专题14 函数的应用（压轴题专项训练）数学北师大版2019必修第一册

专题14 函数的应用 目录： 题型一：求函数的零点 题型二：函数零点存在性定理 题型三：判断函数零点的个数 题型四：根据函数零点个数及所在区间求参数的取值范围 题型五：二分法的概念及应用 题型六：复合函数的零点问题 题型七：等高线问题 题型八：实际问题中的函数刻画 题型九：指对幂等函数模型解决实际问题 题型一、求函数的零点 [核心知识]（1）函数零点的概念:对于函数y＝f(x),我们把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)的零点。（2）函数零点与方程实数解的关系：方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点 例1，函数的零点为 ． 变式1-1，函数的零点为 ． 变式1-2，（多选题）函数f(x)=(x2-1)(x+1)的零点是 （    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 变式1-3，（多选题）函数的零点是（    ） A． B．－1 C． D．1 题型二、根据图像求参数取值范围 [核心知识]函数零点存在定理：如果函数y＝f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)<0,那么,函数y＝f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)＝0,这个c也就是方程f(x)＝0的解. [核心方法] (1)若函数f(x)的图象在x＝x0处与x轴相切，则零点x0通常称为不变号零点. (2)若函数f(x)的图象在x＝x0处与x轴相交，则零点x0通常称为变号零点． (3)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点. (4)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号. (5)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．对于函数来说，零点有与x轴相切的零点．（6）f(a)f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件． 例2，函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 变式2-1，函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 变式2-2，函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 变式2-3，方程的根所在区间是（    ） A． B． C． D． 题型三、判断函数零点的个数 [核心方法] (1)直接法：令f(x)＝0,方程有多少个不同的实数根,则f(x)有多少个零点. (2)定理法：利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等. (3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数,依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数. 例3，函数的零点的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数个 变式3-1，函数的零点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 变式3-2，若定义域为的奇函数满足，则在上的零点个数至少为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 变式3-3，设函数，，则方程有 个不相等的实数根． 题型四、根据函数零点个数及所在区间求参数的取值范围 [核心方法] (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组),再通过解不等式确定参数(范围). (2)分离参数法：先将参数分离,转化成求函数值域确定参数范围. (3)数形结合法：先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后利用数形结合法求解. 例4，已知函数恰有三个零点，则实数a的取值范围是 ． 变式4-1，已知函数，若关于x的方程至少有三个不相等的实数根，则实数a的取值范围为 ． 变式4-2，若有两个不同的零点，则实数的取值范围为 ． 变式4-3，已知函数，若函数有3个零点，则实数a的取值范围是 ． 题型五、二分法的概念及应用 [核心知识]二分法的定义 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． [核心方法] (1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0. (2)求区间(a，b)的中点x1. (3)计算f(x1)． ①若f(x1)＝0，则x1就是函数的零点． ②若f(a)·f(x1)<0，则令b＝x1(此时零点x0∈(a，x1))． ③若f(x1)·f(b)<0，则令a＝x1(此时零点x0∈(x1，b))． (4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)． 近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成. 例题5，在用二分法求方程在上的近似解时，构造函数，依次计算得，，，，，则该近似解所在的区间是（    ） A． B． C． D． 变式5-1，多选下列函数图象与轴均有交点，其中能用二分法求函数零点近似值的有（    ） A．   B．   C．   D．   变式5-2，用二分法求函数f(x)＝ex－x－2的一个正零点的近似值(精确度为0.1)时,依次计算得到如下数据：f(1)≈－0.28,f(1.5)≈0.98,f(1.25)≈0.24,f(1.125)≈－0.04,关于下一步的说法正确的是(　　) A.已经达到精确度的要求,可以取1.1作为近似值 B.已经达到精确度的要求,可以取1.125作为近似值 C.没有达到精确度的要求,应该接着计算f(1.187 5) D.没有达到精确度的要求,应该接着计算f(1.062 5) 变式5-3，用二分法求方程2x＋x－8＝0在[1,5]上的近似解时,经过两次二分法后,可确定近似解所在区间为(　　) A.[1,2]或[2,3]都可以 B.[2,3] C.[1,2] D.不能确定 题型六、复合函数的零点问题 [核心方法]求解复合函数y=f[g(x)]零点个数的一般方法是换元法,具体步骤是: (1)令t=g(x),解方程f(t)=0,解得t的值(t的值可能有多个)。 (2)根据不同的t的值解方程g(x)=t,这个方程的解x即为函数y=f[g(x)]的零点.如不能解出x的值,可结合函数y=g(x)与y=t的图象的交点个数,确定函数y=f[g(x)]的零点个数. 例6，已知函数则函数有 个零点． 变式6-1，已知函数在时有最大值和最小值，设.若关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围 变式6-2，已知定义域为的函数单调，且等式恒成立，则方程根的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式6-3，已知函数，若关于的函数有8个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型七、等高线问题 [核心方法]通常采用数形结合的方式，画出函数图像，结合交点个数求参数的范围。如果求等高线对应的交点横坐标之和、积、指数式的和，需要结合函数图像，挖掘函数性质，如对称性和不变性，再利用函数值相等逆向探究出自变量的等量关系，最后利用函数性质或者不等式求解。 例7，已知函数，若存在，且，，两两不相等，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 变式7-1，已知函数是定义域为的偶函数，当时，，如果关于的方程恰有7个不同的实数根，那么的值为 . 变式7-2，(多选)已知函数，若存在，使得，则的取值可以是（   ） A． B．3 C． D． 变式7-3，函数的定义域，当时，，函数是奇函数.记关于的方程的根为，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型八、实际问题中的函数刻画 [核心方法]“直线上升”是匀速增长,其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快,其增长量成倍增加,常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢,其增长速度缓慢.单调递减同理。 例8，某工厂年来某产品总产量与时间(年)的函数关系如图所示，下列四个选项，正确的是（    ）    A．前三年总产量增长的速度越来越快 B．前三年总产量增长的速度越来越慢 C．第年后至第年这种产品停止生产了 D．第年后至第年间总产量匀速增加 变式8-1，已知甲产品在30天内（包括第30天），销售价格为12元/件，日销售量（单位：件）与第x天的部分数据如下表所示： 5 15 18 22 26 30 35 45 48 48 44 40 给出下列三个函数模型：①；②；③. (1)请你根据上表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间x的函数关系，说明选择的理由，并求出该函数的解析式及定义域； (2)若乙产品在这30天内（包括第30天）的日销售收入（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足，根据（1）中所求函数求这30天内甲产品的日销售收入不少于乙产品的总天数. 变式8-2，秋冬季是流感的高发季节，为了预防流感，某学校决定对教室采用药熏消毒法进行消毒，药熏开始前要求学生全部离开教室.已知在药熏过程中，教室内每立方米空气中的药物含量（毫克）与药熏时间（小时）成正比：当药熏过程结束，药物即释放完毕，教室内每立方米空气中的药物含量（毫克）达到最大值.此后，教室内每立方米空气中的药物含量（毫克）与时间（小时）的函数关系式为（为常数，）.已知从药熏开始，教室内每立方米空气中的药物含量（毫克）关于时间（小时）的变化曲线如图所示. (1)从药熏开始，求每立方米空气中的药物含量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式； (2)据测定，当空气中每立方米的药物含量不高于毫克时，学生方可进入教室，那么从药薰开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室. 3 9 27 81 2 变式8-3，某同学参加研究性学习活动，得到如下实验数据： 以下函数中最符合变量与的对应关系的是（    ） A． B． C． D． 题型九、指对幂等函数模型解决实际问题 [核心方法]构建函数模型解决实际问题的步骤:(1)认真审题,分析理解实际问题的题意,为解题找出突破口;(2)依题意确定变量间的关系,构建函数模型,将实际问题转化为数学问题;(3)利用数学知识求解构建的函数模型,得出结论解决问题.（4）解题时,易忽视实际问题中自变量的取值范围,需合理确定函数的定义域,必须验证数学结果对实际问题的合理性. 例9，通常用声强来度量声音的强弱，假设讲话瞬间发出声音的声强为，则经过t秒后这段声音的声强变为，其中是一个常数.定义声音的声强衰减到原来的所需的时间为，则约为（   ） 附：，． A． B． C． D． 变式9-1，心理学家经常用函数测定时间（单位：）内的记忆量，其中A表示需要记忆的量，表示记忆率．已知一个学生在内需要记忆200个单词，而他的记忆量为20个单词，则该生的记忆率约为（    ） A． B． C． D． 变式9-2，地震的震级越大,以地震波的形式从震源释放出的能量就越大,震级与所释放的能量的关系如下:（焦耳）,那么6级地震释放的能量是4级地震释放的能量的（    ） A．倍 B．倍 C．100倍 D．1000倍 变式9-3，某公司拟投资开发一种新能源产品，估计公司能获取不低于100万元且不高于1600万元的投资收益。该公司对科研课题组的奖励方案有如下3条要求: ①奖金(单位:万元)随投资收益 (单位:万元)的增加而增加； ②奖金不低于10万元且不超过200万元; ③奖金不超过投资收益的20%. (1)设奖励方案函数模型为，我们可以用数学语言表述公司对奖励方案的函数模型，比如方案要求③“奖金不超过投资收益的20%”可以表述为:“f(x)恒成立”请你用数学语言表述另外两条奖励方案； (2)已知函数，其中符合公司奖励方案函数模型要求. 在该奖励方案函数模型前提下，科研课题组最多可以获取多少奖金? 1，人工放射性核素碘-131可发射射线治疗甲亢，已知该物质的半衰期为8天，设质量为的碘-131经过天后剩留的质量为，则关于的函数解析式是（    ） A．， B．， C．， D．， 2，设函数，则满足条件“方程有三个实数解”的实数可能的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3，已知函数若存在实数b，使得方程有两个不同的解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4，若定义域为的奇函数满足，则在上的零点个数至少为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 5，已知“不小于的最小的整数”所确定的函数通常记为，例如：，则方程的正实数根的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6，已知函数，对所有的正实数x都成立，且，则满足的正实数x的最小值为（    ） A．2001 B．186 C．429 D．543 7，两县城和相距，现计划在县城外以为直径的半圆弧（不含，两点）上选择一点建造垃圾处理站，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，垃圾处理厂对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为；对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为.对城和城的总影响度为城和城的影响度之和，记点到城市的距离为，建在处的垃圾处理厂对城和城的总影响度为.统计调查表明：当垃圾处理厂建在的中点时，对城和城的总影响度为. (1)将表示成的函数； (2)判断弧上是否存在一点，使得建在此处的垃圾处理厂对城和城的总影响度最小？若存在，求出该点到城的距离；若不存在，说明理由. 8，函数的定义域为，如果存在区间，使得在区间上单调，且函数的值域是，则称区间是函数的一个“优美区间”. (1)判断函数是否存在“优美区间”？（直接写出结论，不要求证明）； (2)求函数的“优美区间”； (3)如果函数在上存在“优美区间”，求实数的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 函数的应用 目录： 题型一：求函数的零点 题型二：函数零点存在性定理 题型三：判断函数零点的个数 题型四：根据函数零点个数及所在区间求参数的取值范围 题型五：二分法的概念及应用 题型六：复合函数的零点问题 题型七：等高线问题 题型八：实际问题中的函数刻画 题型九：指对幂等函数模型解决实际问题 题型一、求函数的零点 [核心知识]（1）函数零点的概念:对于函数y＝f(x),我们把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)的零点。（2）函数零点与方程实数解的关系：方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点 例1，函数的零点为 ． 【答案】1 【分析】直接解方程即可. 【详解】 故答案为：1 变式1-1，函数的零点为 ． 【答案】 【分析】令，解出方程即可. 【详解】令， 解得或者， 所以的零点为或 故答案为： 变式1-2，（多选题）函数f(x)=(x2-1)(x+1)的零点是 （    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】AC 【分析】根据零点的定义，解方程，即可求解. 【详解】令，解得：， 所以函数的零点是和. 故选：AC 变式1-3，（多选题）函数的零点是（    ） A． B．－1 C． D．1 【答案】CD 【分析】由零点的概念解方程即可. 【详解】解方程，得，， 所以函数的零点是，1. 故选：CD 题型二、根据图像求参数取值范围 [核心知识]函数零点存在定理：如果函数y＝f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)<0,那么,函数y＝f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)＝0,这个c也就是方程f(x)＝0的解. [核心方法] (1)若函数f(x)的图象在x＝x0处与x轴相切，则零点x0通常称为不变号零点. (2)若函数f(x)的图象在x＝x0处与x轴相交，则零点x0通常称为变号零点． (3)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点. (4)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号. (5)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．对于函数来说，零点有与x轴相切的零点．（6）f(a)f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件． 例2，函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用零点存在定理计算出满足条件的区间即可. 【详解】易知函数在上单调递增， 又，， 由函数的零点存在定理可知，函数的零点所在的一个区间是． 故选：C 变式2-1，函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数的解析式求得再根据函数的零点存在性定理即可求得函数零点所在区间. 【详解】结合题意：易得该函数在连续且单调递增， 易判断 根据函数的零点存在性定理可知在有零点. 故选：C. 变式2-2，函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性以及零点存在性定理求得正确答案. 【详解】在上单调递增， ， 所以的零点在区间. 故选：B 变式2-3，方程的根所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为零点所在区间的求解问题，利用零点存在定理求解即可. 【详解】设，则方程根所在区间即为零点所在区间， 与在上均为增函数，在上单调递增； 对于A，，当时，，A错误； 对于B，，，即， ，使得，B正确； 对于CD，当时，，在区间和上无零点，C错误，D错误. 故选：B. 题型三、判断函数零点的个数 [核心方法] (1)直接法：令f(x)＝0,方程有多少个不同的实数根,则f(x)有多少个零点. (2)定理法：利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等. (3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数,依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数. 例3，函数的零点的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数个 【答案】C 【知识点】求函数零点或方程根的个数 【分析】根据方程的根即可求解零点. 【详解】令，则，所以的零点为1和，故有两个零点， 故选：C 变式3-1，函数的零点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】直接根据函数零点定义将零点求出来即可. 【详解】函数的定义域为，令，解得， 则函数的零点个数是1个. 故选：B． 变式3-2，若定义域为的奇函数满足，则在上的零点个数至少为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】运用奇函数性质，结合周期函数性质，赋值即可求解. 【详解】由是定义域为的奇函数可得， 再由可得函数周期为1,， 中取得， 所以，，，， 所以在上的零点个数至少为7． 故选：C． 变式3-3，设函数，，则方程有 个不相等的实数根． 【答案】8 【分析】先根据指数函数的图象和平移规律得到时的图象，再根据时，将时，的图象逐次向右平移1个单位，得到时的图象，在同一坐标系中再作出的图象，注意时的关键点，考查两函数的图象的交点个数，即为方程的实数根的个数． 【详解】时时的图象是由时的的图象向右平移1个单位得到， 当时，，将其中之间的一段向右平移1个单位得到上的图象， 由的的图象逐次向右平移1个单位，得到在时的整个图象如图所示， 由图知，当时， 而在上单调递增，且 当时，． 由的图象可得两者共有8个公共点， 即方程有8个不相等的实数根． 故答案为：8． 【点睛】思路点睛：本题考查函数的零点个数问题，转化为两函数的图象的交点个数是解决问题的关键思路，根据函数解析式和时的意义，利用图象的平移变换得到在时的图象是解决问题的难点． 题型四、根据函数零点个数及所在区间求参数的取值范围 [核心方法] (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组),再通过解不等式确定参数(范围). (2)分离参数法：先将参数分离,转化成求函数值域确定参数范围. (3)数形结合法：先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后利用数形结合法求解. 例4，已知函数恰有三个零点，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】当时，由得，故在上有两个零点，转化为在上有两个零点，利用二次函数零点的分布可得参数范围. 【详解】当时，令，得，可知函数在上有一个零点， 则在上有两个零点，故当时，方程有两个不同的根， 故在上有两个不同的根， 即函数在上有两个零点， 当，则， 结合函数的图象可得，解得． 故答案为： 变式4-1，已知函数，若关于x的方程至少有三个不相等的实数根，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】将问题转化为函数与函数图像的交点问题，画出函数与函数的图像，根据图像至少有三个交点找出临界位置，就可以得到答案. 【详解】令，得两实根，， 所以 因为方程至少有三个不相等的实数根， 所以函数与函数的图像至少有三个交点， 在同一直角坐标系中，画出函数与函数的图像，如图所示， 图像要至少有三个交点，则的图像必须在如图所示的两条直线之间， 这两条直线分别为函数过点时的图像和函数的图像与函数的图像相切时的图像， 当函数的图像过点时，，此时与的图像有三个交点， 当函数的图像与函数的图像相切时，即方程只有一个实数根， 所以，得，此时与的图像有三个交点， 因此a的取值范围是. 故答案为： 变式4-2，若有两个不同的零点，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】画出函数的图象，进而确定正确答案. 【详解】画出与的图象如下图， 依题意，有两个不同的零点，由图可知. 故答案为：，   变式4-3，已知函数，若函数有3个零点，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据对数函数的性质，得到为函数的一个零点，根据题意转化为有两个小于的实根，设，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】函数，若函数有3个零点， 当时，令，即，解得，符合题意； 当时，令，即，即， 要使得函数有3个零点，在方程有两个小于的实根， 设，即函数在上与轴有两个交点， 则满足，解得，即实数的取值范围是. 故答案为：. 题型五、二分法的概念及应用 [核心知识]二分法的定义 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． [核心方法] (1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0. (2)求区间(a，b)的中点x1. (3)计算f(x1)． ①若f(x1)＝0，则x1就是函数的零点． ②若f(a)·f(x1)<0，则令b＝x1(此时零点x0∈(a，x1))． ③若f(x1)·f(b)<0，则令a＝x1(此时零点x0∈(x1，b))． (4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)． 近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成. 例题5，在用二分法求方程在上的近似解时，构造函数，依次计算得，，，，，则该近似解所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据零点存在性定理可知结果. 【详解】根据已知，，，，， 根据二分法可知该近似解所在的区间是. 故选：C 变式5-1，多选下列函数图象与轴均有交点，其中能用二分法求函数零点近似值的有（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】BCD 【分析】根据二分法的定义确定图象需满足的条件，依次判断各个选项即可. 【详解】根据二分法的定义，知函数在区间上的图象连续不断，且， 即函数的零点是变号零点，才能将区间一分为二，逐步得到零点的近似值． 对于A，因为零点左右两侧的函数值不变号，所以不能用二分法求函数零点的近似值，故A错误． 对于BCD，三个函数图象均符合二分法求函数零点近似值的条件，故BCD正确； 故选：BCD 变式5-2，用二分法求函数f(x)＝ex－x－2的一个正零点的近似值(精确度为0.1)时,依次计算得到如下数据：f(1)≈－0.28,f(1.5)≈0.98,f(1.25)≈0.24,f(1.125)≈－0.04,关于下一步的说法正确的是(　　) A.已经达到精确度的要求,可以取1.1作为近似值 B.已经达到精确度的要求,可以取1.125作为近似值 C.没有达到精确度的要求,应该接着计算f(1.187 5) D.没有达到精确度的要求,应该接着计算f(1.062 5) 【答案】C 【解析】由二分法的定义,可得正零点所在区间不断缩小,(1,1.5)→(1,1.25)→(1.125,1.25),因为|1.125－1.25|＝0.125>0.1,故没有达到精确度的要求,应该接着计算f＝f(1.187 5)的值. 变式5-3，用二分法求方程2x＋x－8＝0在[1,5]上的近似解时,经过两次二分法后,可确定近似解所在区间为(　　) A.[1,2]或[2,3]都可以 B.[2,3] C.[1,2] D.不能确定 【答案】B 【解析】设f(x)＝2x＋x－8,则f(1)＝2＋1－8＝－5<0, f(5)＝25＋5－8＝29>0,第一次取x1＝＝3,有f(3)＝23＋3－8＝3>0,故第二次取x2＝＝2,有f(2)＝22＋2－8＝－2<0,故此时可确定近似解所在区间为[2,3]. 题型六、复合函数的零点问题 [核心方法]求解复合函数y=f[g(x)]零点个数的一般方法是换元法,具体步骤是: (1)令t=g(x),解方程f(t)=0,解得t的值(t的值可能有多个)。 (2)根据不同的t的值解方程g(x)=t,这个方程的解x即为函数y=f[g(x)]的零点.如不能解出x的值,可结合函数y=g(x)与y=t的图象的交点个数,确定函数y=f[g(x)]的零点个数. 例6，已知函数则函数有 个零点． 【答案】4 【分析】令，由可得，，转化为数形结合，判断图象交点个数，即可得解. 【详解】令，由可得，， 作与的图象，如图， 由图象知有两个交点，分别设横坐标为， 则， 由可知或，有两个根， 由，显然有两个根， 综上，有4个根，即有4个零点. 故答案为：4 变式6-1，已知函数在时有最大值和最小值，设.若关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围 【答案】 【分析】根据题意得，再根据二次函数单调性列方程求解；再用换元法化简方程为一元二次方程的形式，结合指数型函数的图象、一元二次方程根的分布的知识求得的取值范围. 【详解】， 因为，当时，，为常函数，不满足题意； 所以，，在上单调递增， 因为函数在时有最大值和最小值， 所以，解得， 方程等价于， 即，， 令，则方程化为，， 因为方程有三个不同的实数解， 所以，画出的图像如下图所示， 所以，，有两个根､，且或，. 记， 所以，，即，此时 或得，此时无解， 综上，，即实数的取值范围. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于令，进而结合题意，数形结合得，，有两个根､，且或，，再根据零点存在性定理求解即可. 变式6-2，已知定义域为的函数单调，且等式恒成立，则方程根的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】首先根据题意得到，将题意转化为的零点个数，再根据在上单调递增，，，求解即可. 【详解】设①，则， 由①令得，在上单调递增，，得， 所以， 对于方程，即， 两边除以x得， 令函数， 在上单调递增，，， 所以在区间有唯一零点， 所以方程有唯一根． 故选：A． 变式6-3，已知函数，若关于的函数有8个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出的图象，设，得到根的情况，从而得到有两个不等实根，设为，且，不妨设，由韦达定理得到，，故，由对勾函数性质得到答案. 【详解】画出的图象，如下： 设， 当时，无根， 当时，有1个根， 当时，有2个根， 当或时，有3个根， 当时，有4个根， 由于至多有2个根， 要想有8个不同的零点， 需要满足， 即有两个不等实根，设为，且， ，不妨设，故，， 故， 由对勾函数性质可知，在上单调递减， 故. 故选：D 【点睛】方法点睛：复合函数零点个数问题处理思路： ①利用换元思想，设出内层函数； ②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围； ③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数. 题型七、等高线问题 [核心方法]通常采用数形结合的方式，画出函数图像，结合交点个数求参数的范围。如果求等高线对应的交点横坐标之和、积、指数式的和，需要结合函数图像，挖掘函数性质，如对称性和不变性，再利用函数值相等逆向探究出自变量的等量关系，最后利用函数性质或者不等式求解。 例7，已知函数，若存在，且，，两两不相等，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画出函数的图象，可得，，即可得结果. 【详解】画出函数的图象，如图所示：    设，则方程有3个根， 根据图可得， 不妨设与的两个交点的横坐标为，，与交点的横坐标为 则， 当时，最大，由，解得 当m接近时，接近最小，由，解得， 即 的取值范围是 故选：C. 变式7-1，已知函数是定义域为的偶函数，当时，，如果关于的方程恰有7个不同的实数根，那么的值为 . 【答案】 【分析】利用偶函数做出图象，根据数形结合确定一元二次方程的两个根，韦达定理求解. 【详解】当时，， 当时，， 又因为函数是定义域为的偶函数， 则函数图象如图所示， 当时，有2个解， 当时，有4个解， 当时，有6个解， 当时，有3个解， 当时，有无解， 所以要想有7个解， 则关于的方程要有两个不同的根，设为， 且，从而，解得，所以， 故答案为: . 变式7-2，(多选)已知函数，若存在，使得，则的取值可以是（   ） A． B．3 C． D． 【答案】CD 【分析】设，则直线与函数的图象有三个交点，结合函数的对称性求出的取值范围即可. 【详解】设，作出函数与的图象，如图： 观察图形知，当时，直线与函数的图象有三个交点， 点、关于直线对称，则，且函数在上为增函数， 由，，得，因此， 所以的取值可以是，. 变式7-3，函数的定义域，当时，，函数是奇函数.记关于的方程的根为，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出的图象，结合图象以及对称轴来求得正确答案. 【详解】当时，， 因为是奇函数，所以的图象关于对称，且， 由此画出的图象如下图所示，直线过点， 因为， 所以过点和点的直线的斜率为，对应直线方程为， 过点和点的直线的斜率为，对应直线方程为， 由图象以及对称性知，要使， 则在上有3个交点，即需. 故选：D 题型八、实际问题中的函数刻画 [核心方法]“直线上升”是匀速增长,其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快,其增长量成倍增加,常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢,其增长速度缓慢.单调递减同理。 例8，某工厂年来某产品总产量与时间(年)的函数关系如图所示，下列四个选项，正确的是（    ）    A．前三年总产量增长的速度越来越快 B．前三年总产量增长的速度越来越慢 C．第年后至第年这种产品停止生产了 D．第年后至第年间总产量匀速增加 【答案】BCD 【分析】根据折线图数据依次判断各个选项即可. 【详解】对于AB，根据图象可知前三年总产量增长的速度是先快后慢，即增长速度越来越慢，A错误，B正确； 对于C，第年总产量未发生变化，可见产品停止生产了，C正确； 对于D，第年，总产量模型为直线模型，体现为匀速增长，D正确. 故选：BCD. 变式8-1，已知甲产品在30天内（包括第30天），销售价格为12元/件，日销售量（单位：件）与第x天的部分数据如下表所示： 5 15 18 22 26 30 35 45 48 48 44 40 给出下列三个函数模型：①；②；③. (1)请你根据上表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间x的函数关系，说明选择的理由，并求出该函数的解析式及定义域； (2)若乙产品在这30天内（包括第30天）的日销售收入（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足，根据（1）中所求函数求这30天内甲产品的日销售收入不少于乙产品的总天数. 【答案】(1)选择模型②，理由见解析，， (2)11天 【分析】（1）选出正确的函数模型后求参数即可； （2）因为甲产品的日销售收入不少于乙产品的日销售，则，结合一元二次不等式与绝对值不等式解不等式，即可得结论. 【详解】（1）由表格中的数据知，当时间x增加时，先增后减， 而①③函数模型都描述的是单调函数，不符合该数据模型， 所以选择模型②：. 由，可得，解得， 所以. 由， 解得，. 所以， 定义域为. （2）因为甲产品的日销售收入不少于乙产品的日销售， 所以， 所以， 所以，所以，即， 解得， 因为， 所以这30天内甲产品的日销售收入不少于乙产品的总天数为11天. 变式8-2，秋冬季是流感的高发季节，为了预防流感，某学校决定对教室采用药熏消毒法进行消毒，药熏开始前要求学生全部离开教室.已知在药熏过程中，教室内每立方米空气中的药物含量（毫克）与药熏时间（小时）成正比：当药熏过程结束，药物即释放完毕，教室内每立方米空气中的药物含量（毫克）达到最大值.此后，教室内每立方米空气中的药物含量（毫克）与时间（小时）的函数关系式为（为常数，）.已知从药熏开始，教室内每立方米空气中的药物含量（毫克）关于时间（小时）的变化曲线如图所示. (1)从药熏开始，求每立方米空气中的药物含量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式； (2)据测定，当空气中每立方米的药物含量不高于毫克时，学生方可进入教室，那么从药薰开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室. 【答案】(1) (2)至少需要经过后，学生才能回到教室 【分析】（1）根据图象利用待定系数法计算函数关系式即可； （2）根据指数函数的单调性解不等式计算即可. 【详解】（1）依题意，当时， 可设，且，解得， 又由，解得， 所以； （2）令， 即，解得， 即至少需要经过后，学生才能回到教室. 3 9 27 81 2 变式8-3，某同学参加研究性学习活动，得到如下实验数据： 以下函数中最符合变量与的对应关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据表格给出的数据，函数的增长速度越来越慢，再依次判断每个选项函数的增长速度得到答案. 【详解】根据表格给出的数据，函数的增长速度越来越慢， 对选项A：增长速度不变，不满足； 对选项B：时，增长速度越来越大，不满足； 对选项C：时，增长速度越来越大，不满足； 对选项D：函数的增长速度越来越慢，满足. 故选：D 题型九、指对幂等函数模型解决实际问题 [核心方法]构建函数模型解决实际问题的步骤:(1)认真审题,分析理解实际问题的题意,为解题找出突破口;(2)依题意确定变量间的关系,构建函数模型,将实际问题转化为数学问题;(3)利用数学知识求解构建的函数模型,得出结论解决问题.（4）解题时,易忽视实际问题中自变量的取值范围,需合理确定函数的定义域,必须验证数学结果对实际问题的合理性. 例9，通常用声强来度量声音的强弱，假设讲话瞬间发出声音的声强为，则经过t秒后这段声音的声强变为，其中是一个常数.定义声音的声强衰减到原来的所需的时间为，则约为（   ） 附：，． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用指对数转化得出，再应用对数运算律结合计算即可. 【详解】由题意，，即， 等号两边同时取自然对数得，即， 所以． 故选：B． 变式9-1，心理学家经常用函数测定时间（单位：）内的记忆量，其中A表示需要记忆的量，表示记忆率．已知一个学生在内需要记忆200个单词，而他的记忆量为20个单词，则该生的记忆率约为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得出，再取对数得出k的值. 【详解】由题意可得：，则，取对数整理得. 故选：A. 变式9-2，地震的震级越大,以地震波的形式从震源释放出的能量就越大,震级与所释放的能量的关系如下:（焦耳）,那么6级地震释放的能量是4级地震释放的能量的（    ） A．倍 B．倍 C．100倍 D．1000倍 【答案】D 【分析】分别设出4级地震释放的能量和6级地震释放的能量,列出各自等式,将两等式相除进行化简,即可得出结果. 【详解】解:由题设4级地震释放的能量为级地震释放的能量为, 所以, 所以, 即6级地震释放的能量是4级地震释放的能量的1000倍. 故选:D 变式9-3，某公司拟投资开发一种新能源产品，估计公司能获取不低于100万元且不高于1600万元的投资收益。该公司对科研课题组的奖励方案有如下3条要求: ①奖金(单位:万元)随投资收益 (单位:万元)的增加而增加； ②奖金不低于10万元且不超过200万元; ③奖金不超过投资收益的20%. (1)设奖励方案函数模型为，我们可以用数学语言表述公司对奖励方案的函数模型，比如方案要求③“奖金不超过投资收益的20%”可以表述为:“f(x)恒成立”请你用数学语言表述另外两条奖励方案； (2)已知函数，其中符合公司奖励方案函数模型要求. 在该奖励方案函数模型前提下，科研课题组最多可以获取多少奖金? 【答案】(1)答案见解析 (2)195万元 【分析】（1）根据给定条件，利用函数单调性、值域的意义写出方案的前两个要求作答. （2）根据给定的函数模型，求出a的取值范围，再求出最多可以获取的奖金作答. 【详解】（1）“奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加”可以表述为：当时，是的增函数； “奖金不低于10万元且不超过200万元”表述为：函数值. （2）因为函数符合公司奖励方案函数模型要求，则函数在上是增函数，有， ，，解得， 由，不等式恒成立，得， 显然，，当且仅当，即时取等号， 于是，解得，从而， 因此当，时，，当且仅当且时取等号，且， 所以在该奖励方案函数模型前提下，科研课题组最多可以获取195万元奖金. 1，人工放射性核素碘-131可发射射线治疗甲亢，已知该物质的半衰期为8天，设质量为的碘-131经过天后剩留的质量为，则关于的函数解析式是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】直接根据指数函数定义求解即可. 【详解】由题意，经过一个半衰期（8天）后，剩留的质量， 经过两个半衰期（16天）后，剩留的质量， 经过三个半衰期（24天）后，剩留的质量， ， 经过天后，剩留的质量，. 故选：A. 2，设函数，则满足条件“方程有三个实数解”的实数可能的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】首先分析函数的单调性，即可画出函数图象，依题意可得与有三个交点，即可求出参数的取值范围，即可得解. 【详解】因为， 当时，则在上单调递减，在上单调递增，且， 当时，因为与在上单调递增，则在上单调递增， 则的图象如下所示： 方程有三个实数解，即与有三个交点，结合图象可知， 故符合题意的只有D. 3，已知函数若存在实数b，使得方程有两个不同的解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合函数图象分析得解. 【详解】因为，，所以函数图象如图， 当时，的图象如下，可知不存在实数b，使得方程有两个不同的解. 同理当也不满足. 当时，的图象如下，可知存在实数b，使得方程有两个不同的解. 综上，要使方程有两个不同的解，需． 故选：C 4，若定义域为的奇函数满足，则在上的零点个数至少为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】运用奇函数性质，结合周期函数性质，赋值即可求解. 【详解】由是定义域为的奇函数可得， 再由可得函数周期为1,， 中取得， 所以，，，， 所以在上的零点个数至少为7． 故选：C． 5，已知“不小于的最小的整数”所确定的函数通常记为，例如：，则方程的正实数根的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】将问题转化为与的图象交点问题，再利用新定义作出图像即可得解. 【详解】要求方程的正实数根，即求与的图像在轴右侧的交点个数， 因为，作出与的大致图象，如图，    观察图象，可知与的图象有共2个交点， 所以方程的正实数根的个数是2个. 故选：C. 6，已知函数，对所有的正实数x都成立，且，则满足的正实数x的最小值为（    ） A．2001 B．186 C．429 D．543 【答案】C 【分析】由得，计算出，故，画出的图象，并求出时，，从而得到方程，解得或，所以正实数x的最小值为429 【详解】由得， ，故， 其中，又， 可画出的图象，如下：    当时，的最大值为， 当时，的最大值为， 故与前面区间上的图象无交点， 且时，， 令，解得或， 所以正实数x的最小值为429 故选：C 7，两县城和相距，现计划在县城外以为直径的半圆弧（不含，两点）上选择一点建造垃圾处理站，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，垃圾处理厂对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为；对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为.对城和城的总影响度为城和城的影响度之和，记点到城市的距离为，建在处的垃圾处理厂对城和城的总影响度为.统计调查表明：当垃圾处理厂建在的中点时，对城和城的总影响度为. (1)将表示成的函数； (2)判断弧上是否存在一点，使得建在此处的垃圾处理厂对城和城的总影响度最小？若存在，求出该点到城的距离；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在；出该点到城的距离为 【分析】（1）由已知可得，再由当垃圾处理厂建在的中点时，对城和城的总影响度为求出即可； （2）由（1）得，令，换元后由基本不等式求解即可； 【详解】（1）由为直径，得，所以， 由已知可得， 又当垃圾处理厂建在的中点时，对城和城的总影响度为， 即当时，， 代入上式可得，解得， 所以. （2）存在， ， 令， 则， 因为，当且仅当即时取等号， 所以，此时. 8，函数的定义域为，如果存在区间，使得在区间上单调，且函数的值域是，则称区间是函数的一个“优美区间”. (1)判断函数是否存在“优美区间”？（直接写出结论，不要求证明）； (2)求函数的“优美区间”； (3)如果函数在上存在“优美区间”，求实数的取值范围. 【答案】(1)不存在 (2) (3) 【分析】（1）假设函数存在“优美区间”，可得，判断方程解的个数，即可得出结论； （2）假设函数存在“优美区间”，可得出，解方程，即可得出结果； （3）分析函数的单调性，根据“优美区间”的定义转化为二次方程有两解的问题，利用二次函数的零点分布，可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】（1）函数在区间单调递增，若存在“优美区间”，则， 所以，方程有两个不同的实数解，即， 由于，故方程无解， 所以，函数在区间上不存在“优美区间”. （2）因为，在上单调递增. 若函数存在“优美区间”，则， 即方程有两解，解得，， 故函数的“优美区间”为. （3）假设函数在上存在“优美区间”是， 因为函数在单调递减，在单调递增. ①若，则，即有两个不相等的非负实数根， 则， 设此时方程两根分别为、，则； ②若，则，即， 所以，即方程有两个不相等的非正实根， 则， 设此时方程两根分别为、，则，即. 综上，的取值范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $