4.3.1 对数函数的概念&4.3.2 对数函数y＝log2x的图象和性质(Word教参)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

　对数函数 3．1　对数函数的概念 3．2　对数函数y＝log2x的图象和性质 学业标准 素养目标 1.理解对数函数的概念．(重点) 2．掌握对数函数y＝log2x的图象和性质及其简单应用．(重点、难点) 1.通过对数函数概念的学习，发展数学抽象核心素养． 2．通过学习对数函数y＝log2x的图象与性质，发展直观想象、数学运算等核心素养. 导学1 对数函数的概念 　我们已经知道y＝2x是指数函数，那么y＝log2x(x＞0)是否表示y是x的函数？为什么？ [提示]　是．由对数的定义可知y＝log2x(x＞0)⇔x＝2y，结合指数的运算可知，在定义域{x|x＞0}内对于每一个x都有唯一的y与之对应，故y＝log2x(x＞0)表示y是x的函数，其定义域为(0，＋∞)． ◎结论形成 1．对数函数：函数y＝logax(a＞0，a≠1)称为以a为底的对数函数．其中a称为底数，x是自变量． 2．基本性质：(1)定义域为(0，＋∞)； (2)图象过定点(1,0)． 3．常用对数函数与自然对数函数 称以10为底的对数函数为常用对数函数，记作y＝lg_x；称以无理数e为底的对数函数为自然对数函数，记作y＝ln_x. 4．互为反函数 指数函数y＝ax与对数函数y＝logax是互为反函数． 导学2 函数y＝log2x的图象与性质 　阅读教材3.2中画出函数y＝log2x图象的两种方法，根据y＝log2x图象，探究其性质？ [提示]　定义域：(0，＋∞)，值域：R.在(0，＋∞)上是增函数．当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1时，y＜0. ◎结论形成 函数y＝log2x的图象与性质 图象 性质 (1)定义域：(0，＋∞)； (2)值域：R； (3)过点(1,0)； (4)在(0，＋∞)上是增函数； (5)当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1时，y＜0； (6)当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无穷大； 当x值趋近于0时，函数值趋近于负无穷大 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)y＝logx5是对数函数．(　　) (2)y＝loga(2x)(a>0，且a≠1)是对数函数．(　　) (3)函数y＝loga(x2－x＋1)(a>0，且a≠1)的定义域为R.(　　) (4)y＝2x与y＝2log4x互为反函数．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．函数f(x)＝log2(x＋1)定义域为(　　) A．(－∞，－1)　　　　 B．[－1，＋∞) C．(－1，＋∞) D．(1，＋∞) 答案　C 3．已知对数函数过点(2,4)，则f(x)的解析式为________________． 解析　设y＝logax，则4＝loga2，∴a4＝2，又a＞0且a≠1，∴a＝. 答案　y＝logx 4．使log3(2－x)＞－1成立的实数x的取值范围是____________． 解析　log3(2－x)＞－1⇔log3(2－x)＞log3 ⇔2－x＞，即x＜. 又2－x＞0，故x＜. 答案　 题型一　对数函数的概念 1．(教材例1拓展)已知下列函数：①y＝(－x)(x<0)；②y＝2log4(x－1)(x>1)；③y＝ln x(x>0)；④y＝(x>0，a是常数)．其中是对数函数的是________．(只填序号) 解析　对于①，自变量是－x，故①不是对数函数；对于②，2log4(x－1)的系数为2，而不是1，且自变量是x－1，不是x，故②不是对数函数；对于③，ln x的系数为1，自变量是x，故③是对数函数；对于④，底数a2＋a＝2－，当a＝－时，底数小于0，故④不是对数函数．故填③. 答案　③ 2．函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________. 解析　由题意得a2－a＋1＝1，解得a＝0或1， 又a＋1＞0且a＋1≠1，所以a＝1. 答案　1 3．已知对数函数f(x)的图象经过点，则f(3)的值为________． 解析　设f(x)＝logax(a>0，且a≠1)， ∵对数函数f(x)的图象经过点， ∴f＝loga ＝2.∴a2＝. 答案　－1 判断一个函数是否为对数函数的方法 　 题型二　对数型函数的定义域 　(1)下列各组函数中，定义域相同的一组是(　　) A．y＝ax与y＝logax(a＞0，且a≠1) B．y＝2ln x与y＝ln x2 C．y＝lg x与y＝lg D．y＝x2与y＝lg x2 (2)函数的定义域为________． [解析]　(1)只有C组定义域相同，故选C. (2)要使函数有意义，必须且只需 解得x＞1且x≠，故定义域(1，)∪(，＋∞)． [答案]　(1)C　(2)(1，)∪(，＋∞) 求与对数函数有关的函数定义域时应遵循的原则 (1)分母不能为0. (2)根指数为偶数时，被开方数非负． (3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.　 [触类旁通] 1．(1)函数y＝10lg x的定义域为________，值域为________． (2)函数f(x)＝的定义域为________． 解析　(1)函数的定义域为(0，＋∞)，y＝10lg x＝x，故值域为(0，＋∞)． (2)函数f(x)有意义的充要条件为log2x－1≥0，即x≥2，则函数f(x)的定义域是[2，＋∞)． 答案　(1)(0，＋∞)　(0，＋∞)　(2)[2，＋∞) 题型三　y＝log2x图象与性质的应用 　(教材例4、例5拓展)(1)比较log2与的大小； (2)若log2(2－x)＞log0.5，求实数x的取值范围． [解析]　(1)∵＝log2， 又y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且＞， ∴log2＞. (2)∵log0.5＝log2(3x－2)，又y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，∴log2(2－x)＞log2(3x－2)⇔解得＜x＜1，即x的取值范围是. [母题变式] 1．(变结论)本例(1)变为比较与的大小． 解析　由本例(1)解答及对数函数的性质知 2．(变条件)本例(2)变为log2(2－x2)＞log0.5，如何求x的取值范围． 解析　由本例(2)解答得： log2(2－x2)＞log2(3x－2)⇔ 解得＜x＜1.故x的取值范围是. [素养聚焦]　比较大小、解不等式均涉及数形结合、运算求解，体现了直观想象、数学运算等核心素养. 函数f(x)＝log2x是最基本的对数函数．它在(0，＋∞)上是单调递增的．利用单调性可以解不等式、求函数值域、比较对数值的大小．　 [触类旁通] 2．根据函数f(x)＝log2x的图象和性质解决以下问题． (1)若f(a)>f(2)，求a的取值范围； (2)求y＝log2(2x－1)在x∈[2,14]上的最值． 解析　函数y＝log2x的图象如下图． (1)因为y＝log2x是增函数，若f(a)>f(2)， 即log2a>log22，则a>2. 所以a的取值范围为(2，＋∞)． (2)∵2≤x≤14，∴3≤2x－1≤27， ∴log23≤log2(2x－1)≤log227. ∴函数y＝log2(2x－1)在x∈[2,14]上的最小值为log23，最大值为log227. 知识落实 技法强化 1.对数函数及反函数的概念． 2.函数y＝log2x的图象和性质. 研究对数型函数的注意点 1.对数有意义的条件是底数大于零且不等于1，同时真数大于零． 2.利用y＝log2x的性质比较大小或解不等式，常采用数形结合的方法. 学科网（北京）股份有限公司 $$