第1章 2.1 第2课时 充要条件（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦高中数学“充要条件”核心知识点，前承充分条件与必要条件，通过判断“若p则q”及其逆命题的真假定义充要条件，涵盖判断方法、证明及应用，构建完整知识支架。 以“人不犯我，我不犯人”等生活实例引入培养数学眼光，问题链引导推理发展数学思维，例题与证明题强化数学语言表达。课中助力教师教学，课后通过练习帮助学生巩固，查漏补缺。

第2课时　充要条件 学习目标　1.理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系.2.会判断一些简单的充要条件问题.3.能对充要条件进行证明. 导语 同学们，上节课，我们学习了充分条件与必要条件，让我们知道了导致结论成立的条件可能不唯一，同样的条件也可能得出不同的结论，但生活中还有一些实例，比如：“人不犯我，我不犯人，人若犯我，我必犯人”，像这种条件和结论唯一的结构，其实在我们数学上，也有很多类似的问题，让我们一探究竟吧！ 一、充要条件的判断 问题1　下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？ (1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等； (2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等； (3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，则ac<0； (4)若A∪B是空集，则A与B均是空集. 提示　不难发现，上述命题中的命题(1)(4)和它们的逆命题都是真命题；命题(2)是真命题，但它的逆命题是假命题；命题(3)是假命题，但它的逆命题是真命题. 问题2　你能通过判断原命题和逆命题的真假来判断p，q的关系吗？ 提示　首先原命题和逆命题都是成对出现的，不能说单独的一个命题是逆命题. 判断p是q的什么条件，其实质是判断“若p，则q”及其逆命题“若q，则p”是真是假，原命题为真而逆命题为假，p是q的充分不必要条件；原命题为假而逆命题为真，则p是q的必要不充分条件；原命题为真，逆命题为真，则p是q的充要条件；原命题为假，逆命题为假，则p是q的既不充分也不必要条件. 知识梳理 1.一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件，记作p⇔q.p是q的充要条件也常常说成“p成立当且仅当q成立”，或“p与q等价”. 2.条件与结论的等价性：当p是q的充要条件时，q也是p的充要条件. 注意点： (1)分类： ①p⇒q，q不能推出p⇔p是q的充分不必要条件； ②q⇒p，p不能推出q⇔p是q的必要不充分条件； ③p⇒q且q⇒p⇔p是q的充要条件； ④p不能推出q且q不能推出p⇔p是q的既不充分也不必要条件. (2)传递性： ①p⇒q，q⇒s则p⇒s，即p是s的充分条件； ②q⇒p，s⇒q则s⇒p，即p是s的必要条件； ③p⇔q，q⇔s则p⇔s，即p是s的充要条件. 例1　(课本例3)在下列各题中，试判断p是q的什么条件. (1)p：A⊆B，q：A∩B＝A； (2)p：a＝b，q：|a|＝|b|； (3)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形. 解　(1)因为命题“若A⊆B，则A∩B＝A”为真命题，并且“若A∩B＝A则A⊆B”也为真命题，所以p是q的充要条件. (2)因为“a＝b”⇒“|a|＝|b|”，但是“|a|＝|b|”不能推出“a＝b”，例如，“|1|＝|－1|”，而“1≠ －1”，所以p是q的充分条件，但不是必要条件. (3)因为“四边形的对角线相等”不能推出“四边形是平行四边形”，并且“四边形是平行四边形”也不能推出“四边形的对角线相等”，所以p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件. 例1　指出下列各题中，p是q的什么条件.(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”) (1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除； (2)p：m<0，q：一元二次方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正根和一负根； (3)p：|ab|＝ab，q：ab>0； (4)p：a是自然数，q：a是正数. 解　(1)∵p⇒q，q不能推出p， ∴p是q的充分不必要条件. (2)记一元二次方程x2＋(m－3)x＋m＝0的两根为x1，x2，则x1x2＝m， ∴方程有一正根和一负根等价于x1x2<0， x1x2<0⇔m<0， 故p是q的充要条件. (3)∵ab＝0时，|ab|＝ab， ∴“|ab|＝ab”不能推出“ab>0”， 即p不能推出q. 而当ab>0时，有|ab|＝ab，即q⇒p. ∴p是q的必要不充分条件. (4)0是自然数，但0不是正数，故p不能推出q； 又是正数，但不是自然数，故q不能推出p. ∴p是q的既不充分也不必要条件. 反思感悟　判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假. (2)集合法：即利用集合之间的包含关系判断. (3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性. 跟踪训练1　下列各题中，p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”回答)？ (1)p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等； (2)p：☉O内两条弦相等，q：☉O内两条弦所对的圆周角相等； (3)p：A∩B＝∅，q：A与B之一为空集； (4)p：a能被6整除，q：a能被3整除； 解　(1)充要条件；(2)必要不充分条件；(3)必要不充分条件；(4)充分不必要条件. 二、充要条件的证明 例2　求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是常数且a≠0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac<0. 证明　必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正实根和一负实根， ∴Δ＝b2－4ac>0，且x1x2＝<0，∴ac<0. 充分性：由ac<0可推出Δ＝b2－4ac>0及x1x2＝<0， ∴方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正一负两实根. ∴原命题得证. 反思感悟　充要条件证明的两个思路 (1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性. (2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件. 跟踪训练2　求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0. 证明　①充分性：如果b＝0，那么y＝kx， 当x＝0时，y＝0，函数图象过原点. ②必要性：因为y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点， 所以当x＝0时，y＝0，得0＝k·0＋b，所以b＝0. 综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0. 三、充分、必要条件的应用 例3　已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 解　p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0). 设A＝{x|－2≤x≤10}，B＝{x|1－m≤x≤1＋m}(m>0)， 因为p是q的必要不充分条件， 所以q是p的充分不必要条件， 所以B⫋A， 故有或解得m≤3. 又m>0， 所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}. 延伸探究1　若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围. 解　p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0). 设A＝{x|－2≤x≤10}， B＝{x|1－m≤x≤1＋m}(m>0)， 因为p是q的充分不必要条件， 所以AB. 所以或解得m≥9， 即实数m的取值范围是{m|m≥9}. 延伸探究2　本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由. 解　因为p：－2≤x≤10， q：1－m≤x≤1＋m(m>0). 若p是q的充要条件，则无解. 故不存在实数m，使得p是q的充要条件. 反思感悟　利用充分条件和必要条件求参数的取值范围，主要是根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合之间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组求解. 1.知识清单： (1)充要条件概念的理解. (2)充要条件的证明. (3)根据条件求参数范围. 2.方法归纳：等价转化法. 3.常见误区： (1)条件和结论辨别不清. (2)充分、必要条件问题转化为集合之间的关系易颠倒. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共24分 1.设x∈R，则“x＝1”是“x3＝x”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　A 解析　当x＝1时，x3＝x成立.若x3＝x，x(x2－1)＝0，得x＝－1，0，1，不一定得到x＝1. 2.荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这句来自先秦时期的名言.此名言中的“积跬步”是“至千里”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　B 解析　由名言可得大意为如果不“积跬步”，便不能“至千里”， 荀子的名言表明积跬步未必能至千里，但要至千里必须积跬步， 所以“积跬步”是“至千里”的必要不充分条件. 3.设p是q的充分不必要条件，r是q的必要不充分条件，s是r的充要条件，则s是p的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　B 解析　因为p是q的充分不必要条件，所以p⇒q且q⇏p， 因为r是q的必要不充分条件，所以q⇒r且r⇏q. 因为s是r的充要条件， 所以s⇒r且r⇒s，如图， 所以p⇒s且s⇏p， 故s是p的必要不充分条件. 4.(多选)下列选项中正确的是(　　) A.点P到圆心O的距离大于圆的半径是点P在☉O外的充要条件 B.两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件 C.A∪B＝A是B⊆A的必要不充分条件 D.x或y为有理数是xy为有理数的既不充分也不必要条件 答案　AD 5.p：－1≤x<2的一个充分不必要条件是(　　) A.－1≤x<3 B.－1≤x<2 C.0≤x<2 D.0≤x<3 答案　C 解析　集合{x|0≤x<2}是集合{x|－1≤x<2}的真子集， 故0≤x<2是p的一个充分不必要条件. 而－1≤x<2是p的充要条件，－1≤x<3是p的必要不充分条件，0≤x<3是p的既不充分也不必要条件. 6.已知p：(x－1)(y－2)＝0，q：(x－1)2＋(y－2)2＝0，则p是q的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　B 解析　由(x－1)(y－2)＝0，解得x＝1或y＝2， 由(x－1)2＋(y－2)2＝0， 解得则p所表示的集合真包含q所表示的集合，故p是q的必要不充分条件. 7.(5分)函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝　　　　.  答案　－2 解析　函数y＝x2＋mx＋1的对称轴为直线x＝－， 令－＝1，解得m＝－2， 所以函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2. 8.(5分)已知A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|－1<x<m＋1}，若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，则实数m的取值范围是　　　　.  答案　{m|m>2} 解析　由题意，得x∈A⇒x∈B，但x∈B不能推出x∈A，∴AB，∴3<m＋1，即m>2. 9.(10分)求证：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0. 证明　必要性：∵关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1， ∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0. ∴a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0. 充分性：∵a＋b＋c＝0， ∴c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中， 可得ax2＋bx－a－b＝0， 即(x－1)·(ax＋a＋b)＝0. 因此，方程有一个根为x＝1，故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0. 10.(10分)已知p：A＝{x|2a－1<x<3a＋1}，q：B＝{x|－1<x<4}. (1)若p是q的充分条件，求实数a的取值范围.(5分) (2)是否存在实数a，使得p是q的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.(5分) 解　(1)集合A＝{x|2a－1<x<3a＋1}，集合B＝{x|－1<x<4}. 因为p是q的充分条件，所以A⊆B， 当A＝∅时，有2a－1≥3a＋1， 解得a≤－2，满足题意； 当A≠∅时，要使A⊆B成立，需满足解得0≤a≤1， 综上，实数a的取值范围为(－∞，－2]∪[0，1]. (2)假设存在实数a，使得p是q的充要条件， 那么A＝B，则必有无解. 故不存在实数a，使得A＝B， 即不存在实数a，使得p是q的充要条件. 11.(多选)设U是全集，A，B是U的两个子集，则“A∩B＝A”的充要条件是(　　) A.A⊆B B.B⊆A C.∁UA⊇∁UB D.∁UA⊆∁UB 答案　AC 解析　由A∩B＝A可知A⊆B，反过来A⊆B，则A∩B＝A，对选项C来说，实际上也是A⊆B. 12.(多选)“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的必要不充分条件是(　　) A.m≤ B.m<0 C.m≤1 D.m<2 答案　CD 解析　由“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”可得Δ＝1－4m≥0， 解得m≤，设M＝，选项中m的范围构成集合N，则M⫋N，C，D选项符合要求. 13.(5分)当x>0时，函数y＝ax2＋2x－1中的变量y随x的增大而增大的充要条件是　　　　.  答案　a≥0 解析　若a＝0，则y＝2x－1，变量y随x的增大而增大，符合条件； 若a≠0，则必有得a>0. 综上，所求的充要条件是a≥0. 14.(5分)若集合A＝{x|x>－2}，B＝{x|x≤b，b∈R}，则A∪B＝R的一个必要不充分条件是　　　　　　　　　；A∪B＝R的一个充分不必要条件是　　　　　.  答案　b≥－3　b≥－1(答案不唯一) 解析　若A∪B＝R，则b≥－2，故A∪B＝R的一个充要条件是b≥－2. 所以A∪B＝R的一个必要不充分条件可以是b≥－3. 所以A∪B＝R的一个充分不必要条件可以是b≥－1. 15.(多选)设计如图所示的四个电路图，p：“开关S闭合”；q：“灯泡L亮”，则p是q的充要条件的电路图是(　　) 答案　BD 解析　由题图知，电路图A中，开关S闭合，灯泡L亮，而灯泡L亮开关S不一定闭合，故A中p是q的充分不必要条件；电路图B中，开关S闭合，灯泡L亮，且灯泡L亮，则开关S闭合，故B中p是q的充要条件；电路图C中，开关S闭合，灯泡L不一定亮，灯泡L亮则开关S一定闭合，故C中p是q的必要不充分条件；电路图D中，开关S闭合，则灯泡L亮，灯泡L亮则一定有开关S闭合，故D中p是q的充要条件，故选BD. 16.(11分)求证：关于x的方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负实数根的充要条件是a＝1或a≤0. 证明　(1)充分性：当a＝1时，方程ax2＋2x＋1＝0的实根是x1＝x2＝－1，只有一个负实数根； 当a＝0时，方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负实根是x＝－； 当a<0时，方程ax2＋2x＋1＝0的判别式 Δ＝4－4a>0， 且x1x2＝<0，方程两根一正一负. 所以当a＝1或a≤0时，关于x的方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负实数根. (2)必要性：若方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负实数根，则 ①当a＝0时，x＝－，符合题意. ②当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0有实根， Δ＝4－4a≥0，解得a≤1； 当a＝1时，方程的根为－1，符合题意； 当a<1且a≠0时，方程有两个不相等的实数根x1，x2，若方程只有一个负实数根， 则x1x2＝<0，即a<0. 所以当关于x的方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负实数根时，a＝1或a≤0. 综上，关于x的方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负实数根的充要条件是a＝1或a≤0. 学科网（北京）股份有限公司 $