第2章 周末练6 范围：第2章§4（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（北师大版）

**基本信息** 聚焦函数奇偶性与幂函数性质，以题串联概念辨析、性质应用及综合推理，强化数学抽象与逻辑思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数奇偶性|5题（1,3,4,7,10）|定义域对称性判断、奇偶性应用求函数值、参数求解|从定义（定义域对称）到性质（f(-x)与f(x)关系）再到应用（求参数、解不等式）| |幂函数性质|4题（2,6,8,11）|图象识别、单调性判断、参数求解|由幂函数定义（系数为1）到指数与性质（单调性、奇偶性）的关联| |综合应用|5题（5,9,12,13,14）|单调性与奇偶性结合解不等式、抽象函数性质探究|融合函数性质与方程思想，提升推理与模型应用能力|

周末练6　范围：第二章§4 [分值：90分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.函数f(x)＝(1＋x)是(　　) A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既奇又偶函数 答案　C 解析　由函数f(x)＝(1＋x)的定义域，可得≥0，则－1<x≤1，由于定义域不关于原点对称，故f(x)为非奇非偶函数. 2.函数y＝的大致图象是(　　) 答案　C 解析　由题意知，函数y＝，则满足x5≥0，解得x≥0，故函数的定义域为[0，＋∞)，又>1，结合幂函数的性质，可得选项C符合题意. 3.已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)等于(　　) A.－2 B.2 C.－3 D.3 答案　C 解析　由于函数y＝f(x)为奇函数， 且当x>0时，f(x)＝x2＋，则f(1)＝3， 因此，f(－1)＝－f(1)＝－3. 4.若函数f(x)＝(m＋1)x2＋(m－1)x＋7是定义在(－2n，3n－3)上的偶函数，则f(n)＋f(m)等于(　　) A.34 B.25 C.16 D.9 答案　A 解析　因为f(x)＝(m＋1)x2＋(m－1)x＋7是定义在(－2n，3n－3)上的偶函数， 所以－2n＋3n－3＝0，即n＝3， 显然m≠－1，由y＝f(x)的图象关于y轴对称，得到m－1＝0，解得m＝1， 所以f(x)＝2x2＋7，满足要求， 得到f(n)＋f(m)＝f(3)＋f(1)＝25＋9＝34. 5.已知函数f(x)＝，则不等式f(2x－1)<f(x－1)的解集为(　　) A.(－∞，0) B. C. D.(－∞，0)∪ 答案　D 解析　由f(x)＝可得x∈R且f(－x)＝＝f(x)，则f(x)为偶函数， f(x)＝＝－1＋， 因为y＝x2＋1在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，y＝x2＋1>0恒成立， 则f(x)在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增， 因为f(2x－1)<f(x－1)， 所以|2x－1|>|x－1|，解得x<0或x>. 6.已知幂函数f(x)的图象过点，P(x1，y1)，Q(x2，y2)(0<x1<x2)是函数图象上的任意不同两点，则下列结论中正确的是(　　) A.x1f(x1)>x2f(x2) B.x1f(x2)<x2f(x1) C.> D.< 答案　D 解析　设幂函数f(x)＝xα，图象过点，则，即α＝， 所以f(x)＝， 因为函数f(x)＝在(0，＋∞)上单调递增， 所以当0<x1<x2时，0<f(x1)<f(x2)， 所以x1f(x1)<x2f(x2)， 即<，故选项A，C错误； 因为函数y＝在(0，＋∞)上单调递增，所以当0<x1<x2时，<，即x2f(x1)<x1f(x2)，故B错误，D正确. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x－3，则下列说法中正确的有(　　) A.当x<0时，f(x)＝x2＋2x＋3 B.f(0)＝－3 C.当x<0时，f(x)＝－x2－2x＋3 D.f(－2)＝3 答案　CD 解析　因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0， 设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝(－x)2－2×(－x)－3＝x2＋2x－3， 所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x＋3，f(－2)＝3. 8.已知幂函数f(x)的图象经过点，则幂函数f(x)具有的性质是(　　) A.在其定义域上为增函数 B.在(0，＋∞)上单调递减 C.奇函数 D.定义域为R 答案　BC 解析　设幂函数f(x)＝xα(α为常数)，因为幂函数图象过点，所以f(x)＝，所以由f(x)的性质知，定义域为{x∈R|x≠0}，f(x)是奇函数，在(－∞，0)，(0，＋∞)上均单调递减. 9.★★已知定义在R上的连续函数f(x)满足∀x，y∈R，f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝0，当x∈[0，1)时，f(x)>0恒成立，则下列说法正确的是(　　) A.f(0)＝1 B.f(x)是偶函数 C.f D.f(x)的图象关于直线x＝2对称 答案　BCD 解析　因为∀x，y∈R，f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)， 令x＝y＝0可得2f(0)＝[f(0)]2，解得f(0)＝0或f(0)＝2， 又当x∈[0，1)时，f(x)>0恒成立，所以f(0)＝2，故A错误； 令x＝0，∀y∈R， 则f(y)＋f(－y)＝f(0)f(y)＝2f(y)， 即f(－y)＝f(y)， 所以f(x)为偶函数，故B正确； 令x＝，y＝， 则f(1)＋f＝ff， 因为当x∈[0，1)时，f(x)>0恒成立， 所以f>0， 又f(1)＝0，所以f＝1， 令x＝，y＝， 则f＋f(0)＝， 所以f，故C正确； 令x＝1可得f(1＋y)＋f(1－y)＝f(1)f(y)＝0， 令1－y＝x，可得f(2－x)＋f(x)＝0， 又f(－x)＝f(x)， 所以f(2－x)＋f(－x)＝0， 即f(2＋x)＋f(x)＝0， 所以f(2－x)＝f(2＋x)， 所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，故D正确. 三、填空题(每小题5分，共15分) 10.已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝　　　　.  答案　0 解析　由奇函数定义有f(－x)＋f(x)＝0， 得a(－x)2＋2(－x)＋ax2＋2x＝2ax2＝0，故a＝0. 11.已知幂函数f(x)＝(m2＋m－1)xm的图象关于y轴对称，则m的值为　　　　 .  答案　－2 解析　由已知得m2＋m－1＝1，解得m＝－2或m＝1， 当m＝－2时，f(x)＝x－2，其图象关于y轴对称，符合题意； 当m＝1时，f(x)＝x，其图象关于原点对称，不符合题意. 12.★★已知定义在R上的函数y＝f(x＋1)－1为奇函数，且函数f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，则f(3x－1)＋f(2－x)<2的解集为　　　　　　.  答案　 解析　∵函数y＝f(x＋1)－1为奇函数， ∴函数f(x)的图象关于点(1，1)中心对称， 所以2＝f(x)＋f(2－x)， 又f(x)在[1，＋∞)上单调递增， ∴f(x)在R上为增函数， 从而f(3x－1)＋f(2－x)<2可化为f(3x－1)<2－f(2－x)＝f(x)， ∴3x－1<x，即x<. 四、解答题(共27分) 13.(13分)已知幂函数f(x)＝(m2＋4m＋4)xm＋2在(0，＋∞)上单调递减. (1)求m的值；(6分) (2)若(2a－1)－m<(a＋3)－m，求a的取值范围.(7分) 解　(1)由幂函数的定义可得m2＋4m＋4＝1，即m2＋4m＋3＝0，解得m＝－1或m＝－3. 因为f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以m＋2<0，即m<－2， 则m＝－3. (2)设g(x)＝x3，则g(x)是增函数. 由(1)可知(2a－1)－m<(a＋3)－m， 即(2a－1)3<(a＋3)3， 则2a－1<a＋3，解得a<4， 即a的取值范围为(－∞，4). 14.★★(14分)设a为实数，已知函数f(x)＝为偶函数. (1)求a的值；(4分) (2)判断f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性，并加以证明；(5分) (3)已知λ为实数，存在实数m，n满足0<n<m，当函数f(x)的定义域为时，函数f(x)的值域恰好为[2－λm，2－λn]，求所有符合条件的λ的取值集合.(5分) 解　(1)函数f(x)＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 因为f(x)是偶函数，即f(x)＝f(－x)， 所以， 整理得(x＋1)(x＋a)＝(x－1)(x－a)， 即2(a＋1)x＝0，解得a＝－1. (2)由(1)知，f(x)＝1－， 显然函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，证明如下： 任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2， 则f(x2)－f(x1)＝－ ＝(x2＋x1＋x2x1)， 因为x2>x1>0， 所以x2＋x1＋x2x1>0，x2－x1>0， 即f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)， 因此f(x)在(0，＋∞)上单调递增. (3)由(2)知，f(x)在上单调递增， 又函数f(x)在上的值域恰好为[2－λm，2－λn]， 于是得 即 故关于x的方程x2＋(1－λ)x＋1＝0在(0，＋∞)上有两个不等的正根m，n， 则 解得λ>3，所以λ的取值集合是{λ|λ>3}. 学科网（北京）股份有限公司 $