第4章 3.3 第1课时 对数函数y＝logax的图象和性质（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦高中数学对数函数y=logₐx（a>0且a≠1）的图象和性质，通过类比指数函数及具体实例（如y=log₂x），系统梳理定义域、值域、单调性等核心性质，构建从具体到一般的知识学习支架。 该资料以问题驱动培养数学眼光，通过分类讨论底数差异发展数学思维，结合例题（如求定义域、比较对数大小）强化数学语言表达。课中助力教师系统教学，课后课时对点练帮助学生巩固提升，有效落实核心素养。

3.3　对数函数y＝logax的图象和性质 第1课时　对数函数y＝logax的图象和性质 学习目标　1.初步掌握对数函数的图象及性质.2.会类比指数函数研究对数函数的性质.3.掌握对数函数的图象及性质的简单应用. 导语 我们已经了解并掌握了y＝log2x与y＝lox的图象与性质，类比这两个函数的图象与性质，能否得到y＝logax(a>0，且a≠1)的图象与性质呢？今天我们共同探讨y＝logax(a>0，且a≠1)的图象与性质. 一、对数函数的图象与性质 问题　为了更好地研究对数函数的性质，我们特别选取了底数a＝2，3，4，，，，你能在同一坐标系下作出它们的函数图象吗？ 提示　 知识梳理 对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如表： 定义 y＝logax (a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 共点性 图象过定点(1，0)，即当x＝1时，y＝0 单调性 在定义域(0，＋∞)上是增函数 在定义域(0，＋∞)上是减函数 函数值特点 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时， y>0 对称性 函数y＝logax与y＝x的图象关于x轴对称 注意点： (1)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象都经过点，(1，0)，(a，1)，且图象都在第一、四象限内，据此可以快速地画出其大致图象.注意对数函数的图象永远不和y轴相交. (2)在直线x＝1的右侧，当0<a<1时，底数越小，图象越靠近x轴；当a>1时，底数越大，图象越靠近x轴. (3)任意底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称. (4)讨论对数函数的性质时，若底数a的大小不确定，必须分a>1和0<a<1两种情况讨论. 例1　(课本例6)设a>0，且a≠1，求下列函数的定义域： (1)y＝logax2； (2)y＝loga(4－x). 解　(1)为使函数有意义，只需x2>0，即x≠0，所以函数y＝logax2的定义域为{x|x≠0}； (2)为使函数有意义，只需4－x>0，即x<4，所以函数y＝loga(4－x)的定义域为{x|x<4}. 例1　求下列函数的定义域： (1)f(x)＝lg(x－2)＋； (2)f(x)＝log(x＋1)(16－4x)； (3)y＝(a>0且a≠1). 解　(1)由题意得解得x>2且x≠3. 所以函数的定义域为(2，3)∪(3，＋∞). (2)由题意得 解得－1<x<0或0<x<4. 所以函数的定义域为(－1，0)∪(0，4). (3)当0<a<1时，由0<4x－3≤1解得<x≤1， 所以函数的定义域为； 当a>1时，由4x－3≥1解得x≥1， 所以函数的定义域为[1，＋∞). 反思感悟　求函数定义域的三个步骤 (1)列不等式(组)：根据函数f(x)有意义列出x满足的不等式(组). (2)解不等式(组)：根据不等式(组)的解法步骤求出x满足的范围. (3)结论：写出函数的定义域. 跟踪训练1　求下列函数的定义域： (1)y＝； (2)f(x)＝. 解　(1)由题意得即 解得－3<x<－2或x≥2， 故所求函数的定义域为(－3，－2)∪[2，＋∞). (2)由题意得 解得1<x<2，故所求函数的定义域为(1，2). 二、对数函数的图象 例2　(1)函数y＝loga(x＋2)＋1的图象过定点(　　) A.(1，2) B.(2，1) C.(－2，1) D.