专题02 利用样本估计总体的八大热点题型（高效培优专项训练）高一数学北师大版2019必修第一册

专题02 利用样本估计总体的八大热点题型 题型一 总体取值趋势的估计 1 题型二 总体平均数、众数、中位数的估计 3 题型三 总体百分位数的估计 6 题型四 总体离散程度的估计 9 题型五 总体估计中的求参数问题 13 题型六 统计中的决策性问题 15 题型七 总体估计的综合问题 20 题型八 总体估计中的创新题 28 题型一 总体取值趋势的估计 1．（24-25高三上·福建厦门·月考）某校举行劳动技能大赛，统计了学生的比赛成绩，得到如图所示的频率分布直方图，若要的学生成绩不高于m，根据直方图估计，下列最接近m的是（    ） A．83.3 B．85 C．86.7 D．88 【答案】C 【分析】根据给定的频率分布直方图，利用第85百分位数求出值即可. 【详解】由频率分布直方图，得，解得， 比赛成绩在的频率为， 比赛成绩在的频率为， 因此比赛成绩的第85百分位数，， 解得，所以最接近m的是86.7. 故选：C 2．（24-25高二下·云南昆明·月考）为调查社区居民对社区工作的满意度，在社区内抽取200名居民进行问卷调查，将收集到的数据分成五组，绘制出以下频率分布直方图，若的频率为0.48，，的值为（   ） A．0.017，0.048 B．0.017，0.48 C．0.17，0.048 D．0.17，0.48 【答案】A 【分析】根据已知条件，由频率分布直方图中矩形高度的概念可求出，由频率分布直方图中各组矩形面积之和为1，即可求出. 【详解】由频率分布直方图可知组距为10，则， 又因为，解得. 故选：A 3．（25-26高三上·河北邢台·月考）从某小区抽取100户居民用户进行月用电量（单位：）调查，将得到的数据按分为6组，画出的频率分布直方图如图所示，则在被调查的用户中，月用电量落在内的户数为（    ） A．35 B．40 C．42 D．45 【答案】B 【分析】利用频率分布直方图的性质先计算参数，再根据图象计算即可. 【详解】易知，所以， 即， 而月用电量落在内的户数为. 故选：B 4．（25-26高三上·河北邢台·月考）从某小区抽取100户居民用户进行月用电量（单位：）调查，将得到的数据按分为6组，画出的频率分布直方图如图所示，则在被调查的用户中，月用电量落在内的户数为（    ） A．35 B．40 C．42 D．45 【答案】B 【分析】利用频率分布直方图的性质先计算参数，再根据图象计算即可. 【详解】易知，所以， 即， 而月用电量落在内的户数为. 故选：B 题型二 总体平均数、众数、中位数的估计 5．（2025高二上·山东枣庄·学业考试）如图是某地100户居民的月均用水量的频率分布直方图，估计众数与中位数分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用最高矩形底边中点对应的横坐标估计样本的众数，根据中位数的概念估计中位数. 【详解】样本的众数可以用最高矩形底边中点对应的横坐标来估计，所以数据的众数估计为：； 因为，，所以估计中位数为：. 故选：D 6．（25-26高三上·浙江金华·月考）如图所示，下列频率分布直方图，根据所给图做出以下判断，正确的是（    ） A．平均数=中位数=众数 B．众数<中位数<平均数 C．平均数<众数<中位数 D．平均数<中位数<众数 【答案】B 【分析】利用众数、中位数的意义，结合频率分布直方图呈现右拖尾形态时，中位数与平均数的关系判断即可. 【详解】众数是最高矩形底边中点对应的数值，位于左边第二个矩形底边中点， 所有矩形的面积之和为，显然前两个矩形的面积之和小于， 即众数＜中位数； 又频率分布直方图呈现右拖尾形态，使得平均数受极端值影响会被拉向右侧，大于中位数， 所以众数＜中位数＜平均数. 故选：B. 7．（25-26高三上·河北保定·开学考试）小李是一名健身运动爱好者，如图所示的统计图记录了他过去一个月（30天）每天花在健身运动上的时间（单位：分钟），记这组数据的众数为M，中位数为N，平均数为P，则（　　）    A．N<M<P B．P<N<M C．M<P<N D．M<N<P 【答案】D 【分析】由图表数据计算出众数、中位数、平均数即可. 【详解】由统计图可得，众数M=50；处在中间位置的两个数据为50，60，所以中位数平均数P=所以M<N<P． 故选：D． 8．（24-25高一下·四川资阳·期末）将一个总体分为，，三层，其个体数之比为.若，，三层的样本的平均数分别为20，30，40，则总体的平均数为 . 【答案】 【分析】结合分层抽样的概念即可求解. 【详解】由题意可知样本的平均数为. 所以总体的平均数为. 故答案为：. 9．（25-26高一上·北京·月考）随着时代和科技的进步，人工智能在学习生活中越来越重要.为此北京市第十四中学高一年级数学组特命制了一套与人工智能的专题训练卷（满分为100分），并对整个高一年级的学生进行了测试.现从这些学生中随机抽取了50名学生的成绩，按照成绩为，，…，分成了5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）. (1)求频率分布直方图中的的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数､中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，中位数请用分数表示）； (2)若高一年级共有480名学生，试估计高一学生中这次测试成绩不低于70分的人数； 【答案】(1)； 平均数为74（分）；中位数为分 (2)288 (3) 【分析】（1）由频率分布直方图中频率和为1求得，根据频率分布直方图估计平均数，中位数； （2）由频率估计概率可得高一年级480名学生中成绩不低于70分的频率后可得人数； 【详解】（1）由频率分布直方图可得第4组的频率为，故， 故可估计所抽取的50名学生成绩的平均数为（分）. 由于前两组的频率之和为，前三组的频率之和为，故中位数在第3组中.设中位数为分，则有，所以，即所求的中位数为分. （2）由（1）可知，50名学生中成绩不低于70分的频率为，由以上样本的频率，可以估计高一年级480名学生中成绩不低于70分的人数为. 题型三 总体百分位数的估计 10．（2025·广东江门·模拟预测）2025年1~8月份广东省工业机器人、服务机器人、民用无人机、风力发电机组、太阳能电池、新能源汽车产品产量分别增长，则该组数的分位数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用百分位数的求法求数据的分位数. 【详解】由题设，而数据从小到大为， 所以该组数的分位数为其中第5个数据，即. 故选：B 11．（2023高二下·吉林·学业考试）有一组数据，从小到大的排序为：63，65，68，72，77，83，84，89，90，95.则这组数据的第75百分位数是（   ） A．68 B．72 C．84 D．89 【答案】D 【分析】按照百分位数的定义，直接求得. 【详解】因为，所以这组数据的第75百分位数是89. 故选：D 12．（25-26高三上·山东潍坊·期中）某科技攻关青年团队共有20人，他们的年龄分布如下表所示．则这20人年龄的60%分位数为（　　） 年龄 28 29 30 32 36 40 45 人数 1 3 3 5 4 3 1 A．30 B．32 C．34 D．36 【答案】C 【分析】结合表格数据根据百分位数的概念求解即可. 【详解】因为，又， 这20人年龄的60%分位数为. 故选：C. 13．（24-25高一下·云南玉溪·期末）五一期间昆明蓝花楹盛开，吸引了很多游客，现随机采访了100名来欣赏蓝花楹的游客，并将这100人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示： (1)求样本数据的第50百分位数； (2)估计这100名游客的平均年龄（同一组中的数据用该组中的中点值代表）． 【答案】(1) (2)50岁 【分析】（1）根据频率分布直方图百分位数定义列式计算求解； （2）根据频率分布直方图平均数定义列式计算求解. 【详解】（1）由频率分布直方图可知， 样本中数据落在的频率为， 设第50百分位数为，易得位于50和60之间， 则有：，解得． （2）设100名游客的平均年龄为，由图可知， ， 故这100名游客的平均年龄约为50岁． 14．（24-25高一下·福建福州·期末）2025年4月24日，神舟二十号载人飞船在长二F遥二十运载火箭的托举下，圆满完成飞行任务．为发扬并传承中国航天精神，我市随机抽取600名学生进行航天知识竞赛并记录学生的成绩（满分100分），将学生的成绩整理后分成五组，从左到右依次记为，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图．    (1)求n的值； (2)求第70百分位数； (3)求这600名学生成绩的平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用频率和为1即可求解； （2）利用百分位数的定义求解即可； （3）利有平均数的定义求解即可. 【详解】（1）由，得； （2）设第70百分位数为，则，解得； （3）这600名学生成绩的平均数为. 题型四 总体离散程度的估计 15．（湖北省云学联盟2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题）从队20人､队30人中，按照分层随机抽样的方法从两队共抽取5人.进行一轮答题竞赛.相关统计情况如下：队答对题目数的平均数为2，方差为1.04；队答对题目数的平均数为1，方差为2.04，则这5人答对题目数的方差为（    ） A．0.95 B．1.06 C．1.33 D．1.88 【答案】D 【分析】根据分层抽样的性质，结合样本方差的公式进行求解即可. 【详解】抽到5人中，队的人数为，队的人数为， 因为队答对题目数的平均数为2，方差为1.04；队答对题目数的平均数为1，方差为2.04， 这5人答对题目数的平均数为. 所以这5人答对题目数的方差为， 故选：D 16．（25-26高三上·贵州贵阳·期中）已知数据的平均数为1，方差为0，则数据，的方差为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用平均数和方差的公式求解. 【详解】,的平均数为1，方差为0，， ，， ， ， 方差为 故选：B. 17．（24-25高一上·贵州·阶段练习）已知甲、乙两名同学在高一的6次数学周测的成绩统计如图，则下列说法不正确的是（    ） A．甲的中位数高于乙的中位数 B．若甲、乙两组数据的平均数分别为，则 C．甲成绩的极差大于乙成绩的极差 D．甲成绩比乙成绩稳定 【答案】C 【分析】根据甲、乙两名同学在高一年级的6次数学周测的成绩统计的折线图，根据中位数，平均数，极差和数据的波动性，逐项分析判断，即可求解. 【详解】由甲、乙两名同学在高一年级的6次数学周测的成绩统计的折线图， 对于A中，由统计的折线图知，甲同学的中位数大于，乙同学的中位数小于， 所以甲的中位数高于乙的中位数，所以A正确； 对于B中，由统计的折线图知，甲同学只有第2次的周测成绩低于乙同学， 其他次的周测成绩都高于乙同学，可得，所以B正确； 对于C中，因为极差为样本数据的最大值与最小值的差， 由统计的折线图知，甲同学的周测成绩的极差小于乙同学周测成绩的极差，所以C不正确； 对于D中，由统计的折线图知，甲同学周测成绩的波动性小于乙同学成绩的波动性， 所以甲同学的周测成绩比乙同学的周测成绩更稳定，所以D正确. 故选：C. 17．（2025·重庆·模拟预测）某动漫社团为了调查本校学生对新上映电影的喜好程度， 对该校学生进行了满意度调查， 其中男生共调查了 600 人，女生共调查了 400 人，男生平均给分 4 分，方差为 1 ，女生平均给分 3 分，方差也为 1 . 则调研对象总体方差为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分层平均数求出总体平均数，然后根据分层方差和总体方差的关系求解可得. 【详解】记男生平均给分为，方差为，女生平均给分为，方差为， 则， 所以总体平均数， 所以总体方差为. 故选：D 18．（25-26高二上·上海普陀·月考）某射击运动员亚运会上女子10米气步枪个人项目决赛最后淘汰赛阶段5次射击取得的成绩（单位：环） 1 2 3 4 5 10.3 10.3 10.4 10.7 10.8 则该组数据的方差是 .（近似到0.001） 【答案】/ 【分析】根据题意，利用平均数和方差的计算公式，准确计算，即可求解. 【详解】由题设中的统计数据，可得数据的平均数为， 则数据的方差为：. 故答案为： 19．（24-25高一下·河北唐山·期末）某学校为了解高一学生每周的课余锻炼时间，统计数据如下：高一男生锻炼时长平均为4.2小时，方差为1.96；高一女生锻炼时长平均为3.7小时，方差为1.91，高一年级男生女生人数之比为，则该校高一学生每周平均锻炼时长的方差为 ．提示：． 【答案】2 【分析】根据给定条件，求出该校高一学生每周平均锻炼时长，再利用方差公式计算出方差. 【详解】高一男生、女生锻炼时长平均数为，方差分别为， 则该校高一学生每周锻炼时长的平均数， 所以该校高一学生每周平均锻炼时长的方差为. 故答案为：2 20 ．（24-25高二上·四川广安·期末）某公司为了调查员工的健康状况，由于女员工所占比重大，按性别分层，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取样本，样本中有39名女员工，女员工的平均体重为50kg，标准差为6；有21名男员工，男员工的平均体重为70kg，标准差为4．则样本中所有员工的体重的方差为 ． 【答案】 【分析】根据题意先求平均数，再结合分层抽样的方差公式计算样本的方差. 【详解】依题意样本中所有员工的体重的平均值为， 则样本中所有员工的体重的方差， 所以样本中所有员工的体重的方差为. 21．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）某学校有男生800人，女生600人.为调查该校全体学生每天的睡眠时间，采用分层随机抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间的平均数为7.7小时，方差为2.1，女生每天睡眠时间的平均数为7小时，方差为1.4.若男､女样本量按比例分配，则可估计总体方差为 . 【答案】1.92 【分析】先求出总体平均数，然后代入分层抽样方差公式计算即可. 【详解】由题意，总体的平均数为小时， 根据分层随机抽样的性质， 可得总体的方差为：. 题型五 总体估计中的求参数问题 22．（25-26高三上·河北保定·期中）已知样本数据6，5，x，7，9，8的极差为4，则实数x的取值范围为（    ） A．[5，9] B．{5，9} C．{5，6，7，8，9} D．{4，9} 【答案】A 【分析】利用极差的定义即可求解. 【详解】当时，数据中最大的数是，最小的数是，极差为4，符合题意； 当时，数据中最大的数是，最小的数是，极差为，解得,不符合题意； 当时，数据中最大的数是，最小的数是，极差为，解得，不符合题意； 综上所述，的取值范围是． 故选：A. 23．（24-25高三上·河南·开学考试）已知样本数据：11，12，14，，18（）的标准差为，则 ． 【答案】20 【分析】先求样本平均数，再应用样本的标准差公式计算求参即可. 【详解】因为，设，该样本平均数， 所以该样本的标准差， 解得，或（舍），所以． 24．（25-26高二上·四川成都·月考）某公司为了调查员工的体重（单位：千克），因为女员工远多于男员工，所以按性别分层，用按比例分层随机抽样的方法抽取样本，已知抽取样本中所有员工体重的方差为120，其中女员工的平均体重为50，方差为50，男员工的平均体重为70，方差为30.若样本中有21名男员工，则样本中女员工的人数为 . 【答案】63 【分析】由题意，知样本中男、女员工的平均体重和方差分别为，，，，所占权重分别为和，根据分层抽样的均值和方差公式列方程求出的值，即可求得女员工的人数. 【详解】由题意，记样本中女员工的平均体重和方差分别为，，所占权重为， 男员工的平均体重和方差分别为，，则所占权重为， 则样本中全部员工的平均体重为， 依题意，方差为 . 化简得，解得 或(舍). 所以女员工的人数为： . 25．（25-26高一·全国·假期作业）从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知 （结果保留3位小数）．若要从身高在，，三组的学生中，用分层随机抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]的学生中选取的人数应为 ． 【答案】 0.030 3 【分析】由频率分布直方图面积可得，由三组之比为可求解第二空. 【详解】由， 解得， 的频率为，的频率为，的频率为， 三组之比为， 所以用分层随机抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]的学生中选取的人数应为， 26．（24-25高一上·全国·课后作业）在结束了380课时初中阶段数学内容的教学后，唐老师计划安排60课时用于总复习，根据数学内容所占课时比例，绘制如图的统计图表（图1～图3），请根据图表提供的信息，回答下列问题： （1）图1中“统计与概率”所在扇形的圆心角为 度； （2）图2，3中的 ， ． 【答案】 36 60 14 【分析】（1）根据扇形统计图求出“统计与概率”所占的百分比，再乘以可得答案； （2）先求出“数与代数”的总课时，减去“数与式”与“函数的”课时可求出，根据条形统计图可求出 【详解】（1）由扇形统计图可知“统计与概率”所在扇形的圆心角为； （2）由图1和图2可知，由图3知． 故答案为：①36，②60，③14 题型六 统计中的决策性问题 27．（2025高二上·山东临沂·学业考试）甲、乙、丙、丁四名运动员参加射击项目选拔赛，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）和方差如下表所示： 甲 乙 丙 丁 9 9 9.5 9.5 0.25 1 0.65 0.25 根据表中数据，若从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，则应该选（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】平均分越大越好，方差越小越好，结合图表即可得解. 【详解】由平均数，丙丁的平均分相等且最大；由方差，丙的方差大于丁的方差，方差越小越稳定，故应该选择丁参加比赛. 故选：D. 28．（25-26高二上·四川成都·期中）在去年的足球联赛上，一队每场比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数的标准差为1.1；二队每场比赛平均失球数是2.1，全年失球个数的标准差是0.4，下列说法错误的是（   ） A．平均来说一队比二队防守技术好 B．二队比一队技术水平更稳定 C．一队在防守中有时表现差，有时又表现非常好 D．二队很少失球 【答案】D 【分析】根据两个队伍的平均数和方差，进行比较，即可求解. 【详解】一队每场比赛平均失球个数是，二队每场比赛平均失球个数是，平均说来一队比二队防守技术好，A正确； 一队全年比赛失球个数的标准差为，二队全年比赛失球个数的标准差为，二队比一队技术水平更稳定，B正确； 因为一队每场比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数的标准差为1.1，说明失球数波动较大，所以一队有时表现很差，有时表现又非常好，故C正确. 二队每场比赛平均失球数是2.1大于一队，全年失球个数的标准差是0.4小于一队，所以二队很少不失球，D错误. 故选：D 29．（24-25高一上·陕西咸阳·开学考试）某公司打算招聘一名职员.对甲、乙、丙三名应聘者进行了综合知识、工作经验、语言表达三方面的测试，他们的各项成绩如下表所示： 项目 应聘者 综合知识 工作经验 语言表达 甲 75 80 80 乙 85 80 70 丙 70 78 70 如果将每位应聘者的综合知识、工作经验、语言表达的成绩按5：2：3的比例计算其总成绩，并录用总成绩最高的应聘者，则被录用的是 . 【答案】乙 【分析】根据题目所给比例计算三位应聘者得总成绩即可得到结论. 【详解】由题，对于甲，他的总成绩如下： , 对于乙，他的总成绩：, 对于丙，他的总成绩：, 比较三者总成绩，乙的成绩最高。 故答案为：乙 题型七 总体估计的综合问题 31．（25-26高三上·山西·月考）某单位100名男员工的体重（单位：）（体重均在内）经测量整理如下表所示. 体重 频数 15 35 32 15 3 根据表中数据，下列结论正确的是（   ） A．这100名男员工的体重的中位数大于 B．这100名男员工中体重不低于的员工占比超过20% C．这100名男员工的体重的极差介于至之间 D．这100名男员工的体重的平均值介于至之间 【答案】D 【分析】根据表格数据结合中位数、频率、极差、平均值逐项分析即可得结论. 【详解】若将体重从低到高排，用表示， 则，，当时，中位数是65.5，故A错误； 100名男员工中，体重不低于的有18人，占比18%，故B错误； 极差，故C错误； 每组员工体重都取最低值时，平均值为， 每组员工体重都取最高时，平均值低于，故D正确. 故选：D. 32．（24-25高一上·四川·开学考试）今年，夕夕一家5个人的年龄分别为（单位：周岁）：6，32，34，55，58与4年前相比，下列说法正确的是（　　） A．平均数变大，方差变大 B．平均数变大，方差不变 C．平均数变小，方差变小 D．平均数变小，方差不变 【答案】B 【分析】根据平均数和方差计算公式分别计算即可. 【详解】4年前一家五口的岁数分别为2，28，30，51，54， 平均数为， 方差为； 今年一家五口的岁数分别为6，32，34，55，58 平均数为， 方差为； 则平均数变大，方差不变. 故选：B. 33．（2026高三·全国·专题练习）四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（    ） A．平均数为3，中位数为2 B．中位数为3，众数为2 C．平均数为2，方差为2.4 D．中位数为3，方差为2.8 【答案】C 【分析】根据题意举出特例，结合中位数，众数，平均数以及方差公式，即可得出答案． 【详解】对于A，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故A错误； 对于B，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故B错误； 对于C，若平均数为2，且出现6点，则方差， 则平均数为2，方差为时，一定没有出现点数6，故C正确； 对于D，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3， 平均数为， 方差为， 可以出现点数6，故D错误； 故选：C 34．（多选）（24-25高一下·湖北·期末）一组样本有互不相等的5个数据，平均数记为，方差记为，下列说法错误的是（   ） A．去掉样本数据中的最大值和最小值后得到一组新数据，其平均数等于 B．去掉样本数据中的最大值和最小值后得到一组新数据，其方差小于 C．去掉样本数据中的最小值后得到一组新数据，其方差小于 D．去掉样本数据中的中位数后得到一组新数据，其方差小于 【答案】ACD 【分析】AC选项，可举出实例；B选项，由方差的意义可得；D选项，当平均数和中位数相等时，掉样本数据中的中位数后，其方差为，D错误. 【详解】对于 A，设这5个互不相等的数据为， 则它们的平均数为， 去掉最大值和最小值后，新数据为，其平均数为， 一般情况下， 例如数据，其平均数为， 去掉1和10后，新数据的平均数为，不相等，故A选项错误； 对于B，方差反映数据的离散程度，原数据中最大值和最小值会使数据的离散程度较大， 去掉最大值和最小值后，数据相对更加集中，根据方差的意义，新数据的方差会小于原方差，故B选项正确； 对于C，去掉最小值后，新数据的方差不一定小于原方差，故C选项错误， 下面举出例子，设这5个互不相等的数据为0,0.1,0.2,0.3,4， 则它们的平均数为， 方差为， 去掉最小值0后，新数据为0.1,0.2,0.3,4，其平均数为， 其方差为， ，C错误； 对于 D，设这5个互不相等的数据为， 则它们的平均数为， 方差为， 中位数是将数据排序后位于中间位置的数，当去掉中位数后， 剩下的4个数其平均数为， 所以当时，其方差为， 其方差会大于原方差，故D错误. 故选：ACD 35．（多选）（2025高一上·全国·专题练习）已知一组样本数据，下列说法正确的是（    ） A．该样本数据的60%分位数为 B．剔除某个数据：后得到新样本数据的极差不大于原样本数据的极差 C．若的平均数为2，方差为1，的平均数为6，方差为2，则的方差为5 D．若记录样本数据时，错把一个数据68写成88，那么由此求出的平均数与实际平均数的差为1 【答案】BD 【分析】利用百分位数定义，极差公式，分层样本求总体的方差公式，平均数定义即可得解. 【详解】对于A，由于，所以样本数据的60%分位数为，因为，所以不一定等于．A错误； 对于B，若剔除某个数据，则得到新样本数据的极差等于原样本数据的极差；若剔除或，则得到新样本数据的极差小于原样本数据的极差.B正确； 对于C，设的平均数为，方差为，则，，所以的方差为.C错误； 对于D，假设未被误写的19个数据之和为，则，， 所以.D正确； 故选：BD. 36．（25-26高二上·四川成都·期中）某机构对我国若干大型科技公司调查统计后，得到了芯片、软件两个行业从业者的年龄分布的饼图（图1）和“90后”从事这两个行业岗位的分布雷达图（图2），则下列说法中一定正确的是（    ）    A．芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多 B．芯片、软件行业中从事技术和设计岗位的“90后”人数和超过从事这两个行业总人数的25% C．芯片、软件行业从业者中，“90后”占比不超过50% D．芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”从事这两个行业的总人数少 【答案】B 【分析】根据饼形图和“90后”从事这两个行业岗位的分布雷达图的数据进行分析，逐项判断即可. 【详解】对于A，芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”人数占比为，占芯片、软件行业从业者的， 而芯片、软件行业从业者中“80后”占总人数的，但不知道从事技术岗位人数的比例， 故无法确定两者人数的多少，所以选项Ａ不一定正确； 对于B，芯片、软件行业中从事技术、设计岗位的“90后”人数占比为， 所以超过从事这两个行业总人数的，所以选项Ｂ正确； 对于C，从饼图可看出芯片、软件行业从业者中，“90后”占比为，超过，所以选项C不正确； 对于D，芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数占比为， 占芯片、软件行业从业者的，“80前”占比，所以选项Ｄ错误. 故选：B. 37．（25-26高二上·贵州遵义·期中）某校高二年级半期考试测试后，为了解本次测试的情况，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩.将成绩分为，，，，，，共6组，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)在样本中，采取等比例分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取15名，则成绩在的同学有几个? (2)根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，试估计本次考试的平均分和众数； (3)若年级计划对本次测试优异的同学进行表彰，且表彰人数不超过6%，根据样本数据，试估计获得表彰的同学的最低分数. 【答案】(1)4个 (2)平均数为98，众数为100 (3)估计获得表彰的同学的最低分数为138 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，可求得a值，根据分层抽样的性质，计算即可得答案. （2）根据频率分布直方图中平均数的求法，代入数据，即可得平均数，由图象可得众数，即可得答案. （3）分析可得获得表彰的同学的最低分数位于内，且设为x，则，即可得答案. 【详解】（1）由频率分布直方图性质得， 解得， 所以的人数有个. （2）本次考试的平均分 ， 由频率分布直方图得：众数为100. （3）的频率为， 所以获得表彰的同学的最低分数位于内，且设为x， 则，解得，即最低分数为138. 38．（25-26高二上·四川成都·月考）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值； (2)求样本成绩的众数，中位数和平均数； (3)已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差. 【答案】(1)； (2)众数为75，中位数为75，平均数为74； (3)平均数为62，方差为37. 【分析】（1）根据频率和为1求得； （2）根据直方图，及众数、中位数、平均数求法求值； （3）根据已知求样本总均值，再由总方差公式求样本总方差. 【详解】（1）由每组小矩形的面积之和为1，得，解得； （2）由，得样本成绩的众数为75， 成绩落在内的频率为， 成绩落在内的频率为， 故中位数在内，由，得样本成绩的中位数为75， 由， 得样本成绩的平均数为74； （3）由频率分布直方图知，成绩在的样本数为， 成绩在的样本数为， 所以， 总方差为. 39．（25-26高二上·四川成都·月考）“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，现已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出100人，并将这100人按年龄分为第1组，第2组，第3组，第4组，如图所示． (1)求的值，并估计这组数据的平均数和中位数； (2)现从年龄在及的人群中按分层抽样抽取5人，再从中选2人作为生态文明建设知识宣讲员，求这两人来自同一组的概率； (3)从年龄在及的人群中按分层抽样共抽取50人，在抽取的人中年龄在的平均数为40，方差为14，年龄在的平均数为50，方差为24． （i）已知总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记总的样本平均数为，样本方差为．证明： （ii）用样本估计总体，试估计参与关注生态文明建设的人群中年龄的平均数和方差． 【答案】(1)，平均数为；中位数为 (2) (3)（i）证明见解析 （ii）， 【分析】（1）根据频率分布图的频率之和为1，计算即可求得，进而利用平均数与中位数的意义求解即可； （2）按分层抽样从抽取的5人中任抽2人，列举出所有基本事件，再利用古典概型概率公式计算即可求解. （3）（i）利用方差的意义计算即可证明结论； （ii）利用（i）的结论计算即可求解. 【详解】（1）由题意可得，解得， 所以平均数为； 因为， 所以中位数在内，中位数为； （2）由在及的人群中按分层抽样抽取5人，因为两组频率之比为， 所以在内抽取了2人，记这两人为，在内抽取了3人，记这三人为， 从中选2人有共10种取法， 其中这两人来自于同一组的取法有共4种取法， 所以这两人来自同一组的概率为； （3）（i）， 又因为，所以， 同理可得， 所以， ，所以， 同理可得， 根据方差的定义可得， 所以， 又 又 ， 又， 所以， 同理， 所以 所以 （ii）年龄在及的人群的比例为， 所以利用分层抽样的方法在及的人群中共抽取50人， 则在的人群中应抽取20人，在的人群中应抽到30人， 则， 所以， . 题型八 总体估计中的创新题 40．（2025高一上·全国·专题练习）设样本数据，，…，的平均数为，标准差为s，若样本数据，，…，的平均数比标准差少3，则的最大值为（    ） A．1 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】根据平均数与标准差的性质，结合已知条件可得，然后根据二次函数与指数函数的性质求解最大值． 【详解】样本数据，，…，的平均数为，标准差为， 则样本数据，，…，的平均数为，标准差为， 依题意有，得． 由，知在上单调递增， 当时，取到最小值， 所以， 即当时，取得最大值4． 故选：C． 41．（25-26高三上·广东佛山·月考）考虑一组数据，其中是一个正整数．下列哪项（些）描述必为正确？ I．该组数据的平均数是一个整数．（　　） II．该组数据的中位数不小于3． III．该组数据的众数与上四分位数相等． A．只有II B．只有III C．只有I及II D．只有II及III 【答案】A 【分析】举反例判断结论和结论，对参数分类讨论并结合中位数的定义判断结论即可. 【详解】对于，取，则平均数为，不是整数，故错误， 对于，将数据从小到大排列，分情况讨论如下， 当时，数据为，中位数是3， 当时，数据为，中位数是， 当时，数据为，中位数是， 当时，数据为，中位数是， 可得该组数据的中位数不小于3，故正确， 对于，取，数据为，因为，则上四分位数是4， 而众数是2，且，故错误，可得A正确. 故选：A 42．（2025·山东·三模）已知一组样本数据：3，7，，，13，16，其中，，该组样本的中位数为10.5.若要使该组样本的方差最小，则的值为 . 【答案】31.5 【分析】根据中位数、平均数、方差的定义求解即可. 【详解】由于样本共有6个数据，且最中间的两个数为，， 由题意可得，，即， 则样本平均数为， 则样本的方差为， 要使该组样本的方差最小，只需最小即可， 而， 则时，最小，此时， 则. 故答案为：31.5. 43．（24-25高一上·广西柳州·期中）为了调查柳高高二年级历史类班级对学习数学的热爱程度，对一教三楼的5个班级进行问卷调查，得到这个班级中每班热爱数学程度偏低的学生人数为（具体数据丢失）但已知这个数据的方差为，平均数为的最小值（其中，）且这个数互不相同，则其最大值为 ，数据的极差为 . 【答案】 【分析】先得到平均数为，然后使用方差的定义推出数据的值，即可得到答案. 【详解】对，，有. 且当时，有，所以的平均数为. 由于这个数据的方差为，故. 由于这个数据两两不同，所以只可能有. 从而，这就得到最大数据为，极差为. 44．（25-26高一上·全国·单元测试）随着手机和网络的普及，外卖行业得到迅速发展．某外卖平台为了解某地区用户对其提供的服务的满意度，随机调查了40个用户，得到用户的满意度评分，系统自动将评分按从大到小顺序排列如下： 用户编号 评分 用户编号 评分 用户编号 评分 用户编号 评分 01 97 11 86 21 81 31 76 02 96 12 86 22 81 32 76 03 95 13 85 23 81 33 76 04 93 14 85 24 80 34 75 05 92 15 84 25 79 35 74 06 91 16 84 26 79 36 74 07 89 17 83 27 78 37 73 08 89 18 83 28 78 38 72 09 88 19 82 29 78 39 66 10 88 20 82 30 77 40 63 (1)请你估计该地区所有用户评分的21%，95%分位数． (2)若从这40个用户中抽取一个容量为10的样本，有一个数据不小心丢失了，抽到的其他9个用户的评分分别为92，84，86，78，89，74，78，77，89，且这10个数据的平均数，记这10个数据的方差为s²，若用户的满意度评分在内，则满意度等级为“A级”，试用样本估计总体的思想，根据所抽到的10个数据，估计该地区满意度等级为“A级”的用户所占的百分比． (3)平台为拓展客流，开发了一个新的评价系统．把（2）中样本的平均数和方差作为老评价系统的数据，且老系统的总数据占两个系统所有数据总和的，新系统得出的评分平均数为89分，方差为12.据此计算新老系统所有评分的方差． 参考数据：，，． 【答案】(1)76和95.5 (2) (3)27． 【分析】（1）先将所有用户评分按从小到大排列，再根据百分位数的定义求解； （2）根据平均数的计算公式求出丢失的数据，再计算方差，根据评分范围求解“A级”用户所占的百分比 （3）先列出新老系统各自的平均数和方差，再根据两组数据合并后的平均数与方差公式求解. 【详解】（1）将所有用户评分按从小到大排列 由题表可知这40个用户评分按从小到大排列如下：63，66，72，73，74，74，75，76，76，76，77，78，78，78，79，79，80，81，81，81，82，82，83，83，84，84，85，85，86，86，88，88，89，89，91，92，93，95，96，97． 因为，， 所以这40个用户评分的21%，95%分位数分别为第9个数据、第38个和第39个数据的平均数，分别为76，， 据此估计该地区所有用户评分的21%，95%分位数分别为76和95.5． （2）设丢失的数据为m，则， 解得． 所以． 由题意知评分在，即内的满意度等级为“A级”， 所以10个样本数据中评分在内的有5个， 故可估计该地区满意度等级为“A级”的用户所占的百分比为． （3）设老系统的平均数与方差分别为，，新系统的平均数与方差分别为，，新老系统所有评分的平均数与方差分别为，，由题意知，，，． 因为老系统的总数据占两个系统所有数据总和的， 所以新老系统所有评分的平均数， 方差， 即新老系统所有评分的方差为27． 45．（24-25高一下·安徽合肥·期末）新高考模式下，学生是否选择物理作为高考考试科目对大学专业选择有着非常重要的意义．合肥六中为了解高一年级1800名学生物理科目的学习情况，将他们某次物理测试成绩（满分100分）按照分成6组，制成如图所示的频率分布直方图． (1)求1800名学生中物理测试成绩在内的频数并补全频率分布直方图． (2)学校建议，本次物理测试成绩不低于分的学生选择物理为高考考试科目，若学校希望高一年级恰有的学生选择物理为高考考试科目，试求的估计值（结果精确到）． (3)已知落在的学生成绩的平均数为，方差，落在的学生成绩的平均数为，方差，若两组学生成绩的平均数之差不大于6，求落在的学生成绩的方差的最大值． 【答案】(1)图见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图各小矩形面积和为1及频率、频数的关系求解. （2）根据频率分布直方图求第70百分位数可得； （3）根据方差的求法，方差转化为，进而可得. 【详解】（1）由频率分布直方图可得物理测试成绩在的频率为 ， 频数为， 所以1800名学生中物理测试成绩在内的频数为270，补全频率分布直方图如图所示． （2）易得前两段频率之和为，前三段频率之和， 则有 满足，所以（分） （3）成绩在的频数为270人，， 成绩在的频数为540人，， 所以的学生成绩的平均值为， 由方差公式知，， 所以该班成绩的方差为： 所以的最大值为． 1 / 33 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 利用样本估计总体的八大热点题型 题型一 总体取值趋势的估计 1 题型二 总体平均数、众数、中位数的估计 3 题型三 总体百分位数的估计 6 题型四 总体离散程度的估计 9 题型五 总体估计中的求参数问题 13 题型六 统计中的决策性问题 15 题型七 总体估计的综合问题 20 题型八 总体估计中的创新题 28 题型一 总体取值趋势的估计 1．（24-25高三上·福建厦门·月考）某校举行劳动技能大赛，统计了学生的比赛成绩，得到如图所示的频率分布直方图，若要的学生成绩不高于m，根据直方图估计，下列最接近m的是（    ） A．83.3 B．85 C．86.7 D．88 2．（24-25高二下·云南昆明·月考）为调查社区居民对社区工作的满意度，在社区内抽取200名居民进行问卷调查，将收集到的数据分成五组，绘制出以下频率分布直方图，若的频率为0.48，，的值为（   ） A．0.017，0.048 B．0.017，0.48 C．0.17，0.048 D．0.17，0.48 3．（25-26高三上·河北邢台·月考）从某小区抽取100户居民用户进行月用电量（单位：）调查，将得到的数据按分为6组，画出的频率分布直方图如图所示，则在被调查的用户中，月用电量落在内的户数为（    ） A．35 B．40 C．42 D．45 4．（25-26高三上·河北邢台·月考）从某小区抽取100户居民用户进行月用电量（单位：）调查，将得到的数据按分为6组，画出的频率分布直方图如图所示，则在被调查的用户中，月用电量落在内的户数为（    ） A．35 B．40 C．42 D．45 题型二 总体平均数、众数、中位数的估计 5．（2025高二上·山东枣庄·学业考试）如图是某地100户居民的月均用水量的频率分布直方图，估计众数与中位数分别是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·浙江金华·月考）如图所示，下列频率分布直方图，根据所给图做出以下判断，正确的是（    ） A．平均数=中位数=众数 B．众数<中位数<平均数 C．平均数<众数<中位数 D．平均数<中位数<众数 7．（25-26高三上·河北保定·开学考试）小李是一名健身运动爱好者，如图所示的统计图记录了他过去一个月（30天）每天花在健身运动上的时间（单位：分钟），记这组数据的众数为M，中位数为N，平均数为P，则（　　）    A．N<M<P B．P<N<M C．M<P<N D．M<N<P 8．（24-25高一下·四川资阳·期末）将一个总体分为，，三层，其个体数之比为.若，，三层的样本的平均数分别为20，30，40，则总体的平均数为 . 9．（25-26高一上·北京·月考）随着时代和科技的进步，人工智能在学习生活中越来越重要.为此北京市第十四中学高一年级数学组特命制了一套与人工智能的专题训练卷（满分为100分），并对整个高一年级的学生进行了测试.现从这些学生中随机抽取了50名学生的成绩，按照成绩为，，…，分成了5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）. (1)求频率分布直方图中的的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数､中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，中位数请用分数表示）； (2)若高一年级共有480名学生，试估计高一学生中这次测试成绩不低于70分的人数； 题型三 总体百分位数的估计 10．（2025·广东江门·模拟预测）2025年1~8月份广东省工业机器人、服务机器人、民用无人机、风力发电机组、太阳能电池、新能源汽车产品产量分别增长，则该组数的分位数为（　　） A． B． C． D． 11．（2023高二下·吉林·学业考试）有一组数据，从小到大的排序为：63，65，68，72，77，83，84，89，90，95.则这组数据的第75百分位数是（   ） A．68 B．72 C．84 D．89 12．（25-26高三上·山东潍坊·期中）某科技攻关青年团队共有20人，他们的年龄分布如下表所示．则这20人年龄的60%分位数为（　　） 年龄 28 29 30 32 36 40 45 人数 1 3 3 5 4 3 1 A．30 B．32 C．34 D．36 13．（24-25高一下·云南玉溪·期末）五一期间昆明蓝花楹盛开，吸引了很多游客，现随机采访了100名来欣赏蓝花楹的游客，并将这100人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示： (1)求样本数据的第50百分位数； (2)估计这100名游客的平均年龄（同一组中的数据用该组中的中点值代表）． 14．（24-25高一下·福建福州·期末）2025年4月24日，神舟二十号载人飞船在长二F遥二十运载火箭的托举下，圆满完成飞行任务．为发扬并传承中国航天精神，我市随机抽取600名学生进行航天知识竞赛并记录学生的成绩（满分100分），将学生的成绩整理后分成五组，从左到右依次记为，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图．    (1)求n的值； (2)求第70百分位数； (3)求这600名学生成绩的平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表） 题型四 总体离散程度的估计 15．（湖北省云学联盟2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题）从队20人､队30人中，按照分层随机抽样的方法从两队共抽取5人.进行一轮答题竞赛.相关统计情况如下：队答对题目数的平均数为2，方差为1.04；队答对题目数的平均数为1，方差为2.04，则这5人答对题目数的方差为（    ） A．0.95 B．1.06 C．1.33 D．1.88 16．（25-26高三上·贵州贵阳·期中）已知数据的平均数为1，方差为0，则数据，的方差为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 17．（24-25高一上·贵州·阶段练习）已知甲、乙两名同学在高一的6次数学周测的成绩统计如图，则下列说法不正确的是（    ） A．甲的中位数高于乙的中位数 B．若甲、乙两组数据的平均数分别为，则 C．甲成绩的极差大于乙成绩的极差 D．甲成绩比乙成绩稳定 17．（2025·重庆·模拟预测）某动漫社团为了调查本校学生对新上映电影的喜好程度， 对该校学生进行了满意度调查， 其中男生共调查了 600 人，女生共调查了 400 人，男生平均给分 4 分，方差为 1 ，女生平均给分 3 分，方差也为 1 . 则调研对象总体方差为（    ） A． B． C． D． 18．（25-26高二上·上海普陀·月考）某射击运动员亚运会上女子10米气步枪个人项目决赛最后淘汰赛阶段5次射击取得的成绩（单位：环） 1 2 3 4 5 10.3 10.3 10.4 10.7 10.8 则该组数据的方差是 .（近似到0.001） 19．（24-25高一下·河北唐山·期末）某学校为了解高一学生每周的课余锻炼时间，统计数据如下：高一男生锻炼时长平均为4.2小时，方差为1.96；高一女生锻炼时长平均为3.7小时，方差为1.91，高一年级男生女生人数之比为，则该校高一学生每周平均锻炼时长的方差为 ．提示：． 20 ．（24-25高二上·四川广安·期末）某公司为了调查员工的健康状况，由于女员工所占比重大，按性别分层，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取样本，样本中有39名女员工，女员工的平均体重为50kg，标准差为6；有21名男员工，男员工的平均体重为70kg，标准差为4．则样本中所有员工的体重的方差为 ． 21．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）某学校有男生800人，女生600人.为调查该校全体学生每天的睡眠时间，采用分层随机抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间的平均数为7.7小时，方差为2.1，女生每天睡眠时间的平均数为7小时，方差为1.4.若男､女样本量按比例分配，则可估计总体方差为 . 题型五 总体估计中的求参数问题 22．（25-26高三上·河北保定·期中）已知样本数据6，5，x，7，9，8的极差为4，则实数x的取值范围为（    ） A．[5，9] B．{5，9} C．{5，6，7，8，9} D．{4，9} 23．（24-25高三上·河南·开学考试）已知样本数据：11，12，14，，18（）的标准差为，则 ． 24．（25-26高二上·四川成都·月考）某公司为了调查员工的体重（单位：千克），因为女员工远多于男员工，所以按性别分层，用按比例分层随机抽样的方法抽取样本，已知抽取样本中所有员工体重的方差为120，其中女员工的平均体重为50，方差为50，男员工的平均体重为70，方差为30.若样本中有21名男员工，则样本中女员工的人数为 . 25．（25-26高一·全国·假期作业）从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知 （结果保留3位小数）．若要从身高在，，三组的学生中，用分层随机抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]的学生中选取的人数应为 ． 26．（24-25高一上·全国·课后作业）在结束了380课时初中阶段数学内容的教学后，唐老师计划安排60课时用于总复习，根据数学内容所占课时比例，绘制如图的统计图表（图1～图3），请根据图表提供的信息，回答下列问题： （1）图1中“统计与概率”所在扇形的圆心角为 度； （2）图2，3中的 ， ． 题型六 统计中的决策性问题 27．（2025高二上·山东临沂·学业考试）甲、乙、丙、丁四名运动员参加射击项目选拔赛，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）和方差如下表所示： 甲 乙 丙 丁 9 9 9.5 9.5 0.25 1 0.65 0.25 根据表中数据，若从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，则应该选（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 28．（25-26高二上·四川成都·期中）在去年的足球联赛上，一队每场比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数的标准差为1.1；二队每场比赛平均失球数是2.1，全年失球个数的标准差是0.4，下列说法错误的是（   ） A．平均来说一队比二队防守技术好 B．二队比一队技术水平更稳定 C．一队在防守中有时表现差，有时又表现非常好 D．二队很少失球 29．（24-25高一上·陕西咸阳·开学考试）某公司打算招聘一名职员.对甲、乙、丙三名应聘者进行了综合知识、工作经验、语言表达三方面的测试，他们的各项成绩如下表所示： 项目 应聘者 综合知识 工作经验 语言表达 甲 75 80 80 乙 85 80 70 丙 70 78 70 如果将每位应聘者的综合知识、工作经验、语言表达的成绩按5：2：3的比例计算其总成绩，并录用总成绩最高的应聘者，则被录用的是 . 题型七 总体估计的综合问题 31．（25-26高三上·山西·月考）某单位100名男员工的体重（单位：）（体重均在内）经测量整理如下表所示. 体重 频数 15 35 32 15 3 根据表中数据，下列结论正确的是（   ） A．这100名男员工的体重的中位数大于 B．这100名男员工中体重不低于的员工占比超过20% C．这100名男员工的体重的极差介于至之间 D．这100名男员工的体重的平均值介于至之间 32．（24-25高一上·四川·开学考试）今年，夕夕一家5个人的年龄分别为（单位：周岁）：6，32，34，55，58与4年前相比，下列说法正确的是（　　） A．平均数变大，方差变大 B．平均数变大，方差不变 C．平均数变小，方差变小 D．平均数变小，方差不变 33．（2026高三·全国·专题练习）四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（    ） A．平均数为3，中位数为2 B．中位数为3，众数为2 C．平均数为2，方差为2.4 D．中位数为3，方差为2.8 34．