第1章 3.1 不等式的性质（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦不等式的性质这一核心知识点，先通过作差法比较实数（代数式）大小奠定基础，再系统梳理不等式的传递性、可加性等性质，最后延伸至证明不等式及求代数式取值范围，构建“比较大小—性质理解—应用拓展”的学习支架。 该资料以芭蕾舞演员身段比例为导语，引导学生用数学眼光观察现实不等关系，通过作差法变形（如配方、因式分解）培养逻辑推理的数学思维，例题与跟踪训练结合，课中助教师高效授课，课后助学生巩固知识，提升用数学语言解决问题的应用意识。

3.1　不等式的性质 学习目标　1.初步学会作差法比较两实数(代数式)的大小.2.掌握不等式的性质，并能运用这些性质解决有关问题. 导语 一般成年人，下半身长x与全身长y的比值在0.57~0.6之间.芭蕾舞演员在表演时，脚尖立起给人以美的享受，原来，脚尖立起调整了身段的比例.如果设人的脚尖立起提高了m，则下半身长x与全身长y的比由变成了，这个比值非常接近黄金分割值0.618，其中的数学关系是0.58≈<≈0.618，怎样判定“<”的关系成立？ 一、比较大小 问题1　在初中，我们知道数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系，具体是如何规定的呢？ 提示　设a，b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A，B.那么，当点A在点B的左边时，a<b；当点A在点B的右边时，a>b，如图所示. 知识梳理 1.不等关系与不等式 (1)在生活中，存在着形形色色的数量关系，既有相等关系，又有不等关系.在数学中，用不等式来表示不等关系. (2)我们经常应用不等式来研究含有不等关系的问题.常用的不等号有 大于 小于 大于等于 小于等于 至多 至少 不少于 不多于 > < ≥ ≤ ≤ ≥ ≥ ≤ 2.作差法比较两实数(代数式)的大小 基本事实 a>b⇔a－b>0； a＝b⇔a－b＝0； a<b⇔a－b<0 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小 注意点： (1)比较两实数(代数式)的大小常用作差法，作差后需对差式进行恒等变形，常采用配方、因式分解、有理化、通分等方法，直到能明显判断出其正负号(通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积或商的形式)为止. (2)对于两个正值，也可采用作商的方法，比较商与1的大小. 例1　(课本例1)试比较(x＋1)(x＋5)与(x＋3)2的大小. 解　因为(x＋1)(x＋5)－(x＋3)2 ＝(x2＋6x＋5)－(x2＋6x＋9) ＝－4<0， 所以(x＋1)(x＋5)<(x＋3)2. 例1　(1)比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小. 解　(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2) ＝x2＋x＋1＝. ∵≥0，∴≥>0， ∴(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)>0， ∴2x2＋5x＋3>x2＋4x＋2. (2)已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小. 解　3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1) ＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1). 由x≤1得x－1≤0， 而3x2＋1>0， ∴(3x2＋1)(x－1)≤0， ∴3x3≤3x2－x＋1. 延伸探究1　把本例(2)中“x≤1”改为“x∈R”，再比较3x3与3x2－x＋1的大小. 解　3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1) ＝(3x2＋1)(x－1). ∵3x2＋1>0， 当x>1时，x－1>0，∴3x3>3x2－x＋1； 当x＝1时，x－1＝0，∴3x3＝3x2－x＋1； 当x<1时，x－1<0，∴3x3<3x2－x＋1. 反思感悟　作差法比较两个实数(代数式)大小的基本步骤 跟踪训练1　(1)比较(x＋3)(x＋7)和(x＋4)(x＋6)的大小. 解　因为(x＋3)(x＋7)－(x＋4)(x＋6) ＝(x2＋10x＋21)－(x2＋10x＋24)＝－3<0， 所以(x＋3)(x＋7)<(x＋4)(x＋6). (2)已知a>0，b>0，比较a3＋b3与ab2＋a2b的大小. 解　因为a3＋b3－(ab2＋a2b)＝a3＋b3－ab2－a2b＝a3－ab2＋b3－a2b＝a(a2－b2)＋b(b2－a2) ＝(a2－b2)(a－b)＝(a＋b)(a－b)2， 因为a>0，b>0， 所以(a＋b)(a－b)2≥0， 所以a3＋b3－(ab2＋a2b)≥0， 所以a3＋b3≥ab2＋a2b. 二、不等式的性质 问题2　判断下列命题是否正确？ (1)如果a＝b，那么b＝a； (2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c； (3)如果a＝b，那么a±c＝b±c； (4)如果a＝b，那么ac＝bc； (5)如果a＝b，c≠0，那么. 提示　以上均正确，这些都是等式的基本性质. 知识梳理　不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 传递性 如果a>b，且b>c，那么a>c 不可逆 2 可加性 如果a>b，那么a＋c>b＋c 可逆 3 可乘性 (1)如果a>b，c>0，那么ac>bc； (2)如果a>b，c<0，那么ac<bc c的符号 4 同向可加性 如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d 同向 5 可乘性 (1)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd； (2)如果a>b>0，c<d<0，那么ac<bd. 特殊地，当a>b>0时，an>bn，其中n∈N＋，n≥2 是否变号 6 可开方性 当a>b>0时，>，其中n∈N＋，n≥2 同正 注意点： (1)在应用性质3时，应特别注意c的符号，当c≠0时，a>b⇒ac2>bc2，若没有c≠0这个条件，则a>b⇒ac2>bc2是错误的. (2)在使用不等式的性质时，一定要弄清不等式成立的条件，如性质4中只有同向不等式相加，而没有不等式相减.若判断不等式相减可转化为加上负的. (3)不等式性质的常用结论：若a与b同号，即当ab>0时，a>b⇔<. 例2　对于实数a，b，c，下列命题中为真命题的是(　　) A.若a>b，则ac2>bc2 B.若a>b>0，则> C.若a<b<0，则> D.若a>b，>，则a>0，b<0 答案　D 解析　方法一　∵c2≥0，∴当c＝0时，有ac2＝bc2，故A为假命题； 由a>b>0，有ab>0⇒>⇒>，故B为假命题； ⇒ >，故C为假命题； ⇒ab<0. ∵a>b，∴a>0且b<0，故D为真命题. 方法二　(特殊值排除法) 取c＝0，则ac2＝bc2，故A是假命题； 取a＝2，b＝1，则，＝1.有<，故B是假命题； 取a＝－2，b＝－1，则，＝2，有<，故C是假命题. 反思感悟　利用不等式的性质判断命题真假的方法 (1)综合法：运用不等式的性质判断或证明，特别要注意不等式成立的条件. (2)特殊值法：解有关不等式的选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算. (3)作差法：将结论移项作差后，判断符号. 跟踪训练2　(多选)已知实数a，b，c，d满足a>b>c>d，则下列选项中不正确的是(　　) A.a＋d>b＋c B.a＋c>b＋d C.ad>bc D.ac>bd 答案　ACD 解析　不妨设a＝2，b＝1，c＝0，d＝－1， 此时a＋d＝b＋c＝1，故A错误； ad＝－2<bc＝0，故C错误； 设a＝－3，b＝－4，c＝－5，d＝－6， 则ac＝15<bd＝24，故D错误； 因为a>b，c>d，根据不等式的基本性质 同向可加性得a＋c>b＋d，故B正确. 三、不等式性质的应用 角度1　证明不等式 例3　(课本例3)(1)已知a>b，ab>0，求证：<； (2)已知a>b，c<d，求证：a－c>b－d. 证明　(1)因为ab>0，所以>0. 又因为a>b，所以由不等式的性质3，得 a·>b·，即<. (2)因为c<d，所以－c>－d. 又因为a>b，所以由不等式的性质4，得 a＋(－c)>b＋(－d)，即a－c>b－d. 例3　已知c>a>b>0，求证：>. 证明　方法一　因为c>a>b>0， 所以0<c－a<c－b， 所以(c－a)(c－b)>0， 所以0<·(c－a)<·(c－b)， 即0<<，即>>0， 又因为a>b>0，所以>. 方法二　因为a>b>0，所以<， 因为c>0，所以<， 所以－1<－1，即<， 因为c>a>b>0，所以c－a>0，c－b>0. 所以>. 方法三　 ＝， 因为c>a>b>0， 所以a－b>0，c－a>0，c－b>0， 所以>. 延伸探究2　在本例条件不变的情况下，求证：>. 证明　方法一　因为c>a>b>0，所以0<c－a<c－b， 所以0<(c－a)2<(c－b)2， 所以(c－a)2(c－b)2>0， 所以·(c－a)2<·(c－b)2， 即0<<， 所以>>0， 又因为a>b>0，所以>. 方法二　 ＝ ＝ ＝， 因为c>a>b>0， 所以a－b>0，c2>ab，c－a>0，c－b>0， 所以(a－b)(c2－ab)>0， 所以>0， 所以>0， 因此>. 反思感悟　(1)利用不等式的性质对不等式的证明其实质就是利用性质对不等式进行变形，变形要等价，同时要注意性质适用的前提条件. (2)用作差法证明不等式和用作差法比较大小的方法原理一样，变形后判断符号时要注意充分利用题目中的条件. 角度2　求代数式的取值范围 例4　已知－6<a<8，2<b<3，求2a＋b，a－b及的取值范围. 解　因为－6<a<8，2<b<3， 所以－12<2a<16， 所以－10<2a＋b<19. 又因为－3<－b<－2， 所以－9<a－b<6. 又<<， ①当0≤a<8时，0≤<4； ②当－6<a<0时，0<－a<6， 所以0<－<3，所以－3<<0. 由①②得－3<<4. 延伸探究3　若将条件改为“1≤a＋b≤4，－1≤a－b≤2”，则3a＋2b的取值范围是　　　　　　　　.  答案　2≤3a＋2b≤11 解析　设3a＋2b＝x(a＋b)＋y(a－b)＝(x＋y)a＋(x－y)b， 则解得 所以3a＋2b＝(a＋b)＋(a－b)， 因为1≤a＋b≤4，－1≤a－b≤2， 所以≤(a＋b)≤10，－≤(a－b)≤1， 因此，2≤3a＋2b≤11. 反思感悟　利用不等式的性质求取值范围的策略 (1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用不等式的性质进行运算，求得待求的范围. (2)同向不等式的两边可以相加，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围. 1.知识清单： (1)比较大小. (2)不等式的性质. (3)不等式性质的应用. 2.方法归纳：作差法、配方法、赋值法. 3.常见误区：注意不等式性质的单向性或双向性，即每条性质是否具有可逆性. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分 1.如果a<0，b>0，那么下列不等式中正确的是(　　) A.< B.< C.a2<b2 D.|a|>|b| 答案　A 解析　∵a<0，b>0，∴<0，>0，∴<. 2.设P＝2a(a－2)＋3，Q＝(a－1)(a－3)，a∈R，则有(　　) A.P≥Q B.P>Q C.P<Q D.P≤Q 答案　A 解析　∵P－Q＝2a(a－2)＋3－(a－1)(a－3)＝a2≥0，∴P≥Q. 3.若a>b>0，c<d<0，则一定有(　　) A.> B.< C.> D.< 答案　B 解析　因为c<d<0，所以－c>－d>0， 即>>0. 又a>b>0，所以>， 从而有<. 4.(多选)下列命题为真命题的是(　　) A.若>，则a>b B.若b>a>0，m<0，则> C.若a>b，c<d，则a－c>b－d D.若a2>b2，ab>0，则< 答案　AC 解析　因为>，且c2>0，不等式两边同乘以c2得a>b，A正确；，由于b>a>0，m<0，而b＋m可能大于0，也可能小于0，B错误；由c<d，则－c>－d，又a>b，故由不等式的基本性质得a－c>b－d，C正确；当a＝－2，b＝－1时，满足a2>b2，ab>0，但>，D错误. 5.19世纪戴德金利用他提出的分割理论，从对有理数集的分割精确地给出了实数的定义，并且该定义作为现代数学实数理论的基础之一可以推出实数理论中的六大基本定理，那么在证明有理数的不完备性时，经常会用到以下两个式子，已知正有理数p，满足p2<2，q＝p－，则p与q的大小关系为(　　) A.p<q B.p>q C.p＝q D.无法判断 答案　A 解析　因为p－q＝p－p＋， 而p2<2，p>0， 所以p2－2<0，p＋2>0， 所以<0，即p<q. 6.若8<x<10，2<y<4，则的取值范围为(　　) A.16<<40 B.2<<5 C.4<<5 D.2<<2.5 答案　B 解析　∵2<y<4，∴<<. 又∵8<x<10，∴2<<5. 7.(5分)已知a，b为实数，且a≠b，a<0，则a　　　2b－.(填“>”“<”或“＝”)  答案　< 解析　∵a≠b，a<0， ∴a－<0， ∴a<2b－. 8.(5分)设a，b≠0，使命题“若a>b，则<”为假命题的一组a，b的值依次为　　　　.  答案　1，－1(答案不唯一) 解析　使命题“若a>b，则<”为假命题，则a>0，b<0即可，故可令a＝1，b＝－1. 9.(10分)判断下列各命题的真假，并说明理由. (1)若a<b，c<0，则<；(2分) (2)若<，则a>b；(2分) (3)若a>b，且k∈N＋，则ak>bk；(3分) (4)若a>b>c，则a－b>b－c.(3分) 解　(1)假命题.当a＝－1，b＝1，c＝－2时，＝2，＝－2，>，∴是假命题. (2)假命题.当c>0时，>0，则a<b， ∴是假命题. (3)假命题.当a＝1，b＝－2，k＝2时，显然命题不成立，∴是假命题. (4)假命题.当a＝2，b＝0，c＝－3时，满足a>b>c这个条件，但是a－b＝2<b－c＝3，∴是假命题. 10.(11分)(1)比较a2＋b2与2(2a－b)－5的大小；(5分) (2)已知a>0，b>0，求证：(a2＋b2)2≥4a2b2，当且仅当a＝b时等号成立.(6分) (1)解　∵a2＋b2－[2(2a－b)－5]＝(a－2)2＋(b＋1)2≥0， ∴a2＋b2≥2(2a－b)－5， 当且仅当a＝2，b＝－1时，等号成立. (2)证明　(a2＋b2)2－4a2b2＝a4＋b4＋2a2b2－4a2b2＝a4＋b4－2a2b2＝(a2－b2)2≥0，当且仅当a2＝b2时取等号. 又∵a>0，b>0， ∴当且仅当a＝b时取等号， 即(a2＋b2)2≥4a2b2，当且仅当a＝b时等号成立. 11.设c>1，且x＝，y＝，则x，y的大小关系为(　　) A.x>y B.x＝y C.x<y D.x，y的大小关系与c的值有关 答案　C 解析　x＝， y＝， ∵>，∴x<y. 12.已知x>y>z，x＋y＋z＝0，则下列不等式中一定成立的是(　　) A.xy>yz B.xz>yz C.xy>xz D.x|y|>z|y| 答案　C 解析　因为x>y>z，x＋y＋z＝0， 所以3x>x＋y＋z＝0，3z<x＋y＋z＝0， 所以x>0，z<0.所以由可得xy>xz，故C一定成立； 当y＝0时，xy＝yz，x|y|＝z|y|，故A，D不一定成立； 当x>0>y，z<0时，xz<yz，故B不一定成立. 13.(多选)已知－5≤a－b≤4，2≤2a＋b≤8，则(　　) A.－1≤a≤4 B.0≤b≤4 C.－28≤2a－5b≤14 D.ab的最大值为24 答案　AC 解析　由题意可得－3≤3a≤12，即－1≤a≤4，故A正确； 由－5≤a－b≤4，可得－8≤2b－2a≤10，又2≤2a＋b≤8，则－6≤3b≤18，即－2≤b≤6，故B错误； 设2a－5b＝x(a－b)＋y(2a＋b)，则解得 因为－20≤4(a－b)≤16，－8≤－(2a＋b)≤－2，所以－28≤2a－5b≤14，故C正确； 由－1≤a≤4，以及－2≤b≤6，若ab的最大值为24，则a＝4，b＝6，此时2a＋b＝14>8，故D错误. 14.(5分)实数a，b，c，d满足下列三个条件：①d>c；②a＋b＝c＋d；③a＋d<b＋c，则a，b，c，d按照从小到大的次序排列为　　　　　　　　　.  答案　a<c<d<b 解析　因为a＋b＝c＋d，所以a＝c＋d－b， 因为a＋d<b＋c，所以c＋d－b＋d<b＋c，即2d<2b，于是有d<b，所以c<d<b， 因为a＋b＝c＋d，b>d，所以a<c， 所以a<c<d<b. 15.古希腊时期，人们把宽与长之比为的矩形称为黄金矩形，把这个比值称为黄金分割比例.如图为希腊的一古建筑.其中部分廊、檐、顶的连接点为图中所示相关对应点，图中的矩形ABCD，EBCF，FGHC，FGJI，LGJK，MNJK均近似为黄金矩形.若A与D间的距离大于18.7 m，C与F间的距离小于12 m.则该古建筑中A与B间的距离可能是(参考数据：≈0.618，0.6182≈0.38)(　　) A.29 m B.29.8 m C.30.8 m D.32.8 m 答案　C 解析　如图所示，由黄金矩形的定义可知≈0.618，·≈0.6182≈0.38， 所以AB≈>≈30.26 m，AB≈<≈31.58 m，即AB∈，对照各选项，只有C符合. 16.(12分)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c满足以下条件： (1)该函数图象过原点； (2)当x＝－1时，y的取值范围为大于等于1且小于等于2； (3)当x＝1时，y的取值范围为大于等于3且小于等于4， 求当x＝－2时，y的取值范围. 解　∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过原点， ∴c＝0，∴y＝ax2＋bx. 又∵当x＝－1时，1≤a－b≤2. ① 当x＝1时，3≤a＋b≤4， ② 当x＝－2时，y＝4a－2b. 设存在实数m，n， 使得4a－2b＝m(a＋b)＋n(a－b)， 即4a－2b＝(m＋n)a＋(m－n)b， ∴解得 ∴4a－2b＝(a＋b)＋3(a－b). 由①②可知3≤a＋b≤4，3≤3(a－b)≤6， ∴3＋3≤4a－2b≤4＋6. 即6≤4a－2b≤10， 故当x＝－2时，y的取值范围是大于等于6且小于等于10. 学科网（北京）股份有限公司 $