(－1，1) 答案　D 解析　令x＋2＝1，即x＝－1，得y＝loga1＋1＝1， 故函数y＝loga(x＋2)＋1的图象过定点(－1，1). (2)如图所示，曲线是对数函数y＝logax的图象，已知a取，，，，则对应于c1，c2，c3，c4的a值依次为(　　) A.，，， B.，，， C.，，， D.，，， 答案　A 解析　方法一　观察在(1，＋∞)上的图象，先排c1，c2底数的顺序，底数都大于1，当x>1时，图象靠近x轴的底数大，则c1，c2对应的a值分别为，.然后考虑c3，c4底数的顺序，底数都小于1，当x>1时，图象靠近x轴的底数小，则c3，c4对应的a值分别为，.综合以上分析，可得c1，c2，c3，c4对应的a值依次为，，，. 方法二　如图，作直线y＝1与四条曲线交于四点，由y＝logax＝1，得x＝a(即交点的横坐标等于底数)，所以横坐标小的底数小，所以c1，c2，c3，c4对应的a值分别为，，，. 反思感悟　函数y＝logax(a>0且a≠1)的底数变化对图象位置的影响(如图) (1)上下比较：在直线x＝1的右侧，a>1时，a越大，图象越靠近x轴，0<a<1时，a越小，图象越靠近x轴. (2)左右比较：比较图象与y＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大. 跟踪训练2　已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是(　　) A.a>1，c>1 B.a>1，0<c<1 C.0<a<1，c>1 D.0<a<1，0<c<1 答案　D 解析　由题图可知，y＝loga(x＋c)的图象是由y＝logax的图象向左平移c个单位长度而得到的，其中0<c<1，再根据单调性易知0<a<1. 三、对数函数图象与性质的应用 例3　(课本例7)比较下列各题中两个数的大小： (1)log25.3，log24.7； (2)log0.27，log0.29； (3)log3π，logπ3； (4)loga3.1，loga5.2(a>0，且a≠1). 解　(1)因为2>1，所以函数y＝log2x在定义域(0，＋∞)上是增函数. 由5.3>4.7，得log25.3>log24.7. (2)因为0<0.2<1，所以函数y＝log0.2x在定义域(0，＋∞)上是减函数. 由7<9，得log0.27>log0.29. (3)因为3>1，所以函数y＝log3x在定义域(0，＋∞)上是增函数. 由π>3，得log3π>log33＝1. 同理可得1＝logππ>logπ3. 因此log3π>logπ3. (4)对数函数的单调性取决于其底数是大于1还是大于0且小于1，而已知条件中并未明确指出底数a与1哪个大，因此需要对底数进行分类讨论. 当a>1时，函数y＝logax在定义域(0，＋∞)上是增函数， 此时由3.1<5.2，得loga3.1<loga5.2； 当0<a<1时，函数y＝logax在定义域(0，＋∞)上是减函数， 此时由3.1<5.2，得loga3.1>loga5.2. 例3　比较下列各组数的大小： (1)log5与log5； (2)log1.10.7与log1.20.7； (3)log23与log54. 解　(1)方法一　对数函数y＝log5x在定义域(0，＋∞)上是增函数，且<， 所以log5<log5. 方法二　因为log5<0，log5>0， 所以log5<log5. (2)方法一　因为0<0.7<1，1.1<1.2， 所以0>log0.71.1>log0.71.2. 所以<， 由换底公式可得log1.10.7<log1.20.7. 方法二　作出y＝log1.1x与y＝log1.2x的图象，如图所示，由两图象与直线x＝0.7相交可知log1.10.7<log1.20.7. (3)因为log23>log22＝1＝log55>log54， 所以log23>log54. 例4　已知log0.3(3x)<log0.3(x＋1)，则x的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　因为函数y＝log0.3x是(0，＋∞)上的减函数，所以原不等式等价于解得x>. 故x的取值范围为. 反思感悟　(1)比较对数式大小的方法 ①当底数相同时，可直接利用对数函数的单调性比较； ②当底数不同、真数相同时，可转化为同底(利用换底公式)或利用对数函数图象，数形结合解得； ③当不同底、不同真数时，可利用中间值进行比较. (2)两类对数不等式的解法 ①形如logaf(x)<logag(x)的不等式. (ⅰ)当0<a<1时，可转化为f(x)>g(x)>0； (ⅱ)当a>1时，可转化为0<f(x)<g(x). ②形如logaf(x)<b的不等式可变形为logaf(x)<b＝logaab. (ⅰ)当0<a<1时，可转化为f(x)>ab； (ⅱ)当a>1时，可转化为0<f(x)<ab. ③形如logf(x)a>logg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解. 特别注意：以上情况均需考虑定义域. 跟踪训练3　(1)比较下列各组中两个值的大小： ①loga1.9，loga2(a>0且a≠1)； ②log30.2，log40.2. 解　①当a>1时，函数y＝logax在定义域(0，＋∞)上是增函数， 又1.9<2，所以loga1.9<loga2； 当0<a<1时，函数y＝logax在定义域(0，＋∞)上是减函数， 又1.9<2，所以loga1.9>loga2. 综上，当a>1时loga1.9<loga2； 当0<a<1时，loga1.9>loga2. ②方法一　因为0>log0.23>log0.24， 所以<， 所以log30.2<log40.2. 方法二　如图可知， 当两图象与直线x＝0.2相交时，log40.2>log30.2. (2)若loga<1(a>0且a≠1)，则a的取值范围为　　　　.  答案　∪(1，＋∞) 解析　由loga <1，得loga <logaa，当a>1时，解得a>，则a>1；当0<a<1时，解得a<， 则0<a<，综上，a>1或0<a<. 即a的取值范围为∪(1，＋∞). 1.知识清单： (1)对数函数的图象及性质. (2)底数对对数函数图象的影响. (3)对数式大小比较的三种常用方法. 2.方法归纳：分类讨论法、数形结合法. 3.常见误区：求与对数函数有关的定义域时，易漏掉真数大于零. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1.函数y＝loga(x－1)(0<a<1)的图象大致是(　　) 答案　A 解析　∵0<a<1， ∴y＝logax在(0，＋∞)上单调递减，故排除C，D； 又函数y＝loga(x－1)的图象是由y＝logax的图象向右平移一个单位长度得到的，故A正确. 2.函数y＝的定义域为(　　) A.(－∞，2) B.(2，＋∞) C.(2，3)∪(3，＋∞) D.(2，4)∪(4，＋∞) 答案　C 解析　要使函数有意义，则 解得2<x<3或x>3， 所以函数的定义域为(2，3)∪(3，＋∞). 3.已知lom<lon<0，则(　　) A.n<m<1 B.m<n<1 C.1<m<n D.1<n<m 答案　D 解析　因为0<<1，lom<lon<0， 所以m>n>1. 4.若0<a<1，则函数y＝loga(x＋5)的图象一定不经过(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案　A 解析　∵y＝loga(x＋5)过定点(－4，0)且单调递减，∴函数图象不过第一象限，一定经过第二象限、第三象限和第四象限. 5.(多选)若0<x<y<1，则(　　) A.3y<3x B.logx3<logy3 C.log4x<log4y D.> 答案　CD 解析　因为0<x<y<1， 所以3x<3y，logx3>logy3，log4x<log4y， >. 6.设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则(　　) A.c>b>a B.b>c>a C.a>c>b D.a>b>c 答案　D 解析　∵a＝log36＝log33＋log32＝1＋log32， b＝log510＝log55＋log52＝1＋log52， c＝log714＝log77＋log72＝1＋log72， 且log32>log52>log72，∴a>b>c. 7.(5分)如果函数f(x)＝(3－a)x与g(x)＝logax的单调性相同，则实数a的取值范围是　　　　.  答案　(1，2) 解析　若f(x)，g(x)均为增函数， 则解得1<a<2； 若f(x)，g(x)均为减函数，则无解. 综上可得1<a<2.即实数a的取值范围是(1，2). 8.(5分)若函数f(x)＝logax(≤x≤2)的最大值比最小值大1，则实数a＝　　　　.  