第3章 §3 第1课时 指数函数的概念和图象（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦高中数学指数函数的概念和图象，基于函数概念基础，系统讲解指数函数定义（底数a>0且a≠1，y=a^x）、基本性质（定义域R，函数值大于0，过定点(0,1)），以及图象绘制（列表描点法）和特点（a>1与0<a<1的图象差异，底数互为倒数的图象关于y轴对称），为后续性质应用搭建学习支架。 该资料以A4纸对折游戏导入，引导学生用数学眼光观察现实世界数量关系，通过概念辨析例题（如判断是否为指数函数）培养抽象能力和推理意识，结合图象应用例题（如过定点问题、与直线交点）发展几何直观和模型意识。课中问题引导与动手画图提升教学互动，课后课时对点练助力学生查漏补缺，强化知识掌握。

第1课时　指数函数的概念和图象 学习目标　1.理解指数函数的概念.2.会画指数函数的图象并能简单应用. 导语 同学们，让我们来做个小游戏吧！将一张A4纸连续对折，折叠次数x与对应的层数y之间存在什么关系？对折后的面积S(假设原面积为1)与折叠的次数有什么关系？今天就让我们一起来探究一下这个问题吧！ 一、指数函数的概念 指数函数的概念 (1)定义：当给定正数a，且a≠1时，对于任意的实数x，都有唯一确定的正数y＝ax与之对应，因此，y＝ax是一个定义在实数集上的函数，称为指数函数. (2)基本性质 ①定义域是R，函数值大于0； ②图象过定点(0，1). 注意点： (1)常数a在底数位置且a>0，且a≠1. (2)自变量x在指数位置. (3)指数幂的系数为1. 例1　(1)(多选)下列函数中不是指数函数的是(　　) A.y＝ B.y＝(－3)x C.y＝－3x D.y＝(π－3)x 答案　ABC 解析　由于y＝的自变量出现在底数位置，因而不是指数函数；y＝(－3)x的底数是－3，不符合定义，因而不是指数函数；y＝－3x中，3x前面的系数不是1，因而不是指数函数，只有D是指数函数. (2)若函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则实数a＝　　　　.  答案　2 解析　由y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数， 可得解得a＝2. 反思感悟　判断一个函数是否为指数函数的方法 (1)底数的值是否符合要求(大于0且不等于1). (2)ax前的系数是否为1. (3)指数是否符合要求. 跟踪训练1　(1)下列各函数中，是指数函数的为(　　) A.y＝x5 B.y＝ax C.y＝5x＋1 D.y＝25x 答案　D 解析　A中，自变量出现在底数上，故不是指数函数；B中，自变量出现在指数上，但当a＝1时，不满足指数函数的定义，故不一定是指数函数；C中，指数是x＋1，故不是指数函数；D中，y＝25x符合指数函数的定义，故是指数函数. (2)若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是(　　) A.(0，1)∪(1，＋∞) B.[0，1)∪(1，＋∞) C.∪(1，＋∞) D. 答案　C 解析　依题意得2a－1>0，且2a－1≠1， 解得a>，且a≠1. 二、指数函数的图象 问题　用列表、描点、连线的画图步骤， (1)完成下列表格， (2)画出指数函数y＝2x与y＝的图象. x －3 －2 －1 0 1 2 3 y＝2x y＝ 提示　(1)　　　1　2　4　8　8　4　2　1　　　 (2)y＝2x和y＝的图象如图所示. 知识梳理　指数函数的图象 a>1 0<a<1 图象 注意点： (1)函数图象只出现在x轴上方. (2)当x＝0时，有a0＝1，故过定点(0，1). (3)当0<a<1时，底数越小，图象越靠近y轴. (4)当a>1时，底数越大，图象越靠近y轴. (5)任意底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称. 例2　(1)如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是(　　) A.a<b<1<c<d B.b<a<1<d<c C.1<a<b<c<d D.a<b<1<d<c 答案　B 解析　作直线x＝1，由下到上分别与②，①，④，③相交，所以b<a<1<d<c. (2)函数f(x)＝ax＋1－2(a>0且a≠1)的图象恒过定点　　　　.  答案　(－1，－1) 解析　在f(x)＝ax＋1－2中， 令x＋1＝0，解得x＝－1， f(－1)＝a0－2＝－1， 所以函数的图象恒过定点(－1，－1). 反思感悟　解决指数函数图象问题的注意点 (1)熟记当底数a>1和0<a<1时，图象的大致形状. (2)在y轴右侧，指数函数的图象“底大图高”. 跟踪训练2　已知0<m<n<1，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为(　　) 答案　C 解析　由于0<m<n<1，故排除A，B；作直线x＝1与两个曲线相交(图略)，交点在下面的是函数y＝mx的图象，在上面的是函数y＝nx的图象. 三、指数函数图象的简单应用 例3　(1)函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图象可能是(　　) 答案　D 解析　f(x)＝ax－，则f(0)＝1－， 当a>1时，f(x)为增函数，且f(0)＝1－∈(0，1)，排除A，B； 当0<a<1时，f(x)为减函数，且f(0)＝1－<0，排除C，故选D. (2)若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的图象有两个公共点，则实数a的取值范围为　　　　.  答案　 解析　①若a>1，如图①所示， 由题意可知，0<2a<1， 所以0<a<，与a>1矛盾，舍去. ①　　　　　　　　② ②若0<a<1，如图②所示， 由题意可知，0<2a<1，所以0<a<，满足题意. 故实数a的取值范围为. 反思感悟　处理函数图象问题的策略 (1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0，1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点. (2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移). (3)利用函数的性质：奇偶性与单调性. 跟踪训练3　(1)指数函数y＝f(x)的图象经过点，那么f(4)f(2)等于(　　) A.8 B.16 C.32 D.64 答案　D 解析　设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)， 由指数函数y＝f(x)的图象经过点， 可得a－2＝，解得a＝2， 函数的解析式为y＝2x，f(4)f(2)＝24×22＝64. (2)若函数f(x)＝ax－b(a>0，且a≠1，b为实数)的图象在第一、三、四象限，则有(　　) A.0<a<1，b>1 B.0<a<1，b<1 C.a>1，b<1 D.a>1，b>1 答案　D 解析　由题意，画出函数的草图， 结合图象可得a>1，1－b<0， ∴a>1，b>1. 1.知识清单： (1)指数函数的概念. (2)指数函数的图象. 2.方法归纳：待定系数法、数形结合法. 3.常见误区：易忽视底数a的限制条件；易忽视对于a是否大于1进行讨论. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分 1.下列函数中，是指数函数的是(　　) A.y＝ B.y＝ax(a>0，且a≠1) C.y＝1x D.y＝－1 答案　B 解析　由指数函数的定义可判定，只有B正确. 2.若函数f(x)＝(2a－3)ax是指数函数，则f(1)等于(　　) A.8 B. C.4 D.2 答案　D 解析　∵函数f(x)＝(2a－3)ax是指数函数， ∴解得a＝2， ∴f(x)＝2x，∴f(1)＝2. 3.(多选)已知指数函数f(x)满足f，则下列结论中正确的是(　　) A.f(x)＝5x B.f(x)＝5－x C.f(－1)＝ D.5f(1)＝f(2) 答案　ACD 解析　设指数函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)，于是，即，因此a＝5，函数f(x)＝5x，A正确，B错误；f(－1)＝5－1＝，5f(1)＝5×5＝25＝52＝f(2)，C，D正确. 4.函数f(x)＝πx与g(x)＝的图象关于(　　) A.原点对称 B.x轴对称 C.y轴对称 D.直线y＝－x对称 答案　C 解析　设点(x，y)为函数f(x)＝πx的图象上任意一点，则点(－x，y)为g(x)＝π－x＝的图象上的点.因为点(x，y)与点(－x，y)关于y轴对称，所以函数f(x)＝πx与g(x)＝的图象关于y轴对称. 5.函数f(x)＝ax与g(x)＝－x＋a的图象大致是(　　) 答案　A 6.已知0<a<1，b<－1，则函数y＝ax＋b的图象一定不经过(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案　A 解析　函数y＝ax＋b恒过点(0，1＋b)， 因为b<－1，所以点(0，1＋b)在y轴负半轴上. 又0<a<1，故图象一定不经过第一象限. 7.(5分)已知函数f(x)＝3ax－2＋5(a>0，且a≠1)的图象恒过定点P，点P又在幂函数g(x)的图象上，则g(－2)的值为　　　　.  答案　－8 解析　∵f(x)＝3ax－2＋5， 令x－2＝0，得x＝2，∴f(2)＝3a0＋5＝8， 即f(x)的图象恒过点P(2，8). 设g(x)＝xα，把P(2，8)代入得2α＝8， 解得α＝3，即g(x)＝x3， 故g(－2)＝(－2)3＝－8. 8.(5分)已知函数f(x)＝则f(f(2))＝　　　　.  答案　－8 解析　∵f(2)＝－＝－<0， ∴f(f(2))＝f＝－8. 9.(10分)已知函数f(x)＝3x＋3ax＋b，且f(1)＝12，f(2)＝36.求a，b的值. 解　由题意知即 所以解得 10.(11分)画出下列函数的图象，并说明它们是由函数y＝2x的图象经过怎样的变换得到的. (1)y＝2x＋1；(5分)(2)y＝2x－1.(6分) 解　如图. (1)y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向上平移1个单位长度得到的. (2)y＝2x－1的图象是由y＝2x的图象向右平移1个单位长度得到的. 11.函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　) A.a>1，b<0 B.a>1，b>0 C.0<a<1，b>0 D.0<a<1，b<0 答案　D 解析　从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有0<a<1； 又当x＝0时，f(x)<1，即a－b<1＝a0，∴－b>0，即b<0. 12.函数y＝a|x|(a>1)的图象是(　　) 答案　B 解析　函数y＝a|x|是偶函数，当x≥0时，y＝ax，且图象过点(0，1). 又由a>1可知选项B正确. 13.(多选)设指数函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则下列等式中不正确的是(　　) A.f(x＋y)＝f(x)f(y) B.f(x－y)＝ C.f(nx)＝nf(x)(n∈Q) D.[f(xy)]n＝[f(x)]n·[f(y)]n(n∈N＋) 答案　CD 解析　f(x＋y)＝ax＋y＝axay＝f(x)f(y)，A正确； f(x－y)＝ax－y＝axa－y＝，B正确； f(nx)＝anx＝(ax)n，nf(x)＝nax≠(ax)n，C不正确； [f(xy)]n＝(axy)n，[f(x)]n·[f(y)]n＝(ax)n(ay)n＝(ax＋y)n≠(axy)n，D不正确. 14.(5分)若关于x的方程＝k有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为　　　　.  答案　(0，1) 解析　由题意知，y＝与y＝k的图象有两个不同的交点， 又y＝ 如图所示，所以0<k<1. 15.在下列图象中，二次函数y＝ax2＋bx及指数函数y＝的图象只可能是(　　) 答案　A 解析　根据指数函数的定义，可知a，b同号且不相等， ∴－<0，可排除B，D；由选项C中二次函数的图象，可知a－b>0，a<0，∴>1， ∴由指数函数的图象可知，C不正确，排除C. 16.(12分)已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1). (1)若f(x)的图象如图①所示，求a，b的值；(3分) (2)若f(x)的图象如图②所示，求a，b的取值范围；(4分) (3)在(1)中，若|f(x)|＝m有且仅有一个实数根，求m的取值范围.(5分) 解　(1)由题图①知f(x)的图象过点(2，0)，(0，－2)，所以 又因为a>0，且a≠1，所以a＝，b＝－3. (2)由题图②知f(x)单调递减， 所以0<a<1， 又f(0)<0，即a0＋b<0，所以b<－1. 故a的取值范围为(0，1)， b的取值范围为(－∞，－1). (3)由(1)知f(x)＝()x－3，则画出|f(x)|＝|()x－3|的图象如图所示，要使|f(x)|＝m有且仅有一个实数根， 则m＝0或m≥3. 故m的取值范围为{0}∪[3，＋∞). 学科网（北京）股份有限公司 $