第3章 §1 指数幂的拓展（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦分数指数幂的含义、根式与分数指数幂的互化及无理数指数幂等核心知识点，从整数指数幂的局限性切入，通过薇甘菊侵害面积的实际问题引出非整数指数需求，逐步构建正负数指数幂定义、互化方法到实数指数幂的学习支架。 该资料以实际情境（薇甘菊侵害面积）培养数学眼光，通过问题驱动（如被开方数指数与根指数关系）和例题训练发展数学思维（推理与运算），互化练习提升数学语言表达。课中助力教师引导学生深化理解，课后通过课时对点练帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

学习目标　1.理解分数指数幂的含义，学会根式与分数指数幂之间的相互转化.2.了解无理数指数幂和实数指数幂的含义. 导语 薇甘菊是热带、亚热带地区危害最严重的杂草之一.经测算，薇甘菊的侵害面积S(单位：hm2)与年数t满足关系式S＝S0·1.057t，其中S0(单位：hm2)为侵害面积的初始值.当t是半年或6年零3个月时，即指数不为整数时，薇甘菊的侵害面积如何计算呢？让我们共同探讨指数幂拓展后的意义吧！ 一、分数指数幂 问题1　被开方数的指数不能被根指数整除的根式，比如，，，，a>0，是否也可以表示为分数指数幂的形式？如何表示？ 提示　，，，. 知识梳理 1.正分数指数幂 给定正数a和正整数m，n(n>1，且m，n互素)，若存在唯一的正数b，使得bn＝am，则称b为a的次幂，记作b＝.这就是正分数指数幂.有时，也把写成的形式. 2.负分数指数幂 给定正数a和正整数m，n(n>1，且m，n互素)，定义，这就是负分数指数幂. 注意点： 在分数指数幂的概念中，要注意以下四点： (1)a，b均为正数. (2)m，n∈N＋且m，n互素. (3)bn＝am⇔b＝⇔a＝. (4). 例1　(1)(课本例1)把下列各式中的正数b写成正分数指数幂的形式： ①b5＝20；　②b4＝25； ③bn＝3m(m，n∈N＋)； ④b3n＝π9m(m，n∈N＋). 解　①b＝2.　②b＝. ③b＝.　④b＝. (2)(课本例2)计算： ①；　②2；　③. 解　①设b＝，由定义，得b2＝43＝64，b＝8(b>0)，所以＝8. ②由负分数指数幂的定义，得2. 设b＝2，由定义，得b3＝27，b＝3，所以2. ③由负分数指数幂的定义，得. 设b＝，由定义，得b2＝，即b＝(b>0)， 所以＝64. 例1　(1)把下列各式中的正数b写成分数指数幂的形式. ①b3＝32；②b2＝；③b－3＝34；④b－3m＝24n(m，n∈N＋). 解　①b3＝32＝25，∴b＝. ②b2＝，∴b＝. ③b－3＝34，∴b＝. ④b－3m＝24n，∴b＝. (2)计算： ①6；②；③；④1. 解　①令b＝6，∴b2＝64，∴b＝8(b>0)， ∴6＝8. ②令b＝，∴b3＝，∴b＝， ∴. ③，令b＝， ∴b3＝， ∴b＝， ∴＝9. ④1，令b＝1， ∴b2＝163＝(42)3＝(43)2， ∴b＝43＝64(b>0)，∴1. 反思感悟　(1)化为分数指数幂的形式时，常采用下面方法： (2)分数指数幂的运算，一般用待定系数法，把分数指数幂转化为整数指数幂，利用整数指数幂的运算性质求解分数指数幂. 跟踪训练1　(1)把下列各式中的a(a>0)写成分数指数幂的形式. ①a5＝54；②a3＝(－5)8；③a－3＝104m(m∈N＋). 解　①a＝. ②a3＝(－5)8＝58，∴a＝. ③a＝1. (2)计算：①0.12；②. 解　①0.12， 设b＝0.12，∴b3＝0.125＝， ∴b＝，∴0.12＝2. ②，设b＝， ∴b2＝，∴b＝，∴. 二、根式分数指数幂的计算 例2　(1)用分数指数幂表示下列各式(a>0)： ①；②；③. 解　①原式＝. ②原式＝b2. ③令b＝＝(a， ∴b2＝a，∴， ∴＝a，即＝a， ∴b4＝a3，∴b＝， 即原式＝. (2)将下列分数指数幂化为根式： ①(a>0)；②(m，n∈N＋)；③·(x>0，y>0). 解　①. ②. ③. 反思感悟　(1)根式与分数指数幂互化的规律： ①根指数分数指数幂的分母. ②被开方数(式)的指数分数指数幂的分子. (2)分数指数幂与根式是同一个数的两种不同书写形式. (3)掌握两个公式：①()n＝a(n∈N＋，且n>1)；②n为奇数，＝a； n为偶数，＝|a|＝ 跟踪训练2　(1)用分数指数幂表示下列各式(a>0，b>0)：①；②a3·. 解　①原式＝. ②令b＝a3，∴， ∴＝a，即＝a，∴b2＝a7. ∴b＝，即a3·. (2)已知a＝，b＝1，c＝12，试比较a，b，c的大小. 解　∵a＝， b＝1， c＝12， 而121<123<125， ∴>>， ∴a>c>b. 三、无理数指数幂 问题2　阅读课本77页的分析理解，你发现了什么？ 提示　可以发现，当指数x的取值范围从整数拓展到了无理数时，它是一个确定的实数，在数轴上有唯一的一个点与它对应. 知识梳理 无理数指数幂的定义：一般地，给定正数a，对于任意的正无理数α，可以定义一个实数aα，自然地，规定：a－α＝. 例3　(1)(多选)下列各式是无理数指数幂的是(　　) A. B.2 C.2π D. 答案　BCD (2)1＝　　　　.  答案　 反思感悟　记住无理数指数幂的形式aα，并且a－α＝. 跟踪训练3　(多选)下列各式正确的是(　　) A.＝2 B.1－π＝1 C.＝27 D.1＝( 答案　BC 1.知识清单： (1)正分数指数幂和负分数指数幂. (2)根式与分数指数幂的互化. (3)无理数指数幂和实数指数幂. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：0的零指数幂和任意负实数指数幂没有意义. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.(m>0)化为分数指数幂为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　. 2.(3－2x中x的取值范围是(　　) A.(－∞，＋∞) B.∪ C. D. 答案　C 解析　要使该式有意义，需3－2x>0，即x<. 3.计算(的结果是(　　) A.π B. C.－π D. 答案　D 4.下列根式与分数指数幂的互化不正确的是(　　) A.－＝(－x B.(y>0) C.(x>0) D.(x>0) 答案　A 解析　－＝－(x≥0)，而(－x(x≤0)，故A项错误； (y>0)，故B项正确； (x>0)，故C项正确； (x>0)，故D项正确. 5.下列各式既符合分数指数幂的定义，值又相等的是(　　) A.(－1和(－1 B.0－2和 C.和 D.和 答案　C 解析　选项A中，(－1和(－1均不符合分数指数幂的定义，故A不满足题意； 选项B中，0的负实数指数幂没有意义，故B不满足题意； 选项D中，和虽符合分数指数幂的定义，但值不相等，故D不满足题意； 选项C中，，，满足题意. 6.由下面的两串有理数指数幂逐渐逼近，可以得到的数为(　　) (1)21.7，21.73，21.732，21.732 0，21.732 05，… (2)21.8，21.74，21.733，21.732 1，21.732 06，… A.21.7 B.21.8 C. D.4 答案　C 解析　的不足近似值为1.7，1.73，1.732，1.732 0，1.732 05，…；的过剩近似值为1.8，1.74，1.733，1.732 1，1.732 06，….故由(1)(2)两串有理数指数幂逼近得到的数为. 7.(5分)若2<a<3，化简的结果是　　　　.  答案　1 解析　∵2<a<3，∴2－a<0，3－a>0， ∴＝|2－a|＋|3－a| ＝a－2＋3－a＝1. 8.(5分)计算：＋3－2＝　　　　.  答案　 解析　令b＝， ∴b3＝， ∴b＝，∴原式＝＋1＋. 9.(10分)计算下列各式的值： (1)12；(2分)(2)；(2分) (3)10 00；(3分)(4).(3分) 解　(1)令b＝12， ∴b2＝121， ∴b＝11(b>0)， ∴12＝11. (2)， 令b＝，∴b2＝， ∴b＝(b>0)， ∴. (3)10 00， 令b＝10 00， ∴b4＝10 0003＝(104)3＝(103)4， ∴b＝103(b>0)， ∴10 00. (4)，令b＝， ∴b3＝， ∴b＝(b>0)， ∴. 10.(11分)已知＝－a－b，求的值. 解　因为＝－a－b， 所以＝－a，＝－b， 所以a≤0，b≤0，所以a＋b≤0， 所以原式＝|a＋b|＋a＋b＝－(a＋b)＋a＋b＝0. 11.(多选)下列互化不正确的是(　　) A.＝(－x(x<0) B.(y<0) C.(x>0，y>0) D.＝－(x≠0) 答案　BD 解析　对于B，等号右边不符合分数指数幂的定义.D中，当x<0时，不符合分数指数幂的定义； 当x>0时，.AC正确. 12.(多选)已知xy≠0，且＝－3xy2，则下列结论可能正确的是(　　) A.x>0，y>0 B.x<0，y<0 C.x>0，y<0 D.x<0，y>0 答案　BD 解析　因为＝3|x|·y2， 又＝－3xy2， 所以3|x|·y2＝－3xy2，故x≤0， 又xy≠0， 所以x<0，y>0或y<0. 13.化简：(a－1)正确的是(　　) A.－(a－1 B.(a－1 C.－(1－a D.(1－a 答案　C 解析　由>0，得a<1， 则a－1<0， 所以(a－1)＝－ ＝－＝－(1－a. 14.(5分)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋0.1的图象如图所示，则化简的结果是　　　　　.  答案　b－a 解析　由题图可知f(－1)＝a－b＋0.1<0， ∴a－b<0.∴＝|a－b|＝－(a－b)＝b－a. 15.(5分)已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两个实数根，且a>b>0，则＝　　　　　.  答案　 解析　因为a，b是方程x2－6x＋4＝0的两个实数根， 所以 所以. 因为a>b>0，所以>>0， 所以. 16.(12分)若a2－b2>0，试化简a－b. 解　原式＝a－b， 因为a2－b2>0， 所以a＋b>0且a－b>0，或a＋b<0且a－b<0. 当a＋b>0且a－b>0时， 原式＝ ＝； 当a＋b<0且a－b<0时， 原式＝＝－ ＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $