第3章 指数运算与指数函数（复习讲义）数学北师大版2019必修第一册

第3章 指数运算与指数函数（复习讲义） 1. 理解指数幂的扩展过程：从整数指数幂到分数指数幂（根式）再到实数指数幂，明确拓展的意义和合理性. 2.掌握根式与分数指数幂的互化：熟练进行根式与分数指数幂之间的转换，理解运算的等价性. 3.应用指数幂的表示：能利用分数指数幂表示和计算根式问题. 4. 掌握实数指数幂的运算规则：熟练应用指数幂的运算性质（同底数幂相乘、相除，幂的乘方，积的乘方等）进行化简与计算. 5.理解指数函数的概念：掌握指数函数的定义（形如 y=ax（a>0 且 a=1）的函数），明确底数的限制条件. 6.探究指数函数的图象与性质：能绘制指数函数的图象，理解底数 a 对函数单调性的影响（a>1 时递增，0<a<1 时递减）.归纳指数函数的性质（定义域、值域、过定点、单调性等）. 7.培养数学运算能力：通过指数运算的练习，提升数学运算的准确性和灵活性.发展数学抽象、逻辑推理、数学运算和数学建模素养，提升解决实际问题的能力. 8.解决实际问题：能利用指数函数解决实际问题（如复利、人口增长等模型）. ●一、指数幂的拓展 (1)幂的有关概念 ①正分数指数幂：a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； ②负分数指数幂：a＝＝ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)． 提醒：有理数指数幂的运算性质中，要求底数都大于0，否则不能用性质来运算． ●二、指数幂的运算性质 ①aras＝ar＋s(a＞0)； ②(ar)s＝ars(a＞0)； ③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0)． ●三、指数函数 （1） 指数函数的概念： 1.函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，a是底数. 2.基本性质： （1）定义域为R，函数值大于零； （2）图象过定点（0,1）. （2） 指数函数的图象和性质： 1.指数函数的图象和性质 y＝ax a>1 0<a<1 图象 性质 函数的定义域为；值域为(0，＋∞) 函数图象过定点(0,1)，即当x＝时，y＝ 当x>0时，恒有y>1； 当x>0时，恒有0<y<1； 当x<0时，恒有0<y<1 当x<0时，恒有y>1 函数在定义域R上为增函数 函数在定义域R上为减函数 2.对于函数y＝ax和y＝bx）（a>b>1） （1） 当x<0时，0<ax<bx<1; （2） 当x=0时，0=ax=bx=1; （3） 当x>0时，ax>bx>1. 3.几个结论： （1）指数函数图象的画法 画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，. （2）指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b. 由此我们可得到以下规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大． 题型一 根式的化简与求值 【例1】（24-25高一上·全国·课前预习）计算下列各题： (1)； (2)． 【变式1-1】（多选）（25-26高一上·全国·开学考试）下列说法不正确的是（ ） A．的平方根是 B．负数没有立方根 C． D．1的立方根是 【变式1-2】（25-26高一上·全国·课后作业）若，则实数的取值范围是 ． 题型二 分数指数幂与根式的互化 【例2】（多选）（23-24高一上·安徽淮南·阶段练习）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高一上·上海·期末）将化为有理数指数幂的形式为 . 【变式2-2】（24-25高一上·上海松江·期末）经过化简，可得恒等式 （其中 ），则 题型三 指数幂的运算 【例3】（25-26高一上·湖南·开学考试）若，，用含的代数式表示，则 ． 【变式3-1】（25-26高一上·广西·开学考试）若，则（    ） A．11 B．14 C．30 D．45 【变式3-2】（25-26高一上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)． 题型四 指数幂的化简、求值 【例4】（25-26高一上·全国·单元测试）（1）计算：； （2）已知，求； （3）已知，求的值． 【变式4-1】（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）下列运算（化简）中正确的有（ ）． A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高一上·全国·课后作业）（1）已知，且，求的值． （2）已知，求的值． 题型五 指数函数的解析式、求值 【例5】（22-23高一上·陕西商洛·期末）已知函数，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式5-1】（24-25高一上·全国·课后作业）若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24高一下·湖南衡阳·阶段练习）已知指数函数图象过点，则等于（    ） A．3 B．6 C．9 D．27 题型六 根据指数函数求参数 【例6】（25-26高一上·全国·课前预习）函数是指数函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高一上·全国·课后作业）若函数（是自变量）为指数函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2024高二下·安徽·学业考试）若函数是指数函数，则有（    ） A． B． C．或 D．，且 题型七 判断指数型函数的图象形状 【例7】（24-25高一上·广东汕头·期中）已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象是（ ） A． B． C． D． 【变式7-1】（18-19高二下·河南·期末）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2010·江苏·一模）当时，函数和的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 题型八 根据指数函数的图象求参数范围 【例8】（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数（，且）与函数（，且）的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2005·福建·高考真题）函数的图象如图所示，其中，为常数，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式8-2】（2025·广东广州·一模）已知实数满足，则下列不等式可能成立的是（   ） A． B． C． D． 题型九 指数函数图象过定点问题 【例9】（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数（且）的图象经过定点，则（    ） A． B． C． D．3 【变式9-1】（25-26高一上·全国·单元测试）当且时，的图象恒过点（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（2025高一·全国·专题练习）若函数（且）的图象恒过点，则 ， ；此时该图象所过的另外一个定点是 . 题型十 指数函数图象的应用 【例10】（2025高一·全国·专题练习）若函数的图象不经过第一象限，则实数的取值范围是 ． 【变式10-1】（2020·北京·高考真题）已知函数，则不等式的解集是（       ）． A． B． C． D． 【变式10-2】（多选）（25-26高一上·全国·单元测试）若实数，，满足，则下列不等关系可能成立的是（    ） A． B． C． D． 题型十一 指数（型）函数的定义域问题 【例11】（24-25高一上·吉林长春·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】（24-25高一上·河南·阶段练习）函数的定义域为 （    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（23-24高一上·四川成都·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 题型十二 指数函数在区间的值域问题 【例12】（2025高一上·全国·专题练习）函数的定义域为，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【变式12-1】（24-25高一上·上海静安·阶段练习）函数的值域是 . 【变式12-2】（24-25高一上·全国·课前预习）求下列函数的定义域与值域 (1)； (2)． 题型十三 根据指数型函数值域求参数 【例13】（2025·福建福州·模拟预测）若函数的定义域和值域的交集为空集，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式13-1】（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】（24-25高一下·广东·阶段练习）已知函数的值域为，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型十四 指数型函数单调性判断与单调区间 幂函数相关定义域问题 【例14】（24-25高一上·广东深圳·期末）函数的单调递增区间为 ． 【变式14-1】（24-25高一上·北京大兴·期末）在区间上单调递增的函数可以是（    ） A． B． C． D． 【变式14-2】（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）若函数满足，则的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 题型十五 求指数型函数的最值 【例15】（24-25高一上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知函数，， (1)解方程：； (2)设，求函数在区间上的最大值的表达式. 【变式15-1】（24-25高一上·上海·课后作业）已知，求函数的最大值与最小值. 【变式15-2】（23-24高一上·四川成都·阶段练习）已知指数函数 的图象经过点 . (1)求函数 的解析式并判断 的单调性； (2)函数 ， 求函数 在区间 上的最小值. 题型十六 根据指数型函数的最值求参数 【例16】（24-25高一上·重庆沙坪坝·期末）已知函数． (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)若在上的最大值为0，求的值． 【变式16-1】（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若的最大值为2，求的值． 【变式16-2】（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知函数（，且）． (1)若的图象过点和，求在上的值域； (2)若在区间上的最大值比最小值大，求的值． 题型十七 比较指数幂的大小问题 【例17】（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）下列大小关系正确的是（） A． B． C． D． 【变式17-1】（25-26高一上·全国·单元测试）若，则（   ） A． B． C． D． 【变式17-2】（24-25高二下·福建福州·期末）已知，，，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 题型十八 解不等式问题 【例18】（23-24高二下·宁夏银川·阶段练习）已知函数，若，则实数的取值范围是 . 【变式18-1】（25-26高一上·全国·课后作业）若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式18-2】（24-25高一下·浙江杭州·期中）不等式（其中为自然对数的底数）的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 题型十九 实际应用问题 【例19】（25-26高一上·全国·单元测试）某学校一个课外实验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据实验数据可知，在相同条件下，这种植物每天以的增长率生长，8天后，该植物的长度是原来的倍，则24天后该植物的长度是原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【变式19-1】（24-25高一上·河南南阳·阶段练习）衣柜里的樟脑丸随着时间会挥发，使得体积缩小，刚放进的新丸体积为，经过天后，体积与天数的关系式为.已知新丸经过25天后，体积变为，则新丸经过75天，体积变为（    ） A． B． C． D． 【变式19-2】（24-25高一上·辽宁朝阳·期末）著名数学家，物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．若当空气温度为时，某物体的温度从下降到用时分钟，则再经过分钟后，该物体的温度为（   ） A． B． C． D． 题型二十 根据函数的单调性求参数 【例20】（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数，在R上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式20-1】（2025·山东济宁·二模）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式20-2】（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，若对任意的，均有，则的取值范围是 . 题型二十一 指数型函数相关奇偶性、单调性综合问题 【例21】（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，若，则实数的取值范围是 ． 【变式21-1】（24-25高一上·四川泸州·期末）已知定义域为R的函数满足，当时，，则满足 的实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式21-2】（多选）（2026高三·全国·专题练习）已知定义域为R的是奇函数，则（   ） A． B．在R上单调递增 C．的值域为 D．的解集为 题型二十二 指数型函数、不等式综合问题 【例22】（24-25高一下·江西抚州·阶段练习）已知函数为偶函数． (1)求的值； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【变式22-1】（24-25高一上·安徽铜陵·期末）已知函数． (1)若对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围； (2)若关于x的方程有实根，求实数m的取值范围． 【变式22-2】（24-25高一下·福建宁德·阶段练习）已知为偶函数，为奇函数，且． (1)的值； (2)令． ①用函数单调性的定义判断的单调性． ②若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围． 基础巩固通关测 1．（23-24高一上·广西玉林·阶段练习）函数与，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是（   ） A． B． C． D． 2.（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 3.（25-26高三上·北京·阶段练习）已知函数，则（　　） A．是奇函数，且在上是增函数 B．是偶函数，且在上是增函数 C．是奇函数，且在上是减函数 D．是偶函数，且在上是减函数 4．（25-26高一上·全国·课堂例题）若，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·湖北·期末）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中、是正的常数.如果前消除了的污染物，那么前消除的污染物的占比为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·安徽·期中）设，若函数在上的最小值是2，则其在上的最大值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，（且），若在上的最大值为，最小值为，且，则实数的值为（    ） A． B．2或 C． D．或 8．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知，函数与的图象如图所示，则（    ） A． B．且 C．且 D． 9．（多选）（24-25高一上·陕西西安·期末）已知函数，则（    ） A．的递增区间为 B．的递增区间为 C．有最大值4 D．有最小值4 10．（多选）（25-26高一上·山西忻州·开学考试）已知函数，则正确的是（    ） A．的值域为 B．的解集为 C．的图象与的图象关于轴对称 D．函数是偶函数 11.（24-25高一上·上海徐汇·期末）若函数的值域为，则实数的取值范围是 . 12．（24-25高一上·江苏泰州·期末）写出一个同时满足下列性质①②的函数 ．（若写多个，以第一个计分）①；②在上单调递减． 能力提升进阶练 13．（24-25高一上·宁夏石嘴山·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. (1)用定义证明函数在区间上的单调性； (2)求函数在上的解析式. 14．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数. (1)求的值； (2)求. 15.（23-24高一上·河北保定·期中）已知函数. (1)求的最小值； (2)证明：当时， 16．（24-25高一下·广西贵港·期中）已知幂函数，且． (1)求的解析式； (2)若函数，且，a，b均为正数，求的最小值． 17．（24-25高一上·湖南怀化·期中）已知函数 (1)当时，求的值域 (2)求单调区间 (3)若的最大值为9，求实数a的值 18．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数， (1)求的值； (2)画出函数的图象，根据图象写出函数的单调区间； (3)若，求的取值范围. 19．（24-25高一上·河北秦皇岛·期末）已知指数函数在区间上的最大值与最小值的差为2. (1)求实数的值； (2)求不等式的解集. 20．（23-24高一上·广东茂名·期末）已知是定义在上的奇函数. (1)求的解析式； (2)已知，若对于任意，存在，使得成立，求的取值范围. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 指数运算与指数函数（复习讲义） 1. 理解指数幂的扩展过程：从整数指数幂到分数指数幂（根式）再到实数指数幂，明确拓展的意义和合理性. 2.掌握根式与分数指数幂的互化：熟练进行根式与分数指数幂之间的转换，理解运算的等价性. 3.应用指数幂的表示：能利用分数指数幂表示和计算根式问题. 4. 掌握实数指数幂的运算规则：熟练应用指数幂的运算性质（同底数幂相乘、相除，幂的乘方，积的乘方等）进行化简与计算. 5.理解指数函数的概念：掌握指数函数的定义（形如 y=ax（a>0 且 a=1）的函数），明确底数的限制条件. 6.探究指数函数的图象与性质：能绘制指数函数的图象，理解底数 a 对函数单调性的影响（a>1 时递增，0<a<1 时递减）.归纳指数函数的性质（定义域、值域、过定点、单调性等）. 7.培养数学运算能力：通过指数运算的练习，提升数学运算的准确性和灵活性.发展数学抽象、逻辑推理、数学运算和数学建模素养，提升解决实际问题的能力. 8.解决实际问题：能利用指数函数解决实际问题（如复利、人口增长等模型）. ●一、指数幂的拓展 (1)幂的有关概念 ①正分数指数幂：a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； ②负分数指数幂：a＝＝ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)． 提醒：有理数指数幂的运算性质中，要求底数都大于0，否则不能用性质来运算． ●二、指数幂的运算性质 ①aras＝ar＋s(a＞0)； ②(ar)s＝ars(a＞0)； ③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0)． ●三、指数函数 （1） 指数函数的概念： 1.函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，a是底数. 2.基本性质： （1）定义域为R，函数值大于零； （2）图象过定点（0,1）. （2） 指数函数的图象和性质： 1.指数函数的图象和性质 y＝ax a>1 0<a<1 图象 性质 函数的定义域为；值域为(0，＋∞) 函数图象过定点(0,1)，即当x＝时，y＝ 当x>0时，恒有y>1； 当x>0时，恒有0<y<1； 当x<0时，恒有0<y<1 当x<0时，恒有y>1 函数在定义域R上为增函数 函数在定义域R上为减函数 2.对于函数y＝ax和y＝bx）（a>b>1） （1） 当x<0时，0<ax<bx<1; （2） 当x=0时，0=ax=bx=1; （3） 当x>0时，ax>bx>1. 3.几个结论： （1）指数函数图象的画法 画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，. （2）指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b. 由此我们可得到以下规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大． 题型一 根式的化简与求值 【例1】（24-25高一上·全国·课前预习）计算下列各题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用根式的运算化简即可； （2）利用根式的运算化简即可. 【详解】（1）． （2）． 【变式1-1】（多选）（25-26高一上·全国·开学考试）下列说法不正确的是（ ） A．的平方根是 B．负数没有立方根 C． D．1的立方根是 【答案】ABD 【分析】利用根式的性质化简判断即可. 【详解】A选项：因为＝9，所以9的平方根是，即的平方根是，故选项A不正确，符合题意; B选项：由立方根的性质可知负数的立方根是负数，故选项B不正确，符合题意； C选项：由题可得，故选项C正确，不符合题意； D选项：由立方根的性质可知1的立方根是1，故选项D不正确，符合题意． 故选：ABD． 【变式1-2】（25-26高一上·全国·课后作业）若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】结合根式的性质化简求解即可. 【详解】因为， 所以，即，解得， 当时，即， 满足. 所以实数的取值范围是． 故答案为：. 题型二 分数指数幂与根式的互化 【例2】（多选）（23-24高一上·安徽淮南·阶段练习）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据根式与分数指数幂的化简计算可得结果. 【详解】对于A，，即A正确； 对于B，，可得B错误； 对于C，，可得C正确； 对于D，，即D正确. 故选：ACD 【变式2-1】（24-25高一上·上海·期末）将化为有理数指数幂的形式为 . 【答案】 【分析】利用根式与指数幂的互化、指数幂的运算性质化简可得结果. 【详解】. 故答案为：. 【变式2-2】（24-25高一上·上海松江·期末）经过化简，可得恒等式 （其中 ），则 【答案】 【分析】化根式为分数指数幂即可列式计算得答案. 【详解】依题意，，而， 则，而，解得， 所以. 故答案为：. 题型三 指数幂的运算 【例3】（25-26高一上·湖南·开学考试）若，，用含的代数式表示，则 ． 【答案】 【分析】由可得，结合可得结论. 【详解】因为，所以， 所以 所以， 故答案为：． 【变式3-1】（25-26高一上·广西·开学考试）若，则（    ） A．11 B．14 C．30 D．45 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用指数运算法则计算得解. 【详解】由，得. 故选：D 【变式3-2】（25-26高一上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1)18 (2) 【分析】由指数幂的运算性质，化简计算各式的值即可． 【详解】（1）原式． （2）原式． 题型四 指数幂的化简、求值 【例4】（25-26高一上·全国·单元测试）（1）计算：； （2）已知，求； （3）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）4 【分析】（1）根据指数幂的运算性质求解即可； （2）利用完全平方公式进行求值 （3）利用完全平方公式及立方和公式求解即可. 【详解】（1）． （2）由，所以． （3）因为，所以， 则， 所以． 【变式4-1】（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）下列运算（化简）中正确的有（ ）． A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据分数指数幂的运算法则，对四个选项分别计算、求值，从而得解． 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：，故B正确； 对于C： ，故C错误； 对于D： ，故D正确； 故选：ABD. 【变式4-2】（25-26高一上·全国·课后作业）（1）已知，且，求的值． （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）6 【分析】（1）由及计算可得； （2）由及计算可得. 【详解】（1）由题意可知， ， ， ． （2）， ， . 题型五 指数函数的解析式、求值 【例5】（22-23高一上·陕西商洛·期末）已知函数，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】求解析式，易知，代入数值即可求解. 【详解】因为，所以， 则. 所以. 故选：B. 【变式5-1】（24-25高一上·全国·课后作业）若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，（且），代入点运算求解即可. 【详解】设，（且）， 因为函数的图象过点，则，解得， 所以. 故选：B. 【变式5-2】（23-24高一下·湖南衡阳·阶段练习）已知指数函数图象过点，则等于（    ） A．3 B．6 C．9 D．27 【答案】C 【分析】先求得的解析式，进而求得. 【详解】设且， 将代入得， 解得，所以， 所以. 故选：C 题型六 根据指数函数求参数 【例6】（25-26高一上·全国·课前预习）函数是指数函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数的定义列出限制条件，求解不等式组可得答案. 【详解】由指数函数的定义得解得，且，故的取值范围是． 故选：C 【变式6-1】（24-25高一上·全国·课后作业）若函数（是自变量）为指数函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用指数函数的定义，即可求解. 【详解】由为指数函数，得且，解得， 故选：A. 【变式6-2】（2024高二下·安徽·学业考试）若函数是指数函数，则有（    ） A． B． C．或 D．，且 【答案】A 【分析】根据指数函数定义求参. 【详解】因为是指数函数， 所以，且 所以. 故选：A. 题型七 判断指数型函数的图象形状 【例7】（24-25高一上·广东汕头·期中）已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由二次函数的图象可得，然后结合指数函数的图象分析判断即可. 【详解】由二次函数（其中）的图象可得， 所以的图象过点，且在上为减函数，则函数递减，排除CD； 因为，所以将的图象向下平移个单位可得的图象，排除B； 故选：A 【变式7-1】（18-19高二下·河南·期末）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数图象是由函数图象向左平移1个单位，作出函数的图象，即可求解. 【详解】作出函数的图象，如下图所示， 将的图象向左平移个单位得到图象. 故选：B 【变式7-2】（2010·江苏·一模）当时，函数和的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据各选项中的图象，由一次函数的图象确定的取值情况，再由指数型函数图象判断特征判断即可. 【详解】对于A，由一次函数的图象知，，此时函数为减函数，A正确； 对于B，由一次函数的图象知，，此时函数为增函数，B错误； 对于C，由一次函数的图象知，，此时函数为减函数，C错误； 对于D，由一次函数的图象知，，此时函数为增函数，D错误. 故选：A 题型八 根据指数函数的图象求参数范围 【例8】（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数（，且）与函数（，且）的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数函数的图象与性质可得，.再根据函数（，且）与函数（，且）的图象的对称性，数形结合即可求解. 【详解】由图得，，所以. 因为函数（，且）的图象与函数（，且）的图象关于轴对称，如图所示， 由图可知：，则. 故选：A. 【变式8-1】（2005·福建·高考真题）函数的图象如图所示，其中，为常数，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据指数函数单调性得到，根据得到. 【详解】由于的图象单调递减，所以， 又，所以，即，. 故选：D． 【变式8-2】（2025·广东广州·一模）已知实数满足，则下列不等式可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设指数函数，在同一坐标系中作出三个函数的图象，结合函数图象即可求解. 【详解】设函数， 作出函数图象如下， 设， 对A，当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，A错误； 对C，当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，C错误； 因为，所以， 设， 作出函数的图象如下， 对B，当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，B正确； 对D，当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，D错误； 故选:B. 题型九 指数函数图象过定点问题 【例9】（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数（且）的图象经过定点，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】由指数函数的性质确定定点坐标，即可得. 【详解】令，得，此时， 所以定点P的坐标为，即，，所以. 故选：C 【变式9-1】（25-26高一上·全国·单元测试）当且时，的图象恒过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，求的值和对应的函数值，即得图象所过的定点． 【详解】对于函数，令，解得， 则， 所以的图象恒过点． 故选：C. 【变式9-2】（2025高一·全国·专题练习）若函数（且）的图象恒过点，则 ， ；此时该图象所过的另外一个定点是 . 【答案】 4 【分析】根据指数函数过定点的性质，即恒成立，即可得到结论． 【详解】由函数的图象恒过点， 则当时，由得，即， 由得； 令，得另一根为，， 故另一个定点是. 故答案为：；4；. 题型十 指数函数图象的应用 【例10】（2025高一·全国·专题练习）若函数的图象不经过第一象限，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先作出的图象，即可根据函数图象的平移，结合指数函数的图象性质求解. 【详解】作出的图象如图，由图可知，在第一象限内该函数图象无限接近于直线，因此将此函数图象向下平移1个单位长度可得，在轴右侧，函数图象无限接近于直线，不再经过第一象限，满足题意，因此的取值范围为． 故答案为： 【变式10-1】（2020·北京·高考真题）已知函数，则不等式的解集是（       ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 作出函数和的图象，观察图象可得结果. 【详解】 因为，所以等价于， 在同一直角坐标系中作出和的图象如图： 两函数图象的交点坐标为， 不等式的解为或. 所以不等式的解集为：. 故选：D. 【变式10-2】（多选）（25-26高一上·全国·单元测试）若实数，，满足，则下列不等关系可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】画出，，的图象，移动直线，数形结合确定，，大小的所有可能情况，即可得. 【详解】如图，在同一平面直角坐标系中作出，，的图象，再作直线， 变换m的值发现，，，的大小关系可能为，，，，，，，故A，B，C正确，D错误． 故选：ABC 题型十一 指数（型）函数的定义域问题 【例11】（24-25高一上·吉林长春·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，运算求解即可得函数的定义域. 【详解】令，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：D. 【变式11-1】（24-25高一上·河南·阶段练习）函数的定义域为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据被开方式大于等于0求解定义域，并结合指数函数单调性解不等式. 【详解】根据题意，函数， 则函数，即， 所以. 故选：C 【变式11-2】（23-24高一上·四川成都·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的单调性，结合分母不为零、交集思想进行求解即可. 【详解】函数的定义域满足，解得且． 则函数定义域为， 故选：D 题型十二 指数函数在区间的值域问题 【例12】（2025高一上·全国·专题练习）函数的定义域为，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据得，然后利用指数函数的单调性求得，即可求解值域. 【详解】因为，所以．即，则， 所以函数的值域为． 故选：B 【变式12-1】（24-25高一上·上海静安·阶段练习）函数的值域是 . 【答案】 【分析】根据指数函数的单调性即可求解. 【详解】易知指数函数在上单调递减， 所以，即该函数在上的值域为. 故答案为： 【变式12-2】（24-25高一上·全国·课前预习）求下列函数的定义域与值域 (1)； (2)． 【答案】(1)定义域为，值域为. (2)定义域为，值域为 【分析】（1）根据指数函数的性质和分母不为0进行求解即可. （2）根据指数函数的定义域和性质进行求解即可. 【详解】（1）由，得， 函数的定义域为． ， ．的值域为． （2）函数的定义域为． ． 故的值域为． 题型十三 根据指数型函数值域求参数 【例13】（2025·福建福州·模拟预测）若函数的定义域和值域的交集为空集，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合分段函数的性质先求出定义域，再结合指数函数的及二次函数的性质求出值域，即可求解. 【详解】由题意可得函数的定义域为， 当时，， 要使得定义域和值域的交集为空集，则， 又时，， 若，则，此时显然不满足题意， 若，则在上单调递减，， 故， 所以，解得. 故选：B. 【变式13-1】（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数可得：若，，由题意可知：若，的取值范围包含，结合一次函数性质列式求解即可. 【详解】若，则，可得， 若，则， 由题意可知：此时的取值范围包含， 则，解得， 所以实数a的取值范围是. 故选：C. 【变式13-2】（24-25高一下·广东·阶段练习）已知函数的值域为，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用指数函数的性质建立方程得到，再结合得到，最后再求解目标式的值即可. 【详解】因为，所以，则， 因为函数的值域为，所以， 此时，因为，所以，解得， 则，故C正确. 故选：C 题型十四 指数型函数单调性判断与单调区间 幂函数相关定义域问题 【例14】（24-25高一上·广东深圳·期末）函数的单调递增区间为 ． 【答案】（说明写成也给分） 【分析】应用复合函数单调性结合指数函数单调性求解. 【详解】因为单调递减，单调递减，单调递增， 所以函数的单调递增区间是. 故答案为：. 【变式14-1】（24-25高一上·北京大兴·期末）在区间上单调递增的函数可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据常见幂函数的单调性和指数函数的单调性逐项判断即可. 【详解】对于A，由幂函数在上单调递增，得函数在上单调递减，故A错误； 对于B，由幂函数的单调性，得函数在上单调递减，故B错误； 对于C，由二次函数的性质，得函数在上单调递减，故C错误； 对于D，因为指数函数在上单调递增，且指数函数在上单调递减，即函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，故D正确； 故选：D. 【变式14-2】（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）若函数满足，则的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知，代入函数，结合，推出，所以，对绝对值函数单调性进行分段讨论求解. 【详解】由, 所以. 当时，，此时，指数随着x的增大而增大，因此在上单调递增； 当时，，此时，指数随着x的增大而减小，因此在上单调递减. 所以函数在上单调递增，在上单调递减（包含，左侧递减，右侧递增）. 故选：A. 题型十五 求指数型函数的最值 【例15】（24-25高一上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知函数，， (1)解方程：； (2)设，求函数在区间上的最大值的表达式. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）所给的方程即，可得的值，从而求得的值； （2）令，则，分①当和②当两种情况，分别利用二次函数的性质，求得的解析式，综合可得结论； 【详解】（1）所给的方程即， 可得或（舍去），所以. （2）由于，， 令，则， ①当时，，则； ②当时，令， 若，则， 若，当，即时，， 当，即时，， 当，即时，， 综上，. 【变式15-1】（24-25高一上·上海·课后作业）已知，求函数的最大值与最小值. 【答案】最小值，最大值3. 【分析】首先换元，转化为关于的二次函数求最值. 【详解】， 令，因为，所以， 代入原函数后得， 所以当即时，取得最小值. 当即时，取得最大值3. 综上，当时，取得最小值，当时，取得最大值3. 【变式15-2】（23-24高一上·四川成都·阶段练习）已知指数函数 的图象经过点 . (1)求函数 的解析式并判断 的单调性； (2)函数 ， 求函数 在区间 上的最小值. 【答案】(1)；在R上单调递增； (2) 【分析】（1）将代入即可求解，则解析式和单调性可求； （2）利用换元法，结合指数函数以及二次函数的单调性即可求解. 【详解】（1）因为函数（且）的图象过点，则， 解得，因此，， 由于，结合指数函数的性质可知，是R上的单调递增函数； （2），令，因为，则， 令，， 关于对称， 当时，函数在上单调递增，此时，， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 此时，， 当时，函数在上单调递减，此时，， 综上：. 题型十六 根据指数型函数的最值求参数 【例16】（24-25高一上·重庆沙坪坝·期末）已知函数． (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)若在上的最大值为0，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用换元法结合同增异减可求参数的取值范围； （2）利用换元法结合二次函数的性质可求参数的值. 【详解】（1）令，则该函数为增函数， 因为在上单调递增，所以函数在上单调递增， 故，即. （2）令，则函数的最大值为0， ①当即时，，解得； ②当即时，，解得，舍去； 综上， 【变式16-1】（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若的最大值为2，求的值． 【答案】 【分析】设，由有最大值2，结合复合函数的单调性，知有最小值，则可将问题转化为二次函数的最值问题，求解即可． 【详解】设，则． ∵为减函数，又有最大值为2，∴有最小值． 因此，解得． 的值为. 【变式16-2】（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知函数（，且）． (1)若的图象过点和，求在上的值域； (2)若在区间上的最大值比最小值大，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将点和分别代入解析式，即可求得和的值，再根据指数函数的性质，即可求解； （2）分和讨论，结合指数型函数的单调性即可求解. 【详解】（1） 由题可知，， 解得，，所以． 因为，所以，所以在上的值域为． （2）当时，在区间上单调递减， 所以，， 因此，解得或（舍去）． 当时，在区间上单调递增， 所以，， 因此，解得或（舍去）． 所以或． 题型十七 比较指数幂的大小问题 【例17】（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）下列大小关系正确的是（） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】A，C项同底，构造指数函数；B项同指数，构造幂函数；项不同底不同指，借助中间值“1”判断． 【详解】A：函数在上单调递增，故，选项A错误； B：函数在上单调递增，故，选项B正确； C：函数在上单调递减，故，选项C错误； D：∵，∴，选项D正确． 故选：BD． 【变式17-1】（25-26高一上·全国·单元测试）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】由， 因为在上单调递减，且， 所以． 故选：C. 【变式17-2】（24-25高二下·福建福州·期末）已知，，，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用指数函数和的性质，即可求解. 【详解】因为是增函数，又，所以， 又是减函数，所以，则， 故选：C. 题型十八 解不等式问题 【例18】（23-24高二下·宁夏银川·阶段练习）已知函数，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据分段函数的单调性求参数、根据函数的单调性解不等式、由指数函数的单调性解不等式 【分析】结合指数函数的单调性可得函数的单调性，即可得与有关不等式，解出即可得. 【详解】由及在定义域内都为增函数，且， 故在上递增，又，所以，则. 故答案为：. 故选：D 【变式18-1】（25-26高一上·全国·课后作业）若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数的单调性解不等式即可得出结果． 【详解】因，则， 即，解得， 所以的取值范围为． 故选：B． 【变式18-2】（24-25高一下·浙江杭州·期中）不等式（其中为自然对数的底数）的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据题意，不等式等价于或，再解不等式组即可. 【详解】由题知或， 或， 解得或， 所以不等式的解集为. 故选：B. 题型十九 实际应用问题 【例19】（25-26高一上·全国·单元测试）某学校一个课外实验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据实验数据可知，在相同条件下，这种植物每天以的增长率生长，8天后，该植物的长度是原来的倍，则24天后该植物的长度是原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【分析】设植物原来长度为m，根据8天后，该植物的长度是原来的倍，求出，再结合指数幂的运算即可求得24天后该植物的长度是原来的多少倍． 【详解】方法1 设植物原来长度为m，8天后，该植物的长度是原来的倍， 故，即，即． 24天后该植物的长度是，即为原来的倍， 又， 所以24天后该植物的长度是原来的倍． 方法2  设植物原来长度为1，8天后，该植物的长度是， 24天后，该植物的长度是， 即24天后该植物的长度是原来的倍． 故选：C 【变式19-1】（24-25高一上·河南南阳·阶段练习）衣柜里的樟脑丸随着时间会挥发，使得体积缩小，刚放进的新丸体积为，经过天后，体积与天数的关系式为.已知新丸经过25天后，体积变为，则新丸经过75天，体积变为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题干中的指数函数模型得，进而将代入模型计算即可. 【详解】分别设和时的体积为，则，即. 又当时. 故选：C. 【变式19-2】（24-25高一上·辽宁朝阳·期末）著名数学家，物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．若当空气温度为时，某物体的温度从下降到用时分钟，则再经过分钟后，该物体的温度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可得出，，，将代入关系可得出，再将代入关系式，结合指数运算可求得结果. 【详解】由题知，，，所以，可得， 再经过分钟后，该物体的温度为， 即该物体的温度为． 故选：C． 题型二十 根据函数的单调性求参数 【例20】（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数，在R上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考虑的两段分段函数的单调性以及分段点处的函数值大小关系即可求解出a的范围． 【详解】因为单调递减，故对应的指数函数部分、二次函数部分都要单调递减， 对指数函数在单调递减，需， 对二次函数，开口向下、对称轴为，故二次函数在单调递减，满足要求， 此外还需满足分段点处的函数值满足，整理得，解得或， 结合，可得， 故选：B． 【变式20-1】（2025·山东济宁·二模）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】是由与复合而成，先分析外层函数单调性，再根据复合函数单调性确定内层函数单调性，进而求出的取值范围. 【详解】是由与复合而成， 在中，，，所以在上单调递减. 因为在上单调递减，且外层函数在上单调递减， 根据复合函数“同增异减”的原则，可知内层函数在上单调递增. 对于二次函数，其图象开口向上，对称轴为. 二次函数在对称轴右侧单调递增，要使在上单调递增， 则对称轴需满足，解得. 故选：A. 【变式20-2】（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，若对任意的，均有，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先判断出为减函数，利用函数的单调性，再列不等式组即可得出结果． 【详解】因为对任意的，均有，即，所以在上单调递减． 由单调递减得， 因为指数函数单调递增且恒大于零，则由单调递减可得，故， 解得，故的取值范围是． 故答案为：． 题型二十一 指数型函数相关奇偶性、单调性综合问题 【例21】（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】． 【分析】，可判断为奇函数，且单调递减，等价于，故得到，解不等式即可. 【详解】令， ， 又定义域为，为奇函数， 所以不等式等价于， 又为奇函数，且均单调递减，所以单调递减， ． 故答案为： ． 【变式21-1】（24-25高一上·四川泸州·期末）已知定义域为R的函数满足，当时，，则满足 的实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据偶函数概念得是定义域为的偶函数，再根据指数函数的单调性及偶函数性质将不等式转化为，即可求解. 【详解】因为函数满足，所以是定义域为的偶函数， 当时，，此时在上单调递减， 则在上单调递增， 所以，即，解得. 【变式21-2】（多选）（2026高三·全国·专题练习）已知定义域为R的是奇函数，则（   ） A． B．在R上单调递增 C．的值域为 D．的解集为 【答案】ACD 【详解】因为是定义域为R的奇函数，所以，即，解得，此时，，是奇函数，故，故A正确．因为，所以在R上单调递减，故B错误．因为，所以，所以，故C正确．因为在R上单调递减，所以，即，解得或，所以的解集为，故D正确．故选ACD． 题型二十二 指数型函数、不等式综合问题 【例22】（24-25高一下·江西抚州·阶段练习）已知函数为偶函数． (1)求的值； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由偶函数的性质可得出，求出的值，然后验证函数为偶函数即可； （2）利用基本不等式可求出函数的最大值，即可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】（1）因为函数的定义域为，且为偶函数． 则，即，解得，此时，， 则，即函数为偶函数，故. （2）因为， 当且仅当时，即当时，等号成立，故函数的最大值为， 因为恒成立，则，即， 解得或，即实数的取值范围是. 【变式22-1】（24-25高一上·安徽铜陵·期末）已知函数． (1)若对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围； (2)若关于x的方程有实根，求实数m的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）参变分离得到，由基本不等式得到，从而得到不等式，求出； （2）换元，得到有正根，分有两个正根，有一个正根一个负根和有一个正根一个零根三种情况，结合根的判别式和韦达定理得到不等式，求出答案. 【详解】（1）， 又，当且仅当，即时，等号成立， 则，解得； （2）由题，有实根， 令，则有正根， ①有两个正根，； ②有一个正根一个负根，； ③有一个正根一个零根，； 综上，. 【变式22-2】（24-25高一下·福建宁德·阶段练习）已知为偶函数，为奇函数，且． (1)的值； (2)令． ①用函数单调性的定义判断的单调性． ②若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)①判断过程见解析；② 【分析】（1）求出，，联立即可求解和，代值计算可得的值； （2）①将函数的解析式变形为，然后利用函数单调性的定义证明即可； ②先证明出函数为上的奇函数，求出，证明原题可转化为对任意的恒成立，令，根据单调性即可求出的取值范围. 【详解】（1）因为①，所以， 又因为为偶函数，为奇函数，所以②， 由①②得：，， 所以. （2）①， 对任意的，，则函数的定义域为， 、，且， 有， 因为在上单调递增，且，所以，即， 又因为，所以，所以是上的增函数； ②因为，， 又，故为上的奇函数，所以， 故对任意的恒成立， 又因为为上增函数，所以对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 令，则， 当且仅当时，即当时，等号成立，故， 故， 所以对任意的恒成立，即对任意的恒成立， 函数在上单调递增，故，所以，即. 因此，实数的取值范围是. 基础巩固通关测 1．（23-24高一上·广西玉林·阶段练习）函数与，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的单调性及纵截距即可判断结果. 【详解】对于A，C，由于函数是增函数，图象应该呈上升趋势，所以A，C错误； 对于D，因为，所以直线在轴上的截距大于1，故D错误； 故选：B 2.（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】由，列出方程，求出的值，再检验定义域是否关于原点对称即可. 【详解】由得：， 解得，. 当时，，定义域为关于原点对称， 故符合题意， 故选：B. 3.（25-26高三上·北京·阶段练习）已知函数，则（　　） A．是奇函数，且在上是增函数 B．是偶函数，且在上是增函数 C．是奇函数，且在上是减函数 D．是偶函数，且在上是减函数 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性的定义和指数函数的单调性的性质判断即可. 【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又，所以为奇函数， 又在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增. 故选：A. 4．（25-26高一上·全国·课堂例题）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件，结合指数函数、幂函数的单调性，即可求解． 【详解】，在上单调递增， ，故，所以， ，在上单调递增， ，故，即，所以． 故选：D 5．（24-25高一上·湖北·期末）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中、是正的常数.如果前消除了的污染物，那么前消除的污染物的占比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将代入关系式可得出，将代入关系式可得出，再将代入关系式，结合指数运算可求得结果. 【详解】当时，，当时，，即. 所以当时，， 即后，还剩的污染物，所以前消除的污染物的占比为. 故选：A. 6．（24-25高一上·安徽·期中）设，若函数在上的最小值是2，则其在上的最大值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【知识点】求二次函数的值域或最值、求已知指数型函数的最值 【分析】设，将此函数转化为一元二次函数的最值分析求解即可. 【详解】．设， 则．因为，所以， 当时，；当时，． 故选：A． 7．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，（且），若在上的最大值为，最小值为，且，则实数的值为（    ） A． B．2或 C． D．或 【答案】D 【分析】由的范围讨论单调性，确定最值即可求解． 【详解】当时，单调递增， 此时，所以，解得； 当时，单调递减，此时， 所以，解得． 所以实数的值为或． 故选：D. 8．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知，函数与的图象如图所示，则（    ） A． B．且 C．且 D． 【答案】B 【分析】分别对进行讨论分析，得到相应的函数图象，与已知图象进行对比，可得正确答案. 【详解】解：函数 因为已知图象连续，且不恒等于1，所以且 当时,,其图象大致为： 当时，,其图象大致为： 因为函数的图象在第一象限单调递增，所以. 当时，其图象大致为： 当时，其图象为： 当时，其图象大致为： 对照已知图象，可得：且 故选：B. 9．（多选）（24-25高一上·陕西西安·期末）已知函数，则（    ） A．的递增区间为 B．的递增区间为 C．有最大值4 D．有最小值4 【答案】AC 【分析】对于A、B选项，利用指数型复合函数的单调性判断即得；对于C、D选项，利用二次函数的值域和指数函数的单调性即可求得最值判断. 【详解】设，则在上单调递减，在上单调递增． 因为是上的减函数，由同增异减原则，可知的递增区间为，则A正确，B错误． 因为，所以，则C正确，D错误． 故选：AC 10．（多选）（25-26高一上·山西忻州·开学考试）已知函数，则正确的是（    ） A．的值域为 B．的解集为 C．的图象与的图象关于轴对称 D．函数是偶函数 【答案】AC 【分析】A项，根据的性质易求出函数的值域；B项，写出的表达式，根据的单调性，即可求出的解集；C项，求出的表达式，得出与的表达式相同，即可得出结论；D项，设，利用函数的奇偶性定义即可判断. 【详解】对于A，因，则，即值域为，A正确； 对于B，因，由得，即， ∵函数为减函数，∴，解得，故的解集为，B错误； 对于C，由， 可得， 由图知，的图象与的图象关于轴对称，C正确； 对于D，设，函数的定义域为，关于原点对称， 且，故为奇函数，故D错误. 故选：AC. 11.（24-25高一上·上海徐汇·期末）若函数的值域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据分段函数解析式，及指数函数、二次函数的性质求区间值域，结合函数值域求参数范围. 【详解】由在上值域为， 由在上单调递减，则值域为， 又原函数的值域为，所以，可得. 故答案为： 12．（24-25高一上·江苏泰州·期末）写出一个同时满足下列性质①②的函数 ．（若写多个，以第一个计分）①；②在上单调递减． 【答案】 【分析】根据指数函数的性质，得到函数的解析式. 【详解】指数函数满足，且，时，函数单调递减， 所以满足条件的一个函数. 故答案为：（答案不唯一） 能力提升进阶练 13．（24-25高一上·宁夏石嘴山·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. (1)用定义证明函数在区间上的单调性； (2)求函数在上的解析式. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据函数单调性的定义进行证明. （2）根据函数奇偶性的知识求得的解析式. 【详解】（1）设， ，由于， 所以， 所以在上单调递增. （2）依题意，函数是定义在上的奇函数， 当时，，所以 . 当时，， 所以. 14．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数. (1)求的值； (2)求. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）代入函数的解析式，结合指数幂的运算，即可求解； （2）根据（1）的结论，即可算出的值. 【详解】（1）由题意可得 . （2）设，即， 则， 由（1）可知， 则， 可得，即 所以. 15.（23-24高一上·河北保定·期中）已知函数. (1)求的最小值； (2)证明：当时， 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）直接利用均值不等式计算得到答案. （2）计算，确定，得到证明. 【详解】（1）， 当且仅当，即，即时，等号成立， 所以的最小值为. （2） ， ，故，即，，所以， 即. 16．（24-25高一下·广西贵港·期中）已知幂函数，且． (1)求的解析式； (2)若函数，且，a，b均为正数，求的最小值． 【答案】(1) (2)8． 【分析】（1）令前面括号内得1，求出后再验证即可； （2）根据题意求出的表达式后利用基本不等式的乘1法可得. 【详解】（1） 因为幂函数，所以，解得或． 当时，，满足， 当时，，不满足，所以． （2） 由（1）得．由，得． 因为， 所以． 又a，b均为正数，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以，即的最小值为8． 17．（24-25高一上·湖南怀化·期中）已知函数 (1)当时，求的值域 (2)求单调区间 (3)若的最大值为9，求实数a的值 【答案】(1) (2)单调递增区间是，单调递减区间是 (3)2 【分析】（1）先求出内层函数的值域，再求外层函数的值域； （2）利用复合函数单调性的结论同增异减求解； （3）根据第二问的结论求解. 【详解】（1）令，原函数化为，当时，， 所以，故的值域为. （2）在上单调递减，在上单调递增， 又因为在上单调递减， 所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是. （3）由（2）可知，函数在处取最大值， 所以，所以，所以. 18．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数， (1)求的值； (2)画出函数的图象，根据图象写出函数的单调区间； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)减区间为，增区间为，作图见解析 (3) 【分析】（1）根据分段函数代入求值. （2）直接作出函数的图象并写出单调区间. （3）对分段讨论，代入相应的解析式求解不等式. 【详解】（1）由函数， 可得. （2）， 所以的图象如下图所示： 由图可知，的减区间为，增区间为； （3）由函数， 得；. 故满足的的取值范围是. 19．（24-25高一上·河北秦皇岛·期末）已知指数函数在区间上的最大值与最小值的差为2. (1)求实数的值； (2)求不等式的解集. 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）根据和两种情况讨论，求出函数在区间上的最值，即可得解； （2）根据指数函数的单调性解不等式即可. 【详解】（1）①当时，函数单调递减， 有，， 由题意有，整理为，方程无解， ②当时，函数单调递增， 有，， 由题意有，整理为，解得（舍去）或， 综上，实数的值为4； （2）由（1）知，有， 不等式可化为， 由指数函数的单调性可知，，可得. 有或， 故不等式的解集为. 20．（23-24高一上·广东茂名·期末）已知是定义在上的奇函数. (1)求的解析式； (2)已知，若对于任意，存在，使得成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据奇函数的性质，计算出，，然后在代回原函数中检验即可； （2）不等式成立等价于，两个函数的最大值均由函数单调性法求出. 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以有，即， 又，化简得：，， 而此时， ， （2）令， ∵且单调递减，∴在上单调递减， 又∵在上单调递减， 在上单调递减且的最大值是， 又令，对于任意，存在， 使得，等价于成立，即成立， ，则在上单调递减， ，故，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$