（多选）（24-25高一下·湖北·期末）一组样本有互不相等的5个数据，平均数记为，方差记为，下列说法错误的是（   ） A．去掉样本数据中的最大值和最小值后得到一组新数据，其平均数等于 B．去掉样本数据中的最大值和最小值后得到一组新数据，其方差小于 C．去掉样本数据中的最小值后得到一组新数据，其方差小于 D．去掉样本数据中的中位数后得到一组新数据，其方差小于 35．（多选）（2025高一上·全国·专题练习）已知一组样本数据，下列说法正确的是（    ） A．该样本数据的60%分位数为 B．剔除某个数据：后得到新样本数据的极差不大于原样本数据的极差 C．若的平均数为2，方差为1，的平均数为6，方差为2，则的方差为5 D．若记录样本数据时，错把一个数据68写成88，那么由此求出的平均数与实际平均数的差为1 36．（25-26高二上·四川成都·期中）某机构对我国若干大型科技公司调查统计后，得到了芯片、软件两个行业从业者的年龄分布的饼图（图1）和“90后”从事这两个行业岗位的分布雷达图（图2），则下列说法中一定正确的是（    ）    A．芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多 B．芯片、软件行业中从事技术和设计岗位的“90后”人数和超过从事这两个行业总人数的25% C．芯片、软件行业从业者中，“90后”占比不超过50% D．芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”从事这两个行业的总人数少 37．（25-26高二上·贵州遵义·期中）某校高二年级半期考试测试后，为了解本次测试的情况，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩.将成绩分为，，，，，，共6组，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)在样本中，采取等比例分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取15名，则成绩在的同学有几个? (2)根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，试估计本次考试的平均分和众数； (3)若年级计划对本次测试优异的同学进行表彰，且表彰人数不超过6%，根据样本数据，试估计获得表彰的同学的最低分数. 38．（25-26高二上·四川成都·月考）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值； (2)求样本成绩的众数，中位数和平均数； (3)已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差. 39．（25-26高二上·四川成都·月考）“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，现已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出100人，并将这100人按年龄分为第1组，第2组，第3组，第4组，如图所示． (1)求的值，并估计这组数据的平均数和中位数； (2)现从年龄在及的人群中按分层抽样抽取5人，再从中选2人作为生态文明建设知识宣讲员，求这两人来自同一组的概率； (3)从年龄在及的人群中按分层抽样共抽取50人，在抽取的人中年龄在的平均数为40，方差为14，年龄在的平均数为50，方差为24． （i）已知总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记总的样本平均数为，样本方差为．证明： （ii）用样本估计总体，试估计参与关注生态文明建设的人群中年龄的平均数和方差． 题型八 总体估计中的创新题 40．（2025高一上·全国·专题练习）设样本数据，，…，的平均数为，标准差为s，若样本数据，，…，的平均数比标准差少3，则的最大值为（    ） A．1 B． C．4 D． 41．（25-26高三上·广东佛山·月考）考虑一组数据，其中是一个正整数．下列哪项（些）描述必为正确？ I．该组数据的平均数是一个整数．（　　） II．该组数据的中位数不小于3． III．该组数据的众数与上四分位数相等． A．只有II B．只有III C．只有I及II D．只有II及III 42．（2025·山东·三模）已知一组样本数据：3，7，，，13，16，其中，，该组样本的中位数为10.5.若要使该组样本的方差最小，则的值为 . 43．（24-25高一上·广西柳州·期中）为了调查柳高高二年级历史类班级对学习数学的热爱程度，对一教三楼的5个班级进行问卷调查，得到这个班级中每班热爱数学程度偏低的学生人数为（具体数据丢失）但已知这个数据的方差为，平均数为的最小值（其中，）且这个数互不相同，则其最大值为 ，数据的极差为 . 44．（25-26高一上·全国·单元测试）随着手机和网络的普及，外卖行业得到迅速发展．某外卖平台为了解某地区用户对其提供的服务的满意度，随机调查了40个用户，得到用户的满意度评分，系统自动将评分按从大到小顺序排列如下： 用户编号 评分 用户编号 评分 用户编号 评分 用户编号 评分 01 97 11 86 21 81 31 76 02 96 12 86 22 81 32 76 03 95 13 85 23 81 33 76 04 93 14 85 24 80 34 75 05 92 15 84 25 79 35 74 06 91 16 84 26 79 36 74 07 89 17 83 27 78 37 73 08 89 18 83 28 78 38 72 09 88 19 82 29 78 39 66 10 88 20 82 30 77 40 63 (1)请你估计该地区所有用户评分的21%，95%分位数． (2)若从这40个用户中抽取一个容量为10的样本，有一个数据不小心丢失了，抽到的其他9个用户的评分分别为92，84，86，78，89，74，78，77，89，且这10个数据的平均数，记这10个数据的方差为s²，若用户的满意度评分在内，则满意度等级为“A级”，试用样本估计总体的思想，根据所抽到的10个数据，估计该地区满意度等级为“A级”的用户所占的百分比． (3)平台为拓展客流，开发了一个新的评价系统．把（2）中样本的平均数和方差作为老评价系统的数据，且老系统的总数据占两个系统所有数据总和的，新系统得出的评分平均数为89分，方差为12.据此计算新老系统所有评分的方差． 参考数据：，，． 45．（24-25高一下·安徽合肥·期末）新高考模式下，学生是否选择物理作为高考考试科目对大学专业选择有着非常重要的意义．合肥六中为了解高一年级1800名学生物理科目的学习情况，将他们某次物理测试成绩（满分100分）按照分成6组，制成如图所示的频率分布直方图． (1)求1800名学生中物理测试成绩在内的频数并补全频率分布直方图． (2)学校建议，本次物理测试成绩不低于分的学生选择物理为高考考试科目，若学校希望高一年级恰有的学生选择物理为高考考试科目，试求的估计值（结果精确到）． (3)已知落在的学生成绩的平均数为，方差，落在的学生成绩的平均数为，方差，若两组学生成绩的平均数之差不大于6，求落在的学生成绩的方差的最大值． 1 / 33 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $