第2章 2.1 函数概念（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦函数概念核心知识点，从初中函数概念回顾入手，通过列车路程、工资计算等问题情境深化理解，系统梳理函数定义（定义域、对应关系）、定义域求解、函数值计算及同一函数判断，构建从具体到抽象的学习支架。 该资料以问题情境驱动教学，如复兴号运行、工资计算实例，培养学生用数学眼光观察现实世界的意识。通过对比判断同一函数等环节发展数学思维的逻辑性，例题解析与跟踪训练结合，课中辅助教师引导探究，课后帮助学生巩固查漏，提升数学语言表达的规范性。

2.1　函数概念 学习目标　1.理解函数的概念.2.会求一些简单函数的定义域和函数值.3.会判断两个函数是否为同一个函数. 导语 在初中我们已经接触过函数的概念，知道函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具.例如，正方形的周长l与边长x的对应关系是l＝4x，而且对于每一个确定的x都有唯一的l与之对应，所以l是x的函数，这个函数与正比例函数y＝4x相同吗？又如，你能用已有的函数知识判断y＝x与y＝是否相同吗？要解决这些问题，就需要进一步学习函数概念. 一、函数定义的理解 问题1　某“复兴号”高速列车加速到350 km/h后保持匀速运行半小时.这段时间内，列车行进的路程s(单位：km)与运行时间t(单位：h)的关系如何表示？这是一个函数吗？为什么？ 提示　对应关系应为s＝350t，其中t∈A1＝{t|0≤t≤0.5}，s∈B1＝{s|0≤s≤175}，是函数.对于数集A1中的任一时刻t，按照这种对应关系，在数集B1中都有唯一确定的路程s和它对应. 问题2　某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天.如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资w(单位：元)是他工作天数d的函数吗？为什么？你能仿照问题1中对s与t的对应关系的精确表示，给出这个问题中w与d的对应关系的精确表示吗？ 提示　工资w是一周工作天数d的函数，对应关系为w＝350d，其中d∈A2＝{1，2，3，4，5，6}，w∈B2＝{350，700，1 050，1 400，1 750，2 100}，对于数集A2中的任一个工作天数d，按照这种对应关系，在数集B2中都有唯一确定的工资w与其对应. 问题3　问题1和2中的函数对应关系相同，你认为它们是同一个函数吗？为什么？ 提示　不是.自变量的取值范围不一样. 知识梳理 1.函数的有关概念 函数的定义 给定实数集R中的两个非空数集A和B，如果存在一个对应关系f，使对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就把对应关系f称为定义在集合A上的一个函数 函数的记法 y＝f(x)，x∈A 函数的定义域 集合A称为函数的定义域 函数的自变量 x称为自变量 函数值 与x值对应的y值称为函数值 函数的值域 集合{f(x)}称为函数的值域 2.同一个函数 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数. 注意点： (1)集合A，B都是非空数集. (2)集合A中元素的无剩余性.集合B中元素具有可剩余性，即集合B不一定是函数的值域，函数的值域一定是B的子集. (3)函数符号“y＝f(x)”是数学符号之一，不表示y等于f与x的乘积，f(x)也不一定是解析式，还可以是图象或表格，或其他的对应关系. (4)两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的值域也相同. 例1　(1)(多选)下列对应关系中不是A到B的函数的是(　　) A.A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{y|－1≤y≤1}，x2＋y2＝1 B.A＝{－1，0，1}，B＝{1，2}，y＝|x|＋1 C.A＝R，B＝R，y＝ D.A＝N＋，B＝Z，y＝ 答案　ACD 解析　对于A，x2＋y2＝1可化为y＝±，显然对任意x∈A(x＝±1除外)，y值不唯一，故不符合函数的定义；对于B，符合函数的定义；对于C，2∈A，在此时对应关系无意义，故不符合函数的定义；对于D，2∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合函数的定义. 例1　(2)(课本例1)下列各组中的两个函数是否为同一个函数？ ①f(x)＝，g(x)＝()2； ②f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2； ③f(x)＝，g(x)＝x－1； ④f(x)＝x＋，g(t)＝t＋. 解　①因为f(x)的定义域是R，g(x)的定义域是[0，＋∞)，两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数. ②因为两个函数的对应关系不同，所以不是同一个函数. ③因为f(x)的定义域是{x|x≠－1}，g(x)的定义域是R，两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数. ④f(x)和g(t)虽然表示自变量的字母不同，但它们的定义域及对应关系都相同，所以是同一个函数. (2)(多选)下列各组函数中表示同一个函数的是(　　) A.f(x)＝，g(x)＝x－1 B.f(x)＝·，g(x)＝ C.f(x)＝，g(x)＝x＋3 D.汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x(0≤x≤5) 答案　BD 解析　对于A，不是同一个函数，定义域不同， f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为R； 对于B，是同一个函数，定义域、对应关系都相同； 对于C，不是同一个函数，对应关系不同， f(x)＝|x＋3|，g(x)＝x＋3； 对于D，是同一个函数，定义域、对应关系都相同. 反思感悟　(1)判断一个对应关系是否为函数的方法 (2)判断两个函数为同一个函数应注意 ①定义域、对应关系必须都相同才是同一个函数. ②判断对应关系时，解析式化简必须是等价变形. ③函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的. 跟踪训练1　(1)设P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤4}，对于下列四个图象，能表示集合P到集合Q的函数关系的是(　　) 答案　B 解析　由函数的定义知A的定义域不是P，不符合题意；B符合函数的定义，符合题意；C中集合P中有的元素在集合Q中对应两个函数值，不符合函数定义；D中，当x＝2时，有两个值与之对应，不符合函数定义. (2)下列各组函数中是同一个函数的是(　　) A.y＝x＋1与y＝ B.y＝x2＋1与s＝t2＋1 C.y＝2x与y＝2x(x≥0) D.y＝(x＋1)2与y＝x2 答案　B 解析　A，C选项中两函数的定义域不同，D选项中两函数的对应关系不同，故A，C，D错误. 二、求函数的定义域 例2　(1)(课本例2)求下列函数的定义域： ①y＝2x＋3＋； ②y＝； ③y＝. 解　①为使函数有意义，只需解析式中分式的分母不为零，即x－1≠0，解得x≠1. 所以函数y＝2x＋3＋的定义域是 {x|x≠1}. ②为使函数有意义，只需解析式中的被开方数非负，且分式的分母不为0，即 解得 所以函数y＝的定义域是 {x|x≥－3，且x≠0}. ③为使函数有意义，只需解析式中的被开方数非负，即解得x＝－3. 所以函数y＝的定义域是 {x|x＝－3}＝{－3}. 例2　(1)求下列函数的定义域： ①y＝·； ②y＝. 解　①由题意，知∴x＝1， ∴其定义域为{x|x＝1}. ②由题意，知即 ∴其定义域为{x|x≤1且x≠0}. (2)已知函数y＝f(x)的定义域是[－1，3]，则f(2x＋1)的定义域为　　　　.  答案　[－1，1] 解析　令－1≤2x＋1≤3，解得－1≤x≤1， 所以f(2x＋1)的定义域为[－1，1]. 反思感悟　(1)求函数定义域的常用依据 ①若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零. ②若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零. ③若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合. ④若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义. ⑤若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义. (2)抽象函数的定义域 ①已知f(x)的定义域为[a，b]，求f(g(x))的定义域时，不等式a≤g(x)≤b的解集即定义域. ②已知f(g(x))的定义域为[c，d]，求f(x)的定义域时，求出g(x)在[c，d]上的范围(值域)即定义域. 跟踪训练2　(1)函数y＝的定义域为　　　　　　　　　　　　.  答案　(－2，－1)∪(－1，＋∞) 解析　由得x>－2且x≠－1， 所以定义域为(－2，－1)∪(－1，＋∞). (2)若函数y＝f(3x＋1)的定义域为[－2，4]，则y＝f(x)的定义域是(　　) A.[－1，1] B.[－5，13] C.[－5，1] D.[－1，13] 答案　B 解析　由题意知，－2≤x≤4， 所以－5≤3x＋1≤13， 所以y＝f(x)的定义域是[－5，13]. 三、求函数值(值域) 例3　(1)已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R). ①求f(2)，g(2)的值； ②求f(g(3))的值； ③求f(a＋1)，g(a－1)； ④若g(a)＝4，求实数a的值. 解　①∵f(x)＝，∴f(2)＝. 又g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6. ②∵g(3)＝32＋2＝11， ∴f(g(3))＝f(11)＝. ③f(a＋1)＝(a≠－2)； g(a－1)＝(a－1)2＋2＝a2－2a＋3. ④∵g(a)＝a2＋2＝4， ∴a2＝2，a＝±. (2)求下列函数的值域： ①y＝x＋1； ②y＝x2－2x＋3，x∈[0，3)； ③y＝； ④y＝2x－. 解　①(观察法)因为x∈R，所以x＋1∈R，即函数的值域是R. ②(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0，3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2，6). ③(分离常数法)y＝＝3－. 因为≠0，所以y≠3， 所以y＝的值域为(－∞，3)∪(3，＋∞). ④(换元法)设t＝，则t≥0且x＝t2＋1， 所以y＝2(t2＋1)－t ＝2， 由t≥0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为. 反思感悟　(1)求函数值的方法 ①求f(a)：已知f(x)的解析式时，只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值. ②求f(g(a))：已知f(x)与g(x)，求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则. (2)求函数值域常用的方法 ①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到. ②配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域. ③分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域. ④换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域.对于f(x)＝ax＋b＋(其中a，b，c，d为常数，且a≠0)型的函数常用换元法，可令t＝，特别注意t的取值范围. 跟踪训练3　(1)已知函数f(x)＝则f(f(f(1)))等于(　　) A.π2－2 B.π C.0 D.x2－2 答案　B 解析　因为f(x)＝ 所以f(1)＝12－2＝－1，f(f(1))＝f(－1)＝0， f(f(f(1)))＝f(0)＝π. (2)(多选)下列函数中值域是(0，＋∞)的是(　　) A.y＝ B.y＝x2＋x＋ C.y＝ D.y＝2x＋1 答案　BC 解析　∵x2＋3x＋2≥0， ∴y＝≥0， 故其值域为[0，＋∞)，∴A不符合题意； ∵y＝x2＋x＋≥0， 又x≠－， ∴函数的值域为(0，＋∞)，∴B符合题意； ∵y＝>0， ∴函数的值域为(0，＋∞)，∴C符合题意； ∵y＝2x＋1∈R，∴D不符合题意. 1.知识清单： (1)函数的定义. (2)求函数的定义域、同一个函数的判断. (3)求函数值和简单的值域. 2.方法归纳：定义法、图象法、换元法. 3.常见误区： (1)化简函数的对应关系时要注意定义域的变化. (2)不会应用整体代换的思想求函数的定义域和值域. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1.(多选)下列四个图象中是函数图象的是(　　) 答案　ACD 解析　根据函数的定义，对于任意的x有唯一的y与之对应，而B中一对多，A，C，D均满足函数的定义. 2.已知集合A＝{x|x－1>0}，B＝，则A∩B等于(　　) A.(1，5] B.(1，5) C.(1，＋∞) D.∅ 答案　B 解析　∵A＝{x|x>1}，B＝{x|x<5}， ∴A∩B＝{x|1<x<5}＝(1，5). 3.设函数f(x)＝3x2－1，则f(a)－f(－a)的值是(　　) A.0 B.3a2－1 C.6a2－2 D.6a2 答案　A 解析　f(a)－f(－a)＝3a2－1－[3(－a)2－1]＝0. 4.下列两个集合间的对应关系中，是A到B的函数的为(　　) A.A＝{－1，0，1，2}，B＝{－1，0，1，2}，f：A中的数的平方 B.A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数的开方 C.A＝Z，B＝Q，f：A中的数的倒数 D.A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8}，f：A中的数的2倍 答案　D 解析　A中，元素2的平方为4，不是集合B中的元素，因此不是函数关系；B中，对于集合A中的元素1，在集合B中有两个元素与之对应，因此不是函数关系；C中，集合A中的元素0的倒数没有意义，在集合B中没有元素与之对应，因此不是函数关系；D中，可构成函数关系. 5.下列各组函数中，f(x)和g(x)表示同一个函数的是(　　) A.f＝x2与g B.f与g C.f与g D.f＝x0与g＝1 答案　B 解析　对于A，f的定义域为R，而g的定义域为∪，故两者不是同一个函数，故A错误； 对于B，两个函数的定义域均为R，且g，故两个函数的对应关系也相同，故B正确； 对于C，f的定义域为，而g的定义域为R，故两者不是同一个函数，故C错误； 对于D，f的定义域为∪，而g(x)的定义域为R，故两者不是同一个函数，故D错误. 6.若函数f(x)＝ax2－1，a为一个正数，且f(f(－1))＝－1，那么a的值是(　　) A.1 B.0 C.－1 D.2 答案　A 解析　∵f(x)＝ax2－1， ∴f(－1)＝a－1， f(f(－1))＝f(a－1)＝a(a－1)2－1＝－1. ∴a(a－1)2＝0. 又∵a为正数，∴a＝1. 7.(5分)已知f(x)＝则f(f(2))＝　　　　.  答案　－ 解析　∵f(2)＝－22＋1＝－3， ∴f(f(2))＝f(－3)＝＝－. 8.(5分)已知函数f(x)＝，则f(x)的值域是　　　.  答案　 解析　∵x2＋2≥2，∴0<≤， ∴f(x)的值域为. 9.(10分)求下列函数的定义域. (1)y＝；(5分) (2)f(x)＝＋(x＋1)0.(5分) 解　(1)因为|x|－x≠0，即|x|≠x，所以x<0， 所以该函数的定义域为(－∞，0). (2)要使函数f(x)有意义， 应有即 所以函数f(x)的定义域是[－6，－4)∪(－4，－1)∪(－1，＋∞). 10.(10分)已知函数f(x)＝. (1)求f(2)＋f，f(3)＋f的值；(6分) (2)求证：f(x)＋f是定值.(4分) (1)解　因为f， 所以f＋f＝1， f＋f＝1. (2)证明　f＋f＝1，是定值. 11.(多选)下列四个函数，其中定义域与值域相同的函数有(　　) A.y＝3－x B.y＝ C.y＝x2＋2x－10 D.y＝ 答案　ABD 解析　y＝3－x的定义域和值域均为R； y＝的定义域为{x∈R|x≠0}，值域为{y∈R|y≠0}，定义域与值域相同； y＝x2＋2x－10＝(x＋1)2－11的定义域为R，值域为{y|y≥－11}，定义域与值域不相同； y＝的定义域为R， 当x≤0时，y＝－x≥0； 当x>0时，y＝－<0，则函数值域为R，故函数定义域与值域相同. 12.(多选)若函数f(x)＝的定义域为(－∞，m]，则实数m的可能取值为(　　) A.0 B.1 C.－1 D.－2 答案　CD 解析　由f(x)＝可知，x≤m且x≠0. 又f(x)＝的定义域为(－∞，m]， 故m<0. 若m≥0，则0∈(－∞，m]，不符合题意， 所以m可能为－1，－2. 13.已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且函数f(x)满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，若f(16)＝1，则f()的值是(　　) A.－ B. C. D. 答案　C 解析　∵函数f(x)满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，且f(16)＝1， ∴f(16)＝f(4)＋f(4)＝2f(2)＋2f(2)＝4f(2)＝4[f()＋f()]＝8f＝1， ∴f()＝. 14.(5分)已知函数f(x)＝的定义域为R，则k的取值范围是　　　　.  答案　[0，1) 解析　由题意可得kx2－4kx＋k＋3>0恒成立. ①当k＝0时，3>0恒成立，所以满足题意； ②当k≠0时，则 解得0<k<1. 综上，k的取值范围为[0，1). 15.(5分)已知函数f(x)＝(x>1)，g(x)＝(x≥2)，若存在函数F(x)，G(x)满足：F(x)＝|f(x)|·g(x)，＝|g(x)|.学生甲认为函数F(x)，G(x)一定是同一个函数，乙认为函数F(x)，G(x)一定不是同一个函数，丙认为函数F(x)，G(x)不一定是同一个函数，观点正确的学生是　　　　.  答案　甲 解析　要使F(x)有意义，则解得x≥2，即F(x)的定义域为[2，＋∞)， 要使＝|g(x)|有意义，则解得x≥2，所以G(x)的定义域为[2，＋∞). 易得F(x)＝··(x≥2)， 由＝|g(x)|，得G(x)＝f(x)·|g(x)|＝··(x≥2)， 则函数F(x)，G(x)的定义域相同，对应关系相同，故函数F(x)，G(x)是同一个函数， 故观点正确的是甲. 16.(12分)(1)已知f(x)的定义域为[0，2]，求f(x＋1)的定义域；(4分) (2)已知f(x＋1)的定义域为[0，2]，求f(x)的定义域；(4分) (3)已知函数f(2x－1)的定义域为[－1，1]，求函数f(x－2)的定义域.(4分) 解　(1)已知f(x)的定义域为[0，2]， 则0≤x≤2，由0≤x＋1≤2，得－1≤x≤1. 即f(x＋1)的定义域为[－1，1]. (2)已知f(x＋1)的定义域为[0，2]， 则0≤x≤2，则1≤x＋1≤3， 即f(x)的定义域为[1，3]. (3)已知函数f(2x－1)的定义域为[－1，1]， 则－1≤x≤1，则－3≤2x－1≤1. 由－3≤x－2≤1，得－1≤x≤3， 即函数f(x－2)的定义域为[－1，3]. 学科网（北京）股份有限公司 $