第5章 章末复习课 函数应用（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（北师大版）

该高中数学单元复习讲义以知识网络框架图系统构建函数应用的知识体系，涵盖函数零点与方程根、二分法求近似解、函数模型应用三大模块，通过概念解析、方法归纳与实例分析呈现知识脉络，突出数形结合、转化思想等重难点及内在逻辑联系。 讲义亮点在于分层练习设计与素养导向的方法指导，如例1通过二次函数零点区间问题培养逻辑推理素养，例3结合经济订货模型强化数学建模能力。跟踪训练包含基础题与综合题，帮助不同层次学生掌握零点存在定理、二分法步骤等方法，为教师实施精准复习教学提供清晰路径。

一、函数的零点与方程的根 1.函数的零点主要考查零点个数以及零点所在区间，主要利用转化思想、数形结合思想，把零点问题转化成函数图象与x轴的交点以及两函数图象的交点问题. 2.掌握零点存在定理及转化思想，提升逻辑推理和直观想象素养. 例1　已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0. (1)若方程有两实根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求实数m的取值范围； (2)若方程有两个不相等的实根，且均在区间(0，1)内，求实数m的取值范围. 解　(1)令f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1，依题意函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的图象与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出函数的大致图象如图. 由图象得 即∴－<m<－， 即实数m的取值范围为. (2)根据函数图象与x轴的两个交点均在区间(0，1)内，画出函数的大致图象如图. 由图象得 即∴－<m<1－， 即实数m的取值范围是. 反思感悟　函数的零点与方程的根的关系及应用 (1)函数的零点与方程的根的关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点. (2)确定函数零点的个数有两个基本方法：利用图象研究与x轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数进行判断. 跟踪训练1　(1)函数f(x)＝的零点个数是　　　　.  答案　2 解析　①当x≤0时，由f(x)＝0，即x2－2＝0，解得x＝或x＝－.因为x≤0， 所以x＝－. ②方法一　(函数单调性法)当x>0时，f(x)＝2x－6＋ln x. 而f(1)＝2×1－6＋ln 1＝－4<0，f(3)＝2×3－6＋ln 3＝ln 3>0，所以f(1)·f(3)<0， 又函数f(x)的图象是连续的，故由零点存在定理，可得函数f(x)在(1，3)内至少有一个零点.函数f(x)＝2x－6＋ln x在(0，＋∞)上单调递增， 故函数f(x)＝2x－6＋ln x在(0，＋∞)内有且只有1个零点. 综上，函数f(x)共有2个零点. 方法二　(数形结合法)当x>0时， 由f(x)＝0，得2x－6＋ln x＝0，即ln x＝6－2x. 如图，分别作出函数y＝ln x和y＝6－2x的图象. 显然，由图可知，两函数图象只有一个交点，且在y轴的右侧，故当x>0时，f(x)＝0只有一个解. 综上，函数f(x)共有2个零点. (2)已知函数f(x)＝其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是　　　　.  答案　(3，＋∞) 解析　如图，分别作出函数y＝f(x)和y＝b的图象. 当x≤m时，f(x)＝|x|. 当x>m时，f(x)＝x2－2mx＋4m， 且在(m，＋∞)上单调递增. 若存在实数b，使方程f(x)＝b有三个不同的根， 则m2－2m·m＋4m<|m|. 因为m>0，所以m2－3m>0， 解得m>3. 二、用二分法求函数的零点或方程的近似解 1.二分法主要是利用函数零点存在定理，每次把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，达到精确度后，求得函数的零点或方程近似解的方法，其求解过程体现了数学中的分割逼近思想. 2.掌握二分法求零点的数学逼近思想，提升逻辑推理和数学运算素养. 例2　证明方程2x－x2＝0在区间(－1，0)内有且只有一解，并求该方程的近似解，精确度为0.1. 解　令f(x)＝2x－x2， 因为f(－1)＝2－1－(－1)2＝－0.5<0， f(0)＝1>0，且函数f(x)＝2x－x2在[－1，0]内的图象是连续的递增曲线，所以它在区间(－1，0)内有且只有一个零点.用二分法逐步计算，列表如下： 次数 左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值 区间长度 第1次 －1 －0.5 0 1 1 第2次 －1 －0.5 －0.5 0.46 0.5 第3次 －1 －0.5 －0.75 0.03 0.25 第4次 －0.875 －0.22 －0.75 0.03 0.125 第5次 －0.812 5 －0.09 －0.75 0.03 0.062 5 至此，我们得到区间[－0.812 5，－0.75]的区间长度为0.062 5<0.1，因此，我们可以选取－0.81作为方程2x－x2＝0的一个近似解. 反思感悟　求方程的近似解的步骤 (1)构造函数，利用函数图象或单调性确定方程解所在的大致区间，通常限制在区间(n，n＋1)，n∈Z内. (2)利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间M. (3)写出方程的近似解. 跟踪训练2　用二分法求方程ln x－2＋x＝0在区间[1，2]上的近似解，先取区间中点c＝，则下一个含根的区间是　　　　.  答案　 解析　令f(x)＝ln x－2＋x，取区间[1，2]的中点. f＝ln－2＋＝ln<0， f(1)＝ln 1－2＋1＝－1<0， f(2)＝ln 2－2＋2＝ln 2>0， 所以f(2)·f<0. 所以下一个含根的区间是. 三、函数模型的应用 1.函数模型包括一次函数、二次函数、反比例函数、分段函数、指数函数、对数函数以及幂函数等函数模型，在借助上述模型解决实际问题时，应先根据数据的变化特征，选取合适的函数模型去拟合数据，并利用该模型对实际问题作出预测. 2.在数学建模过程中提升数据分析、直观想象和数学运算素养. 例3　某化工厂生产的某种化工产品，当年产量在150吨至250吨之间时，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式近似地表示为y＝－30x＋4 000. (1)当年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低？并求出最低成本； (2)若每吨的平均出厂价为16万元，当年产量为多少吨时，可获得最大利润？并求出最大利润. 解　(1)设每吨的平均成本为S万元， 由题意可知，S＝. 即S＝－30 ＝－30，x∈(150，250)， ∵该函数在区间(150，200]上单调递减，在区间(200，250)上单调递增， ∴当x＝200时，函数有最小值， 且Smin＝×－30＝10， ∴当年产量为200吨时，每吨的平均成本最低，最低成本为10万元. (2)设可获得总利润为Q万元， 则Q＝16x－y＝16x－＋30x－4 000 ＝－(x－230)2＋1 290，x∈(150，250)， 当x＝230时，Q最大，Qmax＝1 290， 故当年产量为230吨时，可获得最大利润，最大利润为1 290万元. 反思感悟　建模的三个原则 (1)简化原则：建立模型，要对原型进行一定的简化，抓主要因素、主变量，尽量建立较低阶、较简便的模型. (2)可推演原则：建立的模型一定要有意义，既能对其进行理论分析，又能计算和推理，且能推演出正确结果. (3)反映性原则：建立的模型必须真实地反映原型的特征和关系，即应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明现实问题的功能，能回到具体研究对象中去解决问题. 跟踪训练3　经济订货批量模型，是目前大多数工厂、企业等最常采用的订货方式，即某种物资在单位时间的需求量为某常数，经过某段时间后，存储量下降到零，此时开始订货并随即到货，然后开始下一个存储周期.该模型适用于整批间隔进货、不允许缺货的存储问题，具体如下：年存储成本费T(元)关于每次订货x(单位)的函数关系为T(x)＝，其中A为年需求量，B为每单位物资的年存储费，C为每次订货费. 某化工厂需用甲醇作为原料，年需求量为6 000吨，每吨存储费为120元/年，每次订货费为2 500元. (1)若该化工厂每次订购300吨甲醇，求年存储成本费； (2)每次需订购多少吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少？最少费用为多少？ 解　(1)由题意可得，A＝6 000，B＝120，C＝2 500， 所以年存储成本费T(x)＝60x＋(x>0). 若该化工厂每次订购300吨甲醇， 则年存储成本费为 T(300)＝60×300＋＝68 000(元). (2)因为年存储成本费 T(x)＝60x＋，x>0， 所以T(x)＝60x＋ ≥2＝60 000， 当且仅当60x＝， 即x＝500时取等号， 所以每次需订购500吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少，最少费用为60 000元. 学科网（北京）股份有限公司 $