4.3.1 对数函数的概念&4.3.2 对数函数y＝log2x的图象和性质(Word教参)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

　对数函数

3．1　对数函数的概念

3．2　对数函数y＝log2x的图象和性质

　我们已经知道y＝2x是指数函数，那么y＝log2x(x＞0)是否表示y是x的函数？为什么？

[提示]　是．由对数的定义可知y＝log2x(x＞0)⇔x＝2y，结合指数的运算可知，在定义域{x|x＞0}内对于每一个x都有唯一的y与之对应，故y＝log2x(x＞0)表示y是x的函数，其定义域为(0，＋∞)．

◎结论形成

1．对数函数：函数y＝logax(a＞0，a≠1)称为以a为底的对数函数．其中a称为底数，x是自变量．

2．基本性质：(1)定义域为(0，＋∞)；

(2)图象过定点(1,0)．

3．常用对数函数与自然对数函数

称以10为底的对数函数为常用对数函数，记作y＝lg_x；称以无理数e为底的对数函数为自然对数函数，记作y＝ln_x.

4．互为反函数

指数函数y＝ax与对数函数y＝logax是互为反函数．

　阅读教材3.2中画出函数y＝log2x图象的两种方法，根据y＝log2x图象，探究其性质？

[提示]　定义域：(0，＋∞)，值域：R.在(0，＋∞)上是增函数．当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1时，y＜0.

◎结论形成

函数y＝log2x的图象与性质

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)y＝logx5是对数函数．(　　)

(2)y＝loga(2x)(a>0，且a≠1)是对数函数．(　　)

(3)函数y＝loga(x2－x＋1)(a>0，且a≠1)的定义域为R.(　　)

(4)y＝2x与y＝2log4x互为反函数．(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√

2．函数f(x)＝log2(x＋1)定义域为(　　)

A．(－∞，－1)　　　　 B．[－1，＋∞)

C．(－1，＋∞)  D．(1，＋∞)

答案　C

3．已知对数函数过点(2,4)，则f(x)的解析式为________________．

解析　设y＝logax，则4＝loga2，∴a4＝2，又a＞0且a≠1，∴a＝.

答案　y＝logx

4．使log3(2－x)＞－1成立的实数x的取值范围是____________．

解析　log3(2－x)＞－1⇔log3(2－x)＞log3

⇔2－x＞，即x＜.

又2－x＞0，故x＜.

答案　

题型一　对数函数的概念 

1．(教材例1拓展)已知下列函数：①y＝(－x)(x<0)；②y＝2log4(x－1)(x>1)；③y＝ln x(x>0)；④y＝(x>0，a是常数)．其中是对数函数的是________．(只填序号)

解析　对于①，自变量是－x，故①不是对数函数；对于②，2log4(x－1)的系数为2，而不是1，且自变量是x－1，不是x，故②不是对数函数；对于③，ln x的系数为1，自变量是x，故③是对数函数；对于④，底数a2＋a＝2－，当a＝－时，底数小于0，故④不是对数函数．故填③.

答案　③

2．函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________.

解析　由题意得a2－a＋1＝1，解得a＝0或1，

又a＋1＞0且a＋1≠1，所以a＝1.

答案　1

3．已知对数函数f(x)的图象经过点，则f(3)的值为________．

解析　设f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，

∵对数函数f(x)的图象经过点，

∴f＝loga ＝2.∴a2＝.

答案　－1

判断一个函数是否为对数函数的方法