第2章 4.2 简单幂函数的图象和性质（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（北师大版）

本高中数学讲义聚焦简单幂函数的概念、图象和性质，从实例引入幂函数定义，通过具体函数图象分析总结定义域、值域、奇偶性、单调性等性质，结合比较大小、解析式求解等应用形成完整学习支架。 资料以“数学眼光”观察生活实例引入概念，通过“数学思维”分析图象特征与性质，用“数学语言”规范表达。课中例题与跟踪训练助力教师教学，课后课时对点练帮助学生巩固知识、查漏补缺，提升数形结合能力与应用意识。

4.2　简单幂函数的图象和性质 学习目标　1.了解幂函数的概念.2.掌握y＝xα的图象与性质.3.能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题. 导语 同学们，我们今天要学习的幂函数，“幂”其原意是遮盖东西用的布，后来引申为面积.《九章算术》刘徽注：“凡广纵相乘谓之幂.”后来又推广引申为多次乘方的结果.到了明清时代，既称面积为幂，也称平方或立方为幂.清末之后，幂逐渐开始专指乘方概念. 一、幂函数的概念 问题　下面几个实例，观察它们得出的函数解析式，有什么共同特征？ (1)如果小红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜ω kg，那么她需要支付p＝ω元，这里p是ω的函数； (2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S＝a2，这里S是a的函数； (3)如果正方体的棱长为b，那么正方体的体积V＝b3，这里V是b的函数； (4)如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长c＝，这里c是S的函数； (5)如果某人t s内骑车行驶了1 km，那么他骑车的平均速度v＝ km/s，即v＝t－1，这里v是t的函数. 提示　这些函数的解析式都具有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量，幂的指数都是常数. 知识梳理 幂函数的概念 一般地，形如y＝xα(α为常数)的函数，即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数. 注意点： (1)幂的底数为自变量x. (2)幂的系数为1. (3)α是任意常数. (4)函数的定义域与α有关. 例1　(1)(多选)下列函数，其中是幂函数的有(　　) A.y＝x3 B.y＝4x2 C.y＝(x－1)2 D.y＝(x≥0) 答案　AD 解析　B，C项不符合幂函数的形式y＝xα. (2)已知y＝(m2＋2m－2)＋2n－3是幂函数，求m，n的值. 解　由题意得 解得或 所以m＝－3或1，n＝. 反思感悟　判断函数为幂函数的方法 (1)幂的系数为1. (2)底数为自变量x. (3)指数为常数. 跟踪训练1　(1)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α等于(　　) A. B.1 C. D.2 答案　C 解析　由幂函数的定义知k＝1. 又f，所以， 解得α＝，从而k＋α＝. (2)已知f(x)＝ax2a＋1－b＋1是幂函数，则a＋b等于(　　) A.2 B.1 C. D.0 答案　A 解析　因为f(x)＝ax2a＋1－b＋1是幂函数， 所以a＝1，－b＋1＝0， 即a＝1，b＝1，则a＋b＝2. 二、幂函数的图象 在同一平面直角坐标系内作出函数(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图. 注意点： (1)在第一象限内，函数y＝x－1的图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近. (2)在第一象限内，在x＝1右侧，指数越大，幂函数的图象越远离x轴(简记为指大图高). 例2　如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为(　　) A.－2，－，，2 B.2，，－，－2 C.－，－2，2， D.2，，－2，－ 答案　B 解析　根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图象，当n>0时，n越大，y＝xn递增速度越快，故C1的n＝2，C2的n＝；当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以C3的n＝－，C4的n＝－2，故选B. 反思感悟　(1)幂函数图象的画法 ①确定幂函数在第一象限内的图象，当α<0时，图象类似于y＝；当0<α<1时，图象类似于y＝；当α>1时，图象类似于y＝x3. ②根据幂函数的定义域及奇偶性确定在其他象限内的图象. (2)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为 ①在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低). ②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高). 跟踪训练2　若幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则(　　) A.－1<n<0<m<1 B.n<－1，0<m<1 C.－1<n<0，m>1 D.n<－1，m>1 答案　B 解析　由图象知，y＝xm在(0，＋∞)上单调递增， 所以m>0， 由于y＝xm的图象增长的越来越慢， 所以0<m<1， y＝xn在(0，＋∞)上单调递减， 所以n<0， 又当x>1时，y＝xn的图象在y＝x－1的下方， 所以n<－1. 三、幂函数的性质及应用 五个幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增函数 在[0，＋∞)上单调递增， 在(－∞，0]上单调递减 增函数 增函数 在(0，＋∞)上单调递减， 在(－∞，0)上单调递减 注意点： (1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1，1). (2)当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上，函数单调递增. 特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当α＝1时，幂函数的解析式为y＝x；当0<α<1时，幂函数的图象上凸. (3)当α<0时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减，且函数在原点无意义. (4)若α为奇数，则幂函数为奇函数， 若α为偶数，则幂函数为偶函数. 例3　(1)比较下列各组中两个数的大小. ①与； ②与； ③与. 解　①因为幂函数y＝x0.5在[0，＋∞)上是增函数，又>，所以>. ②因为幂函数y＝x－1在(－∞，0)上单调递减， 又－<－，所以>. ③因为y＝在[0，＋∞)上单调递增， 所以>＝1， 又y＝在[0，＋∞)上单调递增， 所以<＝1，所以>. (2)已知幂函数f(x)＝(m2－2m＋1)的图象过点(4，2). ①求f(x)的解析式； ②判断函数的单调性，并进行证明； ③若f(a＋1)>f(2a－3)，求实数a的取值范围. 解　①因为f(x)＝(m2－2m＋1)为幂函数，所以m2－2m＋1＝1，∴m＝2或m＝0. 当m＝2时，f(x)＝，图象过点(4，2)； 当m＝0时，f(x)＝，图象不过点(4，2)，舍去. 综上，f(x)＝. ②函数f(x)在[0，＋∞)上为增函数. 设x1，x2∈[0，＋∞)，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝， 因为0≤x1<x2，<0， 即f(x1)－f(x2)<0，所以f(x1)<f(x2). 所以函数f(x)在[0，＋∞)上为增函数. ③函数f(x)在[0，＋∞)上为增函数，由f(a＋1)>f(2a－3)，则得≤a<4. 综上，a的取值范围为. 反思感悟　(1)比较幂值大小的两种基本方法 (2)解决幂函数的综合问题时应注意 掌握并熟悉幂函数的图象和单调性，会根据待定系数法求幂函数的解析式，并结合幂函数的定义域来判断幂函数的单调性和奇偶性. 跟踪训练3　(1)比较下列各组中两个数的大小： ①与； ②与； ③4.与3.. 解　①∵函数y＝在(0，＋∞)上单调递增， 又>，∴>. ②，. ∵函数y＝在(0，＋∞)上单调递减， 又>，∴<， ∴<. ③∵4.>＝1；3.<＝1， ∴3.<4.. (2)已知幂函数y＝x3m－9(m∈N＋)的图象关于y轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，则m＝　　　　.  答案　1 解析　因为函数在(0，＋∞)上单调递减， 所以3m－9<0， 解得m<3.又因为m∈N＋，所以m＝1，2. 因为函数的图象关于y轴对称， 所以3m－9为偶数，故m＝1. 1.知识清单： (1)幂函数的定义. (2)几个常见幂函数的图象. (3)幂函数的性质. 2.方法归纳：待定系数法、数形结合法、分类讨论法. 3.常见误区： (1)对幂函数形式的判断易出错，只有形如y＝xα(α为常数)的函数为幂函数，其他形式都不是幂函数. (2)易忽略题目中给出的条件以及幂函数的图象和性质. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分 1.若幂函数f(x)的图象经过点，则其定义域为(　　) A.{x|x∈R且x>0} B.{x|x∈R且x<0} C.{x|x∈R且x≠0} D.R 答案　A 解析　设f(x)＝xα，∵f(x)的图象经过点， ∴3α＝，解得α＝－，∴f(x)＝， ∴其定义域为{x|x∈R且x>0}. 2.已知函数f(x)＝＋是幂函数，则a＋b等于(　　) A.2 B.1 C. D.0 答案　D 解析　∵函数f(x)＝＋是幂函数， ∴即∴a＋b＝0. 3.若幂函数y＝f(x)的图象经过点(2，4)，则f(x)是(　　) A.偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增 B.偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减 C.奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减 D.非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增 答案　A 解析　设f(x)＝xα， 因为幂函数y＝f(x)的图象经过点(2，4)， 代入可得4＝2α， 所以α＝2， 则f(x)＝x2，定义域为R，而f(－x)＝x2＝f(x)， 所以f(x)为偶函数，由二次函数的性质可知f(x)在(0，＋∞)上单调递增. 4.已知幂函数f(x)＝ (m∈N＋)为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增，则m等于(　　) A.1 B.2 C.1或3 D.3 答案　C 解析　因为f(x)＝在(0，＋∞)上单调递增， 所以4－m>0，所以m<4. 又因为m∈N＋，所以m＝1，2，3. 又因为f(x)＝是奇函数， 所以4－m是奇数，所以m＝1或m＝3. 5.以下结论正确的是(　　) A.当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线 B.幂函数的图象都经过(0，0)，(1，1)两点 C.若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则在y＝xα的定义域内y随x的增大而增大 D.幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限 答案　D 解析　当α＝0时，函数y＝xα的定义域为{x∈R|x≠0}，故A不正确； 当α<0时，函数y＝xα的图象不过(0，0)点，故B不正确； 幂函数y＝x－1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故C不正确. 6.若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图，则a，b，c，d的大小关系是(　　) A.d>c>b>a B.a>b>c>d C.d>c>a>b D.a>b>d>c 答案　B 解析　在第一象限内，x＝1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数由小到大， 所以a>b>c>d. 7.(5分)已知2.4α>2.5α，则α的取值范围是　　　　.  答案　(－∞，0) 解析　因为0<2.4<2.5，而2.4α>2.5α， 所以y＝xα在(0，＋∞)上单调递减.故α<0. 8.(5分)已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，则n的值为　　　　.  答案　1 解析　由于f(x)为幂函数， 所以n2＋2n－2＝1， 解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1符合题意. 9.(10分)比较下列各组数的大小： (1)和；(5分) (2)和.(5分) 解　(1)因为函数y＝在(0，＋∞)上单调递减， 又3<3.2，所以>. (2)， 因为函数y＝在(0，＋∞)上单调递增， 而5>4， 所以>，即>. 10.(11分)已知幂函数f(x)＝(m∈N＋，且m≥2)为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减. (1)求f(x)的解析式；(5分) (2)比较f(－2 025)与f(－2 026)的大小.(6分) 解　(1)∵幂函数f(x)＝(m∈N＋，且m≥2)为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减. ∴m2－m－3<0，解得<m<， 又m∈N＋，且m≥2，∴m＝2. ∴f(x)＝x－1. (2)由(1)易知，f(x)为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减， ∴f(－2 025)＝－f(2 025)，f(－2 026)＝－f(2 026)， 且f(2 026)<f(2 025)，∴f(－2 026)>f(－2 025). 11.已知函数f(x)＝，若0<a<b<1，则下列各式中正确的是(　　) A.f(a)<f(b)<f<f B.f<f<f(b)<f(a) C.f(a)<f(b)<f<f D.f<f(a)<f<f(b) 答案　C 解析　因为函数f(x)＝在(0，＋∞)上单调递增， 又0<a<b<1<<， 故f(a)<f(b)<f<f. 12.(多选)已知实数a，b满足等式，则下列关系式可能成立的是(　　) A.0<b<a<1 B.－1<a<b<0 C.1<a<b D.a＝b 答案　ACD 解析　画出函数y＝与y＝的图象，如图所示， 设＝m，作直线y＝m. 从图象知，若m＝0或m＝1，则a＝b； 若0<m<1，则0<b<a<1； 若m>1，则1<a<b. 故其中可能成立的是ACD. 13.在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax－的图象可能是(　　) 答案　C 解析　选项A中，幂函数的指数a<0，则函数y＝ax－应为减函数，A错误； 选项B中，幂函数的指数a>1，则函数y＝ax－应为增函数，B错误； 选项D中，幂函数的指数a<0，则－>0，函数y＝ax－与y轴交点的纵坐标应为正，D错误. 14.(5分)已知(a－2<(3a＋1，则实数a的取值范围是　　　　　　　　　.  答案　∪ 解析　函数y＝的定义域为，且为偶函数，在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增， 所以(a－2<(3a＋1，等价于<，所以>>0， 即⇒⇒ 即－<a<且a≠－， 故实数a的取值范围是∪. 15.(多选)已知幂函数f(x)的图象经过点，P(x1，y1)，Q(x2，y2)(0<x1<x2)是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论，其中正确的是(　　) A.x1f(x1)>x2f(x2) B.x1f(x2)<x2f(x1) C.> D.< 答案　BC 解析　设幂函数为f(x)＝xn， 则有，得n＝， 则幂函数为f(x)＝， 设g(x)＝，易知g(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以g(x1)>g(x2)， 即>，x1f(x2)<x2f(x1)， 所以B，C正确，D错误； 设h(x)＝xf(x)，易知h(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以x1f(x1)<x2f(x2)，所以A错误. 16.(12分)已知幂函数f(x)＝(m－1)2在(0，＋∞)上单调递增.函数g(x)＝2x－k，h(x)＝x＋af(x). (1)求m的值；(3分) (2)当x∈[1，4]时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，若A∩B＝A，求实数k的取值范围；(3分) (3)当x∈[4，9]时，是否存在实数a使得h(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.(6分) 解　(1)因为f(x)＝(m－1)2是幂函数， 所以(m－1)2＝1，解得m＝0或m＝2， 当m＝0时，f(x)＝，在(0，＋∞)上单调递减， 当m＝2时，f(x)＝，在(0，＋∞)上单调递增， 所以m＝2. (2)由(1)知f(x)＝， 当x∈[1，4]时，f(x)∈[1，2]， 即A＝[1，2]，B＝[2－k，8－k]， 因为A∩B＝A，所以A⊆B，所以 解得1≤k≤6，即实数k的取值范围为[1，6]. (3)h(x)＝x＋af(x)＝x＋a，令t＝， 因为x∈[4，9]，所以t∈[2，3]， 则令k(t)＝t2＋at，t∈[2，3]，对称轴为直线t＝－， ①当－≤2，即a≥－4时，函数k(t)在[2，3]上单调递增， k(t)min＝k(2)＝4＋2a＝0，解得a＝－2； ②当2<－<3，即－6<a<－4时， k(t)min＝k＝－＝0， 解得a＝0，不符合题意，舍去； ③当－≥3，即a≤－6时，函数k(t)在[2，3]上单调递减， k(t)min＝k(3)＝9＋3a＝0， 解得a＝－3，不符合题意，舍去， 综上所述，存在a＝－2，使得h(x)的最小值为0. 学科网（北京）股份有限公司 $