第2章 周末练5 范围：第2章§1～§3（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（北师大版）

**基本信息** 聚焦函数概念-性质-应用逻辑链，通过问题情境提炼定义域求解、单调性证明等方法，培养数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数概念|3题|定义域：列不等式组；同一函数：三要素判断|从集合运算到函数定义，构建概念生成链| |函数性质|5题|单调性：定义法证明；最值：图象与单调性结合|性质推导（定义→判断→应用）形成逻辑闭环| |函数应用|4题|分段函数：分类讨论；应用题：建模求最值|从数学语言表达过渡到现实问题解决|

周末练5　范围：第二章§1~§3 [分值：90分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.函数f(x)＝的定义域为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　要使f(x)有意义，只需满足 即x≤且x≠0. 2.和函数f(x)＝x2是同一个函数的是(　　) A.f(x)＝(x＋1)2 B.f(x)＝x· C.f(x)＝x2(x≥0) D.f(x)＝ 答案　D 解析　f(x)＝x2的定义域为R，值域为[0，＋∞)， 对于A，f(x)＝(x＋1)2与f(x)＝x2的对应关系不同，故不是同一个函数； 对于B，f(x)＝x·的值域为R，故不是同一个函数； 对于C，f(x)＝x2(x≥0)的定义域为{x|x≥0}，故不是同一个函数； 对于D，f(x)＝即f(x)＝所以f(x)＝x2，故与f(x)＝x2是同一个函数. 3.已知集合A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝x2＋1}，则A∩(∁RB)等于(　　) A.[0，1) B.(－∞，1) C.[－1，1) D.[－1，1] 答案　C 解析　因为A＝{x|y＝}＝{x|x≥－1}＝[－1，＋∞)， B＝{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}＝[1，＋∞)， 所以∁RB＝(－∞，1)， 所以A∩(∁RB)＝[－1，1). 4.函数f(x)＝在区间[－5，－3]上的最小值为(　　) A. B.1 C. D.2 答案　C 解析　由f(x)＝＝1－， 知f(x)在(－∞，－2)上单调递增， 所以f(x)在[－5，－3]上单调递增， 所以f(x)min＝f(－5)＝. 5.已知函数f(x)＝g(x)＝－f(x)，则函数g(x)的图象是(　　) 答案　D 解析　因为g(x)＝－f(x)，所以 g(x)的图象与f(x)的图象关于x轴对称， 由f(x)的解析式，作出f(x)的图象如图所示， 从而可得g(x)的图象为D选项. 6.定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足<0，且f(2)＝4，则不等式f(x)－>0的解集为(　　) A.(4，＋∞) B.(0，4) C.(0，2) D.(2，＋∞) 答案　C 解析　由题意，设g(x)＝xf(x)，x>0， 因为<0， 即<0， 所以函数g(x)是减函数， 不等式f(x)－>0，即>0， 因为x∈(0，＋∞)， 所以不等式等价于xf(x)－8>0，即xf(x)>8， 又f(2)＝4，则g(2)＝2·f(2)＝8， 所以不等式xf(x)>8的解集为(0，2). 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7.已知函数f(＋1)＝2x＋－1，则(　　) A.f(3)＝9 B.f(x)＝2x2－3x(x≥0) C.f(x)的最小值为－1 D.f(x)的图象与x轴有1个交点 答案　ACD 解析　令t＝＋1≥1，得＝t－1，则x＝(t－1)2，得f(＋1)＝f(t)＝2t2－3t，故f(x)＝2x2－3x，x∈[1，＋∞)，f(3)＝9，A正确，B错误. f(x)＝2x2－3x＝2，所以f(x)在[1，＋∞)上单调递增， f(x)min＝f(1)＝－1，f(x)的图象与x轴只有1个交点，C正确，D正确. 8.已知函数f(x)＝－x2＋2|x|＋1，则下列说法正确的是(　　) A.函数y＝f(x)在(－∞，－1]上单调递增 B.函数y＝f(x)在[－1，0]上单调递减 C.当x＝0时，函数y＝f(x)有最小值 D.当x＝－1或x＝1时，函数y＝f(x)有最大值 答案　ABD 解析　因为f(x)＝－x2＋2|x|＋1， 所以f(x)＝ 作出函数f(x)的图象如图所示， 由图象可知f(x)在(－∞，－1]上单调递增，在[－1，0]上单调递减，故A，B正确； 由图象可知当x＝－1或x＝1时，函数y＝f(x)有最大值，没有最小值，故C错误，D正确. 9.★★函数f(x)的定义域为R，对任意的实数x1，x2(x1≠x2)，满足x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)，下列结论正确的是(　　) A.函数f(x)是减函数 B.f(－5)<f(0)<f(1) C.f(0)＝0 D.不等式f(2x－1)<f(3－x)的解集为 答案　BD 解析　由x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)， 得(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0， 因此f(x)是增函数，A错误； 由－5<0<1，得f(－5)<f(0)<f(1)，B正确； 不一定有f(0)＝0，如f(x)＝2x在R上为增函数，f(0)＝1，C错误； 由f(2x－1)<f(3－x)，得2x－1<3－x，解得x<，D正确. 三、填空题(每小题5分，共15分) 10.已知函数f(x)＝设a＝f(f(－1))，b＝f(f(1))，则a与b的大小关系是 　　　.  答案　a>b 解析　因为f(x)＝ 所以a＝f(f(－1))＝f(0)＝π，b＝f(f(1))＝f(3×12－4)＝f(－1)＝0，所以a>b. 11.已知函数y＝f(x)是定义在[－2，2]上的增函数，则f(x2)>f(－x)的解集是　　　　　.  答案　[－，－1)∪(0，] 解析　由函数y＝f(x)在[－2，2]上单调递增，且f(x2)>f(－x)， 得 解得－≤x<－1或0<x≤. 12.★★定义min{a，b}＝若函数f(x)＝min{x2－3x＋3，－|x－3|＋3}，且f(x)在区间[m，n]上的值域为，则n－m的最大值为　　　　.  答案　 解析　由题意，可得f(x)＝ 画出分段函数f(x)的图象，如图， 由图可知，f＝f＝f，f＝f， 要使f(x)在区间[m，n]上的值域为， 可得≤m≤，n＝或m＝，n＝， 所以n－m的最大值为. 四、解答题(共27分) 13.(13分)已知函数f(x)＝ax＋的图象经过点A(1，0)，B. (1)求函数f(x)的解析式；(4分) (2)判断函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性并用定义证明；(5分) (3)求f(x)在区间上的最值.(4分) (1)解　因为函数f(x)＝ax＋的图象过点A(1，0)，B， 所以解得 因此f(x)＝－x＋. (2)证明　函数f(x)＝－x＋在(0，＋∞)上单调递减，证明如下： 设任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝＝(x2－x1)＋， 因为x2>x1>0，所以x2－x1>0，x1x2>0， 所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)， 因此函数f(x)＝－x＋在(0，＋∞)上单调递减. (3)解　由(2)知，函数f(x)＝－x＋在上单调递减，所以f(x)min＝f(1)＝0，f(x)max＝f，即f(x)在区间上的最小值为0，最大值为. 14.(14分)某旅游开发公司计划2023年在某地质大峡谷开发新的游玩项目，全年需投入固定成本300万元，若该项目在2023年有游客x万人，则需另投入成本R(x)万元，且R(x)＝该游玩项目的每张门票售价为100元.为吸引游客，该公司实行门票五折优惠活动.当地政府为鼓励企业更好发展，每年给该游玩项目财政补贴10x万元. (1)求2023年该项目的利润W(x)(万元)关于游客人数x(万人)的函数关系式(利润＝收入－成本)；(7分) (2)当2023年的游客人数为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？(7分) 解　(1)该项目的门票收入为50x万元，财政补贴收入为10x万元，共60x万元收入， 则利润W(x)＝ 化简得W(x)＝ (2)当0<x≤5时，W(x)单调递增， W(x)max＝W(5)＝－25； 当5<x≤20时，对应二次函数的图象开口向下，对称轴为x＝－＝20， 则W(x)max＝W(20)＝200； 当x>20时，∵x＋≥60， 当且仅当x＝，即x＝30时，等号成立， ∴W(x)max＝W(30)＝－30－＋265＝205. 综上，当2023年的游客人数为30万时，利润最大，最大利润为205万元. 学科网（北京）股份有限公司 $