第四章 1 对数的概念-【金版新学案】2025-2026学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

§1　对数的概念 学习目标 1.理解对数的概念.　2.会进行对数式与指数式的互化，培养逻辑推理的核心素养.　3.会求简单的对数值，提升数学运算的核心素养. 任务一　对数的概念 问题1.我们知道若2x＝4，则x＝2；若3x＝81，则x＝4；若＝128，则x＝－7等这些方程，我们可以轻松求出x的值，但对于2x＝3，1.11x＝2，10x＝5等这样的指数方程，你能求出方程的解吗？ 提示：不能解出上述方程，为了解决这个问题，早在18世纪的欧拉为我们提供了解决问题的方案，那就是发现了指数与对数的互逆关系，用对数来表示指数方程的解. 1.对数的概念 一般地，如果a(a＞0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b称为以a为底N的对数，记作logaN＝b.其中a叫作对数的底数，N叫作真数. 2.两种特殊对数 名称 定义 记法 常用对数 以10为底数的对数 lg N 自然对数 以无理数e＝2.718 281…为底数的对数 ln N [微思考]　1.式子logaN中，底数a的范围是什么？ 提示：a＞0，且a≠1. 2.对数式logaN是不是loga与N的乘积？ 提示：不是，logaN是一个整体，是求幂指数的一种运算，其运算结果是一个实数. (1)对数log(a＋3)(5－a)中实数a的取值范围是(　　) A.(－∞，5) B.(－3，5) C.(－3，－2)∪(－2，5) D.(－3，＋∞) (2)对数式log2(1－3x)中x的取值范围为　　　　. 答案：(1)C　(2) 解析：(1)因为对数式的底数为大于零不等于1的实数，真数为正实数，所以有⇒⇒a∈∪.故选C. (2)由题意可得1－3x＞0，解得x＜，所以x的取值范围为. 　　关于对数式中字母的范围，可利用式子logab⇒求字母的范围. 对点练1.(1)若对数式log(t－2)3有意义，则实数t的取值范围是(　　) A.[2，＋∞) B.(2，3)∪(3，＋∞) C.(－∞，2) D.(2，＋∞) (2)在b＝loga(5－a)中，实数a的取值范围是(　　) A.a＞5或a＜0 B.0＜a＜1或1＜a＜5 C.0＜a＜1 D.1＜a＜5 答案：(1)B　(2)B 解析：(1)要使对数式log(t－2)3有意义，需解得t＞2，且t≠3.所以实数t的取值范围是(2，3)∪(3，＋∞).故选B. (2)由对数的定义可知解得0＜a＜5，且a≠1.故选B. 学生用书⬇第100页 任务二　对数式与指数式的互化 问题2.现在你能解指数方程2x＝3，1.11x＝2，10x＝5了吗？ 提示：能.x＝log23；x＝log1.112；x＝log105＝lg 5. 对数与指数的关系 [微思考]　对数logaN中，底数a能不能是0或者负数？a的值为什么不取1？真数N的取值范围是什么？ 提示：不能.在指数式中要求a＞0，且a≠1，所以在对数logaN中a＞0，且a≠1，真数N大于0. (链教材P99例1、例2)将下列指数式与对数式互化： (1)53＝125；(2)4－2＝；(3)lo8＝－3； (4)log3＝－3；(5)lg 1 000＝3. 解：由对数的定义，得 (1)53＝125⇔log5125＝3. (2)4－2＝⇔log4＝－2. (3)lo8＝－3⇔＝8. (4)log3＝－3⇔3－3＝. (5)lg 1 000＝3⇔103＝1 000. 指数式与对数式互化的思路 对点练2.(多选题)下列指数式与对数式互化正确的有(　　) A.e0＝1与ln 1＝0 B.log39＝2与＝3 C.＝与log8＝－ D.log77＝1与71＝7 答案：ACD 解析：对于A，e0＝1可化为0＝loge1＝ln 1，故A正确；对于B，log39＝2可化为32＝9，故B错误；对于C，＝可化为log8＝－，故C正确；对于D，log77＝1可化为71＝7，故D正确.故选ACD. 任务三　对数的基本性质 问题3.对于任意的a＞0且a≠1，loga1，logaa，loga， 的值有什么特点？ 提示：loga1＝0，logaa＝1，loga＝－1，＝1，都是常数. 1.对数恒等式：＝N. 2.对数的性质 (1)loga1＝0；(2)logaa＝1；(3)零和负数没有对数. (链教材P99例3)求下列各式中x的值： (1)log2(2x＋1)＝3；(2)logx ＝3；(3)log28x＝－3；(4)x＝. 解：(1)因为log2(2x＋1)＝3，所以2x＋1＝23＝8，解得x＝. (2)因为logx ＝3， 所以＝x3＝， 所以x＝. (3)因为log28x＝－3， 所以8x＝2－3＝8－1， 所以x＝－1. (4)由题意可得x＝＝＝. 学生用书⬇第101页 利用对数的性质及对数恒等式求值 1.对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质：loga1＝0和logaa＝1(a＞0，且a≠1)，进行变形求解. 2.对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式： ＝N的应用. 对点练3.(1)(多选题)有以下四个结论，其中正确的有(　　) A.lg(lg 10)＝0 B.lg(ln e)＝0 C.若e＝ln x，则x＝e2 D.ln(lg 1)＝0 (2)若a＝log102，b＝log103，则的值为　　　　. 答案：(1)AB　(2) 解析：(1)lg(lg 10)＝lg 1＝0，lg(ln e)＝lg 1＝0，所以A、B均正确；对于C，若e＝ln x，则x＝ee，故C错误；对于D，lg 1＝0，而ln 0没有意义，故D错误.故选AB. (2)因为a＝log102，b＝log103，则10a＝2，10b＝3，所以＝＝. 任务四　利用对数式和指数式互化关系求值 (双空题)设loga2＝m，loga3＝n(a＞0，且a≠1)，则a2m＋n＝　　　　，a2m－n＝　　　　. 答案：12　 解析：因为loga2＝m，loga3＝n，所以am＝2，an＝3，所以a2m＋n＝a2m·an＝4×3＝12， a2m－n＝a2m÷an＝4÷3＝. 利用指数式与对数式的互化求变量值的策略 1.已知底数与指数，用指数式求幂. 2.已知指数与幂，用指数式求底数. 3.已知底数与幂，利用对数式表示指数. 对点练4.(1)(多选题)已知x＝log43，则下列计算正确的有(　　) A.2x＝ B.2－x＝ C.(2x－2－x)2＝ D.4x＝9 (2)若log2(log3x)＝log3(log4y)＝log4(log2z)＝0，则x＋y＋z的值为(　　) A.9 B.8 C.7 D.6 答案：(1)ABC　(2)A 解析：(1)因为x＝log43，所以4x＝3，故2x＝，2－x＝，(2x－2－x)2＝＝＝.因此选项A、B、C正确，D不正确.故选ABC. (2)因为log2(log3x)＝0，所以log3x＝20＝1，所以x＝3，同理可得y＝4，z＝2，所以x＋y＋z＝9. 任务 再现 1.对数的概念和两种特殊对数：自然对数、常用对数.2.对数式与指数式的互化.3.对数恒等式及对数的基本性质 方法 提炼 转化与化归法 易错 警示 易忽视对数式中底数与真数的范围 1.将23＝8化为对数式，正确的是(　　) A.log23＝8 B.log28＝3 C.log82＝3 D.log32＝8 答案：B 解析：23＝8化为对数式为log28＝3.故选B. 2.若loga8＝－3，则a＝(　　) A.2 B.4 C. D. 答案：C 解析：显然a＞0且a≠1，若loga8＝－3，则a－3＝8，即a3＝，所以a＝.故选C. 3.计算＋2log31－3lg 10＋3ln 1＝　　　　. 答案：0 解析：＋2log31－3lg 10＋3ln 1＝3＋2×0－3×1＋3×0＝0.故答案为0. 4.若对数log3a(－2a＋1)有意义，则实数a的取值范围是　　　　　　　　　. 答案：(0，)∪(，) 解析：由题意，得解得0＜a＜且a≠，所以实数a的取值范围是(0，)∪(，). 课时分层评价27　对数的概念 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9题，每小题5分，共45分) 1.若7x＝8，则x等于(　　) A. B.log87 C.log78 D.log7x 答案：C 解析：把指数式转化为对数式可知x＝ log78.故选C. 2.方程＝的解是(　　) A. B. C. D.9 答案：A 解析：由＝，得＝2－2，所以log3x＝－2，所以x＝3－2＝.故选A. 3.log2的值为(　　) A.－　　　 B. C.－　　 D. 答案：D 解析：设log2＝x，则2x＝＝，所以x＝.故选D. 4.(多选题)下列指数式与对数式的互化，正确的一组是(　　) A.100＝1与lg 1＝0 B.2＝与log27＝－ C.log24＝2与＝2 D.log55＝1与51＝5 答案：ABD 解析：由aN＝b⇔logab＝N(a＞0，且a≠1，b＞0)可知，A、B、D正确；对于C，log24＝2⇔4＝22，故C错误.故选ABD. 5.设＝25，则x的值等于(　　) A.10 B.13 C.100 D.12 答案：B 解析：由＝25，得2x－1＝25，所以x＝13.故选B. 6.(多选题)下列命题正确的是(　　) A.若lox＝3，则x＝2 B.若logx＝－，则x＝64 C.若＝，则x＝4 D.若lob2＝1，则a＝b 答案：AB 解析：对于A，若lox＝3，所以x＝＝2，故A正确；对于B，若logx＝－，则＝＝2－4，所以x＝＝26＝64，故B正确；对于C，因为log3＝－2，所以＝x－2＝＝，可得x2＝4，即x＝±2，故C错误；对于D，例如a＝2，b＝－2，则a2＝b2＝4，可得lob2＝1，符合题意，但a＝－b，故D错误.故选AB. 7.若log(a－1)(5－a)有意义，则实数a的取值范围是　　　　　　　　. 答案：(1，2)∪(2，5) 解析：要使log(a－1)(5－a)有意义，须解得1＜a＜2或2＜a＜5，即实数a的取值范围是(1，2)∪(2，5). 8.已知log32x＝1，则2x＋4x＝　　　　. 答案：12 解析：由log32x＝1得2x＝3，则4x＝＝9，所以2x＋4x＝3＋9＝12. 9.(新情境)(双空题)十六、十七世纪，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为简化计算发明了对数，直到十八世纪才由瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，即ab＝N⇔b＝logaN.现在已知a＝log48，b＝log24，则4a＝　　　　，a＋b＝　　　　(用最简结果作答). 答案：8　 解析：因为a＝log48，则4a＝8，即22a＝23，所以2a＝3，所以a＝.因为b＝log24，所以2b＝4，即2b＝22，所以b＝2，所以a＋b＝＋2＝. 10.(10分)求下列各式中的x的值： (1)logx27＝； (2)log2x＝－； (3)logx(3＋2)＝－2； (4)log5(log2x)＝0； (5)x＝log27. 解：(1)由logx27＝，得＝27， 所以x＝2＝32＝9. (2)由log2x＝－，得＝x， 所以x＝＝. (3)由logx(3＋2)＝－2，得3＋2＝x－2，即x＝(3＋2＝－1. (4)由log5(log2x)＝0，得log2x＝1， 所以x＝21＝2. (5)由x＝log27，得27x＝，即33x＝3－2， 所以x＝－. (11—13题，每小题5分，共15分) 11.若logx＝z，则x，y，z之间满足(　　) A.y7＝xz B.y＝x7z C.y＝7xz　　 D.y＝z7x 答案：B 解析：由题意得＝xz，所以y＝(xz)7＝x7z.故选B. 12.已知b＞0，log5b＝a，lg b＝c，5d＝10，则下列等式一定成立的是(　　) A.d＝ac B.a＝dc C.c＝ad D.d＝a＋c 答案：B 解析：由已知得5a＝b，10c＝b，所以5a＝10c，因为5d＝10，所以5dc＝10c，所以5dc＝5a，所以a＝dc.故选B. 13.已知正实数x，y满足ln x＝2m，y＝e2m－1，则＝　　　　. 答案：e 解析：ln x＝2m⇔x＝e2m，所以＝＝e. 14.(10分)已知lo(3x2＋2x－1)＝1，求x的值. 解：3x2＋2x－1＝2x2－1，解得x＝0，或－2， 当x＝0时，2x2－1＝－1，不合要求，舍去， 当x＝－2时，2x2－1＝7，满足要求. 综上：x＝－2. 15.(5分)尽管目前人类还无法精准预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解.例如，地震释放出的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系式为：lg E＝4.8＋1.5M.若甲地发生7.8级地震，它所释放出来的能量为E1，乙地发生4.6级地震，它所释放出来的能量为E2.则E1大约是E2的(　　) A.102.8倍 B.101.8倍 C.103.8倍 D.104.8倍 答案：D 解析：由题设lg E1＝4.8＋1.5×7.8＝16.5，lg E2＝4.8＋1.5×4.6＝11.7，所以E1＝1016.5，E2＝1011.7，故＝＝104.8，则E1＝104.8E2.故选D. 16.(15分)已知log2[lo(log2x)]＝log3[lo(log3y)]＝log5＝0，试比较x，y，z的大小. 解：由log2＝0， 得lo(log2x)＝1，log2x＝，即x＝； 同理y＝，z＝. 因为y＝＝＝，x＝＝＝， 所以y＞x.又x＝＝＝3，z＝＝＝2， 所以x＞z，所以y＞x＞z. 学生用书⬇第102页 学科网（北京）股份有限公司 $