3.2 指数幂的运算性质-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦指数幂的运算性质这一核心知识点，系统梳理同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方等运算性质，衔接指数幂概念的学习，为后续指数函数的探究奠定代数运算基础，构建清晰的学习支架。 资料通过分层例题（直接运算、性质理解、条件求值）、易错点辨析及母题探究变式，培养学生数学运算素养与推理意识，如“\(\sqrt[4]{(-2)^4}\)”的错误辨析强化严谨思维。课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固练习，弥补知识盲点。

§2　指数幂的运算性质 学习任务 核心素养 1．掌握指数幂的运算性质．(重点) 2．能用指数幂的运算性质对代数式进行化简与求值．(难点) 通过指数幂的运算，培养数学运算素养． 指数幂的运算性质有哪些？ 指数幂的运算性质 已知a>0，b>0，α∈R，β∈R， 1．aα·aβ＝aα＋β； 2．(aα)β＝aαβ； 3．(ab)α＝aα·bα． 以下计算正确吗？若计算错误，应该如何计算？ ＝－2． [提示]　错误，＝21＝2． 1．计算：×2-2＝________． 　[原式＝．] 2．计算：＝________． [答案]　 类型1　指数幂的运算 【例1】　【链接教材P80例1】 计算下列各式： －0.010.5； ＋16-0.75； (a>0，b>0)． [解]　(1)原式＝ ＝1＋． (2)原式＝0.4-1－1＋(－2)-4＋2-3＝． (3)原式＝． 【教材原题·P80例1】 例1　计算： -2；　3； ． [解]　-2＝； 3＝×23＝2-2×23＝2-2+3＝2； ． 　在进行幂和根式的化简时，一般先将根式化成幂的形式，并化小数指数幂为分数指数幂，再利用幂的运算性质进行化简． [跟进训练] 1．计算： －3-1＋π0； (2)(a-2b-3)·(－4a-1b)÷(12a-4b-2c)； (3)2． [解]　(1)原式＝＋1＝0.3－． (2)原式＝－4a-2-1b-3+1÷(12a-4b-2c)＝a-3-(-4)b-2-(-2)c-1＝－． (3)原式＝＝． 类型2　对指数幂的运算性质的理解 【例2】　(1)下列函数中，满足f 的是(　　) A．f ＝4x 　 B．f ＝4－x C．f ＝2x 　 D．f ＝2－x ＝(　　) (1)D　(2)A　[(1)对于A项，f (x＋1)＝4x+1＝4×4x＝4f (x)，故A项错误；对于B项，f (x＋1)＝4－(x+1)＝f (x)，故B项错误；对于C项，f (x＋1)＝2x+1＝2×2x＝2f (x)，故C项错误；对于D项，f (x＋1)＝2－(x+1)＝f (x)，故D项正确．故选D．] ．] 　1．根据需要，指数幂的运算性质可正用、逆用和变形使用． 2．运用幂的运算性质化简时，其底数必须大于零，对于底数小于零的，要先化为底数大于零的形式．如先化为． [跟进训练] 2．下列运算结果中，正确的是(　　) A．a2·a3＝a6 　 B． C．＝a5 　 D．＝－a6 D　[a2·a3＝a5，A错； (－a2)3＝(－1)3×a2×3＝－a6，(－a3)2＝(－1)2×a3×2＝a6，B错； ＝a6，C错，故选D．] 类型3　根据条件求值 【例3】　【链接教材P81例4】 已知，求下列各式的值： (1)a＋a-1； (2)a2＋a-2． [解]　(1)将两边平方，得a＋a-1＋2＝5，所以a＋a-1＝3． (2)由(1)知a＋a-1＝3，两边平方，得a2＋a-2＋2＝9，所以a2＋a-2＝7． [母题探究] 　在本例条件不变的情况下，则a2－a-2＝______． ±3　[令y＝a2－a-2，两边平方，得y2＝a4＋a-4－2＝(a2＋a-2)2－4＝72－4＝45， ∴y＝±3，即a2－a-2＝±3．] 【教材原题·P81例4】 例4　已知10α＝3，10β＝4，求的值． [解]　10α＋β＝10α×10β＝3×4＝12； 10α－β＝10α×10－β＝； 10-2α＝(10α)-2＝3-2＝； ． 　条件求值的步骤 [跟进训练] 3．已知a，b分别为x2－12x＋9＝0的两根，且a＜b，求 的值． [解]　 ＝．① ∵a＋b＝12，ab＝9，② ∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝122－4×9＝108． ∵a＜b，∴a－b＝－6．③ 将②③代入①， 得． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)对任意实数a，am＋n＝aman． (　　) (2)当a>0时，＝amn． (　　) (3)当a≠0时，＝am－n． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√ ＝(　　) 　C．310　D．7 B　[] 3．已知＝5，则的值为(　　) A．5 　 B．23 C．25 　 D．27 B　[∵＝5， ∴x＋2＋x-1＝25， ∴x＋x-1＝23． ∴＝x＋x-1＝23．] 4．－的值为________． 　[原式＝．] ＝________． 110　[原式＝＝2＋22×33＝2＋4×27＝110．] 课时分层作业(二十一)　指数幂的运算性质 一、选择题 1．将化为分数指数幂为(　　) B　[] ．的值为(　　) A．－ 　 B． C． 　 D． D　[原式＝1－(1－22)÷＝1－(－3)×．故选D．] 3．设a>0，将表示成分数指数幂的形式，其结果是(　　) A． C　[＝a2·．] 4．计算(n∈N*)的结果为(　　) A．　　 B．22n+5 C．2n2－2n＋6　　 D． D　[原式＝．] 5．若a>1，b>0，ab＋a－b＝2，则ab－a－b等于(　　) A． 　 B．2或－2 C．－2 　 D．2 D　[因为a>1，b>0，所以ab>a－b，(ab－a－b)2＝(ab＋a－b)2－4＝2－4＝4， 所以ab－a－b＝2．故选D．] 二、填空题 6．若＝0，则(x2 024)y＝________． 1　[因为＋＝0， 所以＋＝|x＋1|＋|y＋3|＝0，所以x＝－1，y＝－3． 所以(x2 024)y＝[(－1)2 024]-3＝1-3＝1．] 7．已知，则y的最小值是________． －　[由已知得，，所以y＝(x2－x) ＝，所以y的最小值是－．] 8．如果a＝3，b＝384，那么n-3＝________． 3×2n-3　[＝3×2n-3．] 三、解答题 9．(源自人教B版教材)化简下列各式： (1)； ． [解]　(1)原式＝． (2)原式＝ ＝． 10．化简求值： －3π0＋； ． [解]　(1)原式＝＝100． (2)原式＝＝4． 11．(多选)下列各式中一定成立的有(　　) A． 　 B． C． 　 D． BD　[A中应为＝n7m-7；；D正确．故选BD．] 12．设x，y是正数，且xy＝yx，y＝9x，则x的值为(　　) A． 　 B． C．1 　 D． B　[∵x9x＝(9x)x，(x9)x＝(9x)x，∴x9＝9x． ∴x8＝9．∴x＝．] 13．已知2m＋2－m＝5，则4m＋4－m的值为________． 23　[∵2m＋2－m＝5，∴(2m＋2－m)2＝25， 即4m＋2＋4－m＝25，∴4m＋4－m＝23．] 14．已知实数x满足x2－3x＋1＝0，则x＋x-1＝________，x2＋x-2＝________． 3　7　[因为x2－3x＋1＝0，则x2＋1＝3x，即x＋x-1＝3， 两边平方，得x2＋x-2＋2＝9， 所以x2＋x-2＝7．] 15．已知a＝3，求的值． [解]　 ＝ ＝ ＝ ＝＝－1． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $