第2章 章末复习课 函数（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（北师大版）

该高中数学单元复习讲义通过知识网络框架图系统构建函数主题的知识体系，涵盖定义域值域、分段函数、性质应用及图象画法四大模块，梳理核心要点如定义域求法依据、分段函数处理原则等，呈现知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于例题与跟踪训练的分层设计，如例2结合奇偶性求参数值培养逻辑推理素养，例4通过图象解决方程根问题提升直观想象能力。跟踪训练含基础选择与综合解答题，助力不同层次学生掌握方法，教师可据此实施精准教学，支持学生自主复习。

一、求函数的定义域、值域 1.求函数定义域的常用依据是分母不为0，偶次根式中被开方数大于或等于0等；由几个式子构成的函数，其定义域是使各式子有意义的集合的交集；函数的值域是在函数的定义域下函数值的取值范围，一般是利用函数的图象或函数的单调性求值域. 2.掌握基本集合的交、并、补运算，解简单的不等式，提升逻辑推理和数学抽象素养. 例1　(1)函数f(x)＝＋(2x－1)0的定义域为(　　) A. B. C. D.∪ 答案　D 解析　由题意得解得x<1且x≠. (2)函数y＝的值域为　　　　　.  答案　(－1，1] 解析　因为y＝＝－1＋， 又函数的定义域为R， 所以x2＋1≥1， 所以0<≤2， 则y∈(－1，1]. 反思感悟　求函数的定义域，始终记住是求使函数有意义的自变量x的取值范围；求函数的值域，别忘了定义域优先的原则.另外，定义域、值域一定要写成集合或区间的形式. 跟踪训练1　(1)(多选)下列函数中，值域为[0，4]的是(　　) A.f(x)＝x－1，x∈[1，5] B.f(x)＝－x2＋4 C.f(x)＝ D.f(x)＝x＋－2(x>0) 答案　AC 解析　对于A，由x∈[1，5]可得f(x)＝x－1∈[0，4]，故A正确； 对于B，由f(x)＝－x2＋4≤4可得该函数的值域为(－∞，4]，故B错误； 对于C，由0≤f(x)＝≤＝4可得该函数的值域为[0，4]，故C正确； 对于D，f(6)＝6＋－2＝>4， 所以该函数的值域不为[0，4]，故D错误. (2)若函数y＝f(x)的定义域是[－2，4]，则函数g(x)＝f(－x)的定义域是(　　) A.[－4，4] B.[－4，2] C.[－4，－2] D.[2，4] 答案　B 解析　由－2≤－x≤4，得－4≤x≤2. 所以函数g(x)＝f(－x)的定义域是[－4，2]. 二、分段函数 1.分段函数的画图、求单调区间、求值域或最值、求解析式等问题的解决均可用四个字概括——分段处理. 2.分段函数的求值、奇偶性判断，要严格按分段函数的含义及奇偶性的定义来处理. 3.掌握基本函数求值运算，会画简单函数的图象，提升数学运算和直观想象素养. 例2　已知函数f(x)＝是奇函数. (1)求实数m的值； (2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围. 解　(1)设x<0，则－x>0， ∴f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x， 又f(x)为奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)， ∴当x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx， ∴m＝2. (2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象(如图所示)，知 ∴1<a≤3，故实数a的取值范围是(1，3]. 反思感悟　已知函数的奇偶性求参数值，可利用奇偶函数的定义求解. 跟踪训练2　已知函数f(x)＝ 是R上的增函数，则实数a的取值范围是(　　) A.[－3，0) B.(－∞，－2] C.[－3，－2] D.(－∞，0) 答案　C 解析　因为函数f(x)＝是R上的增函数，则实数a满足 解得即－3≤a≤－2. 故实数a的取值范围是[－3，－2]. 三、函数的性质及应用 1.函数的性质主要有定义域、值域、单调性和奇偶性，利用函数的单调性和奇偶性求值、比较大小、解不等式是重点题型，解不等式时经常结合图象，要注意勿漏定义域的影响. 2.掌握单调性和奇偶性的判断和证明，会简单的综合运用，提升数学抽象、逻辑推理和直观想象素养. 例3　已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x. (1)求函数f(x)在R上的解析式； (2)画出函数f(x)的图象，并根据图象写出f(x)的单调区间； (3)若关于x的方程f(x)＝2a＋1有三个不同的解，求a的取值范围. 解　(1)由于函数f(x)是定义域为R的奇函数， 则f(0)＝0. 当x<0时，－x>0，因为f(x)是奇函数， 所以f(－x)＝－f(x). 所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x. 综上，f(x)＝ (2)函数f(x)的图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]，[1，＋∞)，单调递减区间为(－1，1). (3)因为方程f(x)＝2a＋1有三个不同的解， 所以－1<2a＋1<1， 所以－1<a<0. 故a的取值范围为(－1，0). 反思感悟　(1)解决有关函数性质的综合应用问题的通法就是根据函数的奇偶性解答或作出图象辅助解答，先证明函数的单调性，再由单调性求最值. (2)研究抽象函数的性质时要紧扣其定义，同时注意根据解题需要给x灵活赋值. 跟踪训练3　已知函数f(x)＝是奇函数，且f(2)＝. (1)求实数m和n的值； (2)求函数f(x)在区间[－2，－1]上的最值. 解　(1)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， ∴＝－. 得n＝0. 又f(2)＝，∴，解得m＝2. ∴实数m和n的值分别是2和0. (2)由(1)知f(x)＝ ＝. 任取x1，x2∈[－2，－1]，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝ ＝(x1－x2)(x1－x2)·. ∵－2≤x1<x2≤－1， ∴x1－x2<0，x1x2>1，x1x2－1>0， ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2). ∴函数f(x)在[－2，－1]上单调递增. ∴f(x)max＝f(－1)＝－， f(x)min＝f(－2)＝－. 四、函数图象的画法及应用 1.画函数的图象，可以用描点法，也可以用变换法，要注意利用函数的单调性、周期性、奇偶性、对称性简化作图. 2.利用函数的图象可以直观地求出函数值域、最值、单调性、奇偶性等，重点是一次函数、二次函数、反比例函数及幂函数图象. 3.掌握简单的基本函数图象，提升直观想象和逻辑推理素养. 例4　已知函数f(x)＝|－x2＋2x＋3|. (1)画出函数图象并写出函数的单调区间； (2)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有四个不相等的实数根}. 解　(1)当－x2＋2x＋3≥0，即－1≤x≤3时，函数f(x)＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4， 当－x2＋2x＋3<0，即x<－1或x>3时，函数f(x)＝x2－2x－3＝(x－1)2－4， 即f(x)＝ 其图象如图所示，单调 递增区间为[－1，1]和[3，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1)和(1，3). (2)由题意可知，函数y＝f(x)与y＝m的图象有四个不同的交点， 则0<m<4. 故集合M＝{m|0<m<4}. 反思感悟　函数图象可以使问题变得直观，但仍要结合代数运算才能获得精确结果. 跟踪训练4　若点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点在幂函数g(x)的图象上. (1)求f(x)和g(x)的解析式； (2)定义h(x)＝求函数h(x)的最大值以及单调区间. 解　(1)设f(x)＝xα， 因为点(，2)在幂函数f(x)的图象上， 所以()α＝2，解得α＝2，即f(x)＝x2. 设g(x)＝xβ， 因为点在幂函数g(x)的图象上， 所以2β＝，解得β＝－1，即g(x)＝x－1. (2)在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)＝x2和g(x)＝x－1的图象， 可得函数h(x)的图象如图中实线所示. 由题意及图象可知h(x)＝ 根据函数h(x)的解析式及图象可知，函数h(x)的最大值为1，单调递增区间为(0，1]，单调递减区间为(－∞，0)和(1，＋∞). 学科网（北京）股份有限公司 $