3.1 指数幂的拓展-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦指数幂的拓展核心知识点，系统讲解正分数指数幂（正数a和互素正整数m,n，bⁿ=aᵐ则b=a^(m/n)）、负分数指数幂（a^(-m/n)=1/a^(m/n)）的定义，以及根式与分数指数幂的互化，从整数指数幂延伸至无理数指数幂的逼近思想，构建完整指数幂体系，为指数函数学习提供支架。 该资料以核心素养为导向，通过“思考辨析”（如辨析底数正负问题）培养逻辑推理，“跟进训练”和分层作业提升数学运算能力。课中例题与变式结合助教师高效授课，课后分层练习帮助学生巩固基础、查漏补缺，体现数学思维与语言的应用。

§1　指数幂的拓展 学习任务 核心素养 1．理解分数指数幂的概念，会进行分数指数幂与根式的互化．(重点) 2．了解无理数指数幂的概念，了解无理数指数幂可以用有理数指数幂逼近的思想方法．(易混点) 1．通过指数幂的拓展的学习，培养逻辑推理素养． 2．通过分数指数幂与根式的互化，培养数学运算素养． 1．正分数指数幂的定义是什么？ 2．负分数指数幂的定义是什么？ 1．正分数指数幂 (1)定义：给定正数a和正整数m，n(n>1，且m，n互素)，若存在唯一的正数b，使得bn＝am，则称b为a的次幂，记作b＝．这就是正分数指数幂． (2)性质：①当k是正整数时，分数指数幂满足：②＝． 2．负分数指数幂 给定正数a和正整数m，n(n>1，且m，n互素)，定义＝＝． 能否将＝－3写成＝－3? [提示]　不能．因为在指数幂的概念中，总有a>0．于是，尽管有＝－3，但不可以写成＝－3的形式． 1．把下列各式中的b(b>0)写成分数指数幂的形式： (1)b4＝35； (2)b-3＝32． [解]　(1)∵b4＝35，∴b＝． (2)∵b-3＝32，∴b＝． 2．计算： ＝________； ＝________． (1)2　(2)　[(1)设b＝，由定义，得b3＝8，b＝2，所以＝2． (2)由负分数指数幂的定义，得． 设b＝，由定义，得b3＝272＝93，b＝9， 所以．] 类型1　根式的化简与求值 【例1】　化简： (1)(x＜π，n∈N*)； (2)． [解]　(1)∵x＜π，∴x－π＜0． 当n为偶数时，＝|x－π|＝π－x； 当n为奇数时，＝x－π． 综上可知， (2) 　正确区分与 (1)表示a的n次方的n次方根，而表示a的n次方根的n次方，因此从运算角度看，运算顺序不同． (2)运算结果不同 ①＝a．② [跟进训练] 1．若xy≠0，则使＝－2xy成立的条件可能是(　　) A．x＞0，y＞0 　 B．x＞0，y＜0 C．x≥0，y≥0 　 D．x＜0，y＜0 B　[∵＝2|xy|＝－2xy，∴xy≤0． 又∵xy≠0，∴xy＜0，故选B．] 2．若，则实数a的取值范围为________． 　[＝＝1－2a．因为|2a－1|＝1－2a，故2a－1≤0，所以a≤．] 类型2　根式与分数指数幂的互化 【例2】　可化为(　　) A． 　 B． C． 　 D． (2)可化为(　　) [思路点拨]　熟练应用是解决该类问题的关键． (1)D　(2)A　[． (2) ．] 　根式与分数指数幂的互化规律 (1)关于式子的两点说明 ①根指数n即分数指数的分母； ②被开方数的指数m即分数指数的分子． (2)通常规定中的底数a>0． [跟进训练] 3．将下列各根式化为分数指数幂的形式： (1)；(2)． [解]　(1)． (2)． 类型3　求指数幂的值 【例3】　【链接教材P77例2】 求下列各式的值： ；． [思路点拨]　结合分数指数幂的定义，即满足bn＝am时＝b(m，n∈N＋，a，b>0)求解． [解]　(1)设＝x，则x3＝642＝4 096， 又∵163＝4 096，∴＝16． (2)设＝x，则x4＝81-1＝， 又∵，∴． 【教材原题·P77例2】 例2　计算： ；　． [解]　(1)设b＝，由定义，得b2＝43＝64，b＝8(b＞0)，所以＝8． (2)由负分数指数幂的定义，得． 设b＝，由定义，得b3＝27，b＝3，所以． (3)由负分数指数幂的定义，得． 设b＝，由定义，得b2＝，即b＝(b＞0)，所以＝64． 　解决此类问题时，根据分数指数幂的定义将分数指数幂转化为熟悉的整数指数幂，进而转化为正整数指数幂． [跟进训练] 4．求下列各式的值： ；． [解]　(1)设＝x，则x3＝125， 又∵53＝125， ∴＝5． (2)设＝x，则x7＝128-1＝， 又∵， ∴． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) 表示个2相乘． (　　) (a>0，m，n∈N＋，且n>1)． (　　) (a>0，m，n∈N＋，且n>1)． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√ 2．可化为(　　) [答案]　A 3．计算等于(　　) A．9 　 B．3 C．±3 　 D．－3 B　[由35＝243，得＝3．] 4．若b-3n＝5m(m，n∈N＋)，则b＝________． [答案]　 5．用分数指数幂表示下列各式(式中a>0)． (1)＝________； (2)＝________． 　[(1)． (2)．] 课时分层作业(二十)　指数幂的拓展 一、选择题 1．下列各式正确的是(　　) A．＝－3 　 B．＝a C．＝－2 　 D．＝2 C　[由于＝－2，故选项A，B，D错误，故选C．] ．＝(　　) A． 　 B． C． 　 D． D　[，设b＝，则b4＝，所以b＝(b>0)，所以． 故选D．] 3．下列各式中正确的是(　　) A． B． C． D． [答案]　D 4．若有意义，则a的取值范围是(　　) A．a≥0 　 B．a＝2 C．a≠2 　 D．a≥0且a≠2 D　[由题知 得a≥0且a≠2，故选D．] 5．下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是(　　) A．－ B．(x≠0) C． D． C　[ 故选C．] 二、填空题 ．中x的取值范围是________． 　[要使该式有意义，需3－2x>0， 即x<．] 7．的值为________． －6　[＝＝4－－4， 所以原式＝－6＋4－－4＝－6．] 8．化简：＝________． 6　[原式＝＝6．] 三、解答题 9．化简下列各式： (1)；(2) ；(3) ． [解]　(1) ＝－2． (2) ＝10． (3) 10．化简：． [解]　原式＝|x－2|＋|x＋2|． 当x≤－2时，原式＝(2－x)＋[－(x＋2)]＝－2x； 当－2<x<2时，原式＝(2－x)＋(x＋2)＝4； 当x≥2时，原式＝(x－2)＋(x＋2)＝2x． 综上， 11．给出下列4个等式：①＝±2；②；③若a∈R，则＝1；④设，则＝a．其中正确的个数是(　　) A．0 　 B．1 C．2 　 D．3 B　[①中＝2，所以①错误； ②错误； ③因为a2－a＋1>0恒成立，所以有意义且恒等于1，所以③正确； ④若n为奇数，则＝a，若n为偶数，则，所以当n为偶数时，a<0时不成立，所以④错误．故选B．] 12．已知a＜，则化简的结果是(　　) A． 　 B．－ C． 　 D．－ C　[由a＜知，4a－1＜0，所以，故选C．] 13．当a>0时，等于________． －x　[因为a>0，所以x≤0，．] 14．若81的平方根为a，－8的立方根为b，则a＝_____________，a＋b＝________． ±9　－11或7　[因为81的平方根为±9， 所以a＝±9． 又因为－8的立方根为－2，所以b＝－2． 所以a＋b＝－11或a＋b＝7．] 15．已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且a>b>0，求的值． [解]　∵a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根， ∴∵a＞b＞0， ∴>， ∴． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $