专题02 指数函数（专项训练）数学北师大版2019必修第一册

专题02 指数函数 目录 A题型建模・专项突破 题型一、指数函数的判断 1 题型三、根据函数是指数函数求参数 3 题型四、求指数函数的解析式 4 题型五、指数函数的图像 4 题型六、指数函数过定点 6 题型七、根据函数图像求参数的取值范围 7 题型八、求指数函数的定义域 9 题型九、指数函数的对称问题 9 题型十、指数函数求值域 10 题型十一、指数型复合函数的值域 11 题型十二、已知函数的值域求参数 14 题型十三、指数函数的最值 15 题型十四、已知指数函数的最值求参数 16 题型十五、指数函数的单调性 18 题型十六、指数型复合函数的单调性 19 题型十七、已知指数型的单调性求参数 20 题型十八、指数函数比较大小 22 题型十九、含参指数函数的最值 23 题型二十、指数不等式 25 题型二十一、抽象型不等式 26 题型二十二、判断函数的奇偶性 27 题型二十三、已知奇偶性求参数 29 题型二十四、指数函数恒成立问题 30 题型二十五、指数函数有解问题 33 B综合攻坚・能力跃升 题型一、指数函数的判断 1．下列各函数中，是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数定义即可判断. 【详解】根据指数函数的定义形如且为指数函数判断： 对于A：为幂函数，故A错误； 对于B：中不能作为底数，故B错误； 对于C：中系数不为1，故C错误； 对于D：是指数函数，故D正确； 故选：D 2．下列函数中一定是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数定义可得答案. 【详解】只有符合指数函数的定义，A，B，D中函数都不符合（且）的形式． 故选：C 3．判断函数是指数函数的是（   ） A． B． C． D．（，且） 【答案】D 【分析】由指数函数定义可判断选项正误. 【详解】指数函数是指形如且的函数. 则四个选项中，只有D满足条件. 故选：D 题型二、指数函数求值 4．(22-23高一上·陕西商洛·期末)已知函数，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】求解析式，易知，代入数值即可求解. 【详解】因为，所以， 则. 所以. 故选：B. 5．(24-25高一上·海南海口第一中学·月考)已知函数，则的值为（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】结合分段函数的解析式，分段判断代入计算得到答案. 【详解】函数，则. 故选：D 6．(23-24高一上·贵州黔南州·期末)已知函数，则= 【答案】3 【分析】根据给定条件，分段判断代入求值. 【详解】依题意，，所以. 故答案为：3 题型三、根据函数是指数函数求参数 7．函数是指数函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数的定义列出限制条件，求解不等式组可得答案. 【详解】由指数函数的定义得解得，且，故的取值范围是． 故选：C 8．(24-25高一下·广西南宁琼林高级中学·月考)已知函数（且），若，则 . 【答案】4 【分析】由已知函数的解析式，代入求解即可. 【详解】因为函数，，所以，解得， 又∵且，∴， 故答案为：. 9．(22-23高一上·云南红河州屏边苗族自治县第一中学·月考)已知指数函数，则的值为 . 【答案】27 【分析】根据指数函数定义求得，进而代入求解即可. 【详解】因为为指数式，则，解得或， 又因为且，可得，即， 所以. 故答案为：27. 题型四、求指数函数的解析式 10．放射性物质是指那些能自然地向外辐射能量、发出射线的物质．在一个给定的单位时间内，放射性物质的质量会按某个衰减率衰减．已知某种放射性物质经过50年后剩余质量是原来的，设质量为1的该物质经过年后的剩余量为，则与的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设该物质年衰减率为，原质量为1，分析易得，进而求解. 【详解】设该物质年衰减率为，原质量为1，则1年后剩余质量为； 2年后剩余质量为年后剩余质量为， 即， 则与的函数关系式是． 故选：B. 11．(24-25高一上·北京丰台区·期末)已知指数函数的图象过点，则该指数函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】设出解析式，代入，求出，得到答案. 【详解】设（且），将代入得，解得，负值舍去， 故该指数函数的解析式为. 故答案为： 12．(23-24高一上·云南红河州·期末)函数且的图象经过点，则 . 【答案】 【分析】将点坐标代入函数求参数，即可得解析式. 【详解】因为函数且的图象经过点， 所以，解得，所以. 故答案为： 题型五、指数函数的图像 13．(24-25高一上·山西吕梁·期末)已知且，则在同一直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】易得两个函数的图象都经过定点，即可排除B；再分和两种情况讨论即可得解. 【详解】题目所给的两个函数的图象都经过定点，故B错误； 因为且，所以为增函数， 当时，为增函数，此时的零点，故A错误； 当时，为减函数，此时的零点，故C正确，D错误. 故选：C. 14．(23-24高一上·广西玉林四校（玉一玉实北高容高）·)函数与，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的单调性及纵截距即可判断结果. 【详解】对于A，C，由于函数是增函数，图象应该呈上升趋势，所以A，C错误； 对于D，因为，所以直线在轴上的截距大于1，故D错误； 故选：B 15．已知函数（，且）与函数（，且）的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数函数的图象与性质可得，.再根据函数（，且）与函数（，且）的图象的对称性，数形结合即可求解. 【详解】由图得，，所以. 因为函数（，且）的图象与函数（，且）的图象关于轴对称，如图所示， 由图可知：，则. 故选：A. 题型六、指数函数过定点 16．当且时，的图象恒过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，求的值和对应的函数值，即得图象所过的定点． 【详解】对于函数，令，解得， 则， 所以的图象恒过点． 故选：C. 17．函数的图象恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数的性质即可得答案. 【详解】对于函数，令， 解得，此时， 所以函数的图象恒过定点． 故选：A 18．幂函数在上单调递增，则的图象过定点 ． 【答案】 【分析】利用幂函数的定义和性质，求得的值，再利用指数函数的图象过定点，得出结论． 【详解】幂函数在上单调递增， ，且，解得， 故， 令，得，且， 可得的图象过定点． 故答案为：. 题型七、根据函数图像求参数的取值范围 19．(24-25高一上·上海东昌中学·期末)函数（，且）单调递增且图象不经过第四象限，则、满足的条件为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据指数函数的单调性结合函数的图象不经过第四象限，判断a， b的范围. 【详解】因为函数 (且)单调递增， 所以，图象不经过第四象限，则当时，，所以，， 故选：B. 20．（多选）(24-25高一上·四川成都第十二中学（四川大学附属中学）·月考)当时，函数和的图象不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据一次函数的图象确定、的取值范围，再结合指数函数的单调性进行检验即可. 【详解】对于A选项，由一次函数的图象知，，， 由指数函数的图象知，函数为减函数，则， 若，则，满足题意； 对于B选项，由一次函数的图象可知，，， 由指数函数的图象知，函数为减函数，则， 若，则，矛盾； 对于C选项，由一次函数的图象可知，，， 由指数函数的图象知，函数为增函数，则， 若，则，矛盾； 对于D选项，由一次函数的图象可知，，， 由指数函数的图象知，函数为减函数，则， 若，则，矛盾. 故选：BCD. 21．若函数的图象不经过第一象限，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先作出的图象，即可根据函数图象的平移，结合指数函数的图象性质求解. 【详解】作出的图象如图，由图可知，在第一象限内该函数图象无限接近于直线，因此将此函数图象向下平移1个单位长度可得，在轴右侧，函数图象无限接近于直线，不再经过第一象限，满足题意，因此的取值范围为． 故答案为： 题型八、求指数函数的定义域 22．(24-25高一上·河南九校联盟·月考)函数的定义域为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据被开方式大于等于0求解定义域，并结合指数函数单调性解不等式. 【详解】根据题意，函数， 则函数，即， 所以. 故选：C 23．(24-25高一上·江苏常州五校·调研)已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抽象函数定义域法以及指数函数单调性运算求解即可. 【详解】因为函数的定义域为， 所以对于函数有，解得， 所以函数的定义域是. 故选：D. 24．(24-25高一上·新疆伊犁哈萨克伊犁州直和兵团第四师、第七师高中学业水平·)函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】利用函数有意义列出不等式组，求解即得定义域. 【详解】函数的意义，则，解得且， 所以原函数的定义域为. 故答案为： 题型九、指数函数的对称问题 25．函数与的图象（   ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 【答案】A 【分析】根据图形对称性求解． 【详解】把中的换成即可得到,故与的图象关于轴对称． 故选：A 26．(24-25高一上·湖南常德优质高中学校联盟·期末)已知函数的图象关于点对称，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】分析可知的定义域为，且，即可得结果. 【详解】令，解得， 可知的定义域为， 又因为， 所以函数的图象关于点对称. 故答案为：. 27．(23-24高一上·河北NT20名校联合体·月考)教材必修1第87页给出了图象对称与奇偶性的联系：若为奇函数，则的图象关于点中心对称，易知：是奇函数，则图象的对称中心是 . 【答案】 【分析】利用奇函数的性质把变形成，即，再找出对称中心. 【详解】因为， ， ， 所以， 因为为奇函数，则也奇函数， 所以关于点对称， 故答案为： 题型十、指数函数求值域 28．函数的定义域为，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据得，然后利用指数函数的单调性求得，即可求解值域. 【详解】因为，所以．即，则， 所以函数的值域为． 故选：B 29．(24-25高一下·贵州县中新学校计划项目·期中)下列函数的值域为是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数、反函数、二次函数的性质和图象进行逐一判断. 【详解】对于选项A： 因为为指数函数，所以其值域为. 对于选项B： 因为为二次函数，抛物线开口向上，其值域为. 对于选项C： 因为，其图象为： 可以看出其值域为. 对于选项D： 因为是反函数，所以其值域为. 故选：C. 30．(24-25高一上·上海华东模范中学·)函数的值域是 . 【答案】 【分析】根据指数函数的单调性即可求解. 【详解】易知指数函数在上单调递减， 所以，即该函数在上的值域为. 故答案为： 题型十一、指数型复合函数的值域 31．(24-25高一下·山西青桐鸣·期中)函数的值域为 . 【答案】 【分析】根据基本不等式求得的范围，然后根据指数函数的单调性即可求解. 【详解】，当且仅当，即时等号成立， 又在上单调递增，所以，所以函数的值域为. 故答案为： 32．(24-25高一上·吉林通化梅河口博文学校·期末)已知函数. (1)求的解析式； (2)判断的奇偶性； (3)求函数的值域. 【答案】(1) (2)奇函数 (3) 【分析】（1）利用待定系数，代入可得方程求，即可得函数解析式； （2）利用定义域对称，再结合，即可得奇函数； （3）利用指数函数性质，分离分式即可求得值域. 【详解】（1）由可得， 所以. （2）由的定义域为，关于原点对称， ，故是奇函数. （3）由， 因为，所以，所以， 即，所以， 故函数的值域为. 33．(24-25高一上·重庆长寿区·期末)已知函数是奇函数. (1)求的值； (2)求函数的值域. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据题意，由奇函数的定义可得，即，变形分析可得答案； （2）根据题意，由指数函数的单调性可得，进而变形可得，即可得答案. 【详解】（1）由函数是奇函数，则， 即， 变形可得：，则有. （2）由（1）知， 又由，则，则有，则有， 变形可得：，即． 所以函数的值域为. 34．(24-25高一下·上海杨浦区复旦大学附属中学·)已知函数的定义域为R，则函数的值域为 【答案】 【分析】由题意在R上恒成立，求得，再结合指数函数、分式型函数的性质求的值域. 【详解】由题设知，在R上恒成立， 所以，则，故， 所以在上单调递增，故. 故答案为： 35．(24-25高一上·新疆吐鲁番·期末)已知函数是指数函数. (1)求实数的值； (2)已知函数，，求的值域. 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）根据是指数函数，由求解； （2）由（1）得到，令，由求解. 【详解】（1）因为函数是指数函数， 所以 ，解得； （2）由（1）知， 令， 则， 因为在上递减，在上递增， 所以当时，取得最小值2，当时，取得最大值51， 所以的值域为. 题型十二、已知函数的值域求参数 36．(24-25高一上·广西南宁第三中学·)已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数可得：若，，由题意可知：若，的取值范围包含，结合一次函数性质列式求解即可. 【详解】若，则，可得， 若，则， 由题意可知：此时的取值范围包含， 则，解得， 所以实数a的取值范围是. 故选：C. 37．已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知即有解，且无最大值，分为，，三种情况讨论求解. 【详解】由，可知有解，且无最大值， 即有解，且无最大值， 当时，有解，无最大值，符合题意； 当时，，则有解， 当时，有最大值，则有最大值，不符合题意； 当时，有解需满足，解得， 此时无最大值，无最大值，满足题意． 综上，实数的取值范围是． 故选：A． 38．(24-25高一上·上海徐汇区·)若函数的值域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据分段函数解析式，及指数函数、二次函数的性质求区间值域，结合函数值域求参数范围. 【详解】由在上值域为， 由在上单调递减，则值域为， 又原函数的值域为，所以，可得. 故答案为： 题型十三、指数函数的最值 39．(24-25高一上·广东茂名电白区·期末)已知，则的最小值为 ． 【答案】20 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值即得. 【详解】，而，则， 当且仅当时取等号，所以所求最小值为20. 故答案为：20 40．(24-25高一上·安徽无为第一中学等校·期末)已知函数（，且）． (1)若的图象过点和，求在上的值域； (2)若在区间上的最大值比最小值大，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将点和分别代入解析式，即可求得和的值，再根据指数函数的性质，即可求解； （2）分和讨论，结合指数型函数的单调性即可求解. 【详解】（1） 由题可知，， 解得，，所以． 因为，所以，所以在上的值域为． （2）当时，在区间上单调递减， 所以，， 因此，解得或（舍去）． 当时，在区间上单调递增， 所以，， 因此，解得或（舍去）． 所以或． 41．(24-25高一上·广东深圳实验学校高中园·)已知函数且在区间上的最大值比最小值大. (1)求的值； (2)若单调递减. ①设函数，求的最小值； ②设函数，，求的最小值． 【答案】(1)或． (2)①520；②1314 【分析】（1）分和两种情况，应用单调性结合最值计算求参； （2）应用指数函数的单调性结合二次函数的性质求出最小值. 【详解】（1）当时，单调递增， 在区间[1，2]上， 当时，， 当时，， 所以，即得 当时，单调递减， 在区间[1，2]上， 当时，， 当时，， 所以，即得. 所以或． （2）①因为单调递减，所以， 设，则． 所以当时，函数， 所以的最小值为520． ②由则 设则单调递减，且， 故， 所以，当时，， 所以的最小值为． 题型十四、已知指数函数的最值求参数 42．如果函数 且在区间上的最大值是，则的值为（   ） A．3 B． C． D．3或 【答案】D 【分析】利用换元法，令，转化为二次函数，根据单调性及在区间上的最大值是，求出的值即可. 【详解】令，则． 当时，因为，所以， 又因为函数在上单调递增， 所以，解得（舍去）． 当时，因为，所以， 又函数在上单调递增， 则， 解得（舍去）． 综上知或． 故选：D. 43．(24-25高一上·福建泉州第五中学·期中)已知的最小值为，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据基本不等式、换元法、指数函数、二次函数等知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】当时，，当且仅当，即时，取等号， 当时，设，则， 则在上单调递减， 则当时，取得最小值为， 要使的最小值为，则，得， 即实数的取值范围是. 故答案为：． 【点睛】易错点睛： 忽视基本不等式的应用：在求解最小值时，可能会漏掉基本不等式等号成立的条件，导致最小值计算错误. 二次函数分析错误：在时，可能会对二次函数的分析出现错误，忽略了函数在上是减函数. 44．(24-25高一上·湖南怀化天星高级中学·期中)已知函数 (1)当时，求的值域 (2)求单调区间 (3)若的最大值为9，求实数a的值 【答案】(1) (2)单调递增区间是，单调递减区间是 (3)2 【分析】（1）先求出内层函数的值域，再求外层函数的值域； （2）利用复合函数单调性的结论同增异减求解； （3）根据第二问的结论求解. 【详解】（1）令，原函数化为，当时，， 所以，故的值域为. （2）在上单调递减，在上单调递增， 又因为在上单调递减， 所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是. （3）由（2）可知，函数在处取最大值， 所以，所以，所以. 题型十五、指数函数的单调性 45．(24-25高一上·湖南益阳普通高中·期末)下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数的奇偶性和单调性的定义对选项一一判断即可得出答案. 【详解】对于A，的定义域为，不关于原点对称， 所以是非奇非偶函数，故A错误； 对于B，的定义域为R，关于原点对称，记， 而，所以是奇函数， 又在R上是增函数，故B正确； 对于C，定义域为，关于原点对称， 记，，所以是奇函数； 当时，均为增函数，则是增函数， 当时，均为增函数，则是增函数， 但不能说成在定义域上单调递增，故C错误； 对于D，的定义域为R，关于原点对称， 而，所以不是奇函数，故D错误. 故选：B. 46．(24-25高一上·广西柳州第二中学·期末)下列函数中，既是奇函数，又在定义域内是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数奇偶性的定义，以及常见函数的单调性逐项判断即可. 【详解】对于A，根据对勾函数的性质可知函数在定义域内不是增函数，故A错误； 对于B，函数的定义域为， 又因为，所以函数是奇函数， 因为函数和都是上的增函数，所以函数在定义域内是增函数，故B正确； 对于C，函数的定义域为， 因为函数和都是上的减函数，所以函数在定义域内是减函数，故C错误； 对于D，函数的定义域为，又因为， 所以函数是偶函数，故D错误. 故选：B. 47．（多选）(24-25高一下·广西柳州高中·)下列函数既是奇函数又在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由幂函数的性质可得A正确；由指数函数的性质可得B错误；举反例可得C错误；由奇函数的性质结合复合函数的单调性可得D正确. 【详解】对于A，由幂函数的性质可得既是奇函数又在上单调递增，故A正确； 对于B，由指数函数的性质可得不是奇函数，故B错误； 对于C，当时，；当时，，所以函数在上不是单调递增，故C错误； 对于D，定义域为，关于原点对称， 又，所以为奇函数， 由复合函数的单调性可得在上单调递增，故D正确. 故选：AD 题型十六、指数型复合函数的单调性 48．(24-25高一下·辽宁朝阳凌源·期末)若函数满足，则的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知，代入函数，结合，推出，所以，对绝对值函数单调性进行分段讨论求解. 【详解】由, 所以. 当时，，此时，指数随着x的增大而增大，因此在上单调递增； 当时，，此时，指数随着x的增大而减小，因此在上单调递减. 所以函数在上单调递增，在上单调递减（包含，左侧递减，右侧递增）. 故选：A. 49．(24-25高二下·天津滨海新区大港实验中学·)函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复合函数的单调性，结合二次函数、指数函数的单调性可得结果. 【详解】函数中，令，则函数在上单调递减，上单调递增， 而函数为减函数，因此函数在上单调递增，上单调递减， 所以函数的单调递增区间是. 故选：A. 50．(24-25高一上·江苏连云港灌南县第二中学·)函数单调递减区间是 ． 【答案】 【分析】利用复合函数的单调性可求得原函数的单调递减区间. 【详解】因为内层函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 外层函数在上为增函数，故函数单调递减区间. 故答案为：. 题型十七、已知指数型的单调性求参数 51．(24-25高二下·广东深圳第二实验学校明远高中·期末)若函数（且）在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数单调性求解即可. 【详解】由题意知，函数（且）在上单调递增， 要使函数（且）在上单调递减， 则，解得. 故选：B. 52．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】是由与复合而成，先分析外层函数单调性，再根据复合函数单调性确定内层函数单调性，进而求出的取值范围. 【详解】是由与复合而成， 在中，，，所以在上单调递减. 因为在上单调递减，且外层函数在上单调递减， 根据复合函数“同增异减”的原则，可知内层函数在上单调递增. 对于二次函数，其图象开口向上，对称轴为. 二次函数在对称轴右侧单调递增，要使在上单调递增， 则对称轴需满足，解得. 故选：A. 53．(24-25高一下·安徽部分学校·开学考)已知函数.若对于任意的都有，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由单调函数的定义可知单调递减.根据分段函数、二次函数和指数函数的图象与性质建立不等式组，结合图形即可求解. 【详解】由对于任意的都有， 可知函数在R上单调递减. 由函数的图象关于直线对称， 知函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 二次函数的对称轴为. 若函数单调递减，必有，可得， 当时，不等式可化为， 在平面直角坐标系中画出函数的图象， 又由， 由图象可知不等式的解集为， 故实数的取值范围为. 故选：B 题型十八、指数函数比较大小 54．(24-25高一上·吉林长春实验中学·期中)已知，，，则三个数的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用指数函数性质比较大小即得. 【详解】依题意，，，， 所以. 故选：A. 55．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合待比较的三个数的指数，底数的特点，构造指数函数，幂函数，根据它们的单调性即可求解. 【详解】设，根据指数函数的单调性，在上单调递减，则，即； 设，根据幂函数的单调性，在上单调递增，则，即. 故. 故选：D 56．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】由， 因为在上单调递减，且， 所以． 故选：C. 题型十九、含参指数函数的最值 57．(24-25高一上·黑龙江大庆石油高级中学·期末)已知函数. (1)若在上为增函数，求实数的取值范围； (2)若在上最小值为4，求实数的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由复合函数的性质得在上是增函数，由此可得的范围； （2）换元后根据二次函数的对称轴与区间的关系分类讨论． 【详解】（1）令，由于是增函数，若在为增函数， 则在上是增函数， 则，所以 （2）令 即最小值为4 若则时最小，得. 若则时最小，得无解. 若时则时最小，得舍去. . 58．(24-25高一上·辽宁辽南协作体·月考)已知函数． (1)求函数在区间上的最小值； (2)若存在不相等的实数a，b同时满足．，求m的取值范围． 【答案】(1)答案见解析； (2). 【分析】（1）令，将问题转化为含参的二次函数在闭区间上的最小值求解. （2）变形给定等式，可得及，再化成关于的函数，并利用单调性求出值域即得. 【详解】（1）函数中，， 设，函数的图象对称轴为， 当时，函数在处取得最小值； 当时，函数在处取得最小值， 所以当时，；当时，. （2）由，得，则， 化简得，解得，由不等，得； 由，得，则， 设，则，函数都是上的增函数， 因此函数在上单调递增，则， 所以m的取值范围是. 59．(23-24高一上·四川外语学院重庆第二外国语学校·期中)已知函数的图像经过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交． (1)求的解析式； (2)函数，，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意易得，结合图像经过原点可得的值，进而得结果； （2）通过（1）得的表达式，令，结合二次函数性质即可得结果. 【详解】（1）∵函数的图像无限接近直线但又不与该直线相交 ∴， 又∵函数的图像经过原点， ∴，即， ∴的解析式为. （2）由（1）易得，， 令， 即，， 故当，即时，的最小值为. 题型二十、指数不等式 60．(24-25高一下·浙江杭州西湖区东方中学·期中)不等式（其中为自然对数的底数）的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据题意，不等式等价于或，再解不等式组即可. 【详解】由题知或， 或， 解得或， 所以不等式的解集为. 故选：B. 61．(24-25高一上·山东名校考试联盟·调研)不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出的图象，根据图象直接写出解集即可. 【详解】在同一坐标系中作出的图象如下图所示， 由图象可知，的解集为， 故选：A. 62．(24-25高一上·上海复旦大学附属复兴中学·期中)关于的不等式的解集为 . 【答案】 【分析】先根据指数函数的性质，把原不等式转化成，再通过分类讨论去掉绝对值符号，从而求得不等式的解集． 【详解】， 当时，，所以此时不等式无解； 当时，； 当时，，所以此时不等式无解. 综上可知，原不等式的解集为. 故答案为： 题型二十一、抽象型不等式 63．(24-25高一下·河北张家口尚义县第一中学等校·)已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知，可得为偶函数，进而判断出函数在上单调递增，在上单调递减，则由不等式可得，即可解出答案. 【详解】函数， 则，所以为偶函数， 当时，， 函数单调递减，函数单调递减， 则函数单调递减， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则由不等式，得， 则，化简得， 解得，则不等式的解集为. 故选：A. 64．(24-25高一上·上海川沙中学·)已知函数的定义域为，，对任意两个不等的实数都有，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】推导出函数为上的增函数，将所求不等式变形为，可得出关于实数的不等式，由此可解得原不等式的解集. 【详解】不妨令，则等价于， 可得，构造函数，则是上的增函数. 因为，所以等价于， 即，所以，即，解得. 因此不等式的解集是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：利用函数的单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是： （1）把不等式转化为； （2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），求解即可. 65．(24-25高一上·贵州学校卓越发展·)已知函数，且，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】由求出，根据二次函数与指数型函数的图象和性质可知在R上单调递增，结合函数的单调性解不等式即可. 【详解】由题意知，，解得. 当时，单调递增， 当时，单调递增， 且当时，， 所以在R上单调递增， 由，得， 即，解得，即原不等式的解集为. 故答案为： 题型二十二、判断函数的奇偶性 66．(20-21高一上·福建泉州第九中学·期中)已知函数． (1)求函数的定义域，判断并证明的奇偶性； (2)用单调性定义证明函数在其定义域上是增函数； (3)解不等式． 【答案】(1)是定义在上的奇函数，证明见解析 (2)证明见解析 (3)． 【分析】（1）利用函数奇偶性定义判断证明； （2）根据函数单调性的定义证明； （3）根据函数的奇偶性、单调性、得到关于的不等式，解不等式即可得结果． 【详解】（1）因为，，函数的定义域为，， 所以. 所以是定义在上的奇函数. （2）任取，且， 则， 因为，所以，又， 所以，即，所以函数在其定义域上是增函数. （3）由，得， 因为函数为奇函数，所以， 所以． 由（2）已证得函数在上是增函数， 所以， 所以. 所以不等式的解集为. 67．(23-24高一上·北京大学附属中学元培学院·期中)已知函数． (1)判断函数的单调性和奇偶性，并给出证明； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)函数在定义域内单调递增，且为奇函数，证明见详解 (2) 【分析】（1）根据指数函数单调性证明函数的单调性，并结合奇函数的定义证明奇偶性； （2）根据单调性和奇偶性可得对任意恒成立，利用基本不等式结合恒成立问题运算求解. 【详解】（1）函数在定义域内单调递增，且为奇函数， 对任意，且， 因为在定义域内单调递增，则， 可得，即，则， 可得，即， 所以函数在定义域内单调递增， 又因为，所以函数为奇函数. （2）因为，可得， 又因为函数在定义域内单调递增，则，即， 注意到，可得， 由题意可知：对任意恒成立， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 可得，所以实数的取值范围为. 68．(24-25高一上·江西南昌·调研)已知函数. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)记函数的值域为，若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】(1)函数为奇函数，理由见解析 (2) 【分析】（1）结合指数运算，利用奇函数定义证明即可； （2）先根据指数函数的值域求出函数的值域，然后利用充分不必要条件的概念列不等式求解即可. 【详解】（1）函数为奇函数，其理由如下： 因为的定义域为R，且， 所以，则函数为奇函数. （2）因为，所以，则， 所以，所以，所以集合， “”是“”的充分不必要条件， 所以，则. 题型二十三、已知奇偶性求参数 69．(24-25高一下·内蒙古赤峰·期末)若函数是奇函数，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】C 【分析】根据函数定义域为，利用可求，再检验即可. 【详解】因为函数是奇函数，定义域为， 所以，解得， 时，， ， 所以函数是奇函数，则. 故选：C. 70．在函数中，已知， 若在上既是增函数也是奇函数，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据指数函数性质，利用在上是奇函数，可得，计算可求得，利用单调性结合已知可求得a的取值范围. 【详解】由是上的奇函数，得，解得， 因为，所以，又在上是增函数， 所以是增函数，所以, 综上可得的取值范围是. 故答案为： 71．(24-25高一上·广东广州越秀区·期末)已知函数． (1)是否存在实数，使函数为奇函数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (2)判断函数的单调性，并加以证明． 【答案】(1)存在，， (2)在定义域为内单调递减，证明见详解 【分析】（1）依题意可得，即可求出参数的值； （2）利用定义法证明函数的单调性即可. 【详解】（1）存在，，理由如下： 因为的定义域为， 若函数为奇函数，则， 即，整理可得，解得， 所以. （2）在定义域为内单调递减，证明如下： 因为的定义域为， 对任意，，设， 则， 因为，则，，， 可得，即， 所以在定义域为内单调递减. 题型二十四、指数函数恒成立问题 72．已知函数，且是上的奇函数. (1)求实数的值； (2)①判断函数的单调性并用定义证明； ②求不等式的解集； (3)若，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)0 (2)①单调递增，证明见解析；② (3) 【分析】（1）利用函数为奇函数，结合其定义，即可求得答案； （2）①结合（1）得出的解析式，结合函数单调性的定义可判断并进行证明；②利用函数单调性的定义求解，即得答案； （3）由已知可分离参数，得对恒成立，即可构造函数，求出新函数的最值，即可求得答案. 【详解】（1）因为是上的奇函数，所以， 所以，所以， 即，化简得， 即，所以，解得； （2）①由（1）得， 所以， 所以函数在上单调递增，证明如下： 由于的定义域为R，任取， 则， 因为，所以，，，所以， 所以，所以函数在上单调递增； ②因为是上的奇函数，所以不等式等价于，即， 因为函数在上单调递增，所以，解得， 所以不等式的解集为； （3）因为，所以，即， 因为，不等式恒成立， 所以当时，恒成立，则； 当时，恒成立， 令，， 则，该函数在为减函数， 所以，所以， 所以实数的取值范围为. 73．函数（且）是定义在上的奇函数． (1)求的值，判断的单调性，并证明； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，为上的增函数，证明见解析 (2) 【分析】（1）利用求出，再利用单调性定义证明函数为上增函数即可； （2）转化为在上恒成立，令，则，求出的最大值可得答案. 【详解】（1）由题意，得，解得， 当时，， 则， 所以函数为奇函数，符合题意，故， 函数为上的增函数， 证明如下：任取，且， 则， 因为，所以，即，又， 所以，即， 所以函数为上的增函数； （2）由（1）得在上单调递增， 所以当时，， 所以对任意恒成立，等价于 在上恒成立， 当时，令，则， 易知在上单调递增， 所以，即， 当且仅当时等号成立， 所以，即实数的取值范围为. 74．设是定义在上的奇函数，且对任意，当时，都有． (1)若，试比较与的大小； (2)若对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)． (2) 【分析】（1）由，结合题给条件得出，由是定义在上的奇函数，得到，从而推出. （2）根据是上的单调递增函数且是定义在上的奇函数，对进行解析，得出，进一步求出的取值范围. 【详解】（1）已知对任意，当时，都有， 所以， 因为， 所以， 故． 又是定义在上的奇函数， 所以， 所以，即． （2）由（1）知是上的单调递增函数， 又， 得， 故， 所以． 令， 因为时原不等式恒成立， 所以， 所以， 而，当且仅当，即时取等号， 所以． 题型二十五、指数函数有解问题 75．(23-24高一下·云南昭通第一中学教研联盟·期末)已知函数． (1)若为偶函数； ①求实数的值； ②若函数在区间上的最小值为，求实数的值； (2)若为奇函数，不等式在上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)①；②； (2)． 【分析】（1）①利用偶函数的定义求出；②利用单调性定义确定函数在上的单调性，换元，利用二次函数最值问题求出. （2）由奇函数求出，再等价变形不等式并分离参数，换元，结合单调性求出最小值即可. 【详解】（1）①函数的定义域为，由为偶函数，得， 则，整理得，即， 而不恒为0，所以. ②由①得，令，， ，由，得，， 因此，即，函数在上单调递增， 当时，，令，， 由函数在区间上的最小值为－11， 得函数在上的最小值为－11， ①当时，在上单调递增，，解得，不满足题意； ②当时，，则， 所以． （2）由为奇函数，得，则，此时， 而，即函数是奇函数， 不等式 ，函数在上递增， 则在上递增，当时，， 不等式，由不等式在上有解， 得不等式在上有解，由（1）知在上单调递增， 当时，，， 函数在上单调递增，当时，，则， 所以实数的取值范围是. 76．(24-25高一上·浙江丽水丽水五校高中发展共同体·期中)已知函数是定义在R上的奇函数． (1)求的值，并用定义证明的单调性； (2)若时，不等式有解，求实数的取值范围． (3)若对任意的时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由奇函数的性质求得解析式，然后根据单调性的定义证明单调性； （2）利用奇偶性与单调性转化问题为在上有解，分离参数为，有解，再转化为求，的最大值； （3）问题转化为，分类讨论解不等式即可． 【详解】（1）因为函数是定义在R上的奇函数，所以， 即，解得，所以， 即，则，符合题意， 令，则=, 因为所以，则，因为，所以, 所以在R上单调递增. （2）因为在定义域上单调递增，又是定义在R上的奇函数， 所以在有解， 等价于在上有解， 即在上有解，即，有解， 令，，所以在[2，3]上单调递减， 所以，所以. （3）若对任意的时，不等式恒成立， 则有恒成立， 当时，，所以， 所以，所以恒成立， 当时，有，化简得，解得或， 当时，有，化简得，解得或， 综上得的取值范围是. 【点睛】方法点睛：利用单调性与奇偶性解不等式，如是奇函数，且是增函数，不等式，先化为，由奇函数性质余维数，再由增函数性质化为，然后再求解．如果是偶函数，则不等式化为，然后由函数在上单调性变形可得，其它形式不等式类似变形． 77．(24-25高一上·江苏南通海安曲塘中学·)已知函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)若函数的定义域为. ①存在使得不等式有解，求实数的取值范围； ②若函数满足，若对任意且，不等式恒成立，求实数的最大值. 【答案】(1)或； (2)①；②. 【分析】（1）由为奇函数有，可得的值； （2）由（1）得到的解析式，判断的单调性，①由题意，由参数分离和二次函数的最值，可得的范围；②由条件求得，运用换元法和基本不等式，计算可得的最大值. 【详解】（1）因为是奇函数，所以，所以， 化简并变形得对任意的成立， 则且，解得或， （2）因为的定义域是，所以舍去， 所以，所以； ①.对任意， 有， 因为，所以，即， 所以，因此在上递增. 因为，所以，即在时有解. 当时，的最大值为2，所以； ②因为，所以， 所以，不等式恒成立， 即， 令，则在时恒成立. 因为，由基本不等式可得：，当且仅当时，等号成立. 所以，则实数的最大值为. 一、单选题 1．(24-25高一上·四川泸州合江县中学校·期末)在不考虑空气阻力的条件下，飞行器在某星球的最大速度v（单位：）和所携带的燃料的质量M（单位：kg）与飞行器（除燃料外）的质量m（单位：kg）的函数关系式近似满足（a为常数）．当携带的燃料的质量和飞行器（除燃料外）的质量相等时，v约等于2.9，当携带的燃料的质量是飞行器（除燃料外）的质量的13倍时，v约等于5.8，则常数b的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据题意得到方程组，联立求出，进而求出. 【详解】由题意得，当时，①， 当时，②， ②-①得，，解得，负值舍去， 所以，解得. 故选：A. 2．(24-25高一上·四川泸州合江县中学校·期末)已知定义域为R的函数满足，当时，，则满足 的实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据偶函数概念得是定义域为的偶函数，再根据指数函数的单调性及偶函数性质将不等式转化为，即可求解. 【详解】因为函数满足，所以是定义域为的偶函数， 当时，，此时在上单调递减， 则在上单调递增， 所以，即，解得. 故选：D 3．已知函数存在最小值，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先结合指数函数单调性求出时的值域，再分和两种情况讨论时的最小值，最后结合分段函数存在最小值列不等式组，并求解即可. 【详解】当时，单调递增，则有． 当时，，若，即时，；若，则在上单调递增，此时． 若存在最小值，必有或， 解得或，则a的取值范围是． 故选：D 4．(24-25高一下·云南红河州、文山州·)若奇函数对任意都有，且当时，，则（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】先根据判断函数是周期函数，再结合函数的奇偶性求函数值. 【详解】由于函数对任意都有， 所以，所以是周期为4的函数， 所以. 由于是奇函数，所以. 故选：A 二、多选题 5．(24-25高一上·浙江杭州第九中学·期中)若，分别在同一坐标系内给出函数和函数的图象可能的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据各个选项中函数的图象得出a和b的范围，再观察函数是否合乎题意，由此可得出正确选项. 【详解】对于选项A：由函数的图象知，此时，，则函数为增函数，故A中的图象合乎题意； 对于选项B，由函数的图象知，则，则函数为减函数，故B中的图象不合乎题意； 对于选项C，由函数的图象知，则，则函数为减函数，故C中的图象合乎题意； 对于选项D，由函数的图象知，则，则函数为增函数，故D中的图象不合乎题意. 故选：AC 【点睛】关键点点睛：解题时要结合由函数的图象得出参数的取值范围，再判断是否符合题意. 三、填空题 6．(24-25高一下·湖南衡阳县·期末)对于函数，时，，则函数的图象关于点成中心对称.探究函数图象的对称中心，并利用它求的值为 . 【答案】2024 【分析】先求出的值，然后将所求式子进行巧妙相加，即可得到结果. 【详解】因， 令， 则， 两式相加得：，解得， 所以的值为2024. 故答案为：2024. 四、解答题 7．(24-25高一下·湖南衡阳衡阳县·期末)定义在定义域D上的函数，若存在实数m，使得为偶函数，则称函数为型函数；若存在实数m，使得为奇函数，则称函数为型函数． (1)已知的定义域为R，且的图象关于直线对称．证明：为型函数； (2)若，，且为型函数． ①证明：； ②若，对于，，求a的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；② 【分析】（1）利用型函数定义，结合函数对称性推理得证. （2）①求出函数，利用型函数定义列式，化简变形得即可求出的范围；②把代入，等价变形给定不等式，分离参数，借助二次函数求出范围. 【详解】（1）由的图象关于直线对称，定义域为R，得， 则，即函数为偶函数， 所以为型函数. （2）①由函数为型函数，得存在实数m，使得为奇函数， 即成立，而， 于是， 即，又，当且仅当时取等号， 因此不恒为0，则，即，而， 所以. ②当时，， 不等式恒成立， 则，即， 于是恒成立，令，则， ，即， 当时，，当且仅当时取等号，则， 所以a的取值范围为. 8．(24-25高一上·陕西渭南尚德中学·期中)已知函数， (1)当时，求函数在区间上的值域； (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (3)若关于x的方程有解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）转化为关于的二次函数求值域； （2）利用换元，转化为二次函数的单调性，解决参数问题； （3）首先将方程分离参数，转化为求函数值域问题. 【详解】（1）∵，， 令，∵，∴， ∴，，而对称轴，开口向上， ∴当时，，当时，， ∴的值域是. （2）令，，，则可转化为（）. 在上单调递增， 要使在上单调递增， 只需在上单调递增即可. ①当时，在上单调递减，不符合题意； ②当时，的图象开口向下，不符合题意； ③当时，要满足，解得. 综上，实数的取值范围是. （3）方程有解，即有解， 即有解，∴有解， 令，则，∴. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 指数函数 目录 A题型建模・专项突破 题型一、指数函数的判断 1 题型三、根据函数是指数函数求参数 2 题型四、求指数函数的解析式 2 题型五、指数函数的图像 2 题型六、指数函数过定点 3 题型七、根据函数图像求参数的取值范围 3 题型八、求指数函数的定义域 4 题型九、指数函数的对称问题 4 题型十、指数函数求值域 5 题型十一、指数型复合函数的值域 5 题型十二、已知函数的值域求参数 5 题型十三、指数函数的最值 6 题型十四、已知指数函数的最值求参数 6 题型十五、指数函数的单调性 6 题型十六、指数型复合函数的单调性 7 题型十七、已知指数型的单调性求参数 7 题型十八、指数函数比较大小 7 题型十九、含参指数函数的最值 7 题型二十、指数不等式 8 题型二十一、抽象型不等式 8 题型二十二、判断函数的奇偶性 8 题型二十三、已知奇偶性求参数 9 题型二十四、指数函数恒成立问题 9 题型二十五、指数函数有解问题 10 B综合攻坚・能力跃升 题型一、指数函数的判断 1．下列各函数中，是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 2．下列函数中一定是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 3．判断函数是指数函数的是（   ） A． B． C． D．（，且） 题型二、指数函数求值 4．(22-23高一上·陕西商洛·期末)已知函数，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 5．(24-25高一上·海南海口第一中学·月考)已知函数，则的值为（    ） A．3 B．1 C． D． 6．(23-24高一上·贵州黔南州·期末)已知函数，则= 题型三、根据函数是指数函数求参数 7．函数是指数函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．(24-25高一下·广西南宁琼林高级中学·月考)已知函数（且），若，则 . 9．(22-23高一上·云南红河州屏边苗族自治县第一中学·月考)已知指数函数，则的值为 . 题型四、求指数函数的解析式 10．放射性物质是指那些能自然地向外辐射能量、发出射线的物质．在一个给定的单位时间内，放射性物质的质量会按某个衰减率衰减．已知某种放射性物质经过50年后剩余质量是原来的，设质量为1的该物质经过年后的剩余量为，则与的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 11．(24-25高一上·北京丰台区·期末)已知指数函数的图象过点，则该指数函数的解析式为 ． 12．(23-24高一上·云南红河州·期末)函数且的图象经过点，则 . 题型五、指数函数的图像 13．(24-25高一上·山西吕梁·期末)已知且，则在同一直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 14．(23-24高一上·广西玉林四校（玉一玉实北高容高）·)函数与，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是（   ） A． B． C． D． 15．已知函数（，且）与函数（，且）的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 题型六、指数函数过定点 16．当且时，的图象恒过点（    ） A． B． C． D． 17．函数的图象恒过定点（    ） A． B． C． D． 18．幂函数在上单调递增，则的图象过定点 ． 题型七、根据函数图像求参数的取值范围 19．(24-25高一上·上海东昌中学·期末)函数（，且）单调递增且图象不经过第四象限，则、满足的条件为（    ） A．， B．， C．， D．， 20．（多选）(24-25高一上·四川成都第十二中学（四川大学附属中学）·月考)当时，函数和的图象不可能是（   ） A． B． C． D． 21．若函数的图象不经过第一象限，则实数的取值范围是 ． 题型八、求指数函数的定义域 22．(24-25高一上·河南九校联盟·月考)函数的定义域为 （    ） A． B． C． D． 23．(24-25高一上·江苏常州五校·调研)已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 24．(24-25高一上·新疆伊犁哈萨克伊犁州直和兵团第四师、第七师高中学业水平·)函数的定义域为 ． 题型九、指数函数的对称问题 25．函数与的图象（   ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 26．(24-25高一上·湖南常德优质高中学校联盟·期末)已知函数的图象关于点对称，则点的坐标为 . 27．(23-24高一上·河北NT20名校联合体·月考)教材必修1第87页给出了图象对称与奇偶性的联系：若为奇函数，则的图象关于点中心对称，易知：是奇函数，则图象的对称中心是 . 题型十、指数函数求值域 28．函数的定义域为，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 29．(24-25高一下·贵州县中新学校计划项目·期中)下列函数的值域为是（    ） A． B． C． D． 30．(24-25高一上·上海华东模范中学·)函数的值域是 . 题型十一、指数型复合函数的值域 31．(24-25高一下·山西青桐鸣·期中)函数的值域为 . 32．(24-25高一上·吉林通化梅河口博文学校·期末)已知函数. (1)求的解析式； (2)判断的奇偶性； (3)求函数的值域. 33．(24-25高一上·重庆长寿区·期末)已知函数是奇函数. (1)求的值； (2)求函数的值域. 34．(24-25高一下·上海杨浦区复旦大学附属中学·)已知函数的定义域为R，则函数的值域为 35．(24-25高一上·新疆吐鲁番·期末)已知函数是指数函数. (1)求实数的值； (2)已知函数，，求的值域. 题型十二、已知函数的值域求参数 36．(24-25高一上·广西南宁第三中学·)已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 37．已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 38．(24-25高一上·上海徐汇区·)若函数的值域为，则实数的取值范围是 . 题型十三、指数函数的最值 39．(24-25高一上·广东茂名电白区·期末)已知，则的最小值为 ． 40．(24-25高一上·安徽无为第一中学等校·期末)已知函数（，且）． (1)若的图象过点和，求在上的值域； (2)若在区间上的最大值比最小值大，求的值． 41．(24-25高一上·广东深圳实验学校高中园·)已知函数且在区间上的最大值比最小值大. (1)求的值； (2)若单调递减. ①设函数，求的最小值； ②设函数，，求的最小值． 题型十四、已知指数函数的最值求参数 42．如果函数 且在区间上的最大值是，则的值为（   ） A．3 B． C． D．3或 43．(24-25高一上·福建泉州第五中学·期中)已知的最小值为，则的取值范围为 ． 44．(24-25高一上·湖南怀化天星高级中学·期中)已知函数 (1)当时，求的值域 (2)求单调区间 (3)若的最大值为9，求实数a的值 题型十五、指数函数的单调性 45．(24-25高一上·湖南益阳普通高中·期末)下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的是（   ） A． B． C． D． 46．(24-25高一上·广西柳州第二中学·期末)下列函数中，既是奇函数，又在定义域内是增函数的是（    ） A． B． C． D． 47．（多选）(24-25高一下·广西柳州高中·)下列函数既是奇函数又在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 题型十六、指数型复合函数的单调性 48．(24-25高一下·辽宁朝阳凌源·期末)若函数满足，则的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 49．(24-25高二下·天津滨海新区大港实验中学·)函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 50．