第二章 2.2 函数的表示法-【金版新学案】2025-2026学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦函数的表示法核心知识点，从初中函数关系回顾切入，系统梳理解析法、列表法、图象法的特点及应用，衔接函数图象绘制与值域分析，落实待定系数法、换元法等解析式求法，构建递进式知识支架。 资料以存款利率、购物费用等情境导入，通过实例分析培养直观想象和数学运算素养，结合取整函数拓展发展逻辑推理能力。课中助力教师分层教学，课后通过易错警示和分层练习帮助学生查漏补缺，提升应用能力。

2.2　函数的表示法 学习目标 1.了解函数的三种表示方法及各自的优缺点.　2.能用图象法表示函数并能通过函数图象得到函数的值域，提升直观想象的核心素养.　3.掌握利用图象的变换法作图，提升逻辑推理的核心素养.　4.会求函数的解析式，提升数学运算的核心素养. 任务一　函数的表示法 给出下列三个对应关系： (1)x，y∈R，y＝4x－1； (2)存款利率y与存期x的对应关系： 存期x/月 3 6 12 24 36 利率y 0.011 0.013 0.015 0.021 0.0275 (3)李明购买2B铅笔的费用与铅笔支数的关系如图所示. 问题1.结合初中所学，它们分别是用什么形式表达两个变量x，y之间的对应关系的？它们是否都是函数关系？ 提示：分别用解析式、列表、图象表示对应关系；都是函数关系. 问题2.是否任意的函数关系都可以用解析法表示？ 提示：不是. 学生用书⬇第57页 [微思考]　函数的三种表示法各有什么优缺点？ 提示：函数的三种表示法的优缺点： 购买某种饮料x听，所需钱数为y元.若每听2元，试分别用解析法、列表法、图象法将y表示成x(x∈{1，2，3，4})的函数，并指出这个函数的值域. 解：解析法：y＝2x，x∈{1，2，3，4}. 列表法：如表所示. x/听 1 2 3 4 y/元 2 4 6 8 图象法：图象由点(1，2)，(2，4)，(3，6)，(4，8)组成，如图所示. 函数的值域是{2，4，6，8}. 1.解析法、列表法、图象法是从三个不同角度表示函数的对应关系，同一个函数可用不同的方法表示. 2.在用三种方法表示函数时，要注意： (1)解析法要注明函数的定义域； (2)列表法选取的自变量的取值要具有代表性，应能反映定义域的特征； (3)图象法要注意图象是散点还是连续的曲线. 对点练1.某商场为回馈顾客，规定凡购买某品牌商品两件，赠儿童玩具一个，一顾客购买此品牌商品的件数为x件，获赠儿童玩具y个，分别用列表法、解析法、图象法将y表示成x的函数. 解：列表法： x/件 2 4 6 8 y/个 1 2 3 4 解析法：y＝0.5x，x∈； 图象法： 任务二　函数的图象及应用 (链教材P56例3、P57例4)画出下列函数的图象，并求出其值域： (1)y＝2x＋1，x∈[0，2]； (2)y＝，x∈[2，＋∞)； (3)y＝x2＋2x，x∈[－2，2]. 解：(1)当x∈[0，2]时，图象是直线y＝2x＋1的一部分，如图①所示，观察图象可知，其值域为[1，5]. (2)当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝的一部分，如图②所示，观察图象可知，其值域为(0，1]. (3)当－2≤x≤2时，图象是抛物线y＝x2＋2x的一部分，如图③所示，观察图象可知，其值域为[－1，8]. 函数y＝f(x)图象的画法 1.若y＝f(x)是已学过的基本初等函数，则描出图象上的几个关键点，直接画出图象即可，有时需要根据定义域进行取舍. 2.若y＝f(x)不是所学过的基本初等函数之一，则要按：(1)列表；(2)描点；(3)连线三个基本步骤作出y＝f(x)的图象. 对点练2.画出下列函数的图象： (1)f(x)＝x2－4｜x｜； (2)y＝x－[x](其中y＝[x]为取整函数). 解：(1)f(x)＝ 其图象如下： (2)由题意知y＝x－[x]＝x－(k－1)，其中k－1≤x＜k(k∈Z)，其图象如下： 学生用书⬇第58页 任务三　函数解析式的求法 (1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝9x＋4，求函数f(x)的解析式； (2)已知函数f(＋2)＝x，求函数f(x)的解析式； (3)已知函数y＝f(x)满足f(x)＋2f()＝x，求函数y＝f(x)的解析式. 解：(1)设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝9x＋4， 于是 所以f(x)＝3x＋1或f(x)＝－3x－2. (2)令＋2＝t，则x＝(t－2)2，t≥2，于是f(t)＝(t－2)2＝t2－4t＋4， 所以f(x)＝x2－4x＋4，x≥2. (3)由f(x)＋2f()＝x，得f()＋2f(x)＝， 由 消去f()解得f(x)＝－＋， 所以f(x)＝－＋(x≠0). 求函数解析式的四种常用方法 1.换元法：设t＝g(x)，解出x，代入f(g(x))，求f(t)的解析式即可. 2.配凑法：对f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可. 3.待定系数法：若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可. 4.方程组法(或消元法)：当同一个对应关系中有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解. 对点练3.(1)已知二次函数f(x)满足f(0)＝0，且f(x＋2)＝f(x)＋2x，求函数f(x)的解析式； (2)已知f(x＋1)＝x2＋3x－1，求函数f(x)的解析式； (3)已知f(x)＋2f(－x)＝2x＋3，求函数f(x)的解析式. 解：(1)设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 因为f(0)＝0，所以c＝0， 故此时函数解析式为f(x)＝ax2＋bx(a≠0)， 因为f(x＋2)＝f(x)＋2x，令x＝0， 所以f(2)＝f(0)＝0， 令x＝2，所以f(4)＝f(2)＋2×2＝4， 因为f(2)＝0，所以4a＋2b＝0， 因为f(4)＝4，所以16a＋4b＝4，将两个式子联立， 解得a＝，b＝－1， 故二次函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－x. (2)因为f(x＋1)＝x2＋3x－1，令x＋1＝t， 所以x＝t－1， 故f(t)＝(t－1)2＋3(t－1)－1， 化简得f(t)＝t2＋t－3， 即函数f(x)的解析式为f(x)＝x2＋x－3. (3)用－x替换f(x)＋2f(－x)＝2x＋3中的x，得f(－x)＋2f(x)＝－2x＋3， 由 解得f(x)＝－2x＋1. [教材拓展4]　取整函数f(x)＝[x](源于教材P57例4) 常用结论：取整函数f(x)＝[x]也称为高斯函数，表示不超过x的最大整数，是分段函数，定义域为R，值域为Z；图象如下 (多选题)高斯函数是数学中的一个重要函数，在自然科学、社会科学以及工程学等领域都能看到它的身影.设x∈R，用符号[x]表示不大于x的最大整数，如[1.6]＝1，[－1.6]＝－2，称函数f(x)＝[x]叫作高斯函数.下列关于高斯函数的说法正确的是(　　) A.f(－3)＝－3 B.若f(a)＝f(b)，则｜a－b｜＜1 C.函数y＝f(x)－x的值域是[－1，0) D.函数y＝xf(x)在[1，＋∞)上y随x的增大而增大 答案：ABD 解析：对于A，由高斯函数的定义，可得f(－3)＝－3，故A正确；对于B，若f(a)＝f(b)，则＝，而[x]表示不大于x的最大整数，则－1＜a－b＜1，即＜1，故B正确；对于C，函数y＝f(x)－x，当x＝1时，y＝f(1)－1＝[1]－1＝0，故C错误；对于D，函数y＝x·f(x)＝x·[x]＝即函数y＝x·f(x)为分段函数，作出函数的图象可知在上y随x的增大而增大，故D正确.故选ABD. 对点练4.世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数y＝[x]，[x]表示不超过x的最大整数，例如＝1.已知f(x)＝，x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)，则函数f(x)的值域为　　　　. 答案： 解析：根据题意，设g(x)＝，则g(x)＝＝＝2－，当x＞2时，x＋1＞3，所以0＜＜，即0＜＜1，所以1＜2－＜2，此时f(x)的取值为1；当x＜－3时，x＋1＜－2，所以－＜＜0，即－＜＜0，所以2＜2－＜，此时f(x)的取值为2或3，综上，f(x)的值域为. 任务 再现 1.函数的表示法.2.函数的图象与应用.3.函数解析式的求法 方法 提炼 待定系数法、换元法、配凑法、方程组法、数形结合法 易错 警示 求函数解析式时易忽略函数的定义域 学生用书⬇第59页 1.对于函数y＝f(x)，部分x与y的对应关系如下表： x 1 2 3 4 5 6 7 y 7 4 5 8 1 3 4 则f(f(1))的值为(　　) A.1 B.3 C.4 D.5 答案：C 解析：由表格可得，f(1)＝7，所以f(f(1))＝f(7)＝4.故选C. 2.已知f＝x－2，则f(x)的解析式为(　　) A.f(x)＝x2－1 B.f(x)＝x2＋1(x≥－1) C.f(x)＝x2－1(x≥－1) D.f(x)＝x2＋1 答案：C 解析：令t＝－1，t≥－1，由f＝x－2＝－1，则f(t)＝t2－1，t≥－1，即f(x)＝x2－1(x≥－1).故选C. 3.(多选题)已知函数f(x)＝2x，x∈，则下列选项正确的是(　　) A.f(x)的图象是一条直线 B.f(x)的图象是五个孤立点 C.f(x)的值域是 D.f(x)的最大值是10 答案：BCD 解析：因为f(x)的定义域是只能取五个整数，所以它的图象是散点图，故A错误，B正确；将x的值代入f(x)＝2x，得函数值为2，4，6，8，10，故C，D正确.故选BCD. 4.函数y＝f(x)的图象如图所示，函数f(x)的值域为　　　　. 答案：[1，5] 解析：由图象可知，函数f(x)的值域为[1，5]. 课时分层评价17　函数的表示法 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9题，每小题5分，共45分) 1.某种产品每件定价80元，每天可售出30千克，如果每件定价120元，则每天可售出20千克，如果销售量是定价的一次函数，则这个函数解析式为(　　) A.y＝－x＋50(0＜x≤200) B.y＝x＋50(0＜x≤100) C.y＝－x＋50(0＜x≤100) D.y＝x＋50(0＜x≤200) 答案：A 解析：设解析式为y＝kx＋b(k≠0)，依题意有：解得k＝－，b＝50.所以y＝－x＋50(0＜x≤200). 2.已知f(x－1)＝2x＋3，f(m)＝6，则m＝(　　) A.－ B. C.－ D. 答案：D 解析：因为f(x－1)＝2x＋3＝2(x－1)＋5，所以f(x)＝2x＋5，又f(m)＝6，所以f(m)＝2m＋5＝6，解得m＝.故选D. 3.已知定义在[－2，2]上的函数y＝f(x)可表示为： x [－2，0) 0 (0，2] y 1 0 －2 设f(1)＝m，f(x)的值域为M，则(　　) A.m＝1，M＝ B.m＝－2，M＝ C.m＝1，M＝ D.m＝－2，M＝ 答案：B 解析：因为x＝1满足x∈，所以f(1)＝m＝－2，由表中数据可知：y的取值仅有－2，0，1三个值，所以M＝.故选B. 4.已知函数f(x)＝(x－1)2－1，则(　　) A.f(x－1)＝f(1－x) B.f(x－1)＝f(x＋1) C.f(1＋x)＝f(1－x) D.f(1＋x)＝－f(1－x) 答案：C 解析：因为f(x－1)＝(x－2)2－1≠f(1－x)＝x2－1，而f(x＋1)＝f(1＋x)＝x2－1，所以f(1＋x)＝f(1－x).故选C. 5.函数y＝x＋的图象是(　　) 答案：C 解析：y＝x＋＝对比选项可知，只有C符合题意.故选C. 6.(多选题)已知函数f(x)＝下列关于函数f(x)的结论正确的是(　　) A.f(x)的定义域是R B.f(x)的值域是 C.若f(x)＝3，则x＝ D.f(x)的图象与直线y＝2有一个交点 答案：BCD 解析：对于A，f(x)的定义域是，故A错误；对于B，当x≤－1时，x＋2≤1，当－1＜x＜2时，0≤x2＜4，1≤x2＋1＜5，所以f(x)的值域是，故B正确；对于C，由B选项的分析可知，若f(x)＝3，则解得x＝，故C正确；对于D，画出f(x)的图象与直线y＝2如图所示，由图可知，f(x)的图象与直线y＝2有一个交点，故D正确.故选BCD. 7.如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为，，，则f(f(1))－f(1)＝　　　　. 答案：－2 解析：由图象可知f(1)＝2，f(2)＝0，所以有f(f(1))－f(1)＝f(2)－2＝0－2＝－2. 8.已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝4x－1，则f(x)的表达式为　　　　　　　　　. 答案：f(x)＝2x－或f(x)＝－2x＋1 解析：设f(x)＝ax＋b，因为f(f(x))＝4x－1，则f＝a＋b＝a2x＋ab＋b＝4x－1，所以所以f(x)＝2x－或f(x)＝－2x＋1. 9.(开放题)如图是某个函数y＝f(x)的图象在x∈[0，2]的一段图象.写出函数y＝f(x)在x∈[0，2]时满足图象的一个解析式f(x)＝　　　　　(写出一个即可). 答案：x2(答案不唯一) 解析：结合图象，函数f(x)＝ax2(a＞0)的图象符合题意，由图象可知函数经过点A(2，3)，因此3＝a·22，即a＝，此时函数的解析式为f(x)＝x2(答案不唯一). 10.(10分)已知函数f(x)是一次函数，且满足f(x－1)＋f(x)＝2x－1. (1)求f(x)的解析式； (2)在(1)的条件下，求函数g(x)＝f2(x)－2f(x)＋2的解析式，并求g(f(2))的值. 解：(1)由题意可设f(x)＝kx＋b，代入f(x－1)＋f(x)＝2x－1， 则k(x－1)＋b＋kx＋b＝2x－1，整理可得2kx－k＋2b＝2x－1，解得 所以f(x)＝x. (2)由f(x)＝x，则g(x)＝x2－2x＋2； 由f(2)＝2， 则g＝g(2)＝22－2×2＋2＝2. (11—13题，每小题5分，共15分) 11.某家庭利用十一长假外出自驾游，为保证行车顺利，每次加油都把油箱加满，如表记录了该家庭用车相邻两次加油时的情况. 加油时间 加油量/升 加油时的累计里程/千米 2024年10月1日 12 32 000 2024年10月6日 48 32 600 (注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程) 在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为(　　) A.6升 B.8升 C.10升 D.12升 答案：B 解析：由表格中的信息可知，2024年10月1日油箱加满了油，此时的累计里程为32 000千米，到2024年10月6日，油箱加满油需要48升，说明这段时间的耗油量为48升，累计里程为32 600千米，说明这段时间汽车行驶了32 600－32 000＝600千米，则在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为＝8升.故选B. 12.(新情境)老舍在《济南的冬天》中写到济南的冬天是没有风声的，济南的冬天是响晴的，济南真得算个宝地.济南市某一天内的气温Q(t)(单位：℃)与时刻t(单位：时)之间的关系如图所示，令C(t)表示时间段[0，t]内的温差(即时间段[0，t]内最高温度与最低温度的差)，C(t)与t之间的函数关系用下列图象表示，则下列图象正确的是(　　) 答案：D 解析：由题意C(t)，从0到4逐渐增大，从4到8不变，从8到12逐渐增大，从12到20不变，从20到24逐渐增大，从4到8不变，是常数，该常数为2，只有D满足.故选D. 13.(多选题)已知函数f＝x＋2，则(　　) A.f(x)＝x2－1(x∈R) B.f(x)的最小值为0 C.f的定义域为 D.f的值域为 答案：BC 解析：由f＝x＋2＝－1，而＋1≥1，所以f(x)＝x2－1，故A错误；当x≥1时，f(x)＝x2－1≥0，因此f(x)的最小值为0，故B正确；在函数f中，2x－3≥1，即x≥2，所以函数f，故C正确；f＝－1，由≥1，即0＜x≤1，所以∈，所以f，故D错误.故选BC. 14.(10分)已知函数f(x)＝1＋(－2＜x≤2). (1)用分段函数的形式表示函数f(x)； (2)画出函数f(x)的图象； (3)写出函数f(x)的值域. 解：(1)当0≤x≤2时，f(x)＝1＋＝1， 当－2＜x＜0时，f(x)＝1＋＝1－x. 所以f(x)＝ (2)函数f(x)的图象如图所示. (3)由(2)知，f(x)在(－2，2]上的值域为[1，3). 15.(5分)已知f(x)＝min{6－x，x}，则f(x)的值域是(　　) A.(－∞，2] B.(－∞，3] C.[0，2] D.[2，＋∞) 答案：B 解析：作出函数f(x)的图象如图中实线部分，由6－x＝x得2x＝6，x＝3，此时y＝3，即f(x)≤3，则函数f(x)的值域为(－∞，3].故选B. 16.(15分)(新设问)有三个条件：①f(x＋1)＝f(x)＋2x－1；②f(x＋1)＝f(1－x)且f(0)＝3；③f(x)≥2恒成立，且f(0)＝3.从这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答： 问题：已知二次函数f(x)的图象过点(1，2)，　　　　. (1)求f(x)的解析式； (2)求f(x)在[－1，4]上的值域. 解：(1)选条件①.设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 则f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＝ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＋c. 因为f(x＋1)＝f(x)＋2x－1， 所以ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＋c＝ax2＋bx＋c＋2x－1，所以 因为函数f(x)的图象经过点(1，2)， 所以f(1)＝a＋b＋c＝1－2＋c＝2，得c＝3. 故f(x)＝x2－2x＋3. 选条件②.设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 则f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＝ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＋c， f(1－x)＝a(1－x)2＋b(1－x)＋c＝ax2－(2a＋b)x＋a＋b＋c， 因为f(x＋1)＝f(1－x)，所以(2a＋b)x＝－(2a＋b)x，所以2a＋b＝0， 由题意得 故f(x)＝x2－2x＋3. 选条件③.设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 因为f(0)＝3，所以c＝3. 因为f(x)≥2＝f(1)恒成立，所以 故f(x)＝x2－2x＋3. (2)由(1)可知f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2. 因为－1≤x≤4，所以－2≤x－1≤3， 所以0≤(x－1)2≤9，所以2≤(x－1)2＋2≤11. 所以f(x)在[－1，4]上的值域为[2，11]. 学科网（北京）股份有限公司 $