专题1.1 利用函数性质判定方程解的存在性（2知识&5题型&强化训练，高效培优讲义）高一数学北师大版2019必修第一册

专题1.1 利用函数性质判定方程解的存在性 教学目标 1.了解函数的零点、方程的解与图象与x轴交点的关系. 2.能根据零点存在定理判断函数零点大致所在区间. 3.会借助函数图象与单调性判断零点的个数. 教学重难点 重点：函数的零点、方程的解与图象与x轴交点的关系. 难点：根据零点存在定理判断函数零点大致所在区间. 知识点01 函数的零点 1.定义:对于一般函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点. 2.函数的零点、方程的解、函数的图象之间的关系函数y=f(x)有零点⇔方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)的图象与x轴有公共点. 【知识点拨】 函数的零点是点吗？ 函数的零点不是点，是使f(x)＝0的实数x，是方程f(x)＝0的根 【即学即练】 1．（25-26高一上·全国·课前预习）使得的数称为方程的解，也称为函数的 . 的零点就是函数的图象与x轴的交点的 . 【答案】 零点 横坐标 2. 函数y=2x-1的零点是 . 【答案】 函数y=2x-1的零点是. 3. 函数f(x)=x2+x+1有零点吗？ 【答案】 因为方程x2+x+1=0的Δ=1-4=-3<0,方程无根,所以函数没有零点. 知识点02 函数零点存在定理 1.前提:函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)<0; 2.结论:函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的解. 【知识点拨】 函数零点存在定理能判断零点的个数吗？ 1.函数y＝f(x)在区间上的图象是一条连续不断的曲线，当f(a)f(b)<0时函数的图象至少穿过区间一次； 2.函数零点存在定理只能判断零点是否存在，而不能确定零点的个数．当函数是单调函数，且在区间上f(a)f(b)<0，则函数的零点是唯一的． 【即学即练】 若函数y=f(x)在区间[a,b]上满足f(a)f(b)>0,则在区间(a,b)上是不是一定没有零点？ 【答案】 不一定.如f(x)=x2在区间[-1,1]上有f(-1)f(1)=1×1=1>0,但是在区间[-1,1]上有零点0,故错误. 题型01　求函数的零点 【典例1-1】（25-26高一上·江苏扬州·阶段练习）函数的零点为（    ） A．1 B．－3 C．1和－3 D．和 【答案】C 【分析】根据零点定义令计算求解. 【详解】令，，即，解得或． 故选：C. 【典例1-2】（25-26高一上·全国·课前预习）函数的零点为（   ） A． B． C．或 D．和 【答案】D 【分析】直接解方程即得函数的零点. 【详解】令，即，解得, 所以函数的零点为和. 故选：D 函数零点的求法 （1） 代数法：求方程f(x)＝0的实数根． （2） 几何法：对于不能用求根公式的方程f(x)＝0，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来．图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点． 【变式1-1】（2025高二下·湖南·学业考试）函数的零点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先研究函数的单调性，再判断零点的个数，最后分析的解即可求出． 【详解】因为在R上单调递增，在R上单调递增，所以在R上单调递增，最多只有一个零点，又因为，所以函数的零点为． 故选：B． 【变式1-2】函数的所有零点之和为（    ） A．8 B．7 C．5 D．4 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出函数的零点即可. 【详解】当时，，解得；当时，，解得， 所以函数的零点和为7. 故选：B 【变式1-3】（25-26高三上·湖南·阶段练习）函数的两个零点分别是 . 【分析】通过解方程求得正确答案. 【详解】令，即， 解得：或，故函数的零点是. 故答案为： 【变式1-4】（25-26高一上·江苏连云港·阶段练习）已知关于的一元二次方程对应的函数有一个零点是-3，则此函数的另一个零点是 ． 【分析】 由题知一元二次方程的一个根为，由韦达定理得出另一个根，即此函数的另一个零点． 【详解】关于的一元二次方程对应的函数有一个零点是， 即一元二次方程的一个根是， 设另一个根为，则，所以，此函数的另一个零点是． 故答案为:． 【变式1-5】（24-25高一·江苏·假期作业）求下列函数的零点： (1)； (2). 【答案】(1)无零点 (2)1 【分析】令得到方程，求出零点 【详解】（1）在中令，得， 又此方程无解， 所以函数无零点. （2）在中令，得， 解得， 所以函数的零点为1. 题型02　函数零点个数的判断 【典例2-1】（25-26高三上·天津红桥·开学考试）已知函数y=f(x)的图象是连续不间断的，有如下对应表： x 1 2 3 4 5 6 y 122.5 21.4 -7.4 4.5 -53.1 -125.5 那函数f(x)在区间[1，6]上的零点个数是（    ） A．只有2个 B．至多3个 C．只有3个 D．至少3个 【答案】D 【分析】结合题意，根据零点存在性定理判断即可. 【详解】 因为函数的图象是连续不间断的,且 所以根据零点存在性定理,函数在区间上至少存在一个零点； 同理，由,得函数在区间上至少存在一个零点； 由,得函数在区间上至少存在一个零点. 但不能判断函数在其它区间上是否有零点. 因此，函数在区间上至少存在3个零点. 故选：D. 【典例2-2】（2025高三上·四川·学业考试）函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由对数函数的性质及零点定义求解即可. 【详解】因为，，且函数在上单调递增，令，解得，所以函数只有一个零点. 故选：B. 【典例2-3】（25-26高一上·全国·单元测试）函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据题意，分析每一段零点个数，当时，易得一个零点，当，根据单调性及零点存在定理判断即可. 【详解】当时，令，解得， 当时，，， ，所以在上存在零点， 又因为在上单调递增，所以函数在上有唯一零点． 综上，的零点个数为2. 故选：C. 函数零点个数的判断方法 1. 能直接求出零点的直接求零点判断； 2. 利用函数的图象判断零点个数： ①原理：函数的零点个数⇐方程的根的个数⇐移项拆分为两个初等函数，函数交点个数； ②关键：拆分成的两个函数应方便作图． 3. 几何法：对于不能用求根公式的方程f(x)＝0，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来． 图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点． 【变式2-1】（25-26高三上·四川广元·阶段练习）方程的实根个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】方程的实根个数等价于两个函数的图象的交点个数，分别画出函数图象即可判断. 【详解】， 令，方程的实根个数等价于两个函数的图象的交点个数. 画出函数图象， 如图可知两个函数的图象的交点个数为1个， 即方程的实根个数为1个. 故选：B. 【变式2-2】（2025高三·全国·专题练习）已知函数是周期为2的周期函数，且当时，，则函数的零点个数是（    ） A．9 B．10 C．11 D．18 【答案】B 【分析】分别画出两函数图象，根据交点个数即可求出零点个数. 【详解】由题意，分别画出函数和的图象，如下图所示： 显然的值域为,易知，且当时，两函数图象无交点， 由图可知，与的图象共有10个交点，故原函数有10个零点． 故选：B 【变式2-3】（25-26高一上·全国·单元测试）函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】求分段函数的零点，令每段等于0解方程，取符合每段范围的的值即可． 【详解】当时，令，得（舍去）或（舍去）； 当时，令，得； 所以零点有1个. 故选：B. 【变式2-4】（25-26高三上·广东·阶段练习）函数，则函数的零点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】设，则解方程，进而利用数形结合求出与的交点个数，从而可得函数的零点个数. 【详解】设，则， 当时，，解得或（舍去），则； 当时，，解得. 画出的函数图象，如下图所示： 由图象可知，与有3个交点，与有2个交点， 所以函数的零点个数为5. 故选：C 题型03 判断零点所在区间 【典例3】（24-25高二下·云南·期末）设函数，则函数的零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，求解可得结论. 【详解】令，可得，所以. 故选：A. 判断函数零点所在区间的三个步骤 (1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值． (2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断． (3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数．则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点． 【变式3-1】.已知函数f(x)=-log2x,在下列区间中,包含f(x)零点的区间是(　　) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,4) D.(4,+∞) 【答案】C　 【详解】因为y=,y=-log2x在(0,+∞)内均单调递减, 所以函数f(x)=-log2x在定义域(0,+∞)内单调递减,且其图象在(0,+∞)上连续不断, 又f(2)=2>0, f(4)=-<0, 所以函数f(x)的唯一零点所在区间为(2,4). 故选：C. 【变式3-2】(2024·唐山高一检测)方程2x-2+2x=0的根所在的区间是 (　　) A.(-1,0)　 B.(0,1) C.(1,2)　 D.(2,3) 【答案】B　 【分析】设f(x)=2x-2+2x,根据零点存在定理,判断区间两个端点函数值异号,即可求出结果. 【详解】选B.设f(x)=2x-2+2x,f(0)=-1,f(1)=2, 所以函数的零点在(0,1)上,即方程2x-2+2x=0的根在区间(0,1)上. 题型04　求参数的取值范围 【典例4-1】（24-25高一上·天津河西·期末）“”是“函数存在零点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先利用函数零点的意义求出函数存在零点的充要条件，再结合充分条件、必要条件的定义判断得解. 【详解】令得， “有零点”等价于“有解”， 因为，所以， 所以，函数存在零点的充要条件是 故“”是“函数存在零点”的充分不必要条件. 故选：A. 【典例4-2】设f(x)=,若方程f(x)-a=0有三个不同的实数根,则实数a的取值范围是　　　　　.  【答案】(1,2] 【分析】求出f(x)在x≤0时的取值范围,再画出函数图象,则问题转化为y=f(x)与y=a有三个不同的交点,数形结合即可求出参数的取值范围. 【详解】因为f(x)=, 画出函数图象如图所示: 因为方程f(x)-a=0有三个不同的实数根, 即y=f(x)与y=a有三个不同的交点, 由图可知1<a≤2,即实数a的取值范围是(1,2]. 关于利用零点存在定理求参数的范围 1.直接法:适用于已知二次函数有几个零点求参数的取值范围,可以转化为含参一元二次方程有几个解,通过研究一元二次方程根的分布得到参数的取值范围; 2.间接法:通常针对较为复杂的函数,可以拆分为两个简单函数的差,从而转化为两个简单函数有几个交点,结合图象得到满足条件的参数的取值范围． 【变式4-1】若函数f(x)=ax-x-a(a>0,且a≠1)有两个零点,则a的取值范围是　(　　) A.(2,+∞)　 B.(1,+∞)　 C.　 D.(0,1) 【答案】 B　 【详解】 当0<a<1时, f(x)=ax-x-a在定义域上单调递减,最多只有一个零点,不满足题意; 当a>1时,根据函数f(x)=ax-x-a有两个零点,可得关于x的方程ax=x+a有两个不等实根, 即函数y=ax的图象与直线y=x+a有两个不同的交点.指数函数y=ax的图象恒过点(0,1);直线y=x+a过点(0,a),因为a>1,所以点(0,a)在(0,1)的上方,在同一平面直角坐标系中作出函数y=ax的图象与直线y=x+a,如图所示. 由图可知直线y=x+a与y=ax的图象必有两个不同的交点,即原函数有两个零点,满足题意. 综上,a的取值范围是(1,+∞). 故选B. 【变式4-2】已知函数f(x)=若x1,x2,x3,x4是关于x的方程f(x)=t的四个互不相等的解,则x1+x2+x3+x4的取值范围是(　　) A.(-2,1] B.(-2,+∞) C. D.(1,+∞) 【答案】 C　 【详解】 因为f(x)=所以f(0)=1, 当x>0时,令f(x)=1,即|log2x|=1,解得x=或x=2, 关于x的方程f(x)=t的解的个数即为y=f(x)的图象与直线y=t的交点个数, 在同一平面直角坐标系中作出函数y=f(x)的图象与直线y=t,如图, 结合图可知,关于x的方程f(x)=t有四个互不相等的解时,0<t≤1. 不妨设x1<x2<x3<x4, 结合图知,x1+x2=-4,≤x3<1,1<x4≤2, 由|log2x3|=|log2x4|,得-log2x3=log2x4,所以x3x4=1, 又x4∈(1,2], 所以x3+x4=+x4∈, 故x1+x2+x3+x4的取值范围是.故选C. 题型05　二次函数零点的分布 【典例5-1】若关于x的一元二次方程x2-2ax+4=0有两个实根,且一个实根小于1,另一个实根大于2,则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,-2) B.(2,+∞) C. D.(-∞,-2)∪(2,+∞) 【答案】C　 【详解】 设f(x)=x2-2ax+4,由题意作出y=f(x)的大致图象,如图, 故解得a>.故实数a的取值范围是.故选C. 【典例5-2】已知二次函数y=x2-6x+m的两个零点都在区间[2,+∞)内,则实数m的取值范围是(　　) A.(-∞,9) B.(8,9) C.[8,9) D.(8,+∞) 【答案】 C　 【详解】 设y=f(x)=x2-6x+m, 因为二次函数y=f(x)=x2-6x+m的两个零点都在区间[2,+∞)内, 所以解得8≤m<9, 故实数m的取值范围是[8,9).故选C. 二次函数零点分布 核心：结合图像特征+代数条件 四大关键：开口方向、判别式、对称轴位置、区间端点函数值符号 具体步骤：1. 定开口， 2. 判零点是否存在， 3. 控位置：通过对称轴限定零点的区间范围， 4. 验端点：根据开口方向，判断区间端点的函数值符号. 【变式5-1】已知关于x的方程x2+2(m-1)x+2m+6=0,若方程至少有一个正根,则实数m的取值范围是　　　　　.  【答案】 (-∞,-1] 【详解】 当关于x的方程x2+2(m-1)x+2m+6=0无实数根时,4(m-1)2-4(2m+6)<0,解得-1<m<5. 当关于x的方程x2+2(m-1)x+2m+6=0的根均为负实数时, 解得m≥5, 所以当关于x的方程x2+2(m-1)x+2m+6=0无实数根或根均为负实数时,m>-1, 则当关于x的方程x2+2(m-1)x+2m+6=0至少有一个正实数根时,m≤-1,即实数m的取值范围是(-∞,-1]. 【变式5-2】 若函数的表达式在内有零点，求实数的取值范围． 【答案】 【知识点】根据零点所在的区间求参数范围、解不含参数的一元二次不等式、根据一次函数零点的分布求参数范围 【分析】先考虑时，不成立；再考虑时，有，从而解不等式即可. 【详解】当时，，显然不成立； 当时，函数在内有零点，需， 即，即，解得或， 故实数a的取值范围是. 故答案为： 练基础 1．（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）已知函数的图象是连续不间断的，且对应关系如下表： 1 1.5 1.75 1.875 2 -6 -2.625 -0.14 1.342 -0.158 则在上的零点个数（　　） A．只有1个 B．至少有2个 C．至多有2个 D．只有2个 【答案】B 【分析】结合题意，根据零点存在性定理判断即可. 【详解】因为函数的图象是连续不间断的， 且， 所以根据零点存在性定理，函数在区间上至少存在一个零点； 同理，由，所以函数在区间上至少存在一个零点； 因此，函数在区间上至少存在2个零点. 故选：B. 2．已知是函数的一个零点，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知得出，分析出函数的单调性，进而可判断出、的符号. 【详解】由于函数、在上均为增函数， 所以，函数在上为增函数， 因为，，，. 故选：B. 3．（24-25高一上·北京顺义·期末）函数的零点所在的大致区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分别计算各选项区间端点处函数值，再根据零点存在定理判断零点所在区间. 【详解】将代入函数， . 把代入函数，则. 由于，，满足，且内图像连续，根据零点存在定理可知函数在区间内有零点. 故A正确. 将代入函数，得到. 因为，，则，所以函数在区间不一定有零点. 把代入函数，可得. 由于，，即，所以函数在区间内不一定有零点. 将代入函数，得到. 因为，，则，所以函数在区间内不一定有零点. 再由于中，时，单调递增，单调递增，则时，随着变大增大. 综上所得，函数的零点所在的大致区间是， 故选：A 4．（25-26高三上·四川广元·阶段练习）方程的实根个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】方程的实根个数等价于两个函数的图象的交点个数，分别画出函数图象即可判断. 【详解】， 令，方程的实根个数等价于两个函数的图象的交点个数. 画出函数图象， 如图可知两个函数的图象的交点个数为1个， 即方程的实根个数为1个. 故选：B. 5．（2025高三上·四川·学业考试）函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由对数函数的性质及零点定义求解即可. 【详解】因为，，且函数在上单调递增，令，解得，所以函数只有一个零点. 故选：B. 6．（25-26高一上·辽宁·期中）已知函数则的零点之和为（    ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 【答案】A 【分析】分和直接解方程即可. 【详解】当时，令，得； 当时，令，得. 所以的零点之和为. 故选：A 7．（25-26高一上·全国·单元测试）函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据题意，分析每一段零点个数，当时，易得一个零点，当，根据单调性及零点存在定理判断即可. 【详解】当时，令，解得， 当时，，， ，所以在上存在零点， 又因为在上单调递增，所以函数在上有唯一零点． 综上，的零点个数为2. 故选：C. 8.已知关于x的方程2kx2-2x-5k-1=0的两个实数根一个小于1,另一个大于1,则实数k的取值范围是(　　) A.(0,+∞) B.(-1,0) C.(-∞,-1) D.(-∞,-1)∪(0,+∞) 【答案】 D　 【详解】设f(x)=2kx2-2x-5k-1,由题意可知函数f(x)有两个零点,所以k≠0, 若k>0,则f(x)=2kx2-2x-5k-1的图象开口向上, 要使f(x)有两个零点且一个大于1另一个小于1, 则f(1)=2k-2-5k-1<0,解得k>-1,故k>0. 若k<0,则f(x)=2kx2-2x-5k-1的图象开口向下, 要使f(x)有两个零点且一个大于1另一个小于1, 则f(1)=2k-2-5k-1>0,解得k<-1. 综上,实数k的取值范围是(-∞,-1)∪(0,+∞). 9.若函数f(x)=2x2+ax-b在x∈[0,1]上有两个不同的零点,则下列结论正确的是(　　) A.b2+8a>0 B.a-b≥-2 C.b<0 D.-2≤a≤0 【答案】 B　 【详解】f(x)=2x2+ax-b在x∈[0,1]上有两个不同的零点, 则故 故B中结论正确,A,C,D中结论错误, 故选B. 10．（25-26高一上·江苏无锡·阶段练习）二次函数的一个零点是 . 【答案】（答案不唯一，也可） 【详解】令，解得或， 故二次函数的零点是、. 故答案为：.（答案不唯一，也可） 11．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）函数的零点是 ． 【答案】 【详解】令，解得，所以函数的零点是． 故答案为：. 练提升 12．（25-26高三上·北京朝阳·期中）若方程在区间上有解，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】易得函数在上单调递增，结合，，根据零点存在性定理即可求解. 【详解】由，则，， 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 又， ， 则函数有且仅有一个零点，且，则. 故选：C 13．（25-26高一上·北京·阶段练习）下面四个条件中，“函数存在零点”的必要但不充分的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由函数存在零点，得到有解，从而得到，解出的范围，再按照选项一一分析得解. 【详解】函数存在零点，有解，，， 对于选项A：是的充分但不必要条件； 对于选项B：是的必要但不充分条件； 对于选项C：是的充要条件； 对于选项D：是的既不充分也不必要条件. 故选：B. 14．（25-26高三上·上海·阶段练习）已知是定义在上的偶函数，满足，且当时，，则下列结论错误的是（    ） A．当时， B． C．的图像关于点对称 D．函数有3个零点 【答案】C 【分析】根据题设可得周期为4，对A，根据条件，利用偶函数的性质，即可求解；对B，利用函数的周期性，即可求解；对C，假设结论成立，从而有，再根据题设有，即可求解；对D，将问题转化成图象交点的个数，在同一坐标系中，作出两函数的图象，即可求解. 【详解】因为是定义在上的偶函数，且， 则，即周期为4， 对于选项A，因为时，， 则时，，，又， 所以时，，故A正确， 对于选项B，，故B正确， 对于选项C，若的图像关于点对称， 则，又， 则与矛盾，故C错误， 对于选项D，令，得， 由选项A知，， 又的周期为，则同一直角坐标系中， 作出函数的图象，如图所示， 由图可知，有个交点， 所以函数有个零点，故D正确， 故选：C. 15．（2025高一·全国·专题练习）（1）若方程有两解，则实数的取值范围是 ； （2）若方程有一解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】（1）将方程解的个数问题转化为和的图象的交点个数问题，画出图象，利用数形结合求解． （2）将方程解的个数问题转化为和的图象的交点个数问题，画出图象，利用数形结合求解． 【详解】（1）方程有两解，即有两解，从而函数和的图象有两个交点，作出图象，如图1．    由图可知，，则实数的取值范围是． （2）方程有一解，则函数和的图象有一个交点，作出图象，如图2．由图可知，或，则实数的取值范围是．    16．（25-26高一·江苏·假期作业）求下列函数的零点： (1)； (2)； 【分析】由函数零点定义可知，在函数表达式中令，解关于方程即可. 【详解】（1）在中令，得， 解得或， 所以函数的零点为. （2）在中令，得， 解得或， 所以函数的零点为. 练创新 17．（2025高一·全国·专题练习）若函数则函数的零点为 ． 【答案】和1 【分析】根据题意，分类讨论取不同范围的值时，解方程的根即可求解. 【详解】函数的零点即方程的根． 当时，方程，即， 解得或， 因为，舍去，所以； 当时，方程，即，解得，符合题意． 综上，函数的零点为和1． 故答案为：和1. 18．（25-26高三上·福建福州·阶段练习）已知函数，关于的方程的解的个数可能是 . 【答案】 【分析】令，方程转化为，再根据判别式分析二次方程根的个数，再结合分段函数得出方程的解的个数情况. 【详解】函数的图像如下：    令，则，则， 当时，即，或，方程无解， 即无解； 当时，，由图可知与的图象有两个交点，即方程解的个数为2个， 当时，即，，，则， 故，， 当时，则有两解， 当时，若，则有三解，若，则有两解， 故方程解的个数为4或5个， 综上方程解的个数可能为个. 故答案为：. 19．（25-26高一上·江苏苏州·期中）已知函数是偶函数，. (1)求函数的零点； (2)若函数有零点，求实数k的取值集合； (3)当时，函数与的值域相同，求的最大值. 【分析】（1）根据偶函数的定义求得，然后求得，最后结合对数概念根据零点的定义求解即可. （2）由函数的解析式可得，再由换元法将函数零点问题转化为二次函数在某区间上与轴有交点，即可得到结果； （3）先根据基本不等式求得，再结合二次函数的单调性得为方程的两个根，结合复合函数的单调性，奇偶性即可得解. 【详解】（1）是偶函数， 则，即， ， 由的任意性得，即， ， ， 令，则或（舍去），即， 有一个零点为. （2）由（1）可知，则， 令可得， 令，当且仅当时，即时，等号成立， 即，即方程有实根， 即，，令，， 由对勾函数的单调性可知，单调递减，单调递增， 所以时，，所以. 则实数的取值集合为. （3）设当时，函数的值域为， 则函数的值域也为， 由（1）知， 当且仅当，即时等号成立， 令，则， 在区间上单调递增， 所以当时，的值域为， 即，则， 即为方程的两个根，解得， 所以当时，的值域为， 令，则， 在上单调递增，对勾函数在上单调递增， 由复合函数的单调性知，在上单调递增， 是偶函数，在上单调递减， 令，即，解得或， 即或， 故的最大值为. 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1 利用函数性质判定方程解的存在性 教学目标 1.了解函数的零点、方程的解与图象与x轴交点的关系. 2.能根据零点存在定理判断函数零点大致所在区间. 3.会借助函数图象与单调性判断零点的个数. 教学重难点 重点：函数的零点、方程的解与图象与x轴交点的关系. 难点：根据零点存在定理判断函数零点大致所在区间. 知识点01 函数的零点 1.定义:对于一般函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的 . 2.函数的零点、方程的解、函数的图象之间的关系函数y=f(x)有 ⇔方程f(x)=0有 ⇔函数y=f(x)的图象与x轴有 . 【知识点拨】 函数的零点是点吗？ 函数的零点不是点，是使f(x)＝0的实数x，是方程f(x)＝0的根 【即学即练】 1．（25-26高一上·全国·课前预习）使得的数称为方程的解，也称为函数的 . 的零点就是函数的图象与x轴的交点的 . 2. 函数y=2x-1的零点是 . 3. 函数f(x)=x2+x+1有零点吗？ 知识点02 函数零点存在定理 1.前提:函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有 ; 2.结论:函数y=f(x)在区间 内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得 ,这个c也就是方程f(x)=0的解. 【知识点拨】 函数零点存在定理能判断零点的个数吗？ 1.函数y＝f(x)在区间上的图象是一条连续不断的曲线，当f(a)f(b)<0时函数的图象至少穿过区间一次； 2.函数零点存在定理只能判断零点是否存在，而不能确定零点的个数．当函数是单调函数，且在区间上f(a)f(b)<0，则函数的零点是唯一的． 【即学即练】 若函数y=f(x)在区间[a,b]上满足f(a)f(b)>0,则在区间(a,b)上是不是一定没有零点？ 题型01　求函数的零点 【典例1-1】（25-26高一上·江苏扬州·阶段练习）函数的零点为（    ） A．1 B．－3 C．1和－3 D．和 【典例1-2】（25-26高一上·全国·课前预习）函数的零点为（   ） A． B． C．或 D．和 函数零点的求法 （1） 代数法：求方程f(x)＝0的实数根． （2） 几何法：对于不能用求根公式的方程f(x)＝0，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来．图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点． 【变式1-1】（2025高二下·湖南·学业考试）函数的零点为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高一下·云南昭通·期末）函数的所有零点之和为（    ） A．8 B．7 C．5 D．4 【变式1-3】（25-26高三上·湖南·阶段练习）函数的两个零点分别是 . 【变式1-4】（25-26高一上·江苏连云港·阶段练习）已知关于的一元二次方程对应的函数有一个零点是-3，则此函数的另一个零点是 ． 【变式1-5】（24-25高一·江苏·假期作业）求下列函数的零点： (1)； (2). 题型02　函数零点个数的判断 【典例2-1】（25-26高三上·天津红桥·开学考试）已知函数y=f(x)的图象是连续不间断的，有如下对应表： x 1 2 3 4 5 6 y 122.5 21.4 -7.4 4.5 -53.1 -125.5 那函数f(x)在区间[1，6]上的零点个数是（    ） A．只有2个 B．至多3个 C．只有3个 D．至少3个 【典例2-2】（2025高三上·四川·学业考试）函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【典例2-3】（25-26高一上·全国·单元测试）函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 函数零点个数的判断方法 1. 能直接求出零点的直接求零点判断； 2. 利用函数的图象判断零点个数： ①原理：函数的零点个数⇐方程的根的个数⇐移项拆分为两个初等函数，函数交点个数； ②关键：拆分成的两个函数应方便作图． 3. 几何法：对于不能用求根公式的方程f(x)＝0，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来． 图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点． 【变式2-1】（25-26高三上·四川广元·阶段练习）方程的实根个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2-2】（2025高三·全国·专题练习）已知函数是周期为2的周期函数，且当时，，则函数的零点个数是（    ） A．9 B．10 C．11 D．18 【变式2-3】（25-26高一上·全国·单元测试）函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2-4】（25-26高三上·广东·阶段练习）函数，则函数的零点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型03 判断零点所在区间 【典例3】（24-25高二下·云南·期末）设函数，则函数的零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 判断函数零点所在区间的三个步骤 (1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值． (2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断． (3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数． 则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点． 【变式3-1】.已知函数f(x)=-log2x,在下列区间中,包含f(x)零点的区间是(　　) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,4) D.(4,+∞) 【变式3-2】(2024·唐山高一检测)方程2x-2+2x=0的根所在的区间是 (　　) A.(-1,0)　 B.(0,1) C.(1,2)　 D.(2,3) 题型04　求参数的取值范围 【典例4-1】（24-25高一上·天津河西·期末）“”是“函数存在零点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例4-2】设f(x)=,若方程f(x)-a=0有三个不同的实数根,则实数a的取值范围是　　　　　.  关于利用零点存在定理求参数的范围 1.直接法:适用于已知二次函数有几个零点求参数的取值范围,可以转化为含参一元二次方程有几个解,通过研究一元二次方程根的分布得到参数的取值范围; 2.间接法:通常针对较为复杂的函数,可以拆分为两个简单函数的差,从而转化为两个简单函数有几个交点,结合图象得到满足条件的参数的取值范围． 【变式4-1】若函数f(x)=ax-x-a(a>0,且a≠1)有两个零点,则a的取值范围是　(　　) A.(2,+∞) 　B.(1,+∞)　 C.　 D.(0,1) 【变式4-2】已知函数f(x)=若x1,x2,x3,x4是关于x的方程f(x)=t的四个互不相等的解,则x1+x2+x3+x4的取值范围是(　　) A.(-2,1] B.(-2,+∞) C. D.(1,+∞) 题型05　二次函数零点的分布 【典例5-1】若关于x的一元二次方程x2-2ax+4=0有两个实根,且一个实根小于1,另一个实根大于2,则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,-2) B.(2,+∞) C. D.(-∞,-2)∪(2,+∞) 【典例5-2】已知二次函数y=x2-6x+m的两个零点都在区间[2,+∞)内,则实数m的取值范围是(　　) A.(-∞,9) B.(8,9) C.[8,9) D.(8,+∞) 二次函数零点分布 核心：结合图像特征+代数条件 四大关键：开口方向、判别式、对称轴位置、区间端点函数值符号 具体步骤：1. 定开口， 2. 判零点是否存在， 3. 控位置：通过对称轴限定零点的区间范围， 4. 验端点：根据开口方向，判断区间端点的函数值符号. 【变式5-1】已知关于x的方程x2+2(m-1)x+2m+6=0,若方程至少有一个正根,则实数m的取值范围是　　　　　.  【变式5-2】 若函数的表达式在内有零点，求实数的取值范围． 练基础 1．（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）已知函数的图象是连续不间断的，且对应关系如下表： 1 1.5 1.75 1.875 2 -6 -2.625 -0.14 1.342 -0.158 则在上的零点个数（　　） A．只有1个 B．至少有2个 C．至多有2个 D．只有2个 2．已知是函数的一个零点，若，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·北京顺义·期末）函数的零点所在的大致区间是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·四川广元·阶段练习）方程的实根个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（2025高三上·四川·学业考试）函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（25-26高一上·辽宁·期中）已知函数则的零点之和为（    ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 7．（25-26高一上·全国·单元测试）函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 8.已知关于x的方程2kx2-2x-5k-1=0的两个实数根一个小于1,另一个大于1,则实数k的取值范围是(　　) A.(0,+∞) B.(-1,0) C.(-∞,-1) D.(-∞,-1)∪(0,+∞) 9.若函数f(x)=2x2+ax-b在x∈[0,1]上有两个不同的零点,则下列结论正确的是(　　) A.b2+8a>0 B.a-b≥-2 C.b<0 D.-2≤a≤0 10．（25-26高一上·江苏无锡·阶段练习）二次函数的一个零点是 . 11．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）函数的零点是 ． 练提升 12．（25-26高三上·北京朝阳·期中）若方程在区间上有解，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 13．（25-26高一上·北京·阶段练习）下面四个条件中，“函数存在零点”的必要但不充分的条件是（   ） A． B． C． D． 14．（25-26高三上·上海·阶段练习）已知是定义在上的偶函数，满足，且当时，，则下列结论错误的是（    ） A．当时， B． C．的图像关于点对称 D．函数有3个零点 15．（2025高一·全国·专题练习）（1）若方程有两解，则实数的取值范围是 ； （2）若方程有一解，则实数的取值范围是 ． 16．（25-26高一·江苏·假期作业）求下列函数的零点： (1)； (2)； 练创新 17．（2025高一·全国·专题练习）若函数则函数的零点为 ． 18．（25-26高三上·福建福州·阶段练习）已知函数，关于的方程的解的个数可能是 . 19．（25-26高一上·江苏苏州·期中）已知函数是偶函数，. (1)求函数的零点； (2)若函数有零点，求实数k的取值集合； (3)当时，函数与的值域相同，求的最大值. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $