第2章 培优课 函数性质的综合问题（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦高中数学函数性质的综合应用，系统梳理函数图象的对称轴与对称中心满足条件，以及奇偶性与单调性的综合应用。从对称性条件推导（如f(a-x)=f(a+x)对应对称轴x=a）到奇偶性与单调性结合（奇函数对称区间单调性一致，偶函数相反），搭建完整知识支架。 该资料通过问题链引导探究，知识梳理表格化呈现，例题与跟踪训练结合延伸探究。如例1结合偶函数与对称中心推导函数关系，培养数学思维的推理能力，课时对点练分层设计，帮助学生用数学语言规范表达，课中辅助教师教学，课后助力查漏补缺。

培优课　函数性质的综合问题 学习目标　1.理解和掌握对称轴和对称中心满足的条件.2.能综合应用函数的奇偶性与单调性解决相关问题.3.掌握函数性质的综合应用问题. 一、函数图象的对称性 问题1　当函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称时，会满足怎样的条件呢？ 提示　如图所示，在x＝a两边取对称的两个自变量的值，如a－x，a＋x，由对称性知它们的函数值相等，即f(a－x)＝f(a＋x)；反之，若对定义域内任意x都有f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称. 问题2　当函数y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称时，又会满足怎样的条件呢？ 提示　如图所示，在x＝a两边取对称的两个自变量的值，如a－x，a＋x，由对称性知它们的函数值互为相反数，即f(a－x)＝－f(a＋x)；反之，若对定义域内任意x都有f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称. 知识梳理 1.函数图象关于直线对称 y＝f(x)在定义域 内恒满足的条件 y＝f(x)的图 象的对称轴 f(a＋x)＝f(a－x) 直线x＝a f(x)＝f(a－x) 直线x＝ f(a＋x)＝f(b－x) 直线x＝ 2.函数图象关于点对称 y＝f(x)在定义域 内恒满足的条件 y＝f(x)的图象 的对称中心 f(a－x)＝－f(a＋x) (a，0) f(x)＝－f(a－x) f(a＋x)＝－f(b－x) f(a＋x)＋f(b－x)＝c 例1　定义在R上的偶函数y＝f(x)，其图象关于点对称，当x∈[0，1]时，f(x)＝－x＋，则f等于(　　) A.－1 B.0 C.1 D. 答案　B 解析　∵y＝f(x)的图象关于点对称， ∴f＋f＝0， 即f(1＋x)＋f(－x)＝0. 又∵y＝f(x)为偶函数， ∴f(－x)＝f(x)， ∴f(1＋x)＋f(x)＝0，即f(1＋x)＝－f(x)， ∴f＝－f＝0. 反思感悟　解决对称性、单调性和奇偶性综合问题的方法 (1)图象法：根据题意，作出符合要求的草图，便可得出结论. (2)性质法：根据对称性、单调性和奇偶性的性质，逐步推导解决求值和比较大小的问题. 跟踪训练1　若函数y＝f(x)在(0，2)上单调递增，函数y＝f(x＋2)是偶函数，则下列结论正确的是(　　) A.f(1)<f<f B.f<f(1)<f C.f<f<f(1) D.f<f(1)<f 答案　B 解析　∵y＝f(x＋2)是偶函数， ∴f(2－x)＝f(2＋x). 故y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称， ∴f＝f，f＝f， 又f(x)在(0，2)上单调递增，<1<， ∴f<f(1)<f， 即f<f(1)<f. 二、函数奇偶性与单调性的综合应用 角度1　比较大小 问题3　想一想奇函数与偶函数的图象特点，如果奇函数在(－2，－1)上单调递减，那么它在(1，2)上的单调性如何？如果偶函数在(－2，－1)上单调递减，那么它在(1，2)上的单调性又如何？ 提示　奇函数在(1，2)上单调递减，偶函数在(1，2)上单调递增. 知识梳理 1.若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上单调递增，即在对称区间上单调性一致(相同). 2.若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上单调递减，即在对称区间上单调性相反. 3.若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上有最大值为M，则f(x)在[－b，－a]上有最小值为－M. 4.若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上有最大值为N，则f(x)在[－b，－a]上有最大值为N. 以上a，b符号相同. 例2　已知f(x)是奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，则f(－0.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是(　　) A.f(－0.5)<f(0)<f(－1) B.f(－1)<f(－0.5)<f(0) C.f(0)<f(－0.5)<f(－1) D.f(－1)<f(0)<f(－0.5) 答案　B 解析　∵函数f(x)为奇函数， 且f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增， ∴f(x)在R上单调递增， ∴f(－1)<f(－0.5)<f(0). 延伸探究1　把条件“f(x)是奇函数”改为“f(x)是偶函数”，其余条件不变. (1)比较f(－0.5)，f(－1)，f(0)三者之间的大小； (2)比较f(－2)，f(π)，f(－3)三者之间的大小. 解　(1)由偶函数与单调性的关系知，若x∈[0，＋∞)，f(x)单调递增， 则当x∈(－∞，0]时，f(x)单调递减， ∴f(－1)>f(－0.5)>f(0). (2)由(1)知当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增，当x∈(－∞，0]时，f(x)单调递减， 故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小， ∵|－2|<|－3|<π， ∴f(π)>f(－3)>f(－2). 反思感悟　比较大小的求解策略 (1)若自变量在同一个单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小. (2)若自变量不在同一个单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一个单调区间上，然后利用单调性比较大小. 角度2　解不等式 例3　设定义在[－2，2]上的奇函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1－m)<f(m)，求实数m的取值范围. 解　因为f(x)是奇函数且f(x)在[0，2]上单调递减， 所以f(x)在[－2，2]上单调递减. 所以不等式f(1－m)<f(m)等价于 解得－1≤m<. 所以实数m的取值范围为. 延伸探究2　若把本例中“f(1－m)<f(m)”改为“f(1＋m)＋f(m)<0”，求实数m的取值范围. 解　由题意知f(x)为奇函数，且在定义域[－2，2]上单调递减， ∴不等式f(1＋m)＋f(m)<0， 即f(1＋m)<－f(m)＝f(－m). 则 解得－<m≤1. 故实数m的取值范围是. 反思感悟　利用函数奇偶性与单调性解不等式，一般有两类 (1)利用图象解不等式. (2)转化为简单不等式求解. ①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)的形式； ②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，去掉不等式中的“f”转化为简单不等式(组)求解. 特别提醒：列不等式(组)时不要忘掉函数的定义域. 1.知识清单： (1)函数图象的对称轴和对称中心. (2)函数奇偶性、单调性的综合应用. 2.方法归纳：数形结合法、等价转化法. 3.常见误区：忽视奇函数中的隐含条件f(0)＝0. 课时对点练 [分值：80分] 一、单项选择题(每小题5分，共25分) 1.已知函数f(x)是R上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递减，则下列结论正确的是(　　) A.f(2)<f(－1)<f(0) B.f(2)<f(0)<f(－1) C.f(－1)<f(0)<f(2) D.f(0)<f(－1)<f(2) 答案　B 解析　因为f(x)是R上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递减， 则f(x)在(－∞，0)上也单调递减， 所以f(x)在R上是减函数， 因为－1<0<2，所以f(2)<f(0)<f(－1). 2.如果奇函数f(x)在区间[－3，－1]上单调递增且有最大值5，那么函数f(x)在区间[1，3]上(　　) A.单调递增且最小值为－5 B.单调递增且最大值为－5 C.单调递减且最小值为－5 D.单调递减且最大值为－5 答案　A 解析　∵f(x)为奇函数， ∴f(x)在[1，3]上的单调性与[－3，－1]上一致且f(1)为最小值， 又已知f(－1)＝5，∴f(－1)＝－f(1)＝5， ∴f(1)＝－5. 故函数f(x)在区间[1，3]上单调递增， 且最小值为－5. 3.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且f(x)＝f(4－x)，当－2≤x<0时，f(x)＝，则f等于(　　) A.－2 B.－ C. D.2 答案　D 解析　∵f(x)＝f(4－x)， ∴f(x)的图象关于直线x＝2对称， ∴f＝f. 又∵函数f(x)为奇函数， ∴f＝－f＝－(－2)＝2， 即f＝2. 4.设定义在R上的奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝0，则不等式x[f(x)－f(－x)]<0的解集为(　　) A.{x|－1<x<0或x>1} B.{x|x<－1或0<x<1} C.{x|x<－1或x>1} D.{x|－1<x<0或0<x<1} 答案　D 解析　∵奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增， f(－x)＝－f(x)， x[f(x)－f(－x)]<0， ∴xf(x)<0， 又f(1)＝0，∴f(－1)＝0， 从而有函数f(x)的图象如图所示. 则不等式x[f(x)－f(－x)]<0的解集为 {x|－1<x<0或0<x<1}. 5.已知定义在R上的函数f(x)在(－∞，2)上单调递减，且f(x＋2)为偶函数，则f(－1)，f(4)，f的大小关系为(　　) A.f(4)<f(－1)<f B.f(－1)<f(4)<f C.f<f(4)<f(－1) D.f(－1)<f<f(4) 答案　A 解析　函数y＝f(x＋2)为偶函数， 则函数y＝f(x＋2)的图象关于y轴对称，函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称， 则f＝f，f(4)＝f(0)， ∵f(x)在(－∞，2)上单调递减，－<－1<0， ∴f(0)<f(－1)<f， 即f(4)<f(－1)<f. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 6.若函数y＝f(x)是偶函数，定义域为R，且该函数的图象与x轴的交点有3个，则下列说法正确的是(　　) A.3个交点的横坐标之和为0 B.3个交点的横坐标之和不是定值，与函数解析式有关 C.f(0)＝0 D.f(0)的值与函数解析式有关 答案　AC 7.已知定义域为R的函数f(x)在(－∞，－1)上单调递增，且f(x－1)为偶函数，则(　　) A.f(x)的图象关于直线x＝－1对称 B.f(x)在(－1，＋∞)上单调递增 C.f(1)＝f(－2) D.f(－3)<f(0)<f 答案　AD 解析　因为f(x－1)为偶函数，且函数f(x)在(－∞，－1)上单调递增， 所以f(x)的图象关于直线x＝－1对称，且f(x)在(－1，＋∞)上单调递减，所以A正确，B不正确； 因为f(x)的图象关于直线x＝－1对称，所以f(1)＝f(－3)≠f(－2)，所以C不正确； 因为f(x)的图象关于直线x＝－1对称， 所以f(0)＝f(－2)，f＝f， 又f(x)在(－∞，－1)上单调递增， 所以f(－3)<f(－2)<f， 即f(－3)<f(0)<f，所以D正确. 8.已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且满足以下条件：①∀x∈R，f(－x)＝f(x)；②∀x1，x2∈(0，＋∞)，当x1≠x2时，都有>0；③f(－1)＝0.则下列选项成立的是(　　) A.f(3)>f(－4) B.若f(m－1)<f(2)，则m的取值范围为(－∞，3) C.若>0，则x∈(－1，0)∪(1，＋∞) D.∀x∈R，∃M∈R，使得f(x)≥M 答案　CD 解析　由条件①得f(x)是偶函数，由条件②得f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 所以f(3)<f(4)＝f(－4)，故A错误； 若f(m－1)<f(2)，则|m－1|<2， 得－1<m<3，故B错误； 若>0，则或 因为f(－1)＝f(1)＝0， 所以x>1或－1<x<0，故C正确； 因为定义在R上的偶函数f(x)的图象是连续不断的，且在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(0)，所以∀x∈R，只需M≤f(0)即可，故D正确. 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.已知偶函数y＝f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，且图象经过点(－1，0)和(3，5)，则当x∈[－3，－1]时，函数y＝f(x)的值域为　　　　.  答案　[0，5] 解析　偶函数y＝f(x)在区间[0，－∞)上单调递增，则函数f(x)在[－3，－1]上单调递减，且f(－3)＝f(3)＝5，f(－1)＝0，故当x∈[－3，－1]时，函数y＝f(x)的值域为[0，5]. 10.设f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝　　　　.  答案　0 解析　∵f(x)是定义在R上的奇函数， ∴f(0)＝0. 又f(x)的图象关于直线x＝对称， ∴f＝f. ① 在①式中，当x＝时，f(0)＝f(1)＝0. 在①式中，以＋x代替x，得 f＝f， 即f(－x)＝f(1＋x). ∴f(2)＝f(1＋1)＝f(－1)＝－f(1)＝0， f(3)＝f(1＋2)＝f(－2)＝－f(2)＝0， 同理，f(4)＝f(5)＝0. ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝0. 四、解答题(共27分) 11.(13分)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x<0时，f(x)＝1＋. (1)求f(2)的值；(3分) (2)用定义法判断y＝f(x)在区间(－∞，0)上的单调性；(5分) (3)求当x>0时，f(x)的解析式.(5分) 解　(1)根据题意，得函数f(x)为奇函数， 当x<0时，f(x)＝1＋， 则f(2)＝－f(－2)＝－＝－. (2)根据题意得，当x<0时，f(x)＝1＋. 在(－∞，0)上任取x1，x2，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝. 又由x1－1<0，x2－1<0，x2－x1>0， 可得f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2). 由定义可知，函数y＝f(x)在区间(－∞，0)上单调递减. (3)当x>0时，－x<0，则f(－x)＝1－， 由函数f(x)为奇函数知f(x)＝－f(－x)， 所以f(x)＝－1＋＝－. 12.(14分)定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数y＝f(x)满足f(xy)＝f(x)－f，且函数f(x)在(－∞，0)上单调递减. (1)求f(－1)，并证明函数y＝f(x)是偶函数；(7分) (2)若f(2)＝1，解不等式f－f≤1.(7分) 解　(1)令y＝≠0， 则f＝f(x)－f， 得f(1)＝f(x)－f(x)＝0， 再令x＝1，y＝－1，可得f(－1)＝f(1)－f(－1)， 得2f(－1)＝f(1)＝0， 所以f(－1)＝0， 令y＝－1，可得f(－x)＝f(x)－f(－1)＝f(x)， 又该函数的定义域关于原点对称， 所以f(x)是偶函数. (2)因为f(2)＝1，又该函数为偶函数， 所以f(－2)＝1. 因为函数f(x)在(－∞，0)上单调递减， 所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增. 又f－f＝f＝f(2x－4)， 所以f(|2x－4|)≤f(2)， 即解得1≤x<2或2<x≤3. 所以不等式f－f≤1的解集为[1，2)∪(2，3]. 学科网（北京）股份有限公司 $