第2章 §3 第1课时 函数的单调性和最值（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦高中数学函数的单调性和最值核心知识点，通过函数图象观察变化规律，抽象出单调递增、递减及区间的符号语言定义，结合图象法求单调区间与最值、定义法证明单调性、利用单调性求最值，构建“直观感知-抽象定义-应用实践”的学习支架。 以艾宾浩斯记忆遗忘曲线引入培养数学眼光，通过问题链引导学生从图象到定义发展数学思维，设计分层例题与跟踪训练提升数学语言表达。课中助力教师引导探究，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺，强化逻辑推理与数形结合能力。

第1课时　函数的单调性和最值 学习目标　1.借助函数图象，会用符号语言表示函数的单调性和最值.2.能根据函数的图象求单调区间和最值.3.掌握用函数单调性的定义证明或判断单调性. 导语 德国心理学家艾宾浩斯研究发现，遗忘在学习之后立即开始，而且遗忘的进程并不是均匀的，最初遗忘的速度较快，以后逐渐缓慢，他认为：“保持和遗忘是时间的函数”，并根据实验结果绘成描述遗忘进程的曲线，即著名的艾宾浩斯记忆遗忘曲线，如图所示. 这条曲线告诉我们，学习中的遗忘是有规律的，遗忘进程是不均衡的，记忆的最初阶段遗忘的速度很快，后来逐渐变慢了.这条曲线表明了遗忘规律是“先快后慢”，通过这条曲线能说明什么数学问题呢？ 一、图象法求函数的单调区间、最值 问题1　结合下列函数的图象，分析其变化规律，回答下列问题： (1)对于函数f(x)＝2x，其定义域为R.在区间(－∞，＋∞)上，图象从左到右是上升还是下降？函数值随x的增大是增大还是减小？ (2)对于函数f(x)＝x2，其定义域为R.在区间(－∞，0)上，图象从左到右是上升还是下降？函数值随x的增大是增大还是减小？在区间(0，＋∞)上，图象从左到右是上升还是下降？函数值随x的增大是增大还是减小？ 提示　(1)上升，增大.(2)下降，减小；上升，增大. 知识梳理　 1.单调递增和单调递减 2.函数的单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就称函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，单调递增区间和单调递减区间统称为单调区间. 3.增函数、减函数 如果对于定义域D上任意的x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数y＝f(x)是增函数. 如果对于定义域D上任意的x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数y＝f(x)是减函数. 注意点： (1)在函数单调性的定义中，注意“任意”不能省略，不能用特殊代替一般. (2)单调性的等价形式 对于定义域内的区间D上任意的x1，x2，且x1≠x2，若>0或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则函数是增函数； 若<0或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，则函数是减函数. (3)单调区间一般不能取并集，而应用“和”或“，”连接，特殊情况下，单调区间可以取并集.如图所示f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞). 问题2　如图所示是函数y＝－x2－2x，y＝－2x＋1(x∈[－1，＋∞))，y＝f(x)的图象.观察并描述这三个图象的共同特征. 提示　函数y＝－x2－2x的图象有最高点A，函数y＝－2x＋1，x∈[－1，＋∞)的图象有最高点B，函数y＝f(x)的图象有最高点C，也就是说，这三个函数图象的共同特征是都有最高点. 知识梳理　函数的最值 最大值 最小值 条件 设函数y＝f(x)的定义域为D，存在实数M，对所有的x∈D，都有 f(x)≤M f(x)≥M 存在x0∈D，使得f(x0)＝M 结论 称M为函数y＝f(x)的最大值 称M为函数y＝f(x)的最小值 函数的最大值和最小值统称为最值. 注意点： (1)最大(小)值的几何意义：最高(低)点的纵坐标. (2)并不是所有的函数都有最大(小)值，比如y＝x，x∈R. (3)一个函数至多有一个最大(小)值. (4)研究函数最值需先研究函数的定义域和单调性. (5)对于定义域内的任意x都满足f(x)≤M(f(x)≥M)，那么M不一定是函数f(x)的最大(小)值，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)＝M时，M才是函数的最大(小)值，否则不是.比如f(x)＝－x2≤3成立，但3不是f(x)的最大值，0才是它的最大值. 例1　(1)(课本例1)设f(x)＝(x<0)，画出f(x＋3)(x<－3)的图象，并通过图象直观判断它的单调性. 解　依题意知f(x＋3)＝(x<－3)， 其图像可由f(x)＝(x<0)的图象向左平移3个单位长度得到(如图).该函数在区间(－∞，－3)上单调递减. (2)(课本例2)根据函数图象直观判断y＝|x－1|的单调性，并求出最小值. 解　函数y＝|x－1|可以表示为 y＝ 画出该函数的图象(如图). 由图象可知该函数在区间(－∞，1]上单调递减，在区间[1，＋∞)上单调递增.当x＝1时，y＝|x－1|取得最小值，最小值为0. 例1　作出函数f(x)＝的图象，并指出函数f(x)的单调区间和最值. 解　f(x)＝的图象如图所示， 由图可知，函数f(x)的单调递减区间为(－∞，1]和(1，2)，单调递增区间为[2，＋∞). 由图知，当x＝1时，y＝f(x)取得最小值，最小值为－4；f(x)无最大值. 反思感悟　图象法求函数的单调区间与最值的步骤 (1)作出函数y＝f(x)的图象. (2)找出对应的单调区间，如果图象有最高点和最低点，则最高点与最低点的纵坐标分别为y＝f(x)的最大值和最小值. 跟踪训练1　(1)画出函数y＝|x|(x－2)的图象，并指出函数的单调区间. 解　y＝|x|(x－2)＝ 函数的图象如图中实线部分所示.由函数的图象知，函数的单调递增区间为(－∞，0]和[1，＋∞)，单调递减区间为(0，1). (2)已知函数f(x)＝求f(x)的最大值、最小值. 解　作出函数f(x)的图象，如图.由图象可知，当x＝±1时，f(x)取得最大值，最大值为f(1)＝f(－1)＝1. 当x＝0时，f(x)取得最小值，最小值为f(0)＝0， 故f(x)的最大值为1，最小值为0. 二、函数单调性的证明 例2　(课本例5)试用函数单调性的定义证明：函数f(x)＝x＋在区间(0，1]上单调递减，在区间[1，＋∞)上单调递增. 证明　任取x1，x2∈(0，1]，且x1<x2. f(x1)－f(x2)＝ ＝x1－x2－ ＝(x1－x2) ＝. 因为0<x1<x2≤1， 所以x1－x2<0，0<x1x2<1，则>0， 即f(x1)－f(x2)>0. 这表明函数f(x)＝x＋在区间(0，1]上单调递减. 同理可证，函数f(x)＝x＋在区间[1，＋∞)上单调递增. 例2　证明函数f(x)＝在区间(2，＋∞)上单调递减. 证明　∀x1，x2∈(2，＋∞)，且x1<x2， f(x1)－f(x2)＝ ＝. 因为2<x1<x2， 所以x2－x1>0，>4，>4， 所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2). 所以函数f(x)＝在区间(2，＋∞)上单调递减. 反思感悟　利用定义判断或证明函数单调性的步骤 跟踪训练2　求证：函数f(x)＝－－1在区间(－∞，0)上单调递增. 证明　∀x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2， f(x1)－f(x2)＝－－1－ ＝， 由题设可得，x1－x2<0，x1x2>0， 所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， 故函数f(x)＝－－1在区间(－∞，0)上单调递增. 三、利用函数的单调性求最值 例3　已知函数f(x)＝，x∈[3，5]. (1)判断函数f(x)的单调性并证明； (2)求函数f(x)的最大值和最小值. 解　(1)f(x)在[3，5]上单调递增，证明如下： 任取x1，x2∈[3，5]，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝ ＝， 因为3≤x1<x2≤5， 所以x1－x2<0，(x1＋2)(x2＋2)>0， 所以f(x1)－f(x2)<0， 即f(x1)<f(x2). 所以f(x)在[3，5]上单调递增. (2)由(1)知，f(x)在[3，5]上单调递增， 则f(x)max＝f(5)＝， f(x)min＝f(3)＝. 反思感悟　函数的最大(小)值与单调性的关系 (1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增(减)，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b). (2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增(减)，在区间[b，c]上单调递减(增)，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个. 跟踪训练3　已知函数f(x)＝x＋. (1)求证：f(x)在[1，＋∞)上单调递增； (2)求f(x)在[1，4]上的最大值及最小值. (1)证明　∀x1，x2∈[1，＋∞)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝ ＝. ∵1≤x1<x2，∴x1－x2<0，x1x2>1， ∴x1x2－1>0，∴<0， 即f(x1)<f(x2). ∴f(x)在[1，＋∞)上单调递增. (2)解　由(1)可知f(x)在[1，4]上单调递增， ∴当x＝1时，f(x)取得最小值，最小值为f(1)＝2， 当x＝4时，f(x)取得最大值，最大值为f(4)＝. 综上所述，f(x)在[1，4]上的最大值是，最小值是2. 1.知识清单： (1)函数的单调区间、最值. (2)函数单调性的证明. (3)利用函数的单调性求最值. 2.方法归纳：定义法、数形结合法、配方法. 3.常见误区： (1)函数的单调区间误用并集； (2)最值M一定是一个函数值，是值域中的一个元素； (3)用定义证明单调性时化简不彻底. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分 1.设(a，b)，(c，d)都是f(x)的单调递增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1<x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系为(　　) A.f(x1)<f(x2) B.f(x1)>f(x2) C.f(x1)＝f(x2) D.不能确定 答案　D 解析　由函数单调性的定义，知所取两个自变量必须是同一单调区间内的值，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中的x1，x2不在同一单调区间内，所以f(x1)与f(x2)的大小关系不能确定，故选D. 2.函数y＝f(x)的图象如图所示，其单调递增区间是(　　) A.[－4，4] B.[－4，－3]∪[1，4] C.[－3，1] D.[－3，4] 答案　C 解析　由题图可知，函数y＝f(x)的单调递增区间为[－3，1]. 3.函数y＝－|x＋1|在区间[－2，0]上(　　) A.单调递减 B.单调递增 C.先减后增 D.先增后减 答案　D 解析　函数y＝－|x＋1|的图象如图， ∴函数y＝－|x＋1|在[－2，－1]上单调递增，在[－1，0]上单调递减. 4.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x(其中销售量单位：辆).若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为(　　) A.90万元 B.60万元 C.120万元 D.120.25万元 答案　C 解析　设公司在甲地销售x辆， 则在乙地销售(15－x)辆，公司获利为 L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30 ＝－＋30＋， ∴当x＝9或10时，L的最大值为120万元. 5.下列函数中，在(0，1)上单调递增的是(　　) A.y＝|x| B.y＝ C.y＝1－2x D.y＝(2x－1)2 答案　A 解析　对于A，y＝|x|＝函数在(0，1)上单调递增，所以A正确； 对于B，y＝在(0，1)上单调递减，所以B错误； 对于C，y＝1－2x在(0，1)上单调递减，所以C错误； 对于D，y＝(2x－1)2在上单调递减，在上单调递增，所以D错误. 6.设函数f(x)＝在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为M，m，则等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　易知f(x)＝＝2＋， 所以f(x)在区间[3，4]上单调递减， 所以M＝f(3)＝2＋＝6， m＝f(4)＝2＋＝4， 所以. 7.(5分)函数y＝f(x)的定义域为[－4，6]，若函数f(x)在区间[－4，－2]上单调递减，在区间(－2，6]上单调递增，且f(－4)<f(6)，则函数f(x)的最小值是　　　　，最大值是　　　　.  答案　f(－2)　f(6) 解析　作出符合条件的函数的简图(图略)，可知f(x)min＝f(－2)，f(x)max＝f(6). 8.(5分)对于函数f(x)，在使f(x)≥M成立的所有实数M中，我们把M的最大值Mmax叫作函数f(x)的下确界，则对于a∈R，a2－4a＋6的下确界为　　　　.  答案　2 解析　设f(a)＝a2－4a＋6，f(a)≥M， 即f(a)min≥M， 而f(a)＝(a－2)2＋2，f(a)min＝f(2)＝2. ∴M≤2，∴Mmax＝2. 9.(10分)已知函数f (1)请在给定的坐标系中画出此函数的图象；(5分) (2)写出此函数的单调区间，并写出值域.(5分) 解　(1)函数的图象如图所示. (2)由题可知，f(x)的定义域为R，单调递增区间为[1，3]，单调递减区间为(-∞，0)，[0，1]，[3，+∞)，值域为(-∞，3]. 10.(13分)已知函数f(x)＝＋3(x∈[2，4])，求函数f(x)的最大值和最小值. 解　设x1，x2是[2，4]上任意两个实数，且x1<x2， 所以f(x1)－f(x2)＝＋3－ ＝ ＝， 因为2≤x1<x2≤4， 所以x1－x2<0，1－x1<0，1－x2<0， 所以f(x1)－f(x2)<0， 即f(x1)<f(x2)， 所以f(x)在[2，4]上单调递增， 所以f(x)max＝f(4)＝1，f(x)min＝f(2)＝－3. 11.设函数y＝f(x)的定义域为D，开区间I⊆D，则“∀x1∈I，∃x2∈I且x1<x2，都有f(x1)<f(x2)”是“y＝f(x)在I上单调递增”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　B 解析　函数y＝ f(x)在I上单调递增，则∀x1∈I，∃x2∈I且x1<x2，都有f(x1)<f(x2)，必要性成立； 取函数f(x)＝ 区间I＝(－1，1)， 显然∀x1∈I，∃x2∈I且x1<x2，都有f(x1)<f(x2)， 而函数f(x)在I上不单调，充分性不成立， 所以“∀x1∈I，∃x2∈I且x1<x2，都有f(x1)<f(x2)”是“y＝f(x)在I上单调递增”的必要不充分条件. 12.如果函数y＝f在区间I上单调递增，而函数y＝在区间I上单调递减，那么称函数f在区间I上为“缓增函数”，区间I为f的“缓增区间”.若函数f＝x2－2x＋4是区间I上的“缓增函数”，则f的“缓增区间”I为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由二次函数的基本性质可知，函数f＝x2－2x＋4的单调递增区间为. 设g＝x＋－2，则函数g在区间上单调递减，在区间上单调递增，下面来证明这一结论. 任取x1，x2∈[2，+∞)，且x1>x2，即x1>x2≥2， 则g(x1)－g(x2) ＝ ＝， 因为x1>x2≥2，则x1－x2>0，x1x2>4， 所以g(x1)>g(x2) 所以函数g(x)在区间[2，+∞)上单调递增，同理可证函数g(x)在区间(0，2]上单调递减. 因此f(x)的“缓增区间”为I＝[1，+∞)∩(0，2]＝[1，2]. 13.(多选)定义在R上的函数y＝f(x＋1)的图象如图所示，它在定义域上是减函数，则下列结论中正确的是(　　) A.f(0)＝1 B.f(－1)＝1 C.若x>0，则f(x)<0 D.若x<0，则f(x)>0 答案　AD 解析　由函数y＝f(x＋1)为减函数且图象过点(－1，1)，(0，0)可知函数y＝f(x)为减函数，且图象过点(0，1)，(1，0)，图象如图， 所以A，D正确. 14.(多选)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，y＝[x]也被称为“高斯函数”，例如：[－3.5]＝－4，[2.1]＝2.已知函数f(x)＝[x＋1]－x，下列说法中正确的是(　　) A.f(x)的对称轴是x＝1 B.f(x)的值域是(0，1] C.f(x)在(0，1)上单调递减 D.∀x∈R，[f(x)]＝0 答案　BC 解析　由题意可知 ∴f－x＝ 可画出函数图象，如图. 故函数f不存在对称轴，值域为(0，1]，在(0，1)上单调递减，故BC正确，A错误； 对于D，取x＝－1，f(-1)＝1，则[f(-1)]＝1，故D错误. 15.(15分)若函数y＝f(x)在区间[m，n]上的函数值的集合恰为，则称区间[m，n]为y＝f(x)的一个“Γ区间”.设f(x)＝－x＋2x. (1)试判断区间是否为函数y＝f(x)的一个“Γ区间”，并说明理由；(7分) (2)求函数y＝f(x)在[1，＋∞)内的“Γ区间”.(8分) 解　(1)f(x)＝－x＋2x＝ 当x∈时， f(x)＝－x＋2x＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1， 画出f(x)的图象(图略)，由图象可知，f(x)在上单调递增，在上单调递减， 所以当x＝1时，f(x)max＝f(1)＝－(1－1)2＋1＝1， 当x＝或x＝时， f(x)min＝f＝－＋1＝， 故此时函数y＝f(x)的函数值的集合为， 而此时≠， 所以区间不是函数y＝f(x)的一个“Γ区间”. (2)设y＝f(x)的 “Γ区间”为[a，b]⊆[1，＋∞)，a<b， 则y＝f(x)的函数值的集合为， 由图象可知f(x)＝－(x－1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减， 则 因为1≤a<b，故得a＝1，b＝， 所以y＝f(x)在[1，＋∞]内的 “Γ区间”为. 学科网（北京）股份有限公司 $