(24-25高一上·江苏连云港灌南县第二中学·)函数单调递减区间是 ． 题型十七、已知指数型的单调性求参数 51．(24-25高二下·广东深圳第二实验学校明远高中·期末)若函数（且）在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 52．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 53．(24-25高一下·安徽部分学校·开学考)已知函数.若对于任意的都有，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型十八、指数函数比较大小 54．(24-25高一上·吉林长春实验中学·期中)已知，，，则三个数的大小关系是（    ） A． B． C． D． 55．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 56．若，则（   ） A． B． C． D． 题型十九、含参指数函数的最值 57．(24-25高一上·黑龙江大庆石油高级中学·期末)已知函数. (1)若在上为增函数，求实数的取值范围； (2)若在上最小值为4，求实数的值； 58．(24-25高一上·辽宁辽南协作体·月考)已知函数． (1)求函数在区间上的最小值； (2)若存在不相等的实数a，b同时满足．，求m的取值范围． 59．(23-24高一上·四川外语学院重庆第二外国语学校·期中)已知函数的图像经过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交． (1)求的解析式； (2)函数，，求的最小值． 题型二十、指数不等式 60．(24-25高一下·浙江杭州西湖区东方中学·期中)不等式（其中为自然对数的底数）的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 61．(24-25高一上·山东名校考试联盟·调研)不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 62．(24-25高一上·上海复旦大学附属复兴中学·期中)关于的不等式的解集为 . 题型二十一、抽象型不等式 63．(24-25高一下·河北张家口尚义县第一中学等校·)已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 64．(24-25高一上·上海川沙中学·)已知函数的定义域为，，对任意两个不等的实数都有，则不等式的解集是 ． 65．(24-25高一上·贵州学校卓越发展·)已知函数，且，则不等式的解集为 . 题型二十二、判断函数的奇偶性 66．(20-21高一上·福建泉州第九中学·期中)已知函数． (1)求函数的定义域，判断并证明的奇偶性； (2)用单调性定义证明函数在其定义域上是增函数； (3)解不等式． 67．(23-24高一上·北京大学附属中学元培学院·期中)已知函数． (1)判断函数的单调性和奇偶性，并给出证明； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 68．(24-25高一上·江西南昌·调研)已知函数. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)记函数的值域为，若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围. 题型二十三、已知奇偶性求参数 69．(24-25高一下·内蒙古赤峰·期末)若函数是奇函数，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D．3 70．在函数中，已知， 若在上既是增函数也是奇函数，则的取值范围是 ． 71．(24-25高一上·广东广州越秀区·期末)已知函数． (1)是否存在实数，使函数为奇函数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (2)判断函数的单调性，并加以证明． 题型二十四、指数函数恒成立问题 72．已知函数，且是上的奇函数. (1)求实数的值； (2)①判断函数的单调性并用定义证明； ②求不等式的解集； (3)若，不等式恒成立，求实数的取值范围. 73．函数（且）是定义在上的奇函数． (1)求的值，判断的单调性，并证明； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 74．设是定义在上的奇函数，且对任意，当时，都有． (1)若，试比较与的大小； (2)若对恒成立，求实数的取值范围． 题型二十五、指数函数有解问题 75．(23-24高一下·云南昭通第一中学教研联盟·期末)已知函数． (1)若为偶函数； ①求实数的值； ②若函数在区间上的最小值为，求实数的值； (2)若为奇函数，不等式在上有解，求实数的取值范围． 76．(24-25高一上·浙江丽水丽水五校高中发展共同体·期中)已知函数是定义在R上的奇函数． (1)求的值，并用定义证明的单调性； (2)若时，不等式有解，求实数的取值范围． (3)若对任意的时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 77．(24-25高一上·江苏南通海安曲塘中学·)已知函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)若函数的定义域为. ①存在使得不等式有解，求实数的取值范围； ②若函数满足，若对任意且，不等式恒成立，求实数的最大值. 一、单选题 1．(24-25高一上·四川泸州合江县中学校·期末)在不考虑空气阻力的条件下，飞行器在某星球的最大速度v（单位：）和所携带的燃料的质量M（单位：kg）与飞行器（除燃料外）的质量m（单位：kg）的函数关系式近似满足（a为常数）．当携带的燃料的质量和飞行器（除燃料外）的质量相等时，v约等于2.9，当携带的燃料的质量是飞行器（除燃料外）的质量的13倍时，v约等于5.8，则常数b的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．(24-25高一上·四川泸州合江县中学校·期末)已知定义域为R的函数满足，当时，，则满足 的实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数存在最小值，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高一下·云南红河州、文山州·)若奇函数对任意都有，且当时，，则（   ） A． B．1 C． D．2 二、多选题 5．(24-25高一上·浙江杭州第九中学·期中)若，分别在同一坐标系内给出函数和函数的图象可能的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 6．(24-25高一下·湖南衡阳县·期末)对于函数，时，，则函数的图象关于点成中心对称.探究函数图象的对称中心，并利用它求的值为 . 四、解答题 7．(24-25高一下·湖南衡阳衡阳县·期末)定义在定义域D上的函数，若存在实数m，使得为偶函数，则称函数为型函数；若存在实数m，使得为奇函数，则称函数为型函数． (1)已知的定义域为R，且的图象关于直线对称．证明：为型函数； (2)若，，且为型函数． ①证明：； ②若，对于，，求a的取值范围． 8．(24-25高一上·陕西渭南尚德中学·期中)已知函数， (1)当时，求函数在区间上的值域； (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (3)若关于x的方程有解，求的取值范围． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $