第1章 章末复习课 预备知识 （配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（北师大版）

该高中数学单元复习讲义通过知识网络框架图系统构建集合、常用逻辑用语、不等式等核心内容的知识体系，分专题梳理集合运算、充要条件、量词命题、基本不等式、一元二次不等式及实际应用的核心要点，结合例题解析与反思感悟突出重难点及内在逻辑联系。 讲义亮点在于“知识梳理-例题示范-跟踪训练”的递进设计，如集合运算用数轴分析直观化问题培养逻辑推理素养，基本不等式通过“1的代换”求最值提升数学运算能力。跟踪训练含选择、填空等题型，基础生可掌握方法，优秀生能拓展思维，为教师精准教学和学生自主复习提供有力支持。

一、集合的综合运算 1.集合的运算有交、并、补这三种常见的运算，它是集合中的核心内容.在进行集合的运算时，往往由于运算能力差或考虑不全面而出错，此时，数轴分析(或Venn图)是个好帮手，能将复杂问题直观化.在具体应用时要注意检验端点值是否符合题意，以免增解或漏解. 2.掌握集合的基本关系与基本运算，重点提升逻辑推理和数学运算素养. 例1　已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}. (1)若A∩B＝∅，求实数a的取值范围； (2)若(∁RA)∪B＝R，求a的取值范围. 解　(1)显然B≠∅，若A∩B＝∅， 则a＋3<0或a>2， 解得a<－3或a>2. ∴a的取值范围是(－∞，－3)∪(2，＋∞). (2)∵A＝{x|0≤x≤2}， ∴∁RA＝{x|x<0，或x>2}. ∵(∁RA)∪B＝R，∴在数轴上表示出集合∁RA，B，如图所示， ∴∴－1≤a≤0. ∴a的取值范围为[－1，0]. 反思感悟　借助数轴表达集合间的关系可以更直观，但操作时要规范，如区间端点的顺序、虚实不能标反. 跟踪训练1　(多选)已知集合A＝{x|x<2}，B＝{x|3－2x>0}，则(　　) A.A∩B＝ B.A∩(∁RB)＝ C.A∪B＝ D.(∁RA)∪B＝R 答案　AB 解析　因为A＝{x|x<2}，B＝{x|3－2x>0}＝，∁RA＝{x|x≥2}，∁RB＝， 所以A∩B＝， A∩(∁RB)＝，A∪B＝{x|x<2}， (∁RA)∪B＝. 二、充分条件、必要条件与充要条件 1.若p⇒q，且q不能推出p，则p是q的充分不必要条件，同时q是p的必要不充分条件； 若p⇔q，则p是q的充要条件，同时q是p的充要条件. 2.掌握充要条件的判断和证明，提升逻辑推理和数学运算素养. 例2　设p：实数x满足A＝{x|x≤3a，或x≥a(a<0)}.q：实数x满足B＝{x|－4≤x<－2}.且q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 解　∵q是p的充分不必要条件， ∴BA， ∴或 解得－≤a<0或a≤－4. ∴a的取值范围为. 反思感悟　在判定充分条件、必要条件时，要注意既要看由p能否推出q，又要看由q能否推出p，不能顾此失彼. 跟踪训练2　(1)已知p：(x＋2)(x－3)<0，q：|x－1|<2，则p是q的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　B 解析　因为p：(x＋2)(x－3)<0⇒－2<x<3； q：|x－1|<2⇒－1<x<3， 所以q⇒p，p不能推出q，所以p是q的必要不充分条件. (2)设集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}，则A＝(A∩B)的充要条件为　　　　；一个充分不必要条件可为　　　　.  答案　a≤9　6≤a≤9(答案不唯一) 解析　A＝(A∩B)⇔A⊆B，B＝{x|3≤x≤22}. 若A＝∅，则2a＋1>3a－5，解得a<6； 若A≠∅，则A⊆B⇔解得6≤a≤9. 综上可知，A＝(A∩B)的充要条件为a≤9；一个充分不必要条件可为6≤a≤9. 三、全称量词命题与存在量词命题 1.全称量词命题的否定一定是存在量词命题，存在量词命题的否定一定是全称量词命题.含有量词的命题否定时，首先改变量词，把全称量词改为存在量词，把存在量词改为全称量词，然后把判断词加以否定. 2.通过含有量词的命题的否定及利用命题的真假求参数范围等，培养逻辑推理和数学运算素养. 例3　(1)命题“∀x∈R，x2－2x＋1≥0”的否定是(　　) A.∃x∈R，x2－2x＋1≤0 B.∃x∈R，x2－2x＋1≥0 C.∃x∈R，x2－2x＋1<0 D.∀x∈R，x2－2x＋1<0 答案　C (2)若命题p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0是真命题，则实数m的取值范围是(　　) A.{m|m≥1} B.{m|m>1} C.{m|m<1} D.{m|m≤1} 答案　B 解析　命题p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0是真命题，则m≠－(x2－2x)，∵－(x2－2x)＝－(x－1)2＋1≤1， ∴m>1. ∴实数m的取值范围是{m|m>1}. 反思感悟　全称量词命题、存在量词命题真假判定 (1)全称量词命题的真假判定：要判定一个全称量词命题为真，必须对限定集合M中每一个x验证p(x)成立，一般用代数推理的方法加以证明；要判定一个全称量词命题为假，只需举出一个反例即可. (2)存在量词命题的真假判定：要判定一个存在量词命题为真，只要在限定集合M中，找到一个x，使p(x)成立即可；否则，这一存在量词命题为假. 跟踪训练3　(1)“∃m，n∈Z，使m2＝n2＋2 024”的否定是(　　) A.∀m，n∈Z，有m2＝n2＋2 024 B.∃m，n∈Z，使得m2≠n2＋2 024 C.∀m，n∈Z，有m2≠n2＋2 024 D.以上都不对 答案　C (2)若命题p：∀x∈R，x2＋ax＋2<0的否定为真命题，则实数a的取值范围是　　　　.  答案　R 解析　p的否定：∃x∈R，x2＋ax＋2≥0为真命题，显然a∈R. 四、基本不等式及应用 1.基本不等式：≥(a≥0，b≥0)是每年高考的热点，主要考查实数比较大小、不等式证明以及求最值问题，特别是求最值问题往往与实际问题相结合，同时在基本不等式的使用条件上设置一些问题，实际上是考查学生恒等变形的技巧，另外，基本不等式的和与积的转化在高考中也经常出现. 2.熟练掌握基本不等式的应用，重点提升数学抽象和数学运算素养. 例4　(1)已知2a＋b＝1，a>0，b>0，则的最小值是(　　) A.2 B.3－2 C.3＋2 D.3＋ 答案　C 解析　＝(2a＋b)＝3＋ ≥3＋2＝3＋2. 当且仅当，即a＝1－，b＝－1时，等号成立. ∴的最小值是3＋2. (2)当x>1时，不等式的最小值是　　　　.  答案　6 解析　因为x>1，所以＝(x－1)＋＋2≥2＋2＝4＋2＝6，当且仅当x－1＝，即x＝3时取等号，所以的最小值是6. 反思感悟　(1)注意寻求已知条件与目标函数之间的联系. (2)利用添项和拆项的配凑方法，使积(或和)产生定值.特别注意“1”的代换. 跟踪训练4　(多选)以下结论正确的是(　　) A.函数y＝x＋的最小值是2 B.y＝x2＋的最小值为4 C.y＝的最小值是2 D.函数y＝2－x－(x<0)的最小值为4 答案　BD 解析　当x<0时，x＋<0，故A错误； y＝x2＋≥2＝4，当且仅当x2＝，即x4＝4时，等号成立，故B正确； y＝≥2，当且仅当，即x2＝－3时，等号成立，显然不成立，故C错误； 当x<0时，y＝2－x－＝2＋≥2＋2＝4，当且仅当－x＝－，即x＝－1时，等号成立，故D正确. 五、解一元二次不等式 1.对于不含参数的一元二次不等式首先转化为标准形式(二次项系数为正)，然后能分解因式的变成因式相乘的形式，从而得到不等式的解集；对于含参数的不等式要注意对参数进行讨论，做到不重不漏. 2.掌握不等式的解法，重点提升逻辑推理和数学运算素养. 例5　解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0(a∈R). 解　原不等式可化为(x－a)(x－a2)>0. 当a<0时，a<a2，原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}； 当a＝0时，a2＝a，原不等式的解集为{x|x≠0}； 当0<a<1时，a2<a，原不等式的解集为{x|x<a2或x>a}； 当a＝1时，a2＝a，原不等式的解集为{x|x≠1}； 当a>1时，a<a2，原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}. 综上所述，当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}； 当0<a<1时，原不等式的解集为{x|x<a2或x>a}； 当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1}； 当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0}. 反思感悟　对于含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，则可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式分类讨论，分类要不重不漏. 跟踪训练5　若不等式ax2＋5x－2>0的解集是. (1)求a的值； (2)求不等式>a＋5的解集. 解　(1)依题意，可得方程ax2＋5x－2＝0的两个实数根为和2，且a<0. 由根与系数的关系，得解得a＝－2. (2)将a＝－2代入不等式，得>3， 即－3>0， 整理得>0，即(x＋1)(x＋2)<0， 解得－2<x<－1， 则不等式的解集为{x|－2<x<－1}. 六、不等式的实际应用 1.不等式的应用题常以函数为背景，多是解决现实生活、生产中的优化问题，在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值，根据题设条件构建数学模型是解题关键. 2.利用不等式解决实际应用问题，重点提升数学建模素养和数学运算素养. 例6　某商品的成本价为80元/件，售价为100元/件，每天售出100件，若售价降低x成(1成＝10%)，售出商品的数量就增加x成，要求售价不能低于成本价. (1)设该商品一天的营业额为y元，试求出y与x之间的函数关系式； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围. 解　(1)依题意得y＝100×100·. 又售价不能低于成本价， 所以100－80≥0，解得x≤2， 所以y＝40(10－x)(25＋4x)(0≤x≤2). (2)由题意得40(10－x)(25＋4x)≥10 260， 化简得8x2－30x＋13≤0，解得≤x≤. 又0≤x≤2， 所以x的取值范围为. 反思感悟　认识数学模型在科学、社会工程等诸多领域的作用，提升应用能力、实践能力，是数学建模核心素养的培养目标之一. 跟踪训练6　某自来水厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m2的二级净水处理池(如图).池的深度一定，池的外围周壁建造单价为每米400元，中间的一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价为每平方米60元，池壁厚度忽略不计.问净水池的长为多少时，可使总造价最低？ 解　设水池的长为x m，则宽为 m. 总造价y＝400＋100·＋200×60 ＝800＋12 000 ≥800×2＋12 000＝36 000， 当且仅当x＝，即x＝15时，等号成立，此时y取得最小值36 000. 所以当净水池的长为15 m时，可使总造价最低. 学科网（北京）股份有限公司 $