第3章 §3 第2课时 指数函数的性质及应用（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦高中数学指数函数的性质及应用，前承指数函数的定义与图象，通过表格系统梳理a>1和0<a<1时的定义域、值域、定点及单调性等性质，结合例题与训练构建从性质理解到大小比较、定义域值域求解及综合应用的学习支架。 该资料以分类讨论整合不同底数性质，例题分同底数、不同底数、中间值比较等类型，培养学生用数学眼光观察底数指数关系，用数学思维推理单调性。课中辅助教师系统教学，课后通过跟踪训练与课时对点练帮助学生巩固，查漏补缺。

第2课时　指数函数的性质及应用 学习目标　1.掌握指数函数的性质.2.学会用指数函数的性质解决求函数的定义域、值域、比较大小等问题. 导语 上节课我们学习了指数函数的定义和图象.一般来说，函数的图象与性质紧密联系，图象可反映函数的性质，所以这节课我们利用指数函数的图象一起去探讨指数函数的有关性质及应用. 一、与指数型函数有关的大小比较 1.指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域：R 值域：(0，＋∞) 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x<0时， 0<y<1； 当x>0时，y>1 当x<0时， y>1； 当x>0时，0<y<1 在R上是增函数， 当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无穷大； 当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于0 在R上是减函数， 当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于0； 当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于正无穷大 性质 函数y＝ax和y＝(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称，且它们在R上的单调性相反 2.对于函数y＝ax和y＝bx(a>b>1) (1)当x<0时，0<ax<bx<1. (2)当x＝0时，ax＝bx＝1. (3)当x>0时，ax>bx>1. 3.对于函数y＝ax和y＝bx(0<a<b<1) (1)当x<0时，ax>bx>1. (2)当x＝0时，ax＝bx＝1. (3)当x>0时，0<ax<bx<1. 注意点： (1)研究性质注意底数的变化. (2)研究指数型问题注意性质与图象的结合. 例1　(1)(课本例1)比较下列各题中两个数的大小： ①50.8，50.7； ②7－0.15，7－0.1. 解　①因为函数y＝5x在R上是增函数，且 0.8>0.7，所以50.8>50.7. ②因为函数y＝7x在R上是增函数，且－0.15<－0.1，所以7－0.15<7－0.1. (2)(课本例3)比较下列各题中两个数的大小： ①，； ②，. 解　①因为函数y＝在R上是减函数， －1.8>－2.8，所以<. ②因为函数y＝在R上是减函数， －0.3<1.3，所以>. (3)(课本例5)比较下列各题中两个数的大小： ①1.80.6，0.81.6； ②，. 解　利用指数函数的性质对两个数进行比较. ①设f(x)＝1.8x，g(x)＝0.8x，则函数f(x)在R上是增函数，函数g(x)在R上是减函数， 1.80.6＝f(0.6)，0.81.6＝g(1.6).由指数函数的性质可知f(0.6)>f(0)＝1，而g(1.6)<g(0)＝1，所以1.80.6>0.81.6. ②设f(x)＝，g(x)＝3x，则函数f(x)在R上是减函数，函数g(x)在R上是增函数，＝f，＝g.由指数函数的性质可知f>f(0)＝1，而g<g(0)＝1，所以>. 例1　比较下列各组数的大小：(1)1.11.1，1.10.9；(2)0.1－0.2，0.10.9；(3)30.1，π0.1；(4)1.70.1，0.91.1；(5)0.70.8，0.80.7. 解　(1)因为y＝1.1x是增函数，1.1>0.9， 故1.11.1>1.10.9. (2)因为y＝0.1x是减函数，－0.2<0.9， 故0.1－0.2>0.10.9. (3)因为y＝x0.1在(0，＋∞)上单调递增，3<π， 故30.1<π0.1. (4)因为1.70.1>1.70＝1，0.91.1<0.90＝1， 故1.70.1>0.91.1. (5)取中间值0.70.7，因为0.70.8<0.70.7<0.80.7， 故0.70.8<0.80.7(也可取中间值0.80.8， 即0.70.8<0.80.8<0.80.7). 反思感悟　一般地，比较幂大小的方法有 (1)对于底数相同指数不同的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断. (2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用幂函数的单调性来判断. (3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断. 跟踪训练1　(1)下列大小关系正确的是(　　) A.0.43<30.4<π0 B.0.43<π0<30.4 C.30.4<0.43<π0 D.π0<30.4<0.43 答案　B 解析　0.43<0.40＝1＝π0＝30<30.4. (2)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是(　　) A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.b<c<a 答案　C 解析　∵1.50.6>1.50＝1，0.60.6<0.60＝1， 故1.50.6>0.60.6， 又函数y＝0.6x在R上是减函数，且1.5>0.6， ∴0.61.5<0.60.6，故0.61.5<0.60.6<1.50.6. 即b<a<c. 二、指数型函数的定义域与值域 例2　求下列函数的定义域和值域. (1)y＝32x＋1； (2)y＝； (3)y＝4x－2x＋1. 解　(1)函数的定义域为R， ∵x∈R，∴2x＋1∈R， ∴函数y＝32x＋1的值域为(0，＋∞). (2)∵x－4≠0，∴x≠4， ∴定义域为{x|x≠4}. ∵≠0，∴y≠1， ∴值域为(0，1)∪(1，＋∞). (3)y＝4x＋2x＋1＝(2x)2－2·2x.定义域为R， 令t＝2x，∴t>0，且y＝t2－2t＝(t－1)2－1， ∵y≥－1，∴值域为[－1，＋∞). 延伸探究1　将例2(2)的函数解析式变为y＝，则该函数在R上的值域为　　　　；  在(0，3)上的值域为　　　　.  答案　(0，2]　 解析　令t＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，则t≥－1， 又函数y＝在[－1，＋∞)上单调递减， 故值域为(0，2]； 当x∈(0，3)时，t∈[－1，3)，函数y＝在[－1，3)上单调递减， 则y≤＝2，且y>，即函数在(0，3)上的值域为. 延伸探究2　将例2(2)的函数解析式变为f(x)＝(a>0，且a≠1)，求此函数的值域. 解　f(x)的定义域是R， 因为－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4≤4， 所以当a>1时，函数f(x)的值域为(0，a4]， 当0<a<1时，函数f(x)的值域为[a4，＋∞). 反思感悟　指数型函数的定义域、值域的求法 (1)求与指数函数有关的函数的定义域时，首先观察函数是y＝af(x)型还是y＝f(ax)型，前者的定义域与f(x)的定义域一致，求后者的定义域时，往往转化为解指数不等式(组). (2)求与指数函数有关的函数的值域时，在运用前面介绍的求函数值域的方法的前提下，要注意指数函数的值域为(0，＋∞)，切记准确运用指数函数的单调性. 跟踪训练2　已知函数f(x)＝. (1)求f(x)的定义域和值域； (2)求f(x)的单调性. 解　(1)f(x)的定义域为R， 令t＝－|x|，∴t≤0，y＝， ∵t≤0，∴0<≤1，即0<f(x)≤1， ∴f(x)的值域为(0，1]. (2)t＝－|x|的图象如图所示. ∴t＝－|x|在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减， 又y＝为增函数， 故f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减. 三、指数函数性质的综合应用 例3　已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数. (1)求b的值； (2)判断函数f(x)的单调性； (3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围. 解　(1)因为f(x)是定义域为R的奇函数， 所以f(0)＝0，即＝0，解得b＝1. 经检验，b＝1满足题意. (2)由(1)知，f(x)＝＝－， 设x1，x2∈R，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝ ＝. 因为函数y＝2x在R上是增函数，且x1<x2， 所以>0， 又(＋1)(＋1)>0，所以f(x1)－f(x2)>0， 即f(x1)>f(x2)， 所以f(x)在定义域R上单调递减. (3)因为f(x)是奇函数，f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0， 则f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(k－2t2)， 由(2)知f(x)为减函数， 所以t2－2t>k－2t2， 即对任意的t∈R有3t2－2t－k>0， 则Δ＝4＋12k<0，解得k<－， 故k的取值范围是. 反思感悟　指数函数性质综合问题的求解策略 (1)判断与指数函数有关的函数的奇偶性与判断一般函数的奇偶性相同. (2)求解与指数函数有关的函数单调性问题，应利用指数函数的单调性性质或单调性定义，对于底数不确定的要按照底数与1的大小关系分类讨论. 跟踪训练3　已知定义在R上的函数f(x)＝m－. (1)判断并证明函数f(x)的单调性； (2)若f(x)是奇函数，求m的值； (3)若f(x)的值域为D，且D⊆[－3，1]，求m的取值范围. 解　(1)函数f(x)在R上单调递增. 证明如下： 设x1，x2∈R，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝m－ ＝. ∵x1<x2， ∴＋1>0，＋1>0，<0， ∴f(x1)－f(x2)<0， 即f(x1)<f(x2)， ∴f(x)在R上单调递增. (2)∵f(x)是R上的奇函数， ∴f(x)＋f(－x)＝m－＋m－＝0， 即2m－＝0， 整理得2m－2＝0， ∴m＝1. (3)由5x>0⇒0<<2⇒m－2<m－<m， 则D＝(m－2，m)， ∵D⊆[－3，1]，∴ 解得－1≤m≤1， ∴m的取值范围是[－1，1]. 1.知识清单：指数函数的性质及应用. 2.方法归纳：数形结合法、换元法、分类讨论法. 3.常见误区：求值域时易忽视指数函数隐含的条件ax>0；利用单调性解决问题时，易忽视对底数的讨论. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共6分 1.函数f(x)＝的定义域是(　　) A.[2，4) B.[2，4)∪(4，＋∞) C.(2，4)∪(4，＋∞) D.[2，＋∞) 答案　B 解析　依题意有解得x≥2且x≠4， 所以函数f(x)的定义域是[2，4)∪(4，＋∞). 2.若2x＋1<1，则x的取值范围是(　　) A.(－1，1) B.(－1，＋∞) C.(0，1)∪(1，＋∞) D.(－∞，－1) 答案　D 解析　2x＋1<1＝20， 因为函数y＝2x在R上为增函数， 所以x＋1<0，所以x<－1， 所以x的取值范围为(－∞，－1). 3.设a＝0.40.2，b＝0.40.5，c＝20.1，则(　　) A.c>a>b B.b>a>c C.a>b>c D.a>c>b 答案　A 解析　∵a＝0.40.2，b＝0.40.5，c＝20.1， ∴0.40.5<0.40.2<0.40＝1，20.1>20＝1，∴c>a>b. 4.已知函数f(x)＝a－x(a>0，且a≠1)，且f(－2)>f(－3)，则a的取值范围是(　　) A.(0，＋∞) B.(1，＋∞) C.(－∞，1) D.(0，1) 答案　D 解析　∵－2>－3，f(－2)>f(－3)， 又f(x)＝a－x＝， ∴>，∴>1，∴0<a<1. 5.函数y＝的单调递减区间为(　　) A.(－∞，1) B.(1，＋∞) C.(0，1) D.(0，＋∞) 答案　A 解析　令t＝x2－2x＝(x－1)2－1，y＝2t， ∵函数t＝x2－2x在(－∞，1)上单调递减， 在(1，＋∞)上单调递增， 又y＝2t为增函数， ∴y＝在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 故函数y＝的单调递减区间为(－∞，1). 6.f(x)＝，x∈R，那么f(x)是(　　) A.奇函数且在(0，＋∞)上单调递增 B.偶函数且在(0，＋∞)上单调递增 C.奇函数且在(0，＋∞)上单调递减 D.偶函数且在(0，＋∞)上单调递减 答案　D 解析　由x∈R且f(－x)＝f(x)知f(x)是偶函数， 当x>0时，f(x)＝单调递减. 7.(5分)已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a＋b＝　　　　.  答案　－ 解析　当a>1时，f(x)＝ax＋b在定义域上为增函数， ∴方程组无解； 当0<a<1时，f(x)＝ax＋b在定义域上为减函数， ∴解得∴a＋b＝－. 8.(5分)已知函数f(x)＝若对任意的x1，x2∈R，且x1≠x2都有>0成立，则实数a的取值范围是　　　　.  答案　[4，8) 解析　由>0，可知f(x)在R上是增函数，所以解得4≤a<8. 9.(10分)已知指数函数f(x)的图象过点P(3，8)，且函数g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称，又g(2x－1)<g(3x)，求x的取值范围. 解　设f(x)＝ax(a>0且a≠1)， 因为f(3)＝8， 所以a3＝8，即a＝2， 所以f(x)＝2x， 又因为g(x)与f(x)的图象关于y轴对称， 所以g(x)＝， 因此由g(2x－1)<g(3x)， 即<， 得2x－1>3x，解得x<－1. 所以x的取值范围为(－∞，－1). 10.(12分)已知函数f(x)＝(a>0，且a≠1). (1)求函数f(x)的定义域；(3分) (2)判断函数f(x)的奇偶性；(4分) (3)若xf(x)>0在其定义域上恒成立，求实数a的取值范围.(5分) 解　(1)由ax－1≠0，解得x≠0. ∴函数f(x)的定义域为{x|x≠0}. (2)f(－x)＝ ＝＝－＝－f(x)， ∴函数f(x)为奇函数. (3)∵f(x)为奇函数，∴xf(x)为偶函数. ∴xf(x)>0在其定义域上恒成立等价于f(x)>0在(0，＋∞)上恒成立， 即>0在(0，＋∞)上恒成立， 即>0在(0，＋∞)上恒成立. ∴ax>1在(0，＋∞)上恒成立， ∴a>1. 故实数a的取值范围是(1，＋∞). 11.(多选)已知函数f(x)＝2－x－2x，下列四个结论正确的是(　　) A.f(0)＝0 B.f(x)是奇函数 C.f(x)在R上单调递增 D.对任意的实数a，方程f(x)－a＝0都有解 答案　ABD 解析　f(x)＝2－x－2x，f(0)＝20－20＝0，A正确； f(－x)＝2x－2－x＝－f(x)，f(x)是奇函数，B正确； 易知f(x)＝－2x在R上是减函数，C错误； 由于当x→－∞时，f(x)→＋∞，当x→＋∞时，f(x)→－∞，且f(x)是R上的减函数，因此对任意的实数a，方程f(x)＝a有唯一解，D正确. 12.若x>y>1，0<a<b<1，则下列各式中一定成立的是(　　) A.xa>yb B.xa<yb C.ax>by D.ax<by 答案　D 解析　由指数函数的性质得ax<ay， 又由幂函数的性质得ay<by，从而ax<ay<by. 13.(5分)已知函数f(x)＝在定义域内为奇函数，则实数a的值为　　　.  答案　3 解析　由题意得f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＋f(x)＝0， ∴＝0， ∴＝0， ∴＝0， ∴＝0， ∴－a－3·2x＋a·2x＋3＝0， ∴2x(a－3)－(a－3)＝0， ∴(2x－1)(a－3)＝0，∴a＝3. 14.(5分)若不等式>对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是　　　　.  答案　[0，1) 解析　不等式即为>3－1， 则有ax2－2ax>－1， 即ax2－2ax＋1>0对一切实数x恒成立， 当a＝0时，满足题意； 当a≠0时，要满足题意， 则需a>0且Δ＝(－2a)2－4a<0， 即a2－a<0，解得0<a<1. 综上，实数a的取值范围是[0，1). 15.(5分)定义区间[x1，x2]的长度为x2－x1，已知函数f(x)＝3|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，9]，则区间[a，b]的长度的最大值为　　　　　　，最小值为　　　　.  答案　4　2 解析　由3|x|＝1，得x＝0，由3|x|＝9，得x＝±2， 故满足题意的定义域可以为[－2，m](0≤m≤2)或[n，2](－2≤n≤0)， 故区间[a，b]的长度的最大值为4，最小值为2. 16.(12分)设函数f(x)＝ax－a－x(a>0，且a≠1). (1)若f(1)>0，求不等式f(－x2＋7)＋f(x－5)<0的解集；(6分) (2)若f(1)＝，且g(x)＝a2x＋a－2x－4f(x)－m≥0在[1，＋∞)上恒成立，求m的最大值.(6分) 解　(1)∵f(1)＝a－>0(a>0，且a≠1)，∴a>1， ∴y＝ax在R上单调递增，y＝a－x在R上单调递减， 故f(x)在R上单调递增， 又∵f(－x)＝a－x－ax＝－f(x)且x∈R， ∴f(x)是R上的奇函数， 由f(－x2＋7)＋f(x－5)<0， 得f(－x2＋7)<f(5－x)， ∴－x2＋7<5－x， 即x2－x－2>0， 解得x<－1或x>2， ∴不等式的解集为(－∞，－1)∪(2，＋∞). (2)由f(1)＝a－， 解得a＝－(舍去)或a＝2， 则f(x)＝2x－2－x， ∴g(x)＝22x＋2－2x－4(2x－2－x)－m ＝(2x－2－x)2－4(2x－2－x)－m＋2， 令t＝2x－2－x， ∵x∈[1，＋∞)， ∴t≥， 又∵g(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立， 即t2－4t－m＋2≥0在t∈上恒成立， 即m≤t2－4t＋2在t∈上恒成立. 而t2－4t＋2＝(t－2)2－2≥－2， ∴m≤－2， ∴m的最大值为－2. 学科网（北京）股份有限公司 $