第3章 §2 指数幂的运算性质（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦实数指数幂的运算性质这一核心知识点，系统梳理从定义运算性质（同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方）到应用性质求值、化简，再到整体代换法解决分数指数幂问题的递进学习支架。 资料通过例题解析与反思感悟结合，引导学生掌握转化法和整体代换等解题方法，培养运算能力与推理意识。跟踪训练与课时对点练分层设计，助力学生提升抽象能力和应用意识，课中辅助教师高效授课，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺。

学习目标　1.理解实数指数幂的运算性质.2.掌握用指数幂的运算性质化简、求值与证明. 导语 通过本节内容的学习，大家要熟练掌握指数幂的运算及运算性质，并且利用指数幂的运算性质解决一些常见问题. 一、利用指数幂的运算性质求值 指数幂的运算性质 对于任意正数a，b和实数α，β，实数指数幂均满足下面的运算性质： (1)aα·aβ＝aα＋β. (2)(aα)β＝aαβ. (3)(ab)α＝aαbα. 特别地，＝aα－β，. 注意点： 注意公式适用的范围. 例1　(课本例1)计算： (1)(2－3×()－2； (2)×()3； (3). 解　(1)(2－3×()－2＝× ＝2－1×2－1＝2－1－1＝2－2＝. (2)×()3＝(23×23 ＝2－2×23＝2－2＋3＝2. (3)＝(3－2＋(22 ＝3－1＋2－1－1＝－1＝－. 例1　计算下列各式的值： (1)(0.027； (2)； (3)＋(＋1)0(a>0). 解　(1)(0.027 ＝[(0.3)3 ＝0.09＋＝0.09. (2)原式＝(·＝(＝2. (3)原式＝＋1＝1＋1＝2. 反思感悟　一般地，进行指数幂运算时，可将系数、同类字母归在一起，分别计算；化负指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的. 跟踪训练1　计算下列各式的值： (1)＋2－2×－0.010.5； (2)＋0.1－2＋－3π0＋； (3)××(0.25×. 解　(1)原式＝1＋× ＝1＋ ＝. (2)原式＝＋102＋－3＋ ＝＋100＋－3＋＝100. (3)原式＝××× ＝××× ＝9. 二、利用指数幂的运算性质化简 例2　(课本例3)化简(式中的字母均为正实数)： (1)a·a－2·； (2)()－1·(a－2； (3)(y)α·(4y－α). 解　(1)a·a－2·. (2)()－1·(a－2·. (3)(y)α·(4y－α)＝(yα)·(4y－α)＝(xyα)·(4y－α)＝4xyα－α＝4x. 例2　已知a>0，b>0，化简： (1)； (2). 解　(1)原式＝ ＝ ＝a－1＝. (2) ＝2×(－6)×(－3) ＝36a. 反思感悟　指数幂运算解题的通用方法 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算. (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数. (3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假分数. (4)若是根式，应化为分数指数幂，并尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答. (5)运算结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数幂，形式力求统一. 跟踪训练2　已知a>0，b>0，化简： (1)(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)； (2)2·÷. 解　(1)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c) ＝－·a－3－(－4)·b－2－(－2)c－1＝－ac－1＝－. (2)原式＝[2×(－3)÷(－6)]·＝a2b. 三、整体代换法求分数指数幂 例3　(课本例4)已知10α＝3，10β＝4，求10α＋β，10α－β，10－2α，1的值. 解　10α＋β＝10α×10β＝3×4＝12； 10α－β＝10α×10－β＝； 10－2α＝(10α)－2＝3－2＝； 1＝(10β. 例3　(1)若10x＝3，10y＝4，则103x－2y等于(　　) A.－1 B.1 C. D. 答案　C 解析　103x－2y＝. (2)已知x＋x－1＝7(x>0)，求值： ①；②x2－x－2. 解　①设m＝，两边平方得m2＝x＋x－1＋2＝7＋2＝9， 因为m>0，所以m＝3， 即＝3. ②设n＝， 两边平方得n2＝x＋x－1－2＝7－2＝5， 因为n∈R， 所以n＝±， 即＝±. 所以x－x－1＝()()＝±3， x2－x－2＝(x＋x－1)(x－x－1)＝±21. 反思感悟　利用整体代换法求分数指数幂 (1)整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键. (2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式. x2＋x－2＝(x±x－1)2∓2，x＋x－1＝(±)2∓2. 跟踪训练3　已知＋b＝1，求的值. 解　 ＝， ∵＋b＝1，∴＝3. 1.知识清单： (1)指数幂的运算性质. (2)整体代换法求分数指数幂. 2.方法归纳：转化法，整体代换. 3.常见误区：在运用分数指数幂的运算性质化简时，其结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共18分 1.化简(a>0，b>0)的结果是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　原式＝ ＝. 2.计算(n∈N＋)的结果为(　　) A. B.22n＋5 C. D. 答案　D 解析　原式＝ ＝27－2n＝. 3.(多选)下列各式中一定成立的有(　　) A.＝n7(m>0，n>0) B. C.(x>0，y>0) D. 答案　BD 解析　＝n7m－7，故A错误；，故B正确；，故C错误；，故D正确. 4.若x>0，则(2)·(2)－4(x－)等于(　　) A.－23 B.23 C.－23 D.－23 答案　A 解析　原式＝(2)2－()2－4·x＋4· ＝4－27－4＋4 ＝－23. 5.若100a＝5，10b＝2，则2a＋b等于(　　) A.50 B.12 C.20 D.1 答案　D 解析　∵100a＝5， ∴102a＝5， ∴＝102a·10b＝5×2＝10， ∴2a＋b＝1. 6.已知2a＝5b＝m，且＝2，则m等于(　　) A. B.10 C.20 D.100 答案　A 解析　由题意得m>0， ∵2a＝m，5b＝m， ∴2＝，5＝， ∵2×5＝·， ∴m2＝10，∴m＝. 7.(5分)化简：()2 025×()2 025＝　　　　.  答案　1 解析　原式＝[()×()]2 025 ＝(3－2)2 025＝12 025＝1. 8.(5分)如果a＝3，b＝384，那么a＝　　　　.  答案　3×2n－3 解析　a＝3 ＝3[(128]n－3＝3×2n－3. 9.(10分)计算： (1)7－3－6；(5分) (2)2＋1.(5分) 解　(1)原式 ＝7×－3××2－6×＋(3× ＝－6× ＝2×－2×3× ＝2×－2×＝0. (2)原式＝(33＋(42－(2－1)－2－ ＝9＋4－1－4－ ＝9＋－4－＝3. 10.(10分)已知x＝，y＝，求的值. 解　 ＝. 将x＝，y＝代入上式得， 原式＝ ＝－24＝－8. 11.(多选)已知＝5(x>0)，那么的值可以为(　　) A.－ B.－3 C. D.3 答案　AC 解析　()2＝－2＝5－2＝3. 故＝±. 12.(多选)设m，n是方程2x2＋3x－1＝0的两根，则下面各式的值等于8的有(　　) A.m2＋n2 B. C.64mn D. 答案　BD 解析　因为m，n是方程2x2＋3x－1＝0的两根，所以由根与系数的关系可得m＋n＝－，mn＝－，所以m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝；＝8；64mn＝6；＝8. 13.(5分)已知3a＋2b＋1＝0，则8a·4b＝　　　　　，＝　　　　　.  答案　　 解析　8a·4b＝23a·22b＝23a＋2b＝2－1＝. 由题意得a＋b＝－， 所以××. 14.(5分)已知2x＝，9y＝，则x＋y＝　　　　.  答案　1 解析　由2x＝＝得2x＝y＋2， 又由9y＝32y＝得2y＝x－1， ∴x＋y＝1. 15.(5分)已知＝2－2，＝28(a>0，且a≠1)，则的值为　　　　.  答案　4 解析　因为 ①×②得a3m＝26， 所以am＝22. 将am＝22代入②，得22×a－n＝28， 所以an＝2－6， 所以a4m＋n＝a4m·an＝(am)4·an ＝(22)4×2－6＝22＝4. 16.(12分)已知2a·3b＝2c·3d＝6，求证：(a－1)(d－1)＝(b－1)(c－1). 证明　因为2a·3b＝2c·3d＝6， 故2a－1·3b－1＝1，2c－1·3d－1＝1， 所以2a－1＝31－b，2c－1＝31－d， 所以2(a－1)(1－d)＝3(1－b)(1－d)， 2(c－1)(1－b)＝3(1－b)(1－d)， 故2(a－1)(1－d)＝2(c－1)(1－b)， 故(a－1)(1－d)＝(c－1)(1－b)， 故(a－1)(d－1)＝(b－1)(c－1). 学科网（北京）股份有限公司 $