答案　或 解析　当0<a<1时，f(x)＝logax在[，2]上单调递减，则loga－loga2＝1，即loga＝1， 解得a＝ ； 当a>1时，f(x)＝logax在[，2]上单调递增，则loga2－loga＝1，即loga＝1，解得a＝. 综上可得，a＝或a＝. 9.(10分)比较下列各数的大小： (1)lo3，lo3；(3分) (2)3log45与4log43；(3分) (3)lo0.3，log20.8.(4分) 解　(1)∵log3<log3<0， ∴<，即lo3<lo3. (2)∵3log45＝log453＝log4125，4log43＝log481， 且对数函数y＝log4x在定义域(0，＋∞)上是增函数，125>81， ∴log4125>log481，即3log45>4log43. (3)∵lo0.3>0，log20.8<0， ∴lo0.3>log20.8. 10.(10分)已知f(x)＝|lg x|，且>a>b>1，试比较f(a)，f(b)，f(c)的大小. 解　先作出函数y＝lg x的图象，再将图象位于x轴下方的部分折到x轴上方，于是得到f(x)＝|lg x|的图象，如图， 由图象可知，f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增. 由>a>b>1得，f>f(a)>f(b)， 又f＝|－lg c|＝|lg c|＝f(c). 所以f(c)>f(a)>f(b). 11.(多选)已知实数a，b满足等式log2a＝log3b，给出下列四个关系式，其中可能成立的是(　　) A.a>b>1 B.b>a>1 C.a<b<1 D.b<a<1 答案　BD 解析　实数a，b满足等式log2a＝log3b， 即y＝log2x在x＝a处的函数值和y＝log3x在x＝b处的函数值相等， 当a＝b＝1时，log2a＝log3b＝0， 令log2a＝log3b＝1，可得a＝2，b＝3，由此知B成立，A不成立； 令log2a＝log3b＝－1，可得a＝，b＝，由此知D成立，C不成立. 综上可知，可能成立的关系式为BD. 12.若函数f(x)＝loga(x＋b)的图象如图所示，其中a，b为常数，则函数g(x)＝ax＋b的图象大致是(　　) 答案　D 解析　由f(x)的图象可知0<a<1，0<b<1， 所以g(x)的图象应为D. 13.(5分)已知y＝loga(3a－1)恒为正值，则a的取值范围为　　　　　　　　　　.  答案　∪(1，＋∞) 解析　当即<a<时， y＝loga(3a－1)恒为正值； 当即a>1时， y＝loga(3a－1)恒为正值. 综上所述，<a<或a>1. 即a的取值范围为∪(1，＋∞). 14.(5分)若函数f(x)＝lg 的定义域为R，则实数k的取值范围是　　　　.  答案　[0，3) 解析　依题意，得2kx2－kx＋>0的解集为R， 即不等式2kx2－kx＋>0恒成立， 当k＝0时，>0恒成立，所以k＝0满足条件. 当k≠0时，则 解得0<k<3. 综上，实数k的取值范围是[0，3). 15.(多选)已知f(x)＝logax(a>0，且a≠1)的图象经过点(4，2)，则下列命题正确的有(　　) A.函数为增函数 B.函数为偶函数 C.若x>1，则f(x)>0 D.若0<x1<x2，则<f 答案　ACD 解析　由题意知2＝loga4，解得a＝2，故f(x)＝log2x，函数为增函数，故A正确； f(x)＝log2x为非奇非偶函数，故B错误； 当x>1时，f(x)＝log2x>log21＝0成立，故C正确； 因为log2x1＋log2x2 ＝log2x1x2＝log2. f＝log2， 又f(x)＝log2x为增函数， 0<x1<x2，<， 所以<f成立，故D正确. 16.(12分)若不等式x2－logmx<0在内恒成立，求实数m的取值范围. 解　由x2－logmx<0，得x2<logmx，在同一坐标系中作出y＝x2和y＝logmx的大致图象，如图所示. 要使x2<logmx在内恒成立，只要y＝logmx在内的图象在y＝x2图象的上方，于是0<m<1. ∵当x＝时，y＝x2＝， ∴只要当x＝时，y＝logm≥＝logm即可， ∴≤， 即≤m.又0<m<1，∴≤m<1. 即实数m的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $