次试验要么A发生，要么A不发生（即 B发生），故事件A与事件B不可能同时发生.即A∪B=Ω,且A∩B=∅. 若A∪B=Ω,且A∩B=∅，则称事件A与B互为对立事件，事件A的对立事件记作，对立事件可用图4表示. ●二、古典概型的概率计算公式 （1） 古典概型： 1.古典概型的定义：一般地，若试验E具有如下两个特征： （1）有限性：试验E的样本空间Ω的样本点总数有限，即样本空间Ω为有限样本空间； （2）等可能性：每次试验中，样本空间Ω的各个样本点出现的可能性相等. 则称这样的试验模型为古典概率模型，简称古典概型. 2.古典概型的概率计算公式：对古典概型来说，如果样本空间Ω包含的样本点总数为n，随机事件A 包含的样本点个数为m，那么事件A发生的概率为： （2） 古典概型的应用： 互斥事件的概率加法公式 （1）互斥事件的概率加法公式 在一个试验中，如果事件A和事件B是互斥事件，那么有：P(A∪B)=P(A)+P(B) 这一公式称为互斥事件的概率加法公式. （2）对立事件的概率计算公式：P(A)+P()=1，P()=1−P(A). （3）互斥事件的概率加法公式推广形式 一般地，如果事件A1,A2,…,An两两互斥，那么有：P(A1∪A2∪⋯∪An)=P(A1)+P(A2)+⋯+P(An) ●三、频率与概率 在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率通常会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性.这时，我们把这个常数称作随机事件A的概率，记作P(A).显然，概率满足取值范围0⩽P(A)⩽1.在实际应用中，我们通常用频率来估计概率. ●四、事件的独立性 1.相互独立事件的定义：若事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件称作相互独立事件. 2.两个相互独立事件同时发生的概率公式：两个相互独立事件同时发生的概率，等于这两个事件发生的概率的积，即：P(AB)=P(A)P(B) 3.独立事件的关系：如果两个事件相互独立，那么把其中一个换成它的对立事件，这样的两个事件仍然相互独立.即事件A与事件相互独立，事件与事件B相互独立，事件与事件相互独立. 题型一 随机现象的判断 【例1】（24-25高二上·上海·课堂例题）判断下面哪些是随机现象？哪些是确定性现象？ （1）导体通电时，发热； （2）抛一块石头，下落； （3）掷一枚硬币，出现正面； （4）某人射击一次，中靶． 【变式1-1】（2025高一上·全国·专题练习）下列现象是必然现象的是（    ） A．走到十字路口遇到红灯 B．冰水混合物的温度是 C．三角形的内角和为 D．一个射击运动员每次射击都命中环 【变式1-2】（22-23高二下·河北石家庄·期末）下列现象是必然现象的是（    ） A．某路口每星期发生交通事故1次 B．冰水混合物的温度是 C．三角形的内角和为 D．一个射击运动员每次射击都命中7环 题型二 确定样本点、样本空间 【例2】（24-25高一下·全国·课堂例题）某市为了了解市民对卫生管理的满意程度，通过问卷调查了学生、在职人员、退休人员共250人，结果如下表： 学生 在职人员 退休人员 满意 75 y 78 不满意 5 z 12 若，，基本事件用表示，请写出该试验的样本空间，并指出样本点的个数． 【变式2-1】（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）在如下图的的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有1个方格被选中，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最小值是 . 8 27 32 62 3 23 37 63 6 27 38 66 5 26 39 66 【变式2-2】（2025高一·全国·专题练习）写出下列试验的样本空间：随意安排甲、乙、丙、丁4人在4天值班，每人值班1天，记录值班的情况． 题型三 随机事件的判断 【例3】（24-25高一下·安徽六安·期末）给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（    ） ①“从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件； ②“当x为某一实数时，可使”是不可能事件； ③“明天上海要下雨”是必然事件； ④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【变式3-1】（25-26高一上·河北·开学考试）在一个不透明的袋子中装有形状、大小 、质地完全相同的5个球，其中3个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是必然事件的是（    ） A．摸出的是3个白球 B．摸出的是3个黑球 C．摸出的球中至少有1个是黑球 D．摸出的是2个白球、1个黑球 【变式3-2】（多选）（24-25高二下·全国·课后作业）（多选）对一批产品逐个进行检测，第一次检测到次品前已检测的产品个数为，则表示的试验结果为（    ） A．第次检测到正品 B．第次检测到次品 C．前次检测到正品 D．前次检测到正品 题型四 事件的运算及其含义 【例4】（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，记事件“两次都击中飞机”，事件“两次都没击中飞机”，事件“恰有一次击中飞机”，事件“至少有一次击中飞机”，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高三上·贵州贵阳·阶段练习）打靶3次，记事件表示“共击中i发”，其中，那么表示（   ） A．“全部击中” B．“至少击中1次” C．“至多击中1次” D．“至少击中2次” 【变式4-2】（2025·湖南娄底·二模）某同学参加跳远测试，共有3次机会．用事件（）表示随机事件“第i（）次跳远成绩及格”，那么事件“前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格”可以表示为（    ） A． B． C． D． 题型五 互斥事件与对立事件关系及判断 【例5】（多选）（25-26高二上·山东·阶段练习）抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件“点数为奇数”，事件“点数为偶数”，事件“点数不大于2”，事件“点数为3的倍数”，则（    ） A．和互为对立事件 B．和不互斥 C．和互斥 D．和互斥且不对立 【变式5-1】（24-25高一下·广西百色·期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：A=“点数不大于3”，B=“点数大于4”，C=“点数为奇数”，D=“点数为偶数”，下列结论正确的是（    ） A．B，C为对立事件 B．A，C为互斥事件 C．C，D为对立事件 D．A，D为互斥事件 【变式5-2】（多选）（25-26高二上·黑龙江·阶段练习）从装有2双一次性筷子和2双正常筷子的口袋中任取2双，那么互斥而不对立的两个事件是（　　） A．恰有1双一次性筷子与恰有2双一次性筷子 B．至少有1双正常筷子与都是一次性筷子 C．恰有2双一次性筷子与恰有2双正常筷子 D．至少有1双一次性筷子与至少有1双正常筷子 题型六 确定所给事件的对立关系 【例6】（多选）（24-25高一下·内蒙古·期末）从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都是白球”互斥而非对立的事件是以下事件中的哪几个（    ） A．事件“两球都不是白球” B．事件“两球恰有一白球” C．事件“两球至少有一个白球” D．事件“两球不都是白球” 【变式6-1】（25-26高二上·河北·开学考试）不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次性任意取出2张卡片，则下列事件，与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的个数为（   ） ①2张卡片都不是红色；    ②2张卡片恰有1张是红色； ③2张卡片至少有1张是红色；    ④2张卡片都为绿色． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式6-2】（25-26高二上·广东·阶段练习）不透明的口袋内装有红色､绿色和蓝色卡片各2张，一次性任意取出2张卡片，则下列事件，与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的个数为（    ） ①2张卡片都不是红色； ②2张卡片恰有1张是红色； ③2张卡片至少有1张是红色； ④2张卡片至多一张为红色. A．1 B．2 C．3 D．4 题型七 写出所给事件的对立事件 【例7】（24-25高一下·甘肃·期末）从装有3个红球和5个黄球的口袋内任取3个球，那么“至少有1个红球”的对立事件是（    ） A．至少有2个红球 B．至少有2个黄球 C．都是黄球 D．至多1个红球 【变式7-1】（25-26高二上·河北·开学考试）从装有1个红球、1个白球和1个黄球的口袋中任取1个球，则与事件“取出的是红球”互为对立事件的是（   ） A．“取出的是白球” B．“取出的是黄球” C．“取出的是红球” D．“取出的不是红球” 【变式7-2】（25-26高二上·宁夏吴忠·开学考试）从装有3个红球和5个黄球的口袋内任取3个球，那么“至少有1个红球”的对立事件是（   ） A．至多有2个红球 B．至少有2个黄球 C．都是黄球 D．至多1个红球 题型八 古典概型的特征 【例8】（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）下列是古典概型的是（   ） A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点时 B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点时 C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率 D．从袋子中的3个红球和2个白球中任取2个小球，计算所取的两个小球都是白球的概率 【变式8-1】（24-25高二上·山东济南·阶段练习）下列试验中是古典概型的是（    ） A．在适宜的条件下，种下一粒大豆，观察它是否发芽 B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球 C．向一个圆面内随机地投一个点，该点落在圆内任意一点都是等可能的 D．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环 【变式8-2】（多选）（2025高一·全国·专题练习）下列是古典概型的为（    ） A．从6名同学中随机选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小 B．在区间上任取一数，求这个数大于2的概率 C．近三天中有一天降雨的概率 D．10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率 题型九 计算古典概型问题的概率 【例9】（25-26高二上·湖北孝感·期中）据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之.”围棋，起源于中国，至今已有四千多年历史，蕴含着中华文化的丰富内涵.现从3名男生和2名女生中任选2人参加围棋比赛，则所选2人中至少有1名男生的概率为 . 【变式9-1】（25-26高二上·山东济宁·月考）某中学有教职工140人，其中35岁及以上的有40人，从这140名教职工中随机抽取一人，则抽到35岁以下教职工的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（25-26高二上·福建宁德·月考）不透明的盒子里面装有五个分别标有数字1、2、3、4、5的乒乓球，这些球除数字外，其他完全相同，一位学生随机摸出两个球，两个球的数字之和是奇数的概率是（    ）． A． B． C． D． 题型十 根据古典概型的概率求参数 【例10】（24-25高一下·贵州铜仁·期末）一个袋子中有5个球，其中个红球，其余为绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球． (1)若，求第二次取到红球的概率； (2)若取出的2个球都是红球的概率为，求． 【变式10-1】（24-25高一下·山西·期末）一个口袋中装有20个红球和若干个黑球，在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黑球的个数，小张采用了如下的方法：每次从口袋中摸出1个球，记下球的颜色后再把球放回口袋中摇匀.不断重复上述过程900次，共摸出红球400次，根据上述数值，估计口袋中黑球的个数为（    ） A．25 B．30 C．35 D．40 【变式10-2】（23-24高一上·浙江·阶段练习）在一个不透明的袋中装有一些除颜色外完全相同的红和黑两种颜色的小球，已知袋中有红球5个，黑球个，从袋中随机摸出一个红球的概率是，则的值为 ． 题型十一 有放回与无放回问题的概率 【例11】（25-26高二上·山东淄博·阶段练习）现有大小和质地相同的6个球，其中有3个红球（标号分别为1、2、3），3个绿球（标号分别为1、2、3），按一定方式抽取两球，标号之和大于4即为取球成功.现有三种抽取方式：方式①有放回依次抽取两球；方式②不放回依次抽取两球；方式③按颜色等比例分层抽取两球.记这三种方式取球成功的概率分别为，，.则（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】（25-26高三上·广东深圳·开学考试）甲、乙两人玩“六六大顺”游戏，其规则为：盒子中装有编号为1，2，……，6的6张卡片，卡片除编号外完全相同，两人轮流有放回的从盒子中任意抽取1张卡片，先抽得6号卡片者胜，且游戏结束；若一人抽得的不是6号卡片，则换另一个人来抽；若一轮中两人均没有抽得6号卡片，则游戏重新开始，一直这样轮回下去，直至游戏结束.若游戏开始时，甲先抽，设甲、乙人获胜的概率分别和，则（    ） A． B．1 C． D． 【变式11-2】（25-26高二上·海南·月考）某人有把钥匙，其中把能打开门．现随机地取把钥匙开门，如果将不能开门的钥匙立即扔掉，那么第二次才能打开门的概率为；如果试过的钥匙不扔掉，那么第二次才能打开门的概率为，则（    ） A． B． C． D． 题型十二 互斥事件概率加法公式的应用 【例12】（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·月考）袋子中有一些大小质地完全相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或白球的概率为，摸出的球是红球或黑球的概率为，则摸出的球是红球的概率为（　　） A． B． C． D． 【变式12-1】（24-25高二下·天津·期末）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 ，甲获胜的概率是 ，则甲不输的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】（多选）（24-25高一下·河北·期末）已知事件两两互斥，若，则（    ） A． B． C． D． 题型十三 互斥事件、对立事件的概率计算 【例13】（25-26高二上·四川·阶段练习）设是一个随机试验中的两个事件，且，则 【变式13-1】（24-25高一下·福建福州·期末）已知随机事件和互斥，和对立，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】（25-26高二上·山东·月考）某电子图书平台通过大数据观测发现，读者选择类图书的概率为，选择类图书的概率为两类图书都不选的概率为，则两类图书都选的概率为（　　） A． B． C． D． 题型十四 用频率估计概率 【例14】（24-25高一下·江苏盐城·期末）对200个电子元件的寿命（单位：h）进行追踪调查，情况如下： 寿命 个数 20 30 80 40 30 (1)估计元件的寿命在（单位：h）内的概率； (2)估计元件的寿命在以上的概率． 【变式14-1】（25-26高二上·四川成都·阶段练习）下面说法正确的是（    ） A．设一批产品的次品率，则从中任取10件，必有1件是次品 B．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 C．天气预报：“明天降雨概率为90％”，则明天可能不下雨 D．做8次抛硬币的试验，结果5次出现正面，则抛一枚硬币出现正面的概率是 【变式14-2】（25-26高二上·湖南长沙·阶段练习）为了了解新入校的高一学生身高情况，学校从1000名男、女新生中采用随机摇号的方法抽取了20名学生进行测量，得到如下数据(单位：cm)： 男生身高：170，170，172，169，175，180，182，171，171，176，177，178; 女生身高：165，160，171，160，166，164，168，170. (1)试估计高一男生的平均身高; (2)试估计高一女生身高的中位数; (3)从这1000名新生中，随机抽取一名，抽到女生的概率约为多少? 题型十五 独立事件的判断 【例15】（多选）（24-25高一下·广西柳州·期末）有6个相同的球，分别编号1、2、3、4、5、6，从中先不放回的随机取两次，再将球全部放回随机取一次，以上每次抽取一个小球，记事件A：第一次取球编号数字小于3；B：第二次取球编号数字为偶数；C：第三次取球编号为6；D：前两次取球编号数字和为7；E：第一、三次取球编号数字至少有一个1.则下列说法正确的是（  ） A． B．事件A与事件C相互独立 C．事件A与事件E相互独立 D．事件A与事件B相互独立 【变式15-1】（25-26高三上·上海·期中）投掷一枚均匀的骰子，若事件表示“掷出的倍数”，事件表示“掷出偶数”，事件表示“掷出合数”，则与事件独立的事件是（    ）. A．是和 B．只有 C．只有 D．不存在 【变式15-2】（25-26高二上·广东汕头·月考）有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中不放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，则下列选项错误的是（   ） A．甲与丙相互独立 B．甲与乙相互独立 C．丙与丁互斥 D．乙与丁互斥 题型十六 独立事件的乘法公式的应用 【例16】（25-26高二上·黑龙江·期中）某班级举行“数学文化节”活动，其中有一个“双人答题闯关环节”规则如下：甲、乙两人分别从包含道传统文化题和道数学历史题的题袋中随机抽取道题作答（抽出的题不放回）.已知甲先抽，乙后抽，且每道题被抽中的机会均等. (1)求甲抽到的道题中恰好是道传统文化题和道数学历史题的概率； (2)若甲答对每道题的概率均为，乙答对每道题的概率均为，且两人答题是否正确相互独立，求甲、乙两人答对题目总数不少于道的概率. 【变式16-1】（25-26高二上·江苏南京·期中）甲、乙两人独立地破译某个密码，甲译出密码的概率为0.4，乙译出密码的概率为0.5，则密码被破译的概率为（　　） A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.8 【变式16-2】（25-26高二上·浙江·阶段练习）临平是生态宜居的福地，地处杭嘉湖平原，大运河、上塘河沿境流淌，临平区一望平畴、塘漾棋布，是典型的江南水乡、鱼米之乡，是文学大师丰子恺笔下的“江南佳丽地”，境内拥有江南三大赏梅胜地之一超山、塘栖古镇、艺尚小镇等风景名胜和人文景观，现有甲、乙两个同学准备周末分赴这三个景点打卡，已知每人都只去1个景点，且甲、乙两个同学前往三地打卡的概率分别是，，和，，，则甲、乙打卡不相同景点的概率为 ． 题型十七 概率计算的综合问题 【例17】（25-26高二上·福建·月考）甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响； (1)若每位面试者都必须回答全部3道题，求甲答对3道题目的概率． (2)若每位面试者都必须回答全部3道题，求乙恰好答对2道题目的概率． (3)若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第次为止，求甲、乙两人只有一人通过面试的概率． 【变式17-1】（25-26高二上·广西钦州·期中）甲、乙、丙三人结伴去游乐园玩射击游戏，其中甲射击一次击中目标的概率为，甲、乙两人各射击一次且都击中目标的概率为，乙、丙两人各射击一次且都击中目标的概率为，已知任意两次射击互不影响． (1)分别计算乙、丙两人各射击一次且击中目标的概率； (2)求甲、乙、丙各射击一次且恰有一人击中目标的概率． 【变式17-2】（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）甲、乙两队进行排球比赛，采取五局三胜制（先赢得三局比赛的队伍获胜，比赛结束）.根据两队比赛的历史数据分析，甲、乙两队在第一局比赛中取胜的概率均为，但受心理等因素的影响，前一局比赛的结果对后一场比赛会产生影响，若比赛结束时场次不超过四局，甲队在某一局比赛取胜，则下一局比赛取胜的概率比上一局取胜的概率增加，反之，则下一局比赛取胜的概率比上一局取胜的概率降低，若比赛进入第五局决胜局，则不论第四局胜负如何，该局甲取胜的概率为. (1)求比赛三局结束的概率； (2)求乙取胜，比赛结束的概率. 基础巩固通关测 1．（24-25高二下·重庆·阶段练习）抛掷同一枚硬币两次，若事件“至少有一次正面朝上”，则事件（    ） A．两次均正面朝上 B．至多有一次正面朝上 C．两次均反面朝上 D．至少有一次反面朝上 2.（25-26高二上·山西阳泉·开学考试）已知随机事件中，与互斥，与对立，且，，则（    ） A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.9 3．（25-26高三上·贵州贵阳·开学考试）已知事件，若与互斥，与互为对立事件，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高一下·天津河西·期末）一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个红球，4个白球，若干个4黑球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到黑球的频率稳定在0.4，则袋中约有黑球（   ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 5．（25-26高二上·湖北孝感·期中）下列说法正确的是（   ） A．某种福利彩票的中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖 B．频率是概率的稳定值，概率是频率的近似值 C．连续10次掷一枚骰子，结果都是出现1点，可以认为这枚骰子质地均匀 D．通过设计模拟实验的方法研究某地下雨概率.由计算机产生的随机数，当出现随机数1，3，5时，表示该天下雨，利用计算机产生20组随机数：423，123，425，344，124，453，524，332，152，342，534，443，521，541，125，432，324，151，314，245，则这三天中恰有两天下雨的概率近似为 6．（25-26高二上·四川南充·阶段练习）下列说法正确的是（    ） ①已知，，那么事件“”有可能不发生；         ②随机试验的频率与概率相等； ③如果一个事件发生的概率为，那么说明此事件必然发生； ④只有不确定事件有概率； ⑤若事件发生的概率为，则． A．⑤ B．③⑤ C．③④⑤ D．②③④⑤ 7．（25-26高二上·广东中山·阶段练习）已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B如图所示.其中， 则事件A与事件B（   ）    A．是互斥事件，不是独立事件 B．不是互斥事件，是独立事件 C．既是互斥事件，也是独立事件 D．既不是互斥事件，也不是独立事件 8．（25-26高二上·四川成都·月考）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为，乙的中靶概率为，则甲乙中恰有一人中靶的概率为（    ） A． B． C． D． 9．（多选）（2025·江苏镇江·模拟预测）为响应校团委发起的“青年大学习”号召，某班组织了有奖知识竞答活动.决赛准备了4道选择题和2道填空题，每位参赛者从6道题中不放回地随机抽取三次，每次抽取1道题作答.设事件为“第次抽到选择题”，则下列结论中正确的是（    ） A．与互斥；与互斥 B．不管第几次抽取，抽到选择题的概率都相同 C． D． 10．（多选）（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）下列说法中正确的是（ ） A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，则个体被抽到的概率是 B．从装有个红球，个白球的袋中任意摸出个球，事件“至少有个红球”，事件“都是白球”，则事件与事件是对立事件 C．数据的第70百分位数是23.5 D．若样本数据的标准差为1，则数据的标准差为9 11．（24-25高二上·四川成都·期中）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为，乙中靶的概率为，且两人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则恰有一人中靶的概率为 . 12．（25-26高二上·广东佛山·月考）在如图所示的电路图中，开关，，正常工作的概率分别为，，，且是相互独立的，则灯亮的概率是 能力提升进阶练 13.（2024高三·北京·专题练习）一只口袋装有除颜色外，形状、大小等完全相同的2个白球，3个黑球，4个红球，从中分两次依次取两个球． (1)写出这个试验的样本空间； (2)求这个试验的样本点个数； (3)“至少有1个白球”这一事件包含哪几个样本点？ 14．（23-24高一下·安徽黄山·期末）从1～30这30个整数中随机选择一个数，设事件表示选到的数能被3整除，事件表示选到的数能被5整除，求下列事件的概率. (1)这个数既能被3整除也能被5整除； (2)这个数能被3整除或能被5整除； (3)这个数既不能被3整除也不能被5整除. 15.（25-26高二上·广东·阶段练习）甲、乙、丙3人打台球，约定：第1局甲、乙对打，且由甲开球，丙轮空；此后每局的胜者与轮空者进行下一局对打，并由轮空者开球.假设甲、乙、丙3人打台球的水平相同，且开球者获胜的概率为，每局台球的结果相互独立. (1)求前3局中甲、乙、丙各自轮空1局的概率； (2)求前4局中甲参与了3局的概率； (3)求第4局是甲、乙对打的概率. 16．（24-25高二上·山东济宁·阶段练习）甲、乙二人进行一次围棋比赛，采用5局3胜制，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，同时比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局． (1)求再赛2局结束这次比赛的概率； (2)求甲获得这次比赛胜利的概率． 17.（24-25高一下·河南·期末）、两队进行围棋比赛，队有甲、乙、丙三位棋手，队只有丁一位棋手．比赛规则如下：队的三位棋手分别与丁对弈一盘，若一队棋手连胜两盘（负一盘）或连胜三盘，则该队获胜，若三盘比赛中没有一队获得连胜，则两队打平．已知甲、乙、丙分别与丁比赛且获胜的概率为、、，且各盘比赛相互独立．丁连胜两盘、负一盘的概率为，连胜三盘的概率为． (1)若队按甲、乙、丙的出场顺序与队进行比赛，求； (2)若队按甲、乙、丙的出场顺序与队进行比赛，求、两队打平的概率； (3)通过计算判断队怎样安排出场顺序对丁最有利，并说明实际意义． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7章 概率（复习讲义） 1.随机现象与随机事件：理解随机现象、样本空间、随机事件的概念，能准确判断随机现象与确定性现象，会写出试验的样本点和样本空间；掌握随机事件的运算，理解互斥事件、对立事件的概念及事件间的相互关系； 2.古典概型： 理解古典概型的定义（样本点有限且等可能），熟练掌握古典概型的概率公式，并能应用该公式解决实际问题； 3.频率与概率：理解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，明确频率与概率的区别与联系，掌握用频率估计概率的方法，了解概率的统计定义及其在实际生活中的作用； 4.事件的独立性：理解两个事件相互独立的概念，能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决简单的实际应用问题； 5.数据分析能力：能对随机试验的频率数据进行收集、整理和分析，理解频率的稳定性，从而掌握用频率估计概率的方法，提升从数据中提取信息的能力. ●一、随机现象与随机事件 （一）随机现象： 1.在自然界和人类社会中，普遍存在着两种现象。一类是在一定条件下必然出现的现象，称为确定性现象. 2.在一定条件下，进行试验或观察会出现不同的结果，而且每次试验之前都无法预言会出现哪一种结果的现象，称为随机现象. （二）样本空间： 1.一般地，将试验E的所有可能结果组成的集合称为试验E的样本空间，记作Ω. 2.样本空间Ω的元素，即试验E的每种可能结果，称为试验E的样本点，记作ω. 3.如果样本空间Ω的样本点的个数是有限的，那么称样本空间Ω为有限样本空间. （三）随机事件： 1.一般地，把试验E的样本空间Ω的子集称为E的随机事件，简称事件，常用A,B,C等表示.在每次试验中，当一个事件发生时，这个子集中的样本点必出现一个；反之，当这个子集中的一个样本点出现时，这个事件必然发生. 2.样本空间Ω是其自身的子集，因此Ω也是一个事件；又因为它包含所有的样本点，每次试验无论哪个样本点ω出现，Ω都必然发生，因此称Ω为必然事件. 3.空集∅也是Ω的一个子集，可以看作一个事件；由于它不包含任何样本点，它在每次试验中都不会发生，故称∅为不可能事件. （4） 随机事件的运算： 1.交事件（积事件）：一般地，由事件A与事件B都发生所构成的事件，称为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作A∩B（或AB）.事件A∩B是由事件A和事件B所共有的样本点构成的集合。事件A与事件 B的交事件可用 Venn 图1表示. 2.并事件（和事件）：一般地，由事件A和事件B至少有一个发生（即A发生，或B发生，或A,B都发生）所构成的事件，称为事件A与事件B的并事件（或和事件），记作A∪B（或A+B）.事件A与事件B的并事件是由事件A或事件B所包含的样本点构成的集合.事件A与事件B的并事件可用 Venn 图2表示. 3.互斥事件：一般地，不能同时发生的两个事件A与B（A∩B=∅）称为互斥事件.它可以理解为A,B同时发生这一事件是不可能事件.互斥事件可用 Venn 图3表示. 4.对立事件：给定事件A，A不发生也是一个事件，记为B.显然，每次试验要么A发生，要么A不发生（即 B发生），故事件A与事件B不可能同时发生.即A∪B=Ω,且A∩B=∅. 若A∪B=Ω,且A∩B=∅，则称事件A与B互为对立事件，事件A的对立事件记作，对立事件可用图4表示. ●二、古典概型的概率计算公式 （1） 古典概型： 1.古典概型的定义：一般地，若试验E具有如下两个特征： （1）有限性：试验E的样本空间Ω的样本点总数有限，即样本空间Ω为有限样本空间； （2）等可能性：每次试验中，样本空间Ω的各个样本点出现的可能性相等. 则称这样的试验模型为古典概率模型，简称古典概型. 2.古典概型的概率计算公式：对古典概型来说，如果样本空间Ω包含的样本点总数为n，随机事件A 包含的样本点个数为m，那么事件A发生的概率为： （2） 古典概型的应用： 互斥事件的概率加法公式 （1）互斥事件的概率加法公式 在一个试验中，如果事件A和事件B是互斥事件，那么有：P(A∪B)=P(A)+P(B) 这一公式称为互斥事件的概率加法公式. （2）对立事件的概率计算公式：P(A)+P()=1，P()=1−P(A). （3）互斥事件的概率加法公式推广形式 一般地，如果事件A1,A2,…,An两两互斥，那么有：P(A1∪A2∪⋯∪An)=P(A1)+P(A2)+⋯+P(An) ●三、频率与概率 在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率通常会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性.这时，我们把这个常数称作随机事件A的概率，记作P(A).显然，概率满足取值范围0⩽P(A)⩽1.在实际应用中，我们通常用频率来估计概率. ●四、事件的独立性 1.相互独立事件的定义：若事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件称作相互独立事件. 2.两个相互独立事件同时发生的概率公式：两个相互独立事件同时发生的概率，等于这两个事件发生的概率的积，即：P(AB)=P(A)P(B) 3.独立事件的关系：如果两个事件相互独立，那么把其中一个换成它的对立事件，这样的两个事件仍然相互独立.即事件A与事件相互独立，事件与事件B相互独立，事件与事件相互独立. 题型一 随机现象的判断 【例1】（24-25高二上·上海·课堂例题）判断下面哪些是随机现象？哪些是确定性现象？ （1）导体通电时，发热； （2）抛一块石头，下落； （3）掷一枚硬币，出现正面； （4）某人射击一次，中靶． 【答案】（1）（2）是确定性现象；（3）（4）是随机现象． 【分析】根据随机试验的结果是否确定发生还是随机发生，即可判断是哪种现象. 【详解】对于（1），因导体通电就会发热，故是确定性现象； 对于（2）抛一块石头，因有重力作用，必会下落，故是确定性现象； 对于（3）掷一枚硬币，可能出现正面，也可能出现反面，故“出现正面”是随机现象； 对于（4）某人射击一次，可能中靶，也可能不中靶，故“中靶”属于随机现象. 【变式1-1】（2025高一上·全国·专题练习）下列现象是必然现象的是（    ） A．走到十字路口遇到红灯 B．冰水混合物的温度是 C．三角形的内角和为 D．一个射击运动员每次射击都命中环 【答案】C 【分析】根据必然现象和随机现象的定义依次判断即可. 【详解】选项A，十字路口遇到红灯，这个事件可能发生也可能不发生，为随机现象； 选项B，标准大气压下，冰水混合物的温度是，事件冰水混合物的温度是不是必然现象； 选项C，三角形的内角和为，这个事件为必然现象； 选项D，一个射击运动员每次射击都命中7环，这个事件可能发生也可能不发生，为随机现象． 故选：C. 【变式1-2】（22-23高二下·河北石家庄·期末）下列现象是必然现象的是（    ） A．某路口每星期发生交通事故1次 B．冰水混合物的温度是 C．三角形的内角和为 D．一个射击运动员每次射击都命中7环 【答案】C 【分析】根据现象的分类逐项分析判断. 【详解】对于选项A：某路口每星期发生交通事故1次，这个事件可能发生也可能不发生，为随机现象，故A错误； 对于选项B：理想状态下冰水混合物的温度应是，这个事件为不可能现象，故B错误； 对于选项C：三角形的内角和为，这个事件为必然现象，故C正确； 对于选项D：一个射击运动员每次射击都命中7环，这个事件可能发生也可能不发生，为随机现象，故D错误； 故选：C. 题型二 确定样本点、样本空间 【例2】（24-25高一下·全国·课堂例题）某市为了了解市民对卫生管理的满意程度，通过问卷调查了学生、在职人员、退休人员共250人，结果如下表： 学生 在职人员 退休人员 满意 75 y 78 不满意 5 z 12 若，，基本事件用表示，请写出该试验的样本空间，并指出样本点的个数． 【答案】样本空间，个数为9． 【分析】由表可知在职人员人数为，结合，，利用列举法写出样本空间并求得样本点的个数即可. 【详解】由表可知学生人数为80，退休人员人数为90， 所以在职人员人数为（人），即， 因为，， 所以样本空间，样本点的个数为9. 【变式2-1】（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）在如下图的的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有1个方格被选中，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最小值是 . 8 27 32 62 3 23 37 63 6 27 38 66 5 26 39 66 【答案】126 【分析】先按列分析，可知十位数是固定的，利用列举法写出所有个位数的可能结果，即可求解. 【详解】先按列分析，每列必选出一个数，所选4个数的十位数字分别为0，2，3，6， 若选中方格中的4个数之和的最小值，则需要个位数之和最小， 每种选法可标记为，分别表示第一、二、三、四列的个位数字， 则所有的可能结果为： ， ， ， ， 此时最小为， 所以选中的方格中，的4个数之和最小，为. 故答案为：126. 【变式2-2】（2025高一·全国·专题练习）写出下列试验的样本空间：随意安排甲、乙、丙、丁4人在4天值班，每人值班1天，记录值班的情况． 【答案】答案见解析 【分析】根据题意画出树状图，写出样本空间即可. 【详解】值班情况如图， 设甲、乙、丙、丁分别为1，2，3，4， 所以样本空间，， ， . 题型三 随机事件的判断 【例3】（24-25高一下·安徽六安·期末）给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（    ） ①“从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件； ②“当x为某一实数时，可使”是不可能事件； ③“明天上海要下雨”是必然事件； ④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】根据必然事件，不可能事件和随机事件的定义逐个分析判断即可. 【详解】对于①，从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件，所以①正确， 对于②，“当x为某一实数时，可使”是不可能事件，所以②正确， 对于③，“明天上海要下雨”是不确定的，是随机事件，所以③错误， 对于④，“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件，所以④正确. 故选：C 【变式3-1】（25-26高一上·河北·开学考试）在一个不透明的袋子中装有形状、大小 、质地完全相同的5个球，其中3个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是必然事件的是（    ） A．摸出的是3个白球 B．摸出的是3个黑球 C．摸出的球中至少有1个是黑球 D．摸出的是2个白球、1个黑球 【答案】C 【分析】根据白球只有2个不可能摸出3个即可进行解答. 【详解】A.摸出的是3个白球是不可能事件，不符合题意； B.摸出的是3个黑球有可能发生也有可能不发生，不符合题意； C.摸出的球中至少有1个是黑球是必然事件，符合题意； D.摸出的是2个白球、1个黑球有可能发生也有可能不发生，不符合题意. 故选：C. 【变式3-2】（多选）（24-25高二下·全国·课后作业）（多选）对一批产品逐个进行检测，第一次检测到次品前已检测的产品个数为，则表示的试验结果为（    ） A．第次检测到正品 B．第次检测到次品 C．前次检测到正品 D．前次检测到正品 【答案】BD 【分析】根据随机事件的含义求解即可. 【详解】由题意，得表示第一次检测到次品前已检测的产品个数为， 因此前次检测到的都是正品，第次检测到的是次品， 故选:BD. 题型四 事件的运算及其含义 【例4】（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，记事件“两次都击中飞机”，事件“两次都没击中飞机”，事件“恰有一次击中飞机”，事件“至少有一次击中飞机”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】A选项，事件A包含于事件D；B选项，事件B，D不能同时发生，B正确；C选项，根据事件运算得到C正确；D选项，，，D错误. 【详解】对于A，事件A包含于事件D，故A正确； 对于B，由于事件B，D不能同时发生，故，故B正确； 对于C，至少有一次击中飞机包含两种情况： 两次都击中飞机和恰有一次击中飞机，故，故C正确； 对于D，由于，不是必然事件，而为必然事件，故D不正确． 故选：ABC 【变式4-1】（25-26高三上·贵州贵阳·阶段练习）打靶3次，记事件表示“共击中i发”，其中，那么表示（   ） A．“全部击中” B．“至少击中1次” C．“至多击中1次” D．“至少击中2次” 【答案】C 【分析】根据题意用自然语言描述出事件，即可得. 【详解】由题意，表示共击中0次，表示共击中1次， 所以表示打靶3次，其中“至多击中1次”，或“击中不超过1次”. 故选：C 【变式4-2】（2025·湖南娄底·二模）某同学参加跳远测试，共有3次机会．用事件（）表示随机事件“第i（）次跳远成绩及格”，那么事件“前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格”可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意依次判断各项事件运算对应的含义，即可得. 【详解】表示前两次测试成绩均及格，故A错误； 表示后两次测试都没有及格，故B错误； 表示前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格，故C正确； 表示三次测试成绩均不及格，故D错误， 故选：C 题型五 互斥事件与对立事件关系及判断 【例5】（多选）（25-26高二上·山东·阶段练习）抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件“点数为奇数”，事件“点数为偶数”，事件“点数不大于2”，事件“点数为3的倍数”，则（    ） A．和互为对立事件 B．和不互斥 C．和互斥 D．和互斥且不对立 【答案】ABD 【分析】利用对立事件、互斥事件的定义依次判断选项即可. 【详解】这个试验的样本空间， 事件，， 所以和互为对立事件，和不互斥，和不互斥，和互斥且不对立. 故选：ABD 【变式5-1】（24-25高一下·广西百色·期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：A=“点数不大于3”，B=“点数大于4”，C=“点数为奇数”，D=“点数为偶数”，下列结论正确的是（    ） A．B，C为对立事件 B．A，C为互斥事件 C．C，D为对立事件 D．A，D为互斥事件 【答案】C 【分析】根据互斥事件、对立事件的定义逐一判断各个选项即可求解． 【详解】样本空间为，，，，， 对于A，，所以B，C不互斥，更不可能对立，故A错误； 对于B，由于，所以A，C不互斥，故B错误； 对于C，因为，，所以C，D为对立事件，故C正确； 对于D，，所以A，D不互斥，故D错误． 故选：C． 【变式5-2】（多选）（25-26高二上·黑龙江·阶段练习）从装有2双一次性筷子和2双正常筷子的口袋中任取2双，那么互斥而不对立的两个事件是（　　） A．恰有1双一次性筷子与恰有2双一次性筷子 B．至少有1双正常筷子与都是一次性筷子 C．恰有2双一次性筷子与恰有2双正常筷子 D．至少有1双一次性筷子与至少有1双正常筷子 【答案】AC 【分析】根据互斥、对立事件的定义判断即可. 【详解】2双一次性筷子分别记为,2双正常筷子分别记为， 从装有2双一次性筷子和2双正常筷子的口袋中任取2双， 则样本空间， 对于：恰有1双一次性筷子的情况为：， 恰有2双一次性筷子的情况为：， 所以恰有1双一次性筷子与恰有2双一次性筷子互斥而不对立，故正确； 对于：至少有1双正常筷子的情况为：， 都是一次性筷子的情况为：， 所以至少有1双正常筷子与都是一次性筷子是对立事件，故错误； 对于：恰有2双一次性筷子的情况为：， 恰有2双正常筷子的情况为：， 所以恰有2双一次性筷子与恰有2双正常筷子互斥而不对立，故正确； 对于：至少有1双一次性筷子的情况为：， 至少有1双正常筷子的情况为：， 所以至少有1双一次性筷子与至少有1双正常筷子不互斥，故错误. 故选：. 题型六 确定所给事件的对立关系 【例6】（多选）（24-25高一下·内蒙古·期末）从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都是白球”互斥而非对立的事件是以下事件中的哪几个（    ） A．事件“两球都不是白球” B．事件“两球恰有一白球” C．事件“两球至少有一个白球” D．事件“两球不都是白球” 【答案】AB 【分析】由对立事件，互斥事件的定义结合题意逐一判断即可. 【详解】从口袋内一次取出2个球，这个试验的样本空间 (白，白)，(红，红)，(黑，黑)，(红，白)，(红，黑)，(黑，白)，包含6个基本事件， 当事件“两球都为白球”发生时，事件“两球都不是白球”和事件“两球恰有一白球”不可能发生，满足互斥事件的定义， 且“两球都为白球”不发生时，事件“两球都不是白球”不一定发生，事件“两球恰有一白球”不一定发生，故非对立事件，故A、B正确； “两球都为白球”发生时，事件“两球至少有一个白球”可以发生，故不是互斥事件，故C错误； 事件“两球不都是白球”意思是“两球至少有一个不是白球”与事件“两球都是白球”是对立事件， 故D错误. 故选：AB 【变式6-1】（25-26高二上·河北·开学考试）不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次性任意取出2张卡片，则下列事件，与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的个数为（   ） ①2张卡片都不是红色；    ②2张卡片恰有1张是红色； ③2张卡片至少有1张是红色；    ④2张卡片都为绿色． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义逐一判断即可得解. 【详解】6张卡片中一次取出2张卡片的所有情况有：“2张都为红色”、“2张都为绿色”、“2张都为蓝色”、“1张为红色1张为绿色”、“1张为红色1张为蓝色”、“1张为绿色1张为蓝色”. 给出的四个事件中与“2张都为红色”互斥而非对立的事件有:“2张都不是红色”,“2张恰有一张红色”,“2张都为绿色”. 而事件“2张至少一张为红色”包含事件“2张都为红色”,二者并非互斥．所以符合题意的事件为①②④，一共3个. 故选：C. 【变式6-2】（25-26高二上·广东·阶段练习）不透明的口袋内装有红色､绿色和蓝色卡片各2张，一次性任意取出2张卡片，则下列事件，与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的个数为（    ） ①2张卡片都不是红色； ②2张卡片恰有1张是红色； ③2张卡片至少有1张是红色； ④2张卡片至多一张为红色. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据互斥事件、对立事件的定义，结合题意分析即可. 【详解】6张卡片中一次性任意取出2张卡片的情况有：“2张都是红色”、“2张都是蓝色”、“2张都是绿色”、“1张红色和1张蓝色”、“1张红色和1张绿色”、“1张蓝色和1张绿色”. “2张卡片都不是红色”与“2张卡片都为红色”是互斥而不对立事件； “2张卡片恰有1张是红色” 与“2张卡片都为红色”是互斥而不对立事件； “2张卡片至少有1张是红色”与“2张卡片都为红色”不是互斥事件； “2张卡片至多一张为红色” 与“2张卡片都为红色” 是对立事件. 所以事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的个数为2. 故选：. 题型七 写出所给事件的对立事件 【例7】（24-25高一下·甘肃·期末）从装有3个红球和5个黄球的口袋内任取3个球，那么“至少有1个红球”的对立事件是（    ） A．至少有2个红球 B．至少有2个黄球 C．都是黄球 D．至多1个红球 【答案】C 【分析】先对至少有1个红球进行情况分析，再结合对立事件的定义求解即可. 【详解】由题意得若发生“至少有1个红球”，则取出红球的数量为个，个，个， 由对立事件的性质得“至少有1个红球”的对立事件为取不到红球， 即取到的都是黄球，故C正确. 故选：C 【变式7-1】（25-26高二上·河北·开学考试）从装有1个红球、1个白球和1个黄球的口袋中任取1个球，则与事件“取出的是红球”互为对立事件的是（   ） A．“取出的是白球” B．“取出的是黄球” C．“取出的是红球” D．“取出的不是红球” 【答案】D 【分析】根据对立事件的概念即可求解. 【详解】从装有1个红球、1个白球和1个黄球的口袋中任取1个球，结果有“取出的是红球”， “取出的是白球” 和“取出的是黄球”，故与事件“取出的是红球”互为对立事件的是“取出的不是红球”. 故选：D. 【变式7-2】（25-26高二上·宁夏吴忠·开学考试）从装有3个红球和5个黄球的口袋内任取3个球，那么“至少有1个红球”的对立事件是（   ） A．至多有2个红球 B．至少有2个黄球 C．都是黄球 D．至多1个红球 【答案】C 【分析】先对至少有1个红球进行情况分析，再结合对立事件的定义求解即可. 【详解】由题意得若发生“至少有1个红球”，则取出红球的数量为1个，2个，3个， 由对立事件的性质得“至少有1个红球”的对立事件为取不到红球，即取到的都是黄球，故C正确. 故选：C 题型八 古典概型的特征 【例8】（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）下列是古典概型的是（   ） A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点时 B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点时 C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率 D．从袋子中的3个红球和2个白球中任取2个小球，计算所取的两个小球都是白球的概率 【答案】CD 【分析】根据古典概型的定义，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是； B项中的样本点是无限的，故B不是； C和D项满足古典概型的有限性和等可能性，故C和D都是． 故选：CD 【变式8-1】（24-25高二上·山东济南·阶段练习）下列试验中是古典概型的是（    ） A．在适宜的条件下，种下一粒大豆，观察它是否发芽 B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球 C．向一个圆面内随机地投一个点，该点落在圆内任意一点都是等可能的 D．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环 【答案】B 【分析】利用古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性进行判断． 【详解】对于A，“发芽”或“不发芽”概率不同，不满足等可能性，故A错误； 对于B，任取一球的概率相同，均为，故B正确； 对于C，基本事件有无限个，不满足有限性，故C错误； 对于D，由于射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环的概率不等，不满足等可能性，故D错误. 故选：B. 【变式8-2】（多选）（2025高一·全国·专题练习）下列是古典概型的为（    ） A．从6名同学中随机选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小 B．在区间上任取一数，求这个数大于2的概率 C．近三天中有一天降雨的概率 D．10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率 【答案】AD 【分析】根据古典概型的特征判断各项描述的概率是否为古典概型. 【详解】古典概型具有有限性、等可能性的特征，显然A、D满足， B中基本事件的个数是无限个，不是古典概型， C中每天是否降雨受多方面因素影响，不具有等可能性，不是古典概型. 故选：AD 题型九 计算古典概型问题的概率 【例9】（25-26高二上·湖北孝感·期中）据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之.”围棋，起源于中国，至今已有四千多年历史，蕴含着中华文化的丰富内涵.现从3名男生和2名女生中任选2人参加围棋比赛，则所选2人中至少有1名男生的概率为 . 【答案】 【分析】确定样本空间，结合古典概型概率公式即可求解. 【详解】设3名男生为，2名女生为， 则任选2人有：，10种情况， 其中至少有1名男生有：，9种情况， 则至少有1名男生的概率为， 故答案为： 【变式9-1】（25-26高二上·山东济宁·月考）某中学有教职工140人，其中35岁及以上的有40人，从这140名教职工中随机抽取一人，则抽到35岁以下教职工的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用古典概型的概率求法求概率即可. 【详解】由题意，抽到35岁以下教职工的概率为. 故选：B 【变式9-2】（25-26高二上·福建宁德·月考）不透明的盒子里面装有五个分别标有数字1、2、3、4、5的乒乓球，这些球除数字外，其他完全相同，一位学生随机摸出两个球，两个球的数字之和是奇数的概率是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出5个球中随机摸出2个球的所有可能性，在选出两个球的数字之和是奇数的情况，代入古典概型公式，即可得答案. 【详解】5个球中随机摸出2个球，共有： 共10种情况， 两个球的数字之和是奇数有共6种情况， 所以两个球的数字之和是奇数的概率是. 故选：D 题型十 根据古典概型的概率求参数 【例10】（24-25高一下·贵州铜仁·期末）一个袋子中有5个球，其中个红球，其余为绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球． (1)若，求第二次取到红球的概率； (2)若取出的2个球都是红球的概率为，求． 【答案】(1)； (2)3. 【分析】（1）写出所有样本点，根据古典概型的计算公式即可得到答案； （2）根据古典概型公式得到方程，解出即可. 【详解】（1）由题可知袋中共有5个球，记作， 从中依次不放回取出2个球，样本点有 ， ， ， 共20个样本点， 记＂第次取到红球＂为事件，则＂第次取到绿球＂为事件， 不妨设为红球，为绿球．两次都取到红球，则． 先取到绿球再取到红球，则， 于是， 即第二次取到红球的概率为. （2）两次都取到红球为事件. 所以两次取出红球的概率为， 即，解得． 【变式10-1】（24-25高一下·山西·期末）一个口袋中装有20个红球和若干个黑球，在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黑球的个数，小张采用了如下的方法：每次从口袋中摸出1个球，记下球的颜色后再把球放回口袋中摇匀.不断重复上述过程900次，共摸出红球400次，根据上述数值，估计口袋中黑球的个数为（    ） A．25 B．30 C．35 D．40 【答案】A 【分析】设黑球的个数为n，根据古典概型概率公式列式求解即可. 【详解】设黑球的个数为n，由古典概型的概率公式可得，解得. 故选：A. 【变式10-2】（23-24高一上·浙江·阶段练习）在一个不透明的袋中装有一些除颜色外完全相同的红和黑两种颜色的小球，已知袋中有红球5个，黑球个，从袋中随机摸出一个红球的概率是，则的值为 ． 【答案】10 【分析】由古典概型概率公式得方程，求解即可. 【详解】根据题意， 从袋中随机摸出一个红球的概率是， 所以. 故答案为：10 题型十一 有放回与无放回问题的概率 【例11】（25-26高二上·山东淄博·阶段练习）现有大小和质地相同的6个球，其中有3个红球（标号分别为1、2、3），3个绿球（标号分别为1、2、3），按一定方式抽取两球，标号之和大于4即为取球成功.现有三种抽取方式：方式①有放回依次抽取两球；方式②不放回依次抽取两球；方式③按颜色等比例分层抽取两球.记这三种方式取球成功的概率分别为，，.则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出每种方式下取球成功的概率，比较即可得出结论. 【详解】设方式①的样本空间为，方式②的样本空间为，方式③的样本空间为， 方式①：有放回依次抽取两球，那么每次抽球都有6种可能，则 其中“标号之和大于4”的基本事件有： （红2、红3），（红2、绿3），（绿2、红3），（绿2、绿3），（红3、红2），（红3、绿2），（绿3、红2），（绿3、绿2），（红3、红3），（红3、绿3），（绿3、红3），（绿3、绿3），共12个. 所以； 方式②：不放回依次抽取两球，那么第一次有 6 种，第二次有 5 种，则 其中“标号之和大于4”的基本事件有： （红2、红3），（红2、绿3），（绿2、红3），（绿2、绿3），（红3、红2），（红3、绿2），（绿3、红2），（绿3、绿2），（红3、绿3），（绿3、红3），共10个. 所以； 方式③：按颜色等比例分层抽取两球，那么第一次从红球中抽一个（3 种），第二次从绿球中抽一个（3 种），顺序可能固定为红→绿，则 其中“标号之和大于4”的基本事件有： （红2、绿3），（红3、绿2），（红3、绿3），共3个，所以； 所以. 故选：D. 【变式11-1】（25-26高三上·广东深圳·开学考试）甲、乙两人玩“六六大顺”游戏，其规则为：盒子中装有编号为1，2，……，6的6张卡片，卡片除编号外完全相同，两人轮流有放回的从盒子中任意抽取1张卡片，先抽得6号卡片者胜，且游戏结束；若一人抽得的不是6号卡片，则换另一个人来抽；若一轮中两人均没有抽得6号卡片，则游戏重新开始，一直这样轮回下去，直至游戏结束.若游戏开始时，甲先抽，设甲、乙人获胜的概率分别和，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得抽中6号的概率为，未抽中的概率为，再列出递推式求解即可. 【详解】由题知抽中6号的概率为，未抽中的概率为， 则，解得， ，解得， 所以. 故选：C. 【变式11-2】（25-26高二上·海南·月考）某人有把钥匙，其中把能打开门．现随机地取把钥匙开门，如果将不能开门的钥匙立即扔掉，那么第二次才能打开门的概率为；如果试过的钥匙不扔掉，那么第二次才能打开门的概率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出两种情况下的样本空间和相应情况下“第二次才能打开门”事件的样本空间，再结合古典概型的概率公式求出，即可求解. 【详解】将能打开门的两把钥匙记为和，不能打开门的两把钥匙记为和， 记事件“第二次才能打开门”，表示开门两次事件的样本点，和表示第一次和第二次取到的钥匙记号， 则将不能开门的钥匙立即扔掉且开门两次的事件的总样本空间为： 共12个样本点， 则共4个样本点， 所以如果将不能开门的钥匙立即扔掉，第二次才能打开门的概率为. 如果试过的钥匙不扔掉且开门两次的事件的总样本空间为： 共16个样本点， 则共4个样本点， 所以如果试过的钥匙不扔掉，第二次才能打开门的概率为， 则. 故选：B. 题型十二 互斥事件概率加法公式的应用 【例12】（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·月考）袋子中有一些大小质地完全相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或白球的概率为，摸出的球是红球或黑球的概率为，则摸出的球是红球的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，设摸出红球的概率为，摸出白球的概率为，摸出黑球的概率为，由互斥事件的概率性质建立关于的等式，求解即可． 【详解】根据题意，设摸出红球的概率为，摸出白球的概率为，摸出黑球的概率为， 所以，，且， 所以，， ， 解得：， 故选：C． 【变式12-1】（24-25高二下·天津·期末）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 ，甲获胜的概率是 ，则甲不输的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据互斥事件概率加法公式计算即可. 【详解】由题意，“甲不输”包括“甲获胜”和“两人下成和棋”两种情况，两者互斥， 所以甲不输的概率. 故选：A. 【变式12-2】（多选）（24-25高一下·河北·期末）已知事件两两互斥，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用互斥事件满足的关系式，对选项一一分析求解，求出答案. 【详解】A选项，因为事件两两互斥， 所以， 则，所以，故A错误； B选项，，则，故B正确； C选项，，故C正确； D选项，，故D错误. 故选：BC. 题型十三 互斥事件、对立事件的概率计算 【例13】（25-26高二上·四川·阶段练习）设是一个随机试验中的两个事件，且，则 【答案】 【分析】根据对立事件的概率与互斥事件的概率计算公式求解即可. 【详解】因为， 因为互斥， 所以 ， 解得，所以 故答案为：. 【变式13-1】（24-25高一下·福建福州·期末）已知随机事件和互斥，和对立，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对立事件与互斥事件的概率公式及概率的性质求解即可. 【详解】由和对立，可得，则. 又随机事件和互斥， 所以. 故选：A. 【变式13-2】（25-26高二上·山东·月考）某电子图书平台通过大数据观测发现，读者选择类图书的概率为，选择类图书的概率为两类图书都不选的概率为，则两类图书都选的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对立事件和概率加法公式即可求解. 【详解】设事件“读者选择类图书”， 事件“读者选择类图书”， 则， 可得， 又， 所以. 故选：. 题型十四 用频率估计概率 【例14】（24-25高一下·江苏盐城·期末）对200个电子元件的寿命（单位：h）进行追踪调查，情况如下： 寿命 个数 20 30 80 40 30 (1)估计元件的寿命在（单位：h）内的概率； (2)估计元件的寿命在以上的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出200个电子元件的寿命在（单位：h）内的频率，再对元件的寿命在（单位：h）内的概率估计即可； （2）先求出200个电子元件的寿命在以上的频率，再对元件的寿命在以上的概率估计即可. 【详解】（1）因表中200个电子元件的寿命在（单位：h）内的频率为， 故由此估计元件的寿命在（单位：h）内的概率为； （2）因表中200个电子元件的寿命在以上的频率为， 故由此估计元件的寿命在以上的概率为. 【变式14-1】（25-26高二上·四川成都·阶段练习）下面说法正确的是（    ） A．设一批产品的次品率，则从中任取10件，必有1件是次品 B．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 C．天气预报：“明天降雨概率为90％”，则明天可能不下雨 D．做8次抛硬币的试验，结果5次出现正面，则抛一枚硬币出现正面的概率是 【答案】C 【分析】根据概率和频率的定义逐一分析即可. 【详解】对于A，次品率描述的是次品的可能情况，从中任取10件，不一定正好1件是次品，故A错误； 对于C，天气预报：“明天降雨概率为”，则明天可能不下雨，故C正确； 对于B和D，概率是多次重复试验中事情发生的频率在某一常数附近，此常数可为概率， 做8次抛硬币的试验，结果5次出现正面，则该试验抛一枚硬币出现正面的频率是， 但是抛一枚质地均匀的硬币出现正面的概率是，故B、D错误. 故选：C． 【变式14-2】（25-26高二上·湖南长沙·阶段练习）为了了解新入校的高一学生身高情况，学校从1000名男、女新生中采用随机摇号的方法抽取了20名学生进行测量，得到如下数据(单位：cm)： 男生身高：170，170，172，169，175，180，182，171，171，176，177，178; 女生身高：165，160，171，160，166，164，168，170. (1)试估计高一男生的平均身高; (2)试估计高一女生身高的中位数; (3)从这1000名新生中，随机抽取一名，抽到女生的概率约为多少? 【答案】(1)174.25 cm (2)165.5 cm (3) 【分析】（1）根据平均数的运算公式进行求解即可； （2）根据计算中位数的步骤进行求解即可； （3）根据概率和频率的关系进行求解即可. 【详解】（1）抽样的12名男生的平均身高为 170+， 所以估计高一男生的平均身高为174.25 cm; （2）女生身高从矮到高排列为:160，160，164，165，166，168，170，171， 抽样的8名女生身高的中位数为， 所以可以估计高一女生身高的中位数为165.5 cm; （3）从20个学生样本中，随机抽取一个，抽到女生的频率为， 用频率估计概率，从1000名新生中，随机抽取一名，抽到女生的概率约为0.4 题型十五 独立事件的判断 【例15】（多选）（24-25高一下·广西柳州·期末）有6个相同的球，分别编号1、2、3、4、5、6，从中先不放回的随机取两次，再将球全部放回随机取一次，以上每次抽取一个小球，记事件A：第一次取球编号数字小于3；B：第二次取球编号数字为偶数；C：第三次取球编号为6；D：前两次取球编号数字和为7；E：第一、三次取球编号数字至少有一个1.则下列说法正确的是（  ） A． B．事件A与事件C相互独立 C．事件A与事件E相互独立 D．事件A与事件B相互独立 【答案】ABD 【分析】求出事件的概率，再根据相互独立事件概率的关系依次判断每个选项得到答案. 【详解】根据题意，，，，， 对于A，由于是不放回的取球，则，故A正确； 对于B，因为，所以事件与相互独立，故B正确； 对于C，因为，所以事件与不相互独立，故C错误； 对于D，因为，所以事件与相互独立，故D正确. 故选：ABD. 【变式15-1】（25-26高三上·上海·期中）投掷一枚均匀的骰子，若事件表示“掷出的倍数”，事件表示“掷出偶数”，事件表示“掷出合数”，则与事件独立的事件是（    ）. A．是和 B．只有 C．只有 D．不存在 【答案】B 【分析】利用事件独立性的定义判断即可. 【详解】由题意可得，，，，， 由古典概型的概率公式可得，，， 所以，， 故事件与相互独立，事件与不独立. 故选：B. 【变式15-2】（25-26高二上·广东汕头·月考）有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中不放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，则下列选项错误的是（   ） A．甲与丙相互独立 B．甲与乙相互独立 C．丙与丁互斥 D．乙与丁互斥 【答案】B 【分析】分别列出甲、乙、丙、丁可能的情况，然后根据独立事件、互斥事件的定义判断即可. 【详解】由题意可得两次取球所有可能情况为，，，，，， ，，，，，共种情况； 第一次取出的球的数字是1，所有可能为，，共3种情况； 第二次取出的球的数字是2，所有可能为，，共3种情况； 则两次取出球的数字之和为，的所有可能为，，，共种情况； 两次取出球的数字之和为，所有可能为，共种情况； 记“第一次取出的球的数字是1”为，“第二次取出的球的数字是2”为， “两次取出的球的数字之和是5”为，“两次取出的球的数字之和是4”为， 则，，，. A：当出现情况时，甲丙同时发生，则， 故甲丙相互独立，故A正确； B：当出现情况时，甲乙同时发生，则， 故甲乙不相互独立，故B错误； C：由不可能同时发生，故丙与丁互斥，故C正确； D：由于两次不可能都取2，故乙丁不能同时发生，则乙与丁互斥，故D正确； 故选：B. 题型十六 独立事件的乘法公式的应用 【例16】（25-26高二上·黑龙江·期中）某班级举行“数学文化节”活动，其中有一个“双人答题闯关环节”规则如下：甲、乙两人分别从包含道传统文化题和道数学历史题的题袋中随机抽取道题作答（抽出的题不放回）.已知甲先抽，乙后抽，且每道题被抽中的机会均等. (1)求甲抽到的道题中恰好是道传统文化题和道数学历史题的概率； (2)若甲答对每道题的概率均为，乙答对每道题的概率均为，且两人答题是否正确相互独立，求甲、乙两人答对题目总数不少于道的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设传统文化题为，数学历史题为，甲从道题中不放回抽取道题， 先求出样本空间，设“恰好道传统文化题和数学历史题”，再求事件，利用古典概型公式即可求解； （2）设“甲答对道题”（），计算，设“乙答对道题”（），计算，设“甲、乙两人答对题目总数不少于道”，利用独立事件即可求解. 【详解】（1）设传统文化题为，数学历史题为，甲从道题中不放回抽取道题， 样本空间，，，， 设“恰好道传统文化题和数学历史题”，，，由古典概型公式得， 所以，甲抽到的道题中恰好是道传统文化题和道数学历史题的概率为； （2）设“甲答对道题”（）， ；； 设“乙答对道题”（）， ； ， 设“甲、乙两人答对题目总数不少于道” 由两人答题是否正确相互独立，有        所以，甲、乙两人答对题目总数不少于道的概率为. 【变式16-1】（25-26高二上·江苏南京·期中）甲、乙两人独立地破译某个密码，甲译出密码的概率为0.4，乙译出密码的概率为0.5，则密码被破译的概率为（　　） A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.8 【答案】C 【分析】设甲乙译出密码的事件，利用独立事件和互斥事件求解即可. 【详解】设甲译出密码为事件，则，甲没有译出密码为事件，， 设乙译出密码为事件，则，乙没有译出密码为事件，， 设密码被破译为事件，则密码未被破译为事件，， ，，， . 故选：C. 【变式16-2】（25-26高二上·浙江·阶段练习）临平是生态宜居的福地，地处杭嘉湖平原，大运河、上塘河沿境流淌，临平区一望平畴、塘漾棋布，是典型的江南水乡、鱼米之乡，是文学大师丰子恺笔下的“江南佳丽地”，境内拥有江南三大赏梅胜地之一超山、塘栖古镇、艺尚小镇等风景名胜和人文景观，现有甲、乙两个同学准备周末分赴这三个景点打卡，已知每人都只去1个景点，且甲、乙两个同学前往三地打卡的概率分别是，，和，，，则甲、乙打卡不相同景点的概率为 ． 【答案】 【分析】先求出甲、乙打卡同一地点的概率，则根据事件的互补性即可求出甲、乙打卡不相同景点的概率． 【详解】设三个景点分别为、、， 则甲前往、、的概率分别为，，， 乙前往、、的概率分别为，，， 甲、乙都打卡景点的概率为， 甲、乙都打卡景点的概率为， 甲、乙都打卡景点的概率：， 所以甲、乙打卡相同景点的概率为，则甲、乙打卡不相同景点的概率为． 故答案为：． 题型十七 概率计算的综合问题 【例17】（25-26高二上·福建·月考）甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响； (1)若每位面试者都必须回答全部3道题，求甲答对3道题目的概率． (2)若每位面试者都必须回答全部3道题，求乙恰好答对2道题目的概率． (3)若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第次为止，求甲、乙两人只有一人通过面试的概率． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据事件的相互独立性即可求解； （2）根据事件的相互独立性，分三种情况，即可求解； （3）根据事件的相互独立性，可先求得甲通过面试和乙通过面试的概率，则甲、乙两人只有一人通过面试的概率分为甲通过乙不通过和甲不通过乙通过两种情况，分别求解即可. 【详解】（1）设“甲答对道题目”为事件， 因为甲答对每道题目的概率都是，且对抽到的不同题目能否答对是独立的， 所以； （2）设“乙恰好答对道题目”为事件， 又乙答对每道题目的概率都是，且对抽到的不同题目能否答对是独立的， 所以 ； （3）设“甲通过面试”为事件，“乙通过面试”为事件，且与相互独立， 所以， ， 设“甲、乙两人只有一人通过面试”为事件，则， 因为与互斥，与，与分别相互独立， 所以 ， 所以甲、乙两人只有一人通过面试的概率. 【变式17-1】（25-26高二上·广西钦州·期中）甲、乙、丙三人结伴去游乐园玩射击游戏，其中甲射击一次击中目标的概率为，甲、乙两人各射击一次且都击中目标的概率为，乙、丙两人各射击一次且都击中目标的概率为，已知任意两次射击互不影响． (1)分别计算乙、丙两人各射击一次且击中目标的概率； (2)求甲、乙、丙各射击一次且恰有一人击中目标的概率． 【答案】(1)乙、丙两人各射击一次且击中目标的概率分别为、； (2). 【分析】（1）应用独立事件乘法公式列方程求对应概率； （2）应用独立事件乘法公式、互斥事件加法公式及对立事件的概率求法求目标概率. 【详解】（1）由题设甲、乙、丙射击一次击中目标的概率、、， 所以，得，且，得， 乙、丙两人各射击一次且击中目标的概率分别为和； （2）由（1）得甲、乙、丙各射击一次且恰有一人击中目标的概率为： . 【变式17-2】（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）甲、乙两队进行排球比赛，采取五局三胜制（先赢得三局比赛的队伍获胜，比赛结束）.根据两队比赛的历史数据分析，甲、乙两队在第一局比赛中取胜的概率均为，但受心理等因素的影响，前一局比赛的结果对后一场比赛会产生影响，若比赛结束时场次不超过四局，甲队在某一局比赛取胜，则下一局比赛取胜的概率比上一局取胜的概率增加，反之，则下一局比赛取胜的概率比上一局取胜的概率降低，若比赛进入第五局决胜局，则不论第四局胜负如何，该局甲取胜的概率为. (1)求比赛三局结束的概率； (2)求乙取胜，比赛结束的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析可知甲或乙均连胜3局，求各局获胜的概率，结合独立事件的概率乘法公式运算求解； （2）分析可知4局胜者依次为甲，乙，乙，乙、乙，甲，乙，乙和乙，乙，甲，乙，求各局获胜的概率，结合独立事件的概率乘法公式运算求解. 【详解】（1）记“比赛三局结束”为事件A，则甲或乙均连胜3局， 则每局获胜的概率依次为，，， 所以. （2）记“乙取胜，比赛结束”为事件B， 若4局胜者依次为甲，乙，乙，乙， 则乙每局的概率依次为，，，； 若4局胜者依次为乙，甲，乙，乙， 则乙每局的概率依次为，，，； 若4局胜者依次为乙，乙，甲，乙， 则乙每局的概率依次为，，，； 所以. 基础巩固通关测 1．（24-25高二下·重庆·阶段练习）抛掷同一枚硬币两次，若事件“至少有一次正面朝上”，则事件（    ） A．两次均正面朝上 B．至多有一次正面朝上 C．两次均反面朝上 D．至少有一次反面朝上 【答案】C 【分析】利用对立事件的定义求解即可. 【详解】因为事件“至少有一次正面朝上”， 所以由对立事件的定义得事件“两次均反面朝上”，故C正确. 故选：C 2.（25-26高二上·山西阳泉·开学考试）已知随机事件中，与互斥，与对立，且，，则（    ） A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.9 【答案】B 【分析】根据互斥事件对立事件的概率公式进行求解. 【详解】由于与对立，，则， 又与互斥，，则. 故选：B 3．（25-26高三上·贵州贵阳·开学考试）已知事件，若与互斥，与互为对立事件，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用是否推出关系，可判断必要不充分条件. 【详解】由于对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件， 所以，即是的必要不充分条件， 故选：B. 4．（24-25高一下·天津河西·期末）一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个红球，4个白球，若干个4黑球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到黑球的频率稳定在0.4，则袋中约有黑球（   ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】C 【分析】利用频率估计概率，可知随机摸出一个球摸到黑球的概率约为0.4，进而分析求解. 【详解】设袋中黑球有个， 利用频率估计概率，可知随机摸出一个球摸到黑球的概率约为0.4， 由题意可得：，解得， 所以袋中约有黑球8个. 故选：C. 5．（25-26高二上·湖北孝感·期中）下列说法正确的是（   ） A．某种福利彩票的中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖 B．频率是概率的稳定值，概率是频率的近似值 C．连续10次掷一枚骰子，结果都是出现1点，可以认为这枚骰子质地均匀 D．通过设计模拟实验的方法研究某地下雨概率.由计算机产生的随机数，当出现随机数1，3，5时，表示该天下雨，利用计算机产生20组随机数：423，123，425，344，124，453，524，332，152，342，534，443，521，541，125，432，324，151，314，245，则这三天中恰有两天下雨的概率近似为 【答案】D 【分析】由概率的定义及概率与频率的关系判断A、B，根据描述分析判断C，应用列举法求古典概型的概率判断D. 【详解】A：中奖概率为，并不是买1000张这种彩票一定能中奖，错误； B：概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，错误； C：由10次掷骰子都出现1点，说明骰子的质地可能不均匀，错误； D：由题意，满足条件的随机数有123，453，332，152，534，521，541，125，314，共9种情况，则这三天中恰有两天下雨的概率近似为，正确. 故选：D 6．（25-26高二上·四川南充·阶段练习）下列说法正确的是（    ） ①已知，，那么事件“”有可能不发生；         ②随机试验的频率与概率相等； ③如果一个事件发生的概率为，那么说明此事件必然发生； ④只有不确定事件有概率； ⑤若事件发生的概率为，则． A．⑤ B．③⑤ C．③④⑤ D．②③④⑤ 【答案】A 【分析】根据必然事件、可能事件、概率的概念进行判断即可. 【详解】对于①： 因为，所以事件“”必然发生，所以①错误； 对于②： 频率是随机试验中事件发生的次数与试验总次数的比值，概率是事件发生的可能性的稳定值，频率会随着试验次数的变化而变化，只有当试验次数很大时，频率才会接近概率，二者不相等，所以②错误； 对于③： 概率为的事件不是必然事件，必然事件的概率是，所以③错误； 对于④： 确定事件（必然事件和不可能事件）也有概率，必然事件概率为1，不可能事件概率为0，所以④错误； 对于⑤： 任何事件发生的概率都满足，所以⑤正确. 故选：A. 7．（25-26高二上·广东中山·阶段练习）已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B如图所示.其中， 则事件A与事件B（   ）    A．是互斥事件，不是独立事件 B．不是互斥事件，是独立事件 C．既是互斥事件，也是独立事件 D．既不是互斥事件，也不是独立事件 【答案】B 【分析】根据互斥事件和独立事件的定义和概率公式计算即得. 【详解】因， 则， 于是， 因，则事件A与事件B不是互斥事件； 又，则事件A与事件B是独立事件. 故选：B. 8．（25-26高二上·四川成都·月考）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为，乙的中靶概率为，则甲乙中恰有一人中靶的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分析事件“甲乙中恰有一人中靶”包含的两种互斥情况，分别计算两种情况的概率，再利用互斥事件概率加法公式求和即可． 【详解】甲乙中恰有一人中靶，事件包含两种情况：①甲中靶乙未中靶；②乙中靶甲未中靶， 设情况①的概率为，情况②的概率为， 甲的中靶概率为，乙的中靶概率为， ， ． 故选：C． 9．（多选）（2025·江苏镇江·模拟预测）为响应校团委发起的“青年大学习”号召，某班组织了有奖知识竞答活动.决赛准备了4道选择题和2道填空题，每位参赛者从6道题中不放回地随机抽取三次，每次抽取1道题作答.设事件为“第次抽到选择题”，则下列结论中正确的是（    ） A．与互斥；与互斥 B．不管第几次抽取，抽到选择题的概率都相同 C． D． 【答案】BC 【分析】根据互斥事件的定义判断A，由简单随机抽样的性质判断B，根据古典概型的概率公式判断CD. 【详解】由题意可知第1次抽到选择题与第2次抽到选择题可能同时发生， 所以与不是互斥事件，同理与也不是互斥事件，A说法错误； 从6道题中不放回地随机抽取三次，满足简单随机抽样，每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，B说法正确； 第二次抽到选择题且第三次也抽到选择题的概率,C说法正确； 第1次抽到选择题或第2次抽到选择题的概率,D说法错误； 故选：BC 10．（多选）（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）下列说法中正确的是（ ） A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，则个体被抽到的概率是 B．从装有个红球，个白球的袋中任意摸出个球，事件“至少有个红球”，事件“都是白球”，则事件与事件是对立事件 C．数据的第70百分位数是23.5 D．若样本数据的标准差为1，则数据的标准差为9 【答案】AC 【分析】A，用简单随机抽样的方法求解；B，根据对立事件的概念进行判断；C，先对数据从小到大排序，再根据百分位数定义计算即可；D，先得到，，，的方差，再通过计算的方差，进而得到其标准差，即可得答案． 【详解】对于A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为6的样本， 则个体被抽到的概率为，正确； 对于B．从装有个红球，个白球的袋中任意摸出个球，有3个都是红球，1个红球2个白球， 2个红球1个白球，3个都是白球，共4种情况， 显然事件“至少有个红球”，事件“都是白球”，为互斥事件而非对立事件，错误； 对于C．从小到大排列为12，13，14，15，17，19，23，24，27，30， 由于，故选择第7和第8个数的平均数作为第70百分位数， 即，所以第70百分位数是23.5，C正确； 对于D．若样本数据，，，的标准差为1，则，，，的方差为1， 设，，，的平均数为，则， ， 又， 故， 则的标准差为，D错误． 故选：AC． 11．（24-25高二上·四川成都·期中）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为，乙中靶的概率为，且两人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则恰有一人中靶的概率为 . 【答案】0.46/ 【分析】设出事件，根据相互独立事件的概率计算公式计算即可. 【详解】设甲中靶为事件，乙中靶为事件， 则恰有一人中靶的概率为， 故答案为：. 12．（25-26高二上·广东佛山·月考）在如图所示的电路图中，开关，，正常工作的概率分别为，，，且是相互独立的，则灯亮的概率是 【答案】 【分析】灯亮即开关闭合，且，至少有一个闭合，结合对立事件和独立事件的概率可解得结果. 【详解】设“开关，，闭合”分别为事件，，，则灯亮这一事件为，且，，相互独立，互斥， 所以， 故答案为：. 能力提升进阶练 13.（2024高三·北京·专题练习）一只口袋装有除颜色外，形状、大小等完全相同的2个白球，3个黑球，4个红球，从中分两次依次取两个球． (1)写出这个试验的样本空间； (2)求这个试验的样本点个数； (3)“至少有1个白球”这一事件包含哪几个样本点？ 【答案】(1)答案见解析； (2)9； (3)答案见解析. 【分析】（1）（2）（3）根据给定条件，写出样本空间，进而求出样本点个数及给定事件含有的样本点. 【详解】（1）这个试验的样本空间(白,白),(黑,黑),(红,红),(白,黑),(白,红),(黑,白),(红,白),(黑,红),(红,黑)． （2）由（1）知，样本点个数是9. （3）“至少有1个白球”这一事件包含以下5个样本点：(白,白) ,(白,黑),(白,红),(黑,白),(红,白). 14．（23-24高一下·安徽黄山·期末）从1～30这30个整数中随机选择一个数，设事件表示选到的数能被3整除，事件表示选到的数能被5整除，求下列事件的概率. (1)这个数既能被3整除也能被5整除； (2)这个数能被3整除或能被5整除； (3)这个数既不能被3整除也不能被5整除. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用样本空间法，列举满足条件的样本，再利用古典概型概率公式，即可求解. 【详解】（1）事件表示既能被3整除也能被5整除，包含元素， 所以, 所以既能被3整除又能被5整除的概率为； （2）事件表示能被3整除或能被5整除，包含， 所以， 所以能被3整除或能被5整除的概率为； （3）事件表示既不能被3整除也不能被5整除，共有个元素， 所以， 所以既不能被3整除也不能被5整除的概率为. 15.（25-26高二上·广东·阶段练习）甲、乙、丙3人打台球，约定：第1局甲、乙对打，且由甲开球，丙轮空；此后每局的胜者与轮空者进行下一局对打，并由轮空者开球.假设甲、乙、丙3人打台球的水平相同，且开球者获胜的概率为，每局台球的结果相互独立. (1)求前3局中甲、乙、丙各自轮空1局的概率； (2)求前4局中甲参与了3局的概率； (3)求第4局是甲、乙对打的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分第2局甲轮空，第3局乙轮空；和第2局乙轮空，第3局甲轮空两种情况分别计算即可； （2）分甲第2局轮空，第3局轮空，第4局轮空三种情况分别计算即可； （3）第4局是甲、乙对打，有两种情况：情况一，第2局为甲、丙对打，第3局为乙、丙对打；情况二，第2局为乙、丙对打，第3局为甲、丙对打.分别计算两种情况下第4局为甲、乙对打的概率. 【详解】（1）若第2局甲轮空，第3局乙轮空，其概率为. 若第2局乙轮空，第3局甲轮空，其概率为. 故所求概率为. （2）分三种情况. 第一种情况：甲第2局轮空，则其他3局都参与了. 因为甲第2局轮空，所以第3局一定有甲参与，且由甲开球，而要参与第4局，则第3局甲胜， 其概率为. 第二种情况：甲第3局轮空，则其他3局都参与了. 因为甲第3局轮空，所以第4局一定有甲参与，且第2局甲负， 其概率为. 第三种情况：甲第4局轮空，则其他3局都参与了. 其概率为. 故所求概率为. （3）第4局是甲、乙对打，分两种情况讨论： 情况一：第1局甲胜，第2局丙胜，第3局乙胜. 此时第2局为甲丙对打，第3局为乙丙对打（甲轮空），第4局为甲乙对打. 其概率为. 情况二：第1局乙胜，第2局丙胜，第3局甲胜. 此时第2局为乙丙对打，第3局为甲丙对打（乙轮空），第4局为甲乙对打. 其概率为. 故所求概率为 16．（24-25高二上·山东济宁·阶段练习）甲、乙二人进行一次围棋比赛，采用5局3胜制，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，同时比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局． (1)求再赛2局结束这次比赛的概率； (2)求甲获得这次比赛胜利的概率． 【答案】(1)0.52 (2)0.648 【分析】（1）再赛2局结束这次比赛分“第三、四局甲胜”与“第三、四局乙胜”两类情况，根据根据互斥事件的概率和及独立事件同时发生的概率求解可得； （2）由题意，甲获得这次比赛胜利只需后续比赛中甲先胜两局即可，根据互斥事件的概率和及独立事件同时发生的概率求解即可. 【详解】（1）用表示事件“第局甲胜”，表示事件“第局乙胜”（）， 设“再赛2局结束这次比赛”为事件，则， 由于各局比赛结果相互独立，且事件与事件互斥. 所以 ． 故再赛2局结束这次比赛的概率为. （2）记“甲获得这次比赛胜利”为事件， 因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲成为胜方当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局， 从而， 由于各局比赛结果相互独立，且事件，，两两互斥， 所以. 故甲获得这次比赛胜利的概率为. 17.（24-25高一下·河南·期末）、两队进行围棋比赛，队有甲、乙、丙三位棋手，队只有丁一位棋手．比赛规则如下：队的三位棋手分别与丁对弈一盘，若一队棋手连胜两盘（负一盘）或连胜三盘，则该队获胜，若三盘比赛中没有一队获得连胜，则两队打平．已知甲、乙、丙分别与丁比赛且获胜的概率为、、，且各盘比赛相互独立．丁连胜两盘、负一盘的概率为，连胜三盘的概率为． (1)若队按甲、乙、丙的出场顺序与队进行比赛，求； (2)若队按甲、乙、丙的出场顺序与队进行比赛，求、两队打平的概率； (3)通过计算判断队怎样安排出场顺序对丁最有利，并说明实际意义． 【答案】(1) (2) (3)队按乙、丙、甲或甲、丙、乙的出场顺序与队进行比赛时对丁最有利，理由见解析 【分析】（1）利用独立事件的概率公式可求得出的值； （2）对三局的输赢情况进行分类讨论，结合题意可求出、两队打平的概率； （3）设丁获胜的概率为，对队三位棋手的出场顺序进行分类讨论，求出每种情况下的值，比较大小后可得出结论. 【详解】（1）因为队按甲、乙、丙的出场顺序与队进行比赛， 所以丁连胜两盘且其中第二盘必胜，即对乙必胜， 所以． 故． （2）设、两队打平的概率为． 记事件第二盘为丁胜，第一、三盘分别为甲、丙胜． 记事件第二盘为乙胜，第一、三盘都是丁胜，则与为互斥事件， 则. （3）设丁获胜的概率为． 若队按甲、乙、丙的出场顺序与队进行比赛，则． 同理，若队按丙、乙、甲的出场顺序与队进行比赛，则． 若队按乙、甲、丙或丙、甲、乙的出场顺序与队进行比赛， 则． 若队按乙、丙、甲或甲、丙、乙的出场顺序与队进行比赛， 则． 因为，所以队按乙、丙、甲或甲、丙、乙的出场顺序与队进行比赛时对丁最有利． 因为丁连胜三盘的概率与顺序无关，所以丁连胜两盘、负一盘， 其中第二盘必胜，第二盘的对手实力越强， 连胜两盘的概率越小，第二盘的对手实力越弱，连胜两盘的概率越大， 根据已知丙的实力最弱，故A队按乙、丙、甲或甲、丙、乙的出场顺序与B队进行比赛时对丁最有利． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $