第4章 3.3 第2课时 对数函数y＝logax的图象和性质的综合问题（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦对数型复合函数的单调性、值域、最值及实际应用，在对数函数基本图象和性质基础上，通过换元法将其转化为一次或二次函数，构建从基础到综合应用的学习支架。 资料以分层例题（如碳14衰减实际问题）、方法归纳（换元法、分类讨论）及课时对点练为特色，培养学生数学思维（逻辑推理、运算能力）与数学语言（模型观念表达实际问题），课中辅助教师高效教学，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

第2课时　对数函数y＝logax的图象和性质的综合问题 学习目标　1.掌握对数型复合函数的单调性、最值、值域.2.了解对数函数的综合应用. 导语 这节课我们所探讨的是与对数函数有关的复合函数，主要是对数函数与一次函数、二次函数复合成的新函数，以及求这些新函数的单调性、奇偶性、最值、值域等问题，并通过换元的方法，把复杂的复合函数转化成简单的初等函数. 一、对数型复合函数的单调性 例1　(1)讨论函数f(x)＝loga(3x2－2x－1)的单调性. 解　由3x2－2x－1>0得函数的定义域为.令u＝3x2－2x－1， ①当a>1时，若x>1，则u＝3x2－2x－1单调递增， ∴f(x)＝loga(3x2－2x－1)在(1，＋∞)上单调递增； 若x<－，则u＝3x2－2x－1单调递减， ∴f(x)＝loga(3x2－2x－1)在上单调递减， ②当0<a<1时，则f(x)＝loga(3x2－2x－1)在(1，＋∞)上单调递减；f(x)＝loga(3x2－2x－1)在上单调递增. (2)已知函数f(x)＝log2. ①判断函数的奇偶性； ②求函数的单调区间. 解　①要使函数有意义， 则有或解得x>1或x<－1. 所以此函数的定义域是(－∞，－1)∪(1，＋∞). 所以函数的定义域关于原点对称. 又f(－x)＝log2＝log2 ＝－log2＝－f(x). 所以f(x)为奇函数. ②设u＝＝1＋， x<－1或x>1. 则u(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递减， 又y＝log2u在定义域上单调递增， 所以f(x)在(1，＋∞)上单调递减， 在(－∞，－1)上也单调递减. 故f(x)＝log2的单调递减区间是(－∞，－1)和(1，＋∞). 反思感悟　(1)求形如y＝logaf(x)的函数的单调区间的步骤 ①求出函数的定义域. ②研究函数t＝f(x)和函数y＝logat在定义域上的单调性. ③依据“同增异减”原则，求函数y＝logaf(x)的单调区间. (ⅰ)当a>1时，y＝logaf(x)的单调性与y＝f(x)的单调性一致. (ⅱ)当0<a<1时，y＝logaf(x)的单调性与y＝f(x)的单调性相反. (2)对数函数本身不具有奇偶性，但由对数函数复合而成的某些函数具有奇偶性. 跟踪训练1　已知y＝loga(2－ax)在[0，1]上单调递减，求a的取值范围. 解　令u＝2－ax，则y＝logau. 因为a>0，所以u＝2－ax单调递减， 由题意知y＝logau在[2－a，2]内单调递增， 所以a>1. 又u＝2－ax在x∈[0，1]上恒大于0， 所以2－a>0，解得a<2.综上，1<a<2. 所以a的取值范围为(1，2). 二、对数型复合函数的值域 例2　设函数f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，且a≠1). (1)求函数f(x)的定义域； (2)若f(1)＝2，求函数f(x)在区间上的最大值. 解　(1)由题意得解得－1<x<3， 所以函数f(x)的定义域为(－1，3). (2)因为f(1)＝2，所以loga4＝2(a>0，且a≠1)， 所以a＝2， 则f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)＝log2[(1＋x)(3－x)]＝log2[－(x－1)2＋4]， 函数y＝－(x－1)2＋4在(－1，1]上单调递增，在(1，3)上单调递减， 所以当x∈(－1，1]时，f(x)单调递增； 当x∈(1，3)时，f(x)单调递减， 故函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2. 反思感悟　对数型复合函数的值域的求解技巧 (1)形如y＝logaf(x)的值域，常用换元法，令t＝f(x)，根据对数函数y＝logat的单调性及真数的取值范围求解. (2)形如y＝f(logax)的值域，常用换元法，结合其他函数的性质求解.常见的有二次函数形式如y＝m·[f(logax)]2＋bf(logax)＋c. (3)单调性法：根据函数在定义域(或定义域的某个子集)上的单调性，求出函数的值域. 跟踪训练2　(1)求函数y＝(lox)2－lox＋5在区间[2，4]上的最大值和最小值. 解　由y＝lox在区间[2，4]上单调递减知， lo4≤lox≤lo2，即－2≤lox≤－1. 设t＝lox，则－2≤t≤－1，且y＝t2－t＋5. 而y＝t2－t＋5的图象的对称轴为直线t＝，且在区间上单调递减， 而[－2，－1]⊆. 所以当t＝－2，即x＝4时， 此函数取得最大值，最大值为10； 当t＝－1，即x＝2时， 此函数取得最小值，最小值为. (2)求函数y＝log2(3＋2x－x2)的定义域和值域. 解　由3＋2x－x2>0，得x2－2x－3<0， 解得－1<x<3，所以其定义域为(－1，3)， 令u＝3＋2x－x2＝4－(x－1)2≤4， 又y＝log2u是增函数. 所以y≤log24＝2，所以其值域为(－∞，2]. 三、对数函数在实际问题中的应用 例3　(课本例8)人们早就发现了放射性物质的衰减现象.在考古工作中，常用14C的含量来确定有机物的年代.已知放射性物质的衰减服从指数规律：C(t)＝C0e－rt， 其中t表示衰减时间，C0表示放射性物质的原始质量，C(t)表示经衰减了t年后剩余的质量. 为计算衰减的年代，通常给出该物质质量衰减一半的时间，称其为该物质的半衰期.14C的半衰期大约是5 730年.人们又知道，放射性物质的衰减速度与其质量成正比. 1950年，在伊拉克发现一根古巴比伦王国时期刻有汉谟拉比王朝字样的木炭，当时测定，其14C的衰减速度为4.09个/(g·min)，而新砍伐树木烧成的木炭中14C的衰减速度为6.68个/(g·min).请估算出汉谟拉比王朝所在年代. 解　因为14C的半衰期大约是5 730年，所以由衰减规律，得＝e－5 730r. 解得r＝.因此14C的衰减规律服从指数型函数C(t)＝C0＝C0·. 设发现汉谟拉比王朝字样的木炭时(1950年)，该木炭已衰减了t0年.因为放射性物质的衰减速度与其质量成正比，所以， 于是. 两边取以2为底的对数，得－＝log2. 解得t0＝5 730log2≈5 730×0.707 7≈4 055. 所以该木炭已衰减了约4 055年，即汉谟拉比王朝大约存在于公元前2100年. 例3　已知某种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，现给某病人静脉注射了1个单位的该药物，设经过y个小时后，药物在病人血液中的量为x个单位. (1)求y与x的关系式； (2)当该药物在病人血液中的量低于0.3个单位时，病人就有危险，要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过多少个小时？(精确到整数)(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477) 解　(1)由题意知，x＝1×(1－20%)y＝0.8y，即y与x的关系式为y＝log0.8x(0<x≤1). (2)由题意知，当x≥0.3时，病人才不会有危险，因为y＝log0.8x≤log0.80.3＝≈≈5， 所以再次注射该药物的时间不能超过5个小时. 反思感悟　对数函数的单调性及反比例函数的单调性解释了实际生活中的现象. 跟踪训练3　大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数v＝log3，单位是m/s，其中Q表示鲑鱼的耗氧量的单位数. (1)当一条鲑鱼的耗氧量是2 700个单位时，它的游速是多少？ (2)计算一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数. 解　(1)令Q＝2 700， 则v＝log3log327＝1.5. 所以所求鲑鱼的游速是1.5 m/s. (2)令v＝0，则log3＝0，可得＝1， 解得Q＝100. 所以一条鲑鱼静止时的耗氧量为100个单位. 1.知识清单： (1)简单对数型复合函数的单调性、值域及最值问题. (2)对数函数在实际问题中的应用 2.方法归纳：换元法、分类讨论法. 3.常见误区：求对数型复合函数的单调性易忽视定义域. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1.若函数f(x)＝log2(x＋1)的定义域是[0，1]，则函数f(x)的值域为(　　) A.[0，1] B.(0，1) C.(－∞，1] D.[1，＋∞) 答案　A 解析　∵0≤x≤1，∴1≤x＋1≤2， ∴log21≤log2(x＋1)≤log22， 即0≤log2(x＋1)≤1，故函数f(x)的值域为[0，1]. 2.函数f(x)＝ln(|x|＋1)的图象大致是(　　) 答案　C 解析　f(x)＝ln(|x|＋1)，x∈R，排除A； f(－x)＝ln(|－x|＋1)＝ln(|x|＋1)＝f(x)， 故函数f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，排除B； 当x＝0时，f(0)＝ln 1＝0，排除D； 选项C符合题意. 3.关于函数y＝log0.4(－x2＋3x＋4)，下列说法错误的是(　　) A.定义域为(－1，4) B.定义域为(－∞，－1)∪(4，＋∞) C.值域为[－2，＋∞) D.单调递增区间为 答案　B 解析　令－x2＋3x＋4>0，得－1<x<4. 即函数y＝log0.4(－x2＋3x＋4)的定义域为(－1，4)，A正确，B错误； ∵－x2＋3x＋4＝－，x∈(－1，4)， ∴－x2＋3x＋4∈， ∴y＝log0.4(－x2＋3x＋4)的值域为[－2，＋∞)，C正确； 令t＝－x2＋3x＋4，x∈(－1，4)， 则其在上单调递增，在上单调递减， 又y＝log0.4t在(0，＋∞)上单调递减， ∴y＝log0.4(－x2＋3x＋4)的单调递增区间为，D正确. 4.已知函数f(x)＝log3(1－ax)，若f(x)在(－∞，2]上为减函数，则实数a的取值范围为(　　) A.(0，＋∞) B. C.(1，2) D.(－∞，0) 答案　B 解析　由于函数f(x)＝log3(1－ax)在(－∞，2]上为减函数，且函数y＝log3u为增函数， 则函数u＝1－ax在(－∞，2]上为减函数， ∴－a<0，得a>0，且u＝1－ax>0在(－∞，2]上恒成立， 则umin＝1－2a>0，解得a<. 因此，实数a的取值范围是. 5.若函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0，1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为(　　) A. B. C.2 D.4 答案　B 解析　由题意得当a>1时， f(1)＋f(0)＝a＋loga2＋1＝a， 即loga2＝－1，解得a＝，与a>1矛盾； 当0<a<1时，f(0)＋f(1)＝1＋a＋loga2＝a， 即loga2＝－1，解得a＝. 综上，a的值为. 6.生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量P会按确定的比率衰减(称为衰减率)，P与死亡年数t之间的函数关系式为P＝(其中a为常数)，大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.若2024年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的79%，则可推断该文物属于(参考数据：log20.79≈－0.34)(　　) 参考时间轴： A.战国 B.汉 C.唐 D.宋 答案　B 解析　由题意知，当t＝5 730时，P＝， 故，解得a＝5 730，所以P＝， 所以当P＝0.79时，可得0.79＝， 两边取以2为底的对数得log20.79＝log2，即－≈－0.34，解得t≈1 948.2， 所以2 024－1 948.2＝75.8∈(－202，220)， 所以可推断该文物属于汉. 7.(5分)若函数f(x)＝lg(ax2＋ax＋1)(a≠0)有最小值，则实数a的取值范围是　　　　.  答案　(0，4) 解析　令t＝ax2＋ax＋1， 若f(x)有最小值，且t＝ax2＋ax＋1有最小值，且最小值大于0，则解得0<a<4. 即实数a的取值范围是(0，4). 8.(5分)设f(x)＝lg(10x＋1)＋ax是偶函数，那么a＝　　　　.  答案　－ 解析　方法一　∵f(x)为偶函数，定义域为R， ∴f(－1)＝f(1)， 即lg(10－1＋1)－a＝lg(10＋1)＋a， 即lg(1.1)－lg(11)＝2a，lg 0.1＝2a， 即－1＝2a，解得a＝－. 方法二　∵f(x)为偶函数，定义域为R， ∴对任意的实数x都有f(－x)＝f(x)， 即lg(10－x＋1)－ax＝lg(10x＋1)＋ax， 整理得lg(10－x＋1)－lg(10x＋1)＝2ax ⇔lg 10－x＝2ax⇔102ax＝10－x， (*) ∵(*)式对任意的实数x恒成立，∴2a＝－1， 即a＝－. 9.(10分)已知－3≤lox≤－，求函数f(x)＝log2·log2的值域. 解　∵－3≤lox≤－， ∴－3≤－log2x≤－，即≤log2x≤3. ∵f(x)＝log2log2 ＝(log2x－log22)(log2x－log24) ＝(log2x－1)(log2x－2). 令t＝log2x，则≤t≤3， ∴f(x)＝g(t)＝(t－1)(t－2)＝t2－3t＋2 ＝.∵≤t≤3， ∴f(x)max＝g(3)＝2，f(x)min＝g＝－. ∴函数f(x)＝log2·log2的值域为. 10.(10分)已知f(x)＝loga(x＋1)，g(x)＝loga(1－x)(其中a>0且a≠1). (1)求f(x)＋g(x)的定义域；(2分) (2)判断f(x)＋g(x)的奇偶性并说明理由；(3分) (3)求使f(x)＋g(x)<0成立的x的集合.(5分) 解　(1)f(x)＋g(x)的定义域需满足 解得－1<x<1， 所以f(x)＋g(x)的定义域为(－1，1). (2)f(x)＋g(x)为偶函数， 设F(x)＝f(x)＋g(x)，则 F(－x)＝loga(－x＋1)＋loga(1＋x)＝F(x)， 又F(x)的定义域为(－1，1)关于原点对称， 所以f(x)＋g(x)为偶函数. (3)由f(x)＋g(x)<0得 loga(x＋1)＋loga(1－x)<0， 即当a>1时， 解得－1<x<0或0<x<1， 即x∈(－1，0)∪(0，1)； 当0<a<1时，解集为空集. 综上所述，当a>1时，使f(x)＋g(x)<0成立的x的集合为(－1，0)∪(0，1)；当0<a<1时，使f(x)＋g(x)<0成立的x的集合为∅ 11.(多选)若函数f(x)＝loga|x－b|在(－∞，0)上单调递增，则a，b的值可能是(　　) A.a＝2，b＝2 B.a＝，b＝ C.a＝e，b＝－2 D.a＝，b＝0 答案　BD 解析　令t＝|x－b|，该函数在(－∞，b)上单调递减，要使函数f(x)＝loga|x－b|在(－∞，0)上单调递增，则外层函数y＝logat是定义域内的减函数，则0<a<1，由t＝|x－b|在(－∞，0)上恒大于0，得b≥0，故只有B，D符合题意. 12.(多选)若f(x)＝lg(|x－2|＋1)，则下列命题正确的是(　　) A.f(x＋2)是偶函数 B.f(x)在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增 C.f(x)没有最大值 D.f(x)没有最小值 答案　ABC 解析　对于A，f(x＋2)＝lg(|x|＋1)， ∵lg(|－x|＋1)＝lg(|x|＋1)， ∴f(x＋2)为偶函数，故A正确； 对于B，当x≥0时，f(x＋2)＝lg(x＋1)， ∴f(x＋2)在(0，＋∞)上单调递增； ∵f(x＋2)为偶函数， ∴f(x＋2)在(－∞，0)上单调递减， ∵f(x＋2)向右平移2个单位长度后得到f(x)， ∴f(x)在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，故B正确； 对于C，D，根据f(x)的单调性，知f(x)min＝f(2)，无最大值，故C正确，D错误. 13.(5分)设f(x)＝|lg(x－1)|，若0<a<b且f(a)＝f(b)，则a＋b的取值范围是　　　　.  答案　(4，＋∞) 解析　先画出函数f(x)＝|lg(x－1)|的图象，如图， ∵0<a<b， 且f(a)＝f(b)， ∴1<a<2，b>2， ∴－lg(a－1)＝lg(b－1)， ∴＝b－1，∴a＝1＋， ∴a＋b＝b＋＋1＝b－1＋＋2 ≥2＋2＝4， ∵b>2，∴b－1≠，故上式“＝”取不到， ∴a＋b>4，∴a＋b的取值范围是(4，＋∞). 14.(5分)设函数y＝f(x)的定义域为D，若函数y＝f(x)满足条件：存在⊆D，使得y＝f(x)在上的取值范围是，则称f(x)为“半缩函数”.若函数f(x)＝log5(5x＋t－1)为“半缩函数”，则实数t的取值范围是　　　　　.  答案　 解析　因为函数f(x)＝log5(5x＋t－1)为“半缩函数”，设f(x)的定义域为D， 所以存在⊆D， 使得y＝f(x)在上的取值范围是， 由复合函数的单调性可知，y＝f(x)在上单调递增，所以 即所以 所以关于x的方程5x－＋t－1＝0有两个不相等的实数根， 令m＝，关于m的方程m2－m＋t－1＝0有两个不相等的正实数根， 可得解得1<t<； 当t<1时，关于m的方程m2－m＋t－1＝0在(，＋∞)上有两个不相等的正实数根， 所以无实数解； 综上，实数t的取值范围是. 15.(多选)函数f(x)＝ln[x2]，其中[a]表示不超过a的最大整数.则下列说法正确是(　　) A.f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞) B.方程f(x)＝1没有实数根 C.函数g(x)＝f(x)－2ln x的最小值为－ln 2 D.函数g(x)＝f(x)－2ln x的最大值为0 答案　BD 解析　对于A，当x＝时，[x2]＝0，函数f(x)无意义，A错误； 对于B，由f(x)＝1，得[x2]＝e，而[x2]∈Z，e∉Z，因此方程f(x)＝1没有实数根，B正确； 对于C，D，函数g(x)＝ln[x2]－lnx2，令[x2]＝k∈N*，则k≤x2<k＋1，ln k≤lnx2<ln (k＋1)， ln k－ln(k＋1)<ln[x2]－lnx2≤0，而ln k－ln(k＋1)＝ln ＝ln，1－随k的增大而增大，则1－≥，ln≥ln， 因此－ln 2<ln[x2]－lnx2≤0，函数g(x)＝f(x)－2ln x的值域为(－ln 2，0]，C错误，D正确. 16.(12分)已知函数f(x)＝2＋log3x，x∈[1，9]，求函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值及y取最大值时x的值. 解　∵f(x)＝2＋log3x， ∴y＝[f(x)]2＋f(x2)＝(2＋log3x)2＋2＋log3x2＝(log3x)2＋6log3x＋6＝(log3x＋3)2－3， ∵函数f(x)的定义域为[1，9]， ∴要使函数y＝[f(x)]2＋f(x2)有意义，必须满足解得1≤x≤3， ∴0≤log3x≤1， ∴6≤(log3x＋3)2－3≤13， ∴当x＝3时，函数y＝[f(x)]2＋f(x2)取得最大值13.　　 学科网（北京）股份有限公司 $