第2章 4.1 函数的奇偶性（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦函数的奇偶性核心知识点，从生活中蝴蝶、雪花的对称现象引入，通过观察f(x)=x、g(x)=x⁴+2等函数图象的对称性，抽象出奇偶性定义（定义域关于原点对称，f(-x)=±f(x)），再结合判断、求值、求解析式等例题，构建从具体到抽象再到应用的学习支架。 该资料亮点在于以自然对称现象激发兴趣，体现用数学眼光观察现实世界。通过问题驱动学生自主探究定义，培养数学思维。例题覆盖定义域对称、分段函数等类型，强化符号语言表达，课中助力教师引导学生逻辑推理，课后练习帮助学生巩固方法，查漏补缺。

4.1　函数的奇偶性 学习目标　1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义.2.能根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性.3.能利用函数的奇偶性解决简单问题. 导语 大自然是一个真正的设计师，它用对称的方法创造了千百万种不同的事物.例如，翩翩起舞的蝴蝶，晶莹剔透的雪花等.一些函数的图象也有着如此美妙的对称性，那么这种对称性体现了函数的什么性质呢？让我们共同进入精彩的课堂吧！ 一、函数奇偶性的概念及判定 问题1　观察函数f(x)＝x和g(x)＝的图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？你能用符号语言精确地描述这一特征吗？并自主探究结果. 提示　可以发现，这两个函数的图象都关于原点对称，即当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值也相反. 问题2　观察下列函数图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？ 提示　这两个函数图象都关于y轴对称，即当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等. 知识梳理　函数的奇偶性 前提 一般地，设函数f(x)的定义域是D，如果对任意的x∈D，有－x∈D 条件 f(－x)＝－f(x) f(－x)＝f(x) 结论 称函数f(x)为奇函数 称函数f(x)为偶函数 当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称f(x)具有奇偶性. 注意点： (1)函数的奇偶性是函数的整体性质. (2)先判断定义域是否关于原点对称，∀x∈D，都有－x∈D，即定义域关于原点对称，还需判断f(－x)与f(x)的关系，若f(－x)＝f(x)，则函数是偶函数，若f(－x)＝－f(x)，则函数是奇函数，若f(－x)≠±f(x)，则函数为非奇非偶函数. (3)若奇函数在原点处有意义，则必有f(0)＝0. (4)若f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有且只有一类，即f(x)＝0，x∈D，D是关于原点对称的实数集，但有无数个既奇又偶的函数. 例1　(课本例2)根据定义，判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝－2x5； (2)g(x)＝x4＋2； (3)h(x)＝； (4)m(x)＝. 解　(1)依题意知函数f(x)＝－2x5的定义域为R，且对任意的x∈R，有f(－x)＝－2(－x)5＝2x5，－f(x)＝－(－2x5)＝2x5， 即f(－x)＝－f(x). 所以函数f(x)＝－2x5是奇函数. (2)依题意知函数g(x)＝x4＋2的定义域为R，且对任意的x∈R，有 g(－x)＝(－x)4＋2＝x4＋2， 即g(－x)＝g(x). 所以函数g(x)＝x4＋2是偶函数. (3)依题意知函数h(x)＝的定义域为{x|x≠0}，且对任意的x∈{x|x≠0}，有 h(－x)＝， 即h(－x)＝h(x). 所以函数h(x)＝是偶函数. (4)根据定义知，如果一个函数是奇函数或偶函数，它的定义域是关于原点对称的.而函数m(x)＝的定义域为{x|x≠－2}，它不关于原点对称，所以函数m(x)＝既不是奇函数，也不是偶函数. 例1　判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)＝； (2)f(x)＝x2(x2＋2)； (3)f(x)＝； (4)f(x)＝； (5)f(x)＝ 解　(1)f(x)＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， ∵f(－x)＝＝－＝－f(x)， ∴f(x)＝是奇函数. (2)f(x)＝x2(x2＋2)的定义域为R. ∵f(－x)＝(－x)2[(－x)2＋2]＝x2(x2＋2) ＝f(x)， ∴f(x)＝x2(x2＋2)是偶函数. (3)f(x)＝的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)， ∵定义域不关于原点对称， ∴f(x)＝既不是奇函数，也不是偶函数. (4)f(x)＝的定义域为{－1，1}. ∵f(－x)＝f(x)＝－f(x)＝0， ∴f(x)＝既是奇函数，又是偶函数. (5)当x>0时，f(x)＝1－x2，此时－x<0， ∴f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1， ∴f(－x)＝－f(x)； 当x<0时，f(x)＝x2－1，此时－x>0， ∴f(－x)＝1－(－x)2＝1－x2， ∴f(－x)＝－f(x)； 当x＝0时，f(0)＝0. 综上，对任意x∈R，总有f(－x)＝－f(x)， ∴函数f(x)为R上的奇函数. 反思感悟　判断函数奇偶性的方法 (1)定义法： ①定义域关于原点对称； ②确定f(－x)与f(x)的关系. (2)图象法： 若函数f(x)的图象关于原点对称，则f(x)是奇函数；若函数f(x)的图象关于y轴对称，则f(x)是偶函数. 二、奇、偶函数的图象及应用 例2　定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示. (1)画出f(x)的图象； (2)解不等式xf(x)>0. 解　(1)先描出点(1，1)，(2，0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2，0)，连线可得f(x)的图象，如图. (2)xf(x)>0即图象上横坐标、纵坐标同号.结合图象可知，xf(x)>0的解集是(－2，0)∪(0，2). 延伸探究1　把本例中的“奇函数”改为“偶函数”，(1)画出f(x)的图象；(2)解不等式xf(x)>0. 解　(1)f(x)的图象如图所示. (2)xf(x)>0的解集是(－∞，－2)∪(0，2). 反思感悟　利用奇、偶函数图象的对称性作出函数图象的简图，使问题的求解直观、明白，这是我们处理有关不等式、方程等问题的常见策略. 三、函数奇偶性的应用 角度1　利用函数的奇偶性求值 例3　(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1，2a]，则a＝　　　　，b＝　　　　.  答案　　0 解析　因为偶函数的定义域关于原点对称， 所以a－1＝－2a，解得a＝. 又函数f(x)＝x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b＝0. (2)已知函数f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，则f(3)＝　　　　.  答案　7 解析　令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx， 则g(x)是奇函数， ∴f(－3)＝g(－3)＋2＝－g(3)＋2＝－3， ∴g(3)＝5. 又f(3)＝g(3)＋2， ∴f(3)＝5＋2＝7. 延伸探究2　若g(x)是奇函数，f(x)＝g(x)＋2，且f(m)＝7，则f(－m)＝　　　　.  答案　－3 解析　∵f(m)＝7，∴f(m)＝g(m)＋2＝7， ∴g(m)＝5， ∵g(x)是奇函数， ∴f(－m)＝g(－m)＋2＝－g(m)＋2＝－5＋2＝－3. 延伸探究3　本例(2)中的f(x)，对于任意x∈R，f(x)＋f(－x)是否为定值？ 解　令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx， 则g(x)是奇函数，∴g(x)＋g(－x)＝0， 由f(x)＝g(x)＋2，得f(－x)＝g(－x)＋2， ∴f(x)＋f(－x)＝g(x)＋g(－x)＋4＝4， ∴f(x)＋f(－x)的值为定值4. 反思感悟　利用奇偶性求值的常见类型 (1)求参数值：若解析式含参数，则根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数.(2)求函数值：利用f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值. 角度2　利用函数的奇偶性求解析式 例4　(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式. 解　设x<0，则－x>0， f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3， 由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)， 所以f(x)＝－x2－2x－3. 即当x<0时，f(x)＝－x2－2x－3. 又因为f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f(0)＝0. 故f(x)＝ 延伸探究4　在本例(4)中，把条件“f(x)是定义在R上的奇函数”改为“f(x)是定义在R上的偶函数”，其余不变，求当x<0时，f(x)的解析式. 解　设x<0，则－x>0， f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3， 由于f(x)是偶函数，故f(x)＝f(－x)， 所以f(x)＝x2＋2x＋3. 即当x<0时，f(x)＝x2＋2x＋3. (2)已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式. 解　∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数， ∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)， 由f(x)＋g(x)＝. ① 用－x代替上式中的x，得f(－x)＋g(－x)＝， ∴f(x)－g(x)＝， ② (①＋②)÷2，得f(x)＝； (①－②)÷2，得g(x)＝. 反思感悟　用奇偶性求解析式的方法 (1)如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，求关于原点对称的区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为 ①“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设. ②要利用已知区间的解析式进行代入. ③利用f(x)的奇偶性写出－f(－x)或f(－x)，从而解出f(x). (2)已知函数f(x)，g(x)的组合运算与奇偶性，则把x换为－x，构造方程组求解. 1.知识清单： (1)函数奇偶性的概念. (2)奇、偶函数的图象及应用. (3)函数奇偶性的应用(求值、求解析式). 2.方法归纳：特值法、数形结合法. 3.常见误区： (1)判断奇偶性时忽略函数的定义域的对称性. (2)特值法求参数忽略检验. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1.若f(x)＝3x3＋5x＋a－1为奇函数，则a的值为(　　) A.0 B.－1 C.1 D.2 答案　C 解析　∵f(x)为R上的奇函数， ∴f(0)＝a－1＝0，得a＝1. 2.函数f(x)＝的图象关于(　　) A.x轴对称 B.原点对称 C.y轴对称 D.直线y＝x对称 答案　B 解析　由题意知f(x)＝的定义域为[－，0)∪(0，]， 所以定义域关于原点对称， 又因为f(－x)＝＝－f(x)， 所以f(x)是奇函数，其图象关于原点对称. 3.设函数f(x)＝若f(x)是奇函数，则g(－2)等于(　　) A.－1 B.0 C.1 D.2 答案　B 解析　由已知可得g(－2)＝f(－2)＝－f(2)＝－(22－2×2)＝0. 4.对于定义在R上的函数f(x)，下列说法错误的是(　　) A.若函数f(x)是偶函数，则f(－2)＝f(2) B.若f(－2)≠f(2)，则函数f(x)不是偶函数 C.若f(－2)＝f(2)，则函数f(x)不是奇函数 D.若f(x)是奇函数，则f(－2)＝－f(2) 答案　C 解析　对于A，显然正确； 对于B，若f(x)是偶函数，则f(－2)＝f(2)，与已知f(－2)≠f(2)矛盾，所以B正确； 对于C，当f(－2)＝f(2)＝0时，f(x)可能为奇函数，错误； 对于D，显然正确. 5.已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(－3)＝2，则下列各点中一定在函数f(x)的图象上的是(　　) A.(3，－2) B.(3，2) C.(－3，－2) D.(2，－3) 答案　A 解析　f(－3)＝2，即点(－3，2)在f(x)的图象上， ∴(－3，2)关于原点对称的点(3，－2)必在f(x)的图象上. 6.(多选)已知函数f(x)，g(x)的定义域都是R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，2f(x)＋3g(x)＝6x2－2x＋3，则(　　) A.[f(x)]2－3g(x)是偶函数 B.f(x)＝－x C.g(x)＝2x2＋1 D.g(2)＝4 答案　ABC 解析　令F(x)＝[f(x)]2－3g(x)， 因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数， 所以F(－x)＝[f(－x)]2－3g(－x)＝[－f(x)]2－3g(x)＝[f(x)]2－3g(x)＝F(x)， 所以F(x)＝[f(x)]2－3g(x)是偶函数，故A正确； 因为2f(x)＋3g(x)＝6x2－2x＋3， ① 所以2f(－x)＋3g(－x)＝－2f(x)＋3g(x)＝6x2＋2x＋3， ② 由①②，得f(x)＝－x，g(x)＝2x2＋1，故B，C正确； 易得g(2)＝8＋1＝9，故D错误. 7.(5分)已知定义域为[a－4，2a－2]的奇函数f(x)＝2 025x3－5x＋b＋2，则f(a)＋f(b)＝　　　　.  答案　0 解析　因为奇函数f(x)的定义域关于原点对称， 所以a－4＋2a－2＝0，所以a＝2， 则定义域为[－2，2]， 所以f(0)＝0，即b＋2＝0，故b＝－2， 所以f(a)＋f(b)＝f(2)＋f(－2)＝f(2)－f(2)＝0. 8.(5分)奇函数y＝f(x)的部分图象如图所示，则f(2)与f(4)的大小关系为　　　　.  答案　f(2)>f(4) 解析　因为奇函数的图象关于原点对称， 所以f(2)＝－f(－2)，f(4)＝－f(－4)， 由函数图象可知f(－2)<f(－4)， 所以－f(－2)>－f(－4)，即f(2)>f(4). 9.(10分)判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝－x；(3分) (2)f(x)＝；(3分) (3)f(x)＝(4分) 解　(1)f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，又f(－x)＝－(－x)＝－＋x ＝－＝－f(x)， ∴f(x)是奇函数. (2)函数f(x)的定义域是(－∞，－2)∪(－2，＋∞)，不关于原点对称， ∴f(x)既不是奇函数，也不是偶函数. (3)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称， 当x>0时，－x<0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)； 当x<0时，－x>0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x). 综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)， 都有f(－x)＝f(x)， ∴f(x)为偶函数. 10.(10分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x. (1)现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示，请补充完整函数f(x)的图象；(5分) (2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的实数解，求实数a的取值范围.(5分) 解　(1)函数f(x)的图象如图. (2)方程f(x)＝a恰有3个不同的实数解，等价于函数y＝f(x)与函数y＝a的图象恰好有3个不同的交点，由(1)中图象，可得－1<a<1， 即实数a的取值范围为(－1，1). 11.函数f(x)＝ax3＋bx＋＋5满足f(－3)＝2，则f(3)的值为(　　) A.－8 B.－7 C.7 D.8 答案　D 解析　设g(x)＝f(x)－5＝ax3＋bx＋(x≠0)， ∵g(－x)＝－ax3－bx－＝－g(x)， ∴g(x)是奇函数， ∴g(3)＝－g(－3)＝－[f(－3)－5] ＝－f(－3)＋5＝－2＋5＝3， 又g(3)＝f(3)－5＝3， ∴f(3)＝8. 12.(多选)已知函数f是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，当x∈(－∞，0)时，f＝x－1，若ff(－a)＝4，则实数a的值可以为(　　) A.－3 B.－1 C.1 D.3 答案　BC 解析　由题意，知函数f是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数， 当x∈(－∞，0)时，f＝x－1， ①当a>0时，ff(－a)＝[f(－a)]2 ＝(－a－1)2＝4， 解得a＝1或a＝－3(舍去)； ②当a<0时，ff＝4， 解得a＝－1或a＝3(舍去)， 综上可得，a＝－1或1. 13.(5分)偶函数f(x)的定义域为[－5，5]，且在[0，5]上的图象如图所示.则不等式<0的解集为　　　　　　　　　　.  答案　[－5，－2)∪(0，2) 解析　∵f(x)是定义在[－5，5]上的偶函数，则f(x)在[－5，5]上的图象如图所示， ∴<0，则或 解得－5≤x<－2或0<x<2， ∴<0的解集为[－5，－2)∪(0，2). 14.(5分)已知y＝f(x)＋x2是奇函数且f(1)＝1，若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝　　　　.  答案　－1 解析　∵y＝f(x)＋x2是奇函数， ∴f(－x)＋(－x)2＝－[f(x)＋x2]， ∴f(x)＋f(－x)＋2x2＝0， ∴f(1)＋f(－1)＋2＝0. ∵f(1)＝1， ∴f(－1)＝－3. ∵g(x)＝f(x)＋2， ∴g(－1)＝f(－1)＋2＝－3＋2＝－1. 15.(多选)已知函数f(x)＝x|x－a|，其中a∈R，下列结论正确的是(　　) A.存在实数a，使得函数f(x)为奇函数 B.存在实数a，使得函数f(x)为偶函数 C.当a>0时，f(x)的单调递增区间为，(a，＋∞) D.当a<0时，f(x)的单调递减区间为 答案　AC 解析　由f(－x)＝－x|－x－a|＝－x|x＋a|，显然当a＝0时，f(－x)＝－f(x)，但不存在实数a使f(－x)＝f(x)成立，所以A正确，B错误； f(x)＝当a>0时，易知f(x)在上单调递增，在上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，所以C正确； 同理可得，当a<0时，f(x)在(－∞，a)上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以D错误. 16.(12分)已知函数f(x)对一切实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y). (1)求证：f(x)是奇函数；(6分) (2)若f(－3)＝a，试用a表示f(12).(6分) (1)证明　f(x)的定义域为R. 由已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)， 令y＝－x得，f(0)＝f(x)＋f(－x)， 令x＝y＝0得，f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0， 所以f(x)＋f(－x)＝0， 即f(－x)＝－f(x)，故f(x)是奇函数. (2)解　由(1)知f(x)为奇函数， 所以f(－3)＝－f(3)＝a，所以f(3)＝－a， 又f(12)＝f(6)＋f(6)＝2f(3)＋2f(3)＝4f(3)， 所以f(12)＝－4a. 学科网（北京）股份有限公司 $