第6章 章末复习课 统计（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（北师大版）

**基本信息** 以“抽样方法—样本估计—数字特征—百分位数”为逻辑主线，通过“原理+典例+反思”构建统计推断方法体系，强化数据分析与数学运算素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |抽样方法|2例+2训练|随机数法三步骤/分层抽样比例公式|从抽样方法选择到具体操作，构建抽样逻辑链| |频率分布|1例+1训练|频率分布表/图补全与应用策略|样本数据整理到总体分布估计的转化| |数字特征|1例+1训练|集中趋势/离散程度分析方法|通过平均数、方差等实现总体特征量化| |百分位数|1例+1训练|四分位数计算与方程思想|从分位数定义到频率分布中估计总体分位数|

一、抽样的基本方法 1.抽样方法有：简单随机抽样、分层随机抽样.一般地，当总体是由差异明显的几个层组成时选用分层随机抽样，否则，考虑用简单随机抽样；选用简单随机抽样时，当总体容量较小时，采用抽签法；当总体容量较大、样本容量较小时，采用随机数法. 2.抽样方法的选择与分层随机抽样中的计算，是常考查的知识点，要认真掌握，同时重点提升数学抽象和数学运算的核心素养. 例1　(1)假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的三聚氰胺是否超标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数开始向右读，则得到的第4个样本个体的编号是　　　　　.(下面摘取了随机数表第7行至第9行)  84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 答案　068 解析　由随机数表可以看出前4个样本的个体的编号是331，572，455，068.于是第4个样本个体的编号是068. (2)某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层随机抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为(　　) 类别 人数 老年教师 900 中年教师 1 800 青年教师 1 600 合计 4 300 A.90 B.100 C.180 D.300 答案　C 解析　设样本中的老年教师人数为x，则，解得x＝180. 反思感悟　(1)随机数法的步骤 第一步，给总体中的每个个体编号； 第二步，在随机数表中随机抽取某行某列作为抽样的起点，并规定读取方法； 第三步，依次从随机数表中抽取样本号码，凡是抽到编号范围内的号码，就是样本的号码，并剔除相同的号码直至抽满为止. (2)分层随机抽样中容量的计算 分层随机抽样的特点是“按比例抽样”，即. 跟踪训练1　(1)下列抽样方法是简单随机抽样的是(　　) A.从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本 B.某饮料公司从仓库中的1 000箱饮料中一次性抽取20箱进行质量检查 C.某连队从200名战士中，挑选出50名最优秀的战士去参加抢险救灾活动 D.从10个手机中逐个不放回地随机抽取2个进行质量检验(假设10个手机已编好号，对编号随机抽取) 答案　D 解析　选项A中，平面直角坐标系中有无数个点，这与要求总体中的个体数有限不相符，故错误；B中，一次性抽取不符合简单随机抽样逐个抽取的特点，故错误；C中，50名战士是最优秀的，不符合简单随机抽样的等可能性，故错误. (2)某班45名同学都参加了立定跳远和100米跑两项体育学业水平测试，立定跳远和100米跑测试合格的人数分别为30和35，两项都不合格的人数为5.现从这45名同学中按测试是否合格分层(分成两项都合格、仅立定跳远合格、仅100米跑合格、两项都不合格四种)，若用分层随机抽样的方法从中抽取9人进行复测，那么应从两项都合格的人中抽取(　　) A.1人 B.2人 C.5人 D.6人 答案　C 解析　由题意知，两项都不合格的有5人，两项都合格的有25人，仅立定跳远合格的有5人，仅100米跑合格的有10人. 从45人中抽取9人进行复测，则应从两项都合格的人中抽取9×＝5(人). 二、用样本的频率分布估计总体分布 1.频率分布直方图的构成及特征 2.掌握频率分布直方图的画法及其应用，重点提升数据分析与逻辑推理的核心素养. 例2　从某中学参加全国高中数学联赛预赛的500名同学中，随机抽取若干名同学，将他们的成绩制成频率分布表，下面给出了此表中部分数据. (1)根据表中已知数据，求①，②，③处的数值； (2)补全在区间 [70，140] 上的频率分布直方图； (3)若预赛成绩不低于110分的同学能参加决赛，那么估计该校大约有多少学生能参加决赛？ 分组 频数 频率 [70，80) 0.08 [80，90) 0.10 [90，100) ③ [100，110) 16 ① [110，120) 0.08 [120，130) ② 0.04 [130，140] 0.02 合计 50 解　(1)由表中数据知，随机抽取了50人，所以①＝＝0.32，②＝50×0.04＝2， ③＝1－0.08－0.1－0.32－0.08－0.04－0.02＝0.36. 故①②③处的数值分别为0.32，2，0.36. (2)经计算，频率分布表为： 分组 频数 频率 频率/组距 [70，80) 4 0.08 0.008 [80，90) 5 0.10 0.010 [90，100) 18 0.36 0.036 [100，110) 16 0.32 0.032 [110，120) 4 0.08 0.008 [120，130) 2 0.04 0.004 [130，140] 1 0.02 0.002 合计 50 1 0.100 根据频率分布表可补全频率分布直方图，如下. (3)在随机抽取的50名同学中有4＋2＋1＝7(名)同学预赛成绩不低于110分，可以去参加决赛， 故估计参加预赛的同学中能参加决赛的人数大概为500×＝70. 反思感悟　与频率分布直方图有关问题的常见类型及解题策略 (1)已知频率分布直方图中的部分数据，求其他数据，可根据频率分布直方图中的数据求出样本与整体的关系，利用频率和等于1可求出其他数据. (2)已知频率分布直方图，求某种范围内的数据，可利用图形及某范围结合求解. 跟踪训练2 　对某校高三年级学生参加社区服务的次数进行统计，随机抽取M名学生，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频率分布表和频率分布直方图，如图所示： 分组 频数 频率 [10，15) 10 0.25 [15，20) 24 n [20，25) m p [25，30] 2 0.05 合计 M 1.00 (1)求表中M，p及图中a的值； (2)若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10，15)内的人数. 解　(1)由分组[10，15)的频数是10，频率是0.25， 知＝0.25， 解得M＝40. 因为频数之和为40， 所以10＋24＋m＋2＝40， 得m＝4，p＝＝0.10. 因为a是对应分组[15，20)的频率与组距的商， 所以a＝＝0.12. (2)因为该校高三学生有240人，分组[10，15)的频率是0.25，所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10，15)内的人数为240×0.25＝60. 三、用样本估计总体的数字特征 1.为了从整体上更好地把握总体规律，我们还可以通过样本数据的众数、中位数、平均数估计总体的集中趋势，通过样本数据的方差或标准差估计总体的离散程度. 2.掌握各个数字特征的意义及应用，重点提升数据分析与数学运算的核心素养. 例3　某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训.他们在培训期间参加的8次测试成绩数据如下(单位：分)： 甲 95 82 88 81 93 79 84 78 乙 83 75 80 80 90 85 92 95 (1)请你计算这两组数据的平均数、中位数； (2)现要从中选派一人参加操作技能比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪名工人参加合适？请说明理由. 解　(1)×(95＋82＋88＋81＋93＋79＋84＋78)＝85(分)， ×(83＋75＋80＋80＋90＋85＋92＋95) ＝85(分). 甲、乙两组数据的中位数分别为83分，84分. (2)由(1)知＝85分，所以 ×[(95－85)2＋(82－85)2＋(88－85)2＋(81－85)2＋(93－85)2＋(79－85)2＋(84－85)2＋(78－85)2]＝35.5， ×[(83－85)2＋(75－85)2＋(80－85)2＋(80－85)2＋(90－85)2＋(85－85)2＋(92－85)2＋(95－85)2]＝41. ①从平均数看，甲、乙均为85分，平均水平相同； ②从中位数看，乙的中位数大于甲，乙的成绩好于甲； ③从方差来看，因为，<，所以甲的成绩较稳定； ④从数据特点看，获得85分以上(含85分)的次数，甲有3次，而乙有4次，故乙的成绩好些； ⑤从数据的变化趋势看，乙后几次的成绩均高于甲，且呈上升趋势，因此乙更具潜力. 综上分析可知，甲的成绩虽然比乙稳定，但从中位数、获得好成绩的次数及发展势头等方面分析，乙具有明显优势，所以应派乙参赛更有望取得好成绩. 反思感悟　用样本的数字特征估计总体的数字特征应注意的问题 (1)中位数用来描述数据的中心位置，众数体现了数据的最大集中点，平均数反映样本数据的总体水平. (2)标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度.标准差(方差)较大，数据的离散程度较大；标准差(方差)较小，数据的离散程度较小. 跟踪训练3　7月23日，第8届中国—南亚博览会暨第28届中国昆明进出口商品交易会在昆明滇池国际会展中心隆重开幕.本届南博会以“团结协作、共谋发展”为主题，会期从23日至28日，共设15个展馆，展览面积15万平方米，吸引82个国家、地区和国际组织参会，2 000多家企业进馆参展.某机构邀请了进馆参展的100家企业对此次展览进行评分，分值均在[90，100]内，并将部分数据整理如表： 分数 [90，92) [92，94) [94，96) [98，100] 频数 10 10 20 20 (1)估计这100家企业评分的中位数(保留小数点后一位)； (2)估计这100家企业评分的平均数与方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表). 解　(1)由题意得这100家企业评分在[96，98)内的频数为100－10－10－20－20＝40. 设这100家企业评分的中位数的估计值为x， 因为评分在[90，96)内的频数之和为10＋10＋20＝40<50， 评分在[90，98)内的频数之和为40＋40＝80>50， 所以x∈[96，98)，由，得x＝96.5. (2)这100家企业评分的平均数的估计值为×(91×10＋93×10＋95×20＋97×40＋99×20)＝96， 这100家企业评分的方差的估计值为 s2＝×[(91－96)2×10＋(93－96)2×10＋(95－96)2×20＋(97－96)2×40＋(99－96)2×20]＝5.8. 四、样本的百分位数 1.一般地，一组数据的p分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p的数据小于或等于这个值，且至少有100% －p的数据大于或等于这个值.可以用样本数据的百分位数估计总体的百分位数. 2.掌握百分位数的计算及应用，重点提升数据分析与数学运算的核心素养. 例4　某次数学考试后，抽取了20名同学的成绩作为样本绘制频率分布直方图如图. 估计样本数据的25%分位数和80%分位数(保留三位有效数字). 解　由图可知，2a＋3a＋7a＋6a＋2a＝0.1，所以a＝0.005，则[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]对应的频率分别为0.1，0.15，0.35，0.3，0.1，前两组频率之和恰为0.25，故25%分位数为70.0，前三组频率之和为0.6，前四组频率之和为0.9，所以80%分位数在第四组. 设80%分位数为x，则0.6＋(x－80)×6×0.005＝0.8，解得x≈86.7. 反思感悟　(1)四分位数：25%分位数，50%分位数，75%分位数，这三个百分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数. (2)由频率分布直方图求百分位数时，一般采用方程的思想，设出p%分位数，根据其意义列出方程求解. 跟踪训练4　高一(1)班30名学生的一次数学考试成绩按从小到大的顺序排列结果如下： 51　54　59　60　64　68　68　70　71　72 72　74　75　76　79　80　80　81　82　83 85　87　88　90　91　92　93　95　98　100 则估计这次数学考试成绩的75%分位数为(　　) A.87 B.88 C.90 D.87.5 答案　B 解析　由30×75%＝22.5，可知75%分位数为第23项数据，据此估计这次数学考试成绩的75%分位数为88. 学科网（北京）股份有限公司 $