第4章 §4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦指数、幂、对数函数模型的增长差异这一核心知识点，先通过定义与性质表格梳理三种函数的增减性、增长速度及图象特征，再对比其增长趋势，最后结合投资方案等实际问题建立模型，形成从概念理解到应用实践的完整学习支架。 以“投资回报最大化”情境导入，激发学生用数学眼光观察现实问题，通过表格对比、图象分析培养数学思维，借助实例（如方案三的指数爆炸）训练数学语言表达。课中例题与跟踪训练助教师高效授课，课后课时对点练供学生查漏补缺，强化知识应用能力。

学习目标　1.了解指数增长、幂增长、对数增长的意义.2.能结合具体实际问题，建立恰当的函数模型. 导语 同学们，等你们大学毕业了，显然要面对一个现实的问题，那就是如何使你的收入最大化，如果你现在手里有一笔资金可以用于投资，现在有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报是这样的：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.请问，你会选择哪种投资方案？为了解决这个问题，让我们一起开始今天的探究吧！ 一、函数模型的增长差异 1.指数函数、对数函数、幂函数图象的特征 　　函数 性质　　 y＝ax(a>1) y＝logbx (b>1) y＝xc (c>0) 在(0，＋∞)上的增减性 增函数 增函数 增函数 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x增大逐渐表现为与y轴“平行” 随x增大逐渐表现为与x轴“平行” 随c值的变化而各有不同 2.y＝ax(a>1)，y＝logbx(b>1)，y＝xc(x>0，c>0)不同增长情况比较 随着自变量x的增大，y＝ax的函数值增长远远大于y＝xc的函数值增长；而y＝xc的函数值增长又远远大于y＝logbx的函数值增长，即尽管它们在(0，＋∞)上都是增函数，但增长速度不在一个档次上，在(0，＋∞)上总存在一个x0，当x>x0时，logbx<xc<ax. 3.三种函数的增长趋势 当a>1时，指数函数y＝ax是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快. 当a>1时，对数函数y＝logax是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快. 当x>0，c>0时，幂函数y＝xc是增函数，并且当x>1时，c越大其函数值的增长就越快. 当底数a>1时，由于指数函数y＝ax的值增长非常快，人们常称这种现象为“指数爆炸”. 注意点： (1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型. (2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长很大时，常常选用对数函数模型. (3)函数值的大小不等同于增长速度快慢，数值大不一定增长速度快，增长速度体现在函数值的变化趋势上. 例1　(1)当x越来越大时，下列函数中增长速度最快的应该是(　　) A.y＝10 000x B.y＝log2x C.y＝x1 000 D.y＝ 答案　D 解析　由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y＝增长速度最快. (2)四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表： x 1 5 10 15 20 25 y1 2 26 101 226 401 626 y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 y3 2 10 20 30 40 50 y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 关于x呈指数函数变化的变量是　　　　.  答案　y2 解析　以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的. 从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，可知变量y2关于x呈指数函数变化. 反思感悟　常见的函数模型及增长特点 (1)指数函数模型：y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的越来越快. (2)对数函数模型：y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的越来越慢，即增长速度变缓. (3)幂函数模型：y＝xc(x>0，c>0)的增长速度介于指数增长与对数增长之间. 跟踪训练1　已知a，b，c，d四个物体沿同一方向同时开始运动，假设其经过的路程和时间x的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果运动时间足够长，则运动在最前面的物体一定是(　　) A.a B.b C.c D.d 答案　D 解析　根据四种函数的变化特点，指数函数是一个变化最快的函数，当运动时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数函数运动的物体. 二、指数函数、对数函数与幂函数模型的增长比较 例2　已知函数y＝f(x)是函数y＝log2x的反函数. (1)求y＝f(x)的解析式； (2)若x∈(0，＋∞)，试分别写出使不等式： ①log2x<2x<x2； ②log2x<x2<2x成立的自变量x的取值范围. 解　(1)∵函数y＝f(x)是函数y＝log2x的反函数， ∴f(x)＝2x. (2)作出函数y＝2x，y＝x2，y＝log2x在同一直角坐标系中的图象，可得22＝4，24＝42＝16，下面借助图象解决问题. ①∵log2x<2x<x2， ∴2<x<4， 解集为(2，4). ②∵log2x<x2<2x， ∴0<x<2或x>4， 解集为(0，2)∪(4，＋∞). 反思感悟　 用图象法判断指数函数、对数函数和幂函数的增长差异 判断指数函数、对数函数和幂函数增长快慢时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数. 跟踪训练2　函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示. (1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数； (2)以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较. 解　(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x. (2)当0<x<x1时，g(x)>f(x)；当x1<x<x2时，f(x)>g(x)；当x>x2时，g(x)>f(x)；当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x). 三、函数增长模型的应用 例3　假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番. 请问，你会选择哪种投资方案？ 解　设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y＝40进行描述；方案二可以用函数y＝10x(x∈N＋)进行描述；方案三可以用函数y＝0.4×2x－1(x∈N＋)进行描述.要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析. 画出三个函数的图象，如图所示， 由图可知方案一的函数是常函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案三的函数与方案二的函数的增长情况不相同. 可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两个方案增长的快得多，这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的.从每天所得回报看，在第1~3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5~8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元. 下面再看累计的回报数.列表如下： 天数 回报/元 方案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 一 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 二 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 660 三 0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4 409.2 818.8 因此，投资1~6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8~10天，应选择方案二；投资11天(含11天)以上，应选择方案三. 反思感悟　不同函数模型的选取标准 (1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律. (2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律. (3)对数函数增长模型适合于描述增长速度逐渐平缓的变化规律. 跟踪训练3　某公司为了实现1 000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且资金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但资金总数不超过5万元，同时资金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？ 解　作出函数y＝5，y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的图象(如图). 观察图象发现，在区间[10，1 000]上，模型y＝0.25x，y＝1.002x的图象都有一部分在直线y＝5的上方，只有模型y＝log7x＋1的图象始终在y＝5和y＝0.25x的下方，这说明只有按模型y＝log7x＋1进行奖励时才符合公司的要求. 1.知识清单：三种函数模型的增长差异. 2.方法归纳：数形结合思想和转化建模. 3.常见误区：实际问题要注明函数的定义域并作答. 课时对点练 [分值：80分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.如图是红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是(　　) A.指数函数：y＝2t B.对数函数：y＝log2t C.幂函数：y＝t3 D.二次函数：y＝2t2 答案　A 解析　由题干中的图象可知，该函数模型应为指数函数模型. 2.三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表： x 1 3 5 7 9 11 y1 5 25 45 65 85 105 y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149 y3 5 6.10 6.61 6.95 7.2 7.4 则关于x分别呈对数型函数、指数型函数、直线型函数变化的变量依次为(　　) A.y1，y2，y3 B.y2，y1，y3 C.y3，y2，y1 D.y1，y3，y2 答案　C 解析　通过指数型函数、对数型函数、直线型函数的增长规律比较可知，对数型函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数型函数的增长是爆炸式增长，变量y2随x的变化符合此规律；直线型函数的增长速度稳定不变，变量y1随x的变化符合此规律，故选C. 3.某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，之后增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后的利润y与时间x的关系，可选用(　　) A.一次函数 B.二次函数 C.指数型函数 D.对数型函数 答案　D 解析　根据函数的图象与性质可知，一次函数增长的速度不变，不满足题意；要满足调整后初期利润增长迅速，如果是二次函数，则必须开口向上，而此时在二次函数对称轴的右侧增长的速度是越来越快，不符合要求；要满足调整后初期利润增长迅速，如果是指数函数，则底数必是大于1的数，而此时指数函数增长的速度也是越来越快的，也不满足要求；对于对数函数，当底数大于1时，对数函数增长的速度先快后慢，符合要求，故选D. 4.假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示.横轴为投资时间，纵轴为每天的回报，根据以上信息，若使回报最多，则下列说法中错误的是(　　) A.投资3天以内(含3天)，采用方案一 B.投资4天，不采用方案三 C.投资6天，采用方案一 D.投资12天，采用方案二 答案　D 解析　若投资3天，由图易知方案一每天的回报最大，故采用方案一； 若投资4天，方案三回报最小，故不采用； 若投资6天，方案一为40×6＝240(元)，方案二为10＋20＋…＋60＝210(元)，故采用方案一； 若投资12天，易知采用方案三回报最大. 5.下面对函数f(x)＝lox，g(x)＝与h(x)＝在区间(0，＋∞)上的衰减情况说法正确的是(　　) A.f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越快，h(x)衰减速度越来越慢 B.f(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越慢，h(x)衰减速度越来越快 C.f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越慢，h(x)衰减速度越来越慢 D.f(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越快，h(x)衰减速度越来越快 答案　C 解析　观察函数f(x)＝lox，g(x)＝与h(x)＝在区间(0，＋∞)上的大致图象如图所示， 可知函数f(x)的图象在区间(0，1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢.同样，函数g(x)的图象在区间(0，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢.函数h(x)的图象在区间(0，1)上递减较快，但递减速度变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢. 6.在y＝2x，y＝log2x，y＝x这三个函数中，当0<x1<x2<1时，使f>恒成立的函数的个数是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案　B 解析　作出图象(略)，图象分三种：直线型，例如一次函数的图象；向上弯曲型，例如指数函数f(x)＝2x的图象；向下弯曲型，例如对数函数f(x)＝log2x的图象，可知只有y＝log2x符合要求. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.以下四种说法中，不正确的是(　　) A.幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快 B.对任意的x>0，xa>logax C.对任意的x>0，ax>logax D.若a>1，c>0，则一定存在x0，使x>x0，总有ax>xc>logax 答案　ABC 解析　对于A，幂函数的增长速度受幂指数影响，幂指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较，而B，C都受a的影响. 8.现代研究结果显示，饮茶温度最好不要超过60 ℃.一杯茶泡好后置于室内，1分钟、2分钟后测得这杯茶的温度分别为80 ℃，65 ℃，给出两个茶温T(单位：℃)关于茶泡好后置于室内时间t(单位：分钟，t∈N)的函数模型：①T＝80·＋20；②T＝60·＋20.根据所给的数据，下列结论中正确的是(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)(　　) A.选择函数模型① B.选择函数模型② C.该杯茶泡好后到饮用至少需要等待2分钟 D.该杯茶泡好后到饮用至少需要等待2.5分钟 答案　AD 解析　将t＝2代入T＝80·＋20，得T＝65； 将t＝2代入T＝60·＋20，得T＝. 故选择函数模型①. 由T＝80·＋20≤60， 可得t≥≈2.5， 故该杯茶泡好后到饮用至少需要等待2.5分钟. 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.已知函数f(x)＝3x，g(x)＝2x，当x∈R时，f(x)与g(x)的大小关系为　　　　 .  答案　f(x)>g(x) 解析 　在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)＝3x，g(x)＝2x的图象，如图所示， 由于函数f(x)＝3x的图象在函数g(x)＝2x图象的上方，则f(x)>g(x). 10.某商场2023年一月份到十二月份销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型： ①f(x)＝p·qx(q>0，q≠1)； ②f(x)＝logpx＋q(p>0，p≠1)； ③f(x)＝x2＋px＋q. 能较准确反映商场月销售额f(x)与月份x关系的函数模型为　　　　(填写相应函数的序号)，若所选函数满足f(1)＝10，f(3)＝2，则f(x)＝　　　　　　　　 .  答案　 ③　 x2－8x＋17 解析 　①②均单调，③先减后增，故能较准确反映商场月销售额f(x)与月份x关系的函数模型为③，由f(1)＝10，f(3)＝2，得 解得p＝－8，q＝17，所以f(x)＝x2－8x＋17. 四、解答题(共28分) 11.(13分)函数f(x)＝2x(x>0)和g(x)＝x2(x>0)的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2. (1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；(3分) (2)求点A，B的坐标；(4分) (3)结合函数图象，判断f(3)，g(3)，f(2 025)，g(2 025)的大小.(6分) 解　(1)C1对应的函数为g(x)＝x2(x>0)，C2对应的函数为f(x)＝2x(x>0). (2)因为f(2)＝4，g(2)＝4，f(4)＝16，g(4)＝16， 所以A(2，4)，B(4，16). (3)由图象和(2)可知， 当0<x<2时，f(x)>g(x)， 当2<x<4时，f(x)<g(x)， 当x>4时，f(x)>g(x)， 所以f(2 025)>g(2 025)，f(3)<g(3)， 又因为g(x)在(0，＋∞)上单调递增， 所以g(2 025)>g(3)， 故f(2 025)>g(2 025)>g(3)>f(3). 12.(15分)某产品近日开始上市，通过市场调查，得到该产品每件的市场价y(单位：元)与上市时间x(单位：天)的数据如表： 上市时间x/天 4 10 36 市场价y/元 90 51 90 (1)根据上表数据，从下列函数模型中选取一个恰当的函数模型来描述该产品的市场价y与上市时间x的变化关系，并简要说明你选取的理由；(6分) ①y＝ax＋b；②y＝ax2＋bx＋c； ③y＝alogbx(b>0，且b≠1). (2)利用你选取的函数模型，求该产品市场价最低时的上市天数以及最低的价格.(9分) 解　(1)因为随着时间x的增加，y的值先减后增，而所给的函数模型中y＝ax＋b和y＝alogbx(b>0，且b≠1)都是单调函数，不满足题意， 所以选择y＝ax2＋bx＋c. (2)把点(4，90)，(10，51)，(36，90)代入y＝ax2＋bx＋c中，得 解得 所以y＝x2－10x＋126＝(x－20)2＋26， 所以当x＝20时，y有最小值26， 所以当该产品上市20天时市场价最低，最低的价格为26元. 学科网（北京）股份有限公司 $