第4章 3.1 对数函数的概念 3.2 对数函数y＝log2x的图象和性质（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦对数函数概念、反函数关系及y=log₂x的图象与性质，从指数函数实例切入，通过问题驱动定义对数函数，建立与指数函数的反函数联系，再具体探究y=log₂x的图象性质，构建递进式学习支架。 以地震震级、细胞分裂为实例培养数学眼光，通过问题链和图象对比发展数学思维，用规范表述强化数学语言。课中助力教师引导探究，课后分层练习帮助学生巩固提升，有效查漏补缺。

3.1　对数函数的概念　3.2　对数函数y＝log2x的图象和性质 学习目标　1.理解对数函数的概念以及对数函数与指数函数间的关系.2.了解指数函数与对数函数互为反函数，并会求指数函数或对数函数的反函数.3.掌握对数函数y＝log2x的图象和性质. 导语 目前，地球的地壳运动还非常频繁，每年用地震仪可以测出的地震大约有500万次，平均每隔几秒钟就有一次，其中3级以上的大约只有5万次，仅占1%，7级以上的大震平均每年约有18次，8级以上的地震平均每年仅1次，那么地震的震级是怎么定义的呢？这里面就要用到对数函数. 一、对数函数的概念及应用 问题1　某种物质的细胞进行分裂，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……，则1个这样的细胞分裂x次后得到的细胞个数y如何表示？反之，如果知道一个细胞经过x次分裂后得到了1 024个细胞，该如何求解x的值呢？在第几次开始，细胞个数超过100万个？ x 1 2 3 … 10 … 20 … y 2 4 8 … 1 024 … 1 048 576 … 提示　根据指数与对数的相互转化，我们知道y＝2x可以化为x＝log2y，根据对数的运算，我们便可得到是在第20天开始细胞个数超过100万个. 知识梳理 1.对数函数的概念 函数y＝logax(a>0，且a≠1)称为以a为底的对数函数，其中x是自变量，a称为底数. 2.对数函数的基本性质 (1)定义域是(0，＋∞)； (2)图象过定点(1，0). 3.常用对数函数与自然对数函数： 特别地，我们称以10为底的对数函数为常用对数函数，记作y＝lg x；称以无理数e为底的对数函数为自然对数函数，记作y＝ln x.  注意点： (1)对数函数的系数为1. (2)真数只能是一个x. (3)底数a的取值范围是a>0，且a≠1. 例1　(1)下列函数表达式中，是对数函数的是(　　) A.y＝logx2 B.y＝logax(a∈R) C.y＝ln x D.y＝log2(x＋1) 答案　C 解析　由于A中自变量出现在底数上，∴A不是对数函数；由于B中底数a∈R不能保证a>0，且a≠1， ∴B不是对数函数；由于D中的真数为(x＋1)， ∴D不是对数函数.只有C符合对数函数的定义. (2)若对数函数的图象过点M(16，4)，则此对数函数的解析式为(　　) A.y＝log4x B.y＝lox C.y＝lox D.y＝log2x 答案　D 解析　设对数函数为y＝logax(a>0，且a≠1)，由于对数函数的图象过点M(16，4)，所以4＝loga16，解得a＝2.所以对数函数的解析式为y＝log2x. 反思感悟　判断一个函数是对数函数的方法 跟踪训练1　(1)若函数f(x)＝log(a＋1)x＋(a2－2a－8)是对数函数，则a＝　　　　.  答案　4 解析　由题意可知 解得a＝4. (2)已知函数f(x)是对数函数，且f ＝－，则f(2)＝　　　　.  答案　 解析　设f(x)＝logax(a>0，且a≠1)， 因为f＝－， 所以loga＝－，即，解得a＝2， 所以f(x)＝log2x， 所以f(2)＝log22＝log2. 二、反函数 反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)是对数函数y＝logax的反函数，对数函数y＝logax也是指数函数y＝ax的反函数.即它们互为反函数. 注意点： 互为反函数的两个函数的定义域与值域正好互换. 例2　(1)(课本例2)写出下列对数函数的反函数： (1)y＝lg x； (2)y＝lox. 解　(1)因为对数函数y＝lg x的底数是10，所以它的反函数是指数函数y＝10x. (2)因为对数函数y＝lox的底数是，所以它的反函数是指数函数y＝. (2)(课本例3)写出下列指数函数的反函数： (1)y＝5x； (2)y＝. 解　(1)因为指数函数y＝5x的底数是5，所以它的反函数是对数函数y＝log5x. (2)因为指数函数y＝的底数是，所以它的反函数是对数函数y＝lox. 例2　求下列函数的反函数. (1)y＝10x；(2)y＝；(3)y＝lox； (4)y＝log7x. 解　(1)指数函数y＝10x，它的底数是10，它的反函数是对数函数y＝lg x. (2)指数函数y＝，它的底数是，它的反函数是对数函数y＝lox. (3)对数函数y＝lox，它的底数是，它的反函数是指数函数y＝. (4)对数函数y＝log7x，它的底数是7，它的反函数是指数函数y＝7x. 反思感悟　反函数的性质特征 (1)同底的指数函数、对数函数互为反函数. (2)反函数的性质： ①对称性：互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称. ②坐标关系：若函数y＝f(x)图象上有一点(a，b)，则点(b，a)必在其反函数图象上，反之若点(b，a)在反函数图象上，则点(a，b)必在原函数图象上. 跟踪训练2　(1)y＝3x与y＝log3x的图象关于(　　) A.x轴对称 B.直线y＝x对称 C.原点对称 D.y轴对称 答案　B 解析　函数y＝3x与y＝log3x互为反函数，故其图象关于直线y＝x对称. (2)已知函数f(x)＝2x的反函数是y＝g(x)，则g的值为(　　) A.1 B. C.－ D.－1 答案　D 解析　∵由y＝f(x)＝2x，得x＝log2y， ∴f(x)的反函数为g(x)＝log2x， 则g＝log2＝－1. 三、对数函数y＝log2x的图象与性质 问题2　请同学们利用列表、描点、连线的画图步骤，先完成下列表格，再在同一平面直角坐标系下画出对数函数y＝log2x和y＝x的函数图象. x … 0.25 0.5 1 2 4 8 16 … y＝log2x … … y＝x … … 提示　(1)－2　－1　0　1　2　3　4 2　1　0　－1　－2　－3　－4 (2)描点、连线 问题3　观察你作出的y＝log2x的图象，图象有什么特征呢？ 提示　(1)图象位于y轴右侧；(2)在(0，＋∞)上单调递增；(3)当x→0时，y→－∞. 知识梳理 对数函数y＝log2x与y＝lox的图象与性质 函数 y＝log2x y＝lox 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 在定义域(0，＋∞)上是增函数 在定义域(0，＋∞)上是减函数 共点性 图象过定点(1，0)，即当x＝1时，y＝0 函数 值特点 当x∈(0，1)时， y∈(－∞，0) 当x∈(0，1)时， y∈(0，＋∞) 当x∈[1，＋∞) 时，y∈[0，＋∞) 当x∈[1，＋∞)时， y∈(－∞，0] 注意点： (1)函数图象只出现在y轴右侧，注意图象永远不和y轴相交. (2)y＝log2x和y＝lox的图象关于x轴对称. 例3　(课本例4)比较下列各题中两个数的大小： (1)log20.25，log20.3； (2)，. 解　(1)因为函数y＝log2x在定义域(0，＋∞)上是增函数，且0.25<0.3，所以log20.25<log20.3. (2)因为函数y＝log2x在定义域(0，＋∞)上是增函数，且1<3.5<4.5，所以0<log23.5<log24.5，因此>. 例4　(课本例5)(1)求使不等式log2x>5成立的实数x的集合； (2)已知log2(2x－1)＝log2(x2－16)，求x的值. 解　(1)将不等式log2x>5变形为log2x>log232. 因为函数y＝log2x在定义域(0，＋∞)上是增函数，所以x>32. 故使不等式log2x>5成立的x的集合为{x|x>32}. (2)由已知等式，得2x－1＝x2－16. 解得x1＝－3，x2＝5. 为使对数log2(2x－1)和log2(x2－16)均有意义，需要2x－1>0和x2－16>0.因此x＝－3不合题意，舍去.所以x的值为5. 例3　(1)比较log2与lo的大小； (2)若log2(2－x)>log0.5，求实数x的取值范围. 解　(1)∵lo＝log2， 又y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且>， ∴log2>lo. (2)∵log0.5＝log2(3x－2)， 又y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数， ∴log2(2－x)>log2(3x－2)⇔ 解得<x<1，即x的取值范围是. 反思感悟　函数f(x)＝log2x性质的三种应用 函数f(x)＝log2x在(0，＋∞)上是单调递增的，利用单调性可以比较对数值的大小，解不等式，求函数值域. 跟踪训练3　根据函数f(x)＝log2x的图象和性质解决以下问题. (1)若f(a)>f(2)，求a的取值范围； (2)求y＝log2(2x－1)在x∈[2，14]上的最值. 解　函数y＝log2x的图象如图所示. (1)因为y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数， f(a)>f(2)，即log2a>log22， 解得a>2. 所以a的取值范围为(2，＋∞). (2)因为2≤x≤14， 所以3≤2x－1≤27， 所以log23≤log2(2x－1)≤log227＝3log23. 所以函数y＝log2(2x－1)在x∈[2，14]上的最小值为log23，最大值为3log23. 1.知识清单： (1)对数函数的概念. (2)反函数. (3)对数函数y=log2x的图象与性质. 2.方法归纳：待定系数法、数形结合法. 3.常见误区：忽视对数函数中隐含的条件：真数大于0，底数大于0且不等于1. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共6分 1.下列函数是对数函数的是(　　) A.y＝loga(5x) B.y＝log22x C.y＝log2x＋1 D.y＝lg x 答案　D 解析　选项A，B，C中的函数都不具有“y＝logax(a>0且a≠1)”的形式. 2.已知对数函数的图象过点M(9，－2)，则此对数函数的解析式为(　　) A.y＝log2x B.y＝log3x C.y＝lox D.y＝lox 答案　C 解析　设对数函数为y＝logax(a>0且a≠1)， 由题意得loga9＝－2， 即a－2＝9，解得a＝，∴y＝lox. 3.已知函数y＝log3x的定义域为(0，＋∞)，则其反函数的值域是(　　) A.(0，＋∞) B.R C.(－∞，0) D.(0，1) 答案　A 解析　反函数的值域为原函数的定义域(0，＋∞). 4.设P＝2log23，Q＝log23，R＝log25，则(　　) A.R<Q<P B.P<R<Q C.Q<R<P D.R<P<Q 答案　C 解析　因为P＝2log23＝log232＝log29>log28＝3，Q＝log23<log24＝2，R＝log25<log28＝3，R＝log25>log24＝2，所以Q<R<P. 5.方程lo(x2－9)＝lo(4x－4)的解为(　　) A.x＝1或x＝5 B.x＝－1 C.x＝1 D.x＝5 答案　D 解析　依题意得 即 解得x＝5. 6.函数f(x)＝与g(x)＝－log2x在同一坐标系中的大致图象是(　　) 答案　A 解析　因为函数f(x)＝是减函数，过点(0，1)，函数g(x)＝－log2x是减函数，过点(1，0)，所以A选项中的函数图象符合题意. 7.(5分)函数f(x)＝(a－1)·logax为对数函数，则f＝　　　　.  答案　－3 解析　∵函数f(x)＝(a－1)·logax为对数函数， ∴解得a＝2， ∴f(x)＝log2x，∴f＝log2＝－3. 8.(5分)函数f(x)＝log2x在区间[a，2a](a>0)上最大值与最小值之差为　　　　.  答案　1 解析　∵f(x)＝log2x在区间[a，2a]上单调递增， ∴f(x)max－f(x)min＝f(2a)－f(a) ＝log2(2a)－log2a＝log22＝1. 9.(10分)已知函数y＝f(x)是对数函数，且它的图象过点(4，4). (1)求函数f(x)的解析式；(5分) (2)求f(1)，f(32)，f 的值.(5分) 解　(1)设f(x)＝logax(a>0且a≠1)， ∵函数y＝f(x)的图象过点(4，4)， ∴f(4)＝loga4＝4，即a4＝4， ∴a＝，即f(x)＝lox. (2)由(1)得f(1)＝lo1＝0； f(32)＝lo32＝2log225＝10； f ＝lo＝lo2－3＝－3lo2＝－6. 10.(12分)已知函数f(x)＝log2(1＋x)，g(x)＝log2(1－x). (1)函数f(x)的定义域为[3，63]，求函数f(x)的最值；(6分) (2)求使f(x)－g(x)>0的x的取值范围.(6分) 解　(1)因为y＝log2x是其定义域上的增函数， 所以函数f(x)＝log2(x＋1)在[3，63]上单调递增， 所以f(x)max＝f(63)＝log2(63＋1)＝6， f(x)min＝f(3)＝log2(3＋1)＝2. (2)因为f(x)－g(x)>0， 即log2(1＋x)>log2(1－x)， 所以1＋x>1－x>0，解得0<x<1. 即x的取值范围是(0，1). 11.(多选)给出下列三个等式：①f(xy)＝f(x)＋f(y)，②f(x＋y)＝f(x)f(y)，③f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，下列函数中至少满足一个等式的是(　　) A.f(x)＝3x B.f(x)＝log2x C.f(x)＝x2 D.f(x)＝kx(k≠0) 答案　ABD 解析　对于A，f(x＋y)＝3x＋y＝3x·3y＝f(x)·f(y)，符合②； 对于B，f(xy)＝log2(xy)＝log2x＋log2y＝f(x)＋f(y)，符合①； 对于C，不满足任何一个等式； 对于D，f(x＋y)＝k(x＋y)＝kx＋ky＝f(x)＋f(y)，符合③. 12.(5分)函数f(x)＝的图象与函数g(x)＝log2x的图象交点个数是　　　　.  答案　3 解析　在同一个平面直角坐标系中画出f(x)和g(x)的图象，如图， 由图象可知f(x)与g(x)的交点个数是3. 13.(5分)已知函数f(x)＝log2x，则方程[f(x)]2＝log2(4x)的解为　　　.  答案　x＝或x＝4 解析　由题意得(log2x)2＝log2(4x)， ∴(log2x)2＝2＋log2x， 即(log2x)2－log2x－2＝0， 令t＝log2x，则方程可化为t2－t－2＝0， 解得t＝－1或t＝2，∴x＝或x＝4， ∴原方程的解为x＝或x＝4. 14.(5分)已知函数f(x)＝lox，若|f(x)|≥1，则实数x的取值范围是　　　　.  答案　∪[2，＋∞) 解析　∵|f(x)|≥1，∴lox≥1或lox≤－1， 即－log2x≥1或－log2x≤－1， 即log2x≤－1或log2x≥1， ∴log2x≤log2或log2x≥log22， 又y＝log2x在定义域(0，＋∞)上是增函数， 解得0<x≤或x≥2， 故实数x的取值范围是∪. 15.(5分)设函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，若f(x1x2…x2 025)＝8，则f()＋f()＋f()＋…＋f()的值等于　　　　.  答案　16 解析　由题意得f()＋f()＋f()＋…＋f()＝loga＋loga＋loga＋…＋loga ＝loga(x1x2x3…x2 025)2＝2loga(x1x2x3…x2 025) ＝2f(x1x2x3…x2 025)＝2×8＝16. 16.(12分)已知函数f(x)＝. (1)画出函数y＝f(x)的图象；(3分) (2)写出函数y＝f(x)的单调区间；(4分) (3)当x∈时，函数y＝f(x)的值域为[0，1]，求m的取值范围.(5分) 解　(1)先作出y＝lox的图象，再把y＝lox的图象在x轴下方的部分往上翻折，得到f(x)＝的图象，如图. (2)f(x)的定义域为(0，＋∞)，由图可知，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1). (3)由f(x)＝的图象可知 f＝f(2)＝1，f(1)＝0， 由题意结合图象知，1≤m≤2. 即m的取值范围是[1，2]. 学科网（北京）股份有限公司 $