第1章 2.1 第1课时 必要条件与充分条件（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（北师大版）

本高中数学讲义聚焦“必要条件与充分条件”核心知识点，从命题概念切入，通过性质定理梳理必要条件意义，结合判定定理理解充分条件内涵，最终延伸到参数范围求解，构建从概念到应用的完整学习支架。 资料以问题驱动结合实例分析，如通过菱形对角线等性质定理实例培养抽象能力，用定义法与命题判断法发展推理意识，借助集合关系表达条件应用强化数学语言。课中辅助教师逻辑教学，课后通过分层训练帮助学生查漏补缺，提升知识应用能力。

2.1　必要条件与充分条件 第1课时　必要条件与充分条件 学习目标　1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系.2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系. 导语 一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题.中学数学中的许多命题可以写成“若p，则q”“如果p，那么q”等形式.其中p称为命题的条件，q称为命题的结论.下面我们将进一步探究“若p，则q”形式的命题中，p和q的关系. 一、必要条件与性质定理 问题1　请同学们观察下列性质定理，它们的条件与结论之间具有怎样的逻辑关系呢？ 定理1　菱形的对角线互相垂直. 定理2　如果两个角是对顶角，那么这两个角相等. 定理3　如果两个三角形是全等三角形，那么这两个三角形的对应角相等. 提示　在这三个性质定理中，每个定理的条件都能推出结论；但由结论不一定能得到定理的条件. 知识梳理 1.命题的概念及结构形式 可以判断真假，用文字或符号表述的陈述句叫作命题.一个命题通常可以表示为“若p，则q”和“p是q”两种形式.当命题表示为“若p，则q”时，p是命题的条件，q是命题的结论.当命题“若p，则q”是真命题时，就说由p推出q，记作p⇒q. 2.必要条件 一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称q是p的必要条件，也就是说，一旦q不成立，p一定也不成立，即q对于p的成立是必要的. 3.性质定理与必要条件的关系 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件. 注意点： (1)前提p⇒q，有方向，条件在前，结论在后. (2)只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”. (3)“q是p的必要条件”还可以换种说法“p的必要条件是q”. 例1　指出下列各题中，哪些q是p的必要条件？ (1)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； (2)p：A⊆B，q：A∩B＝A； (3)p：－2≤x≤5，q：－1≤x≤5. 解　(1)因为矩形的对角线相等，所以p⇒q， 所以q是p的必要条件. (2)因为p⇒q，所以q是p的必要条件. (3)因为p推不出q， 所以q不是p的必要条件. 反思感悟　必要条件的两种判断方法 (1)定义法 (2)命题判断方法 如果命题“若p，则q”是真命题，则q是p的必要条件； 如果命题“若p，则q”是假命题，则q不是p的必要条件. 跟踪训练1　下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ (1)p：|x|＝|y|，q：x＝y； (2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形； (3)p：△ABC是等边三角形，q：△ABC是等腰三角形. 解　(1)若|x|＝|y|，则x＝y或x＝－y，因此p不能推出q，所以q不是p的必要条件. (2)直角三角形不一定是等腰三角形，因此p不能推出q，所以q不是p的必要条件. (3)等边三角形一定是等腰三角形，所以p⇒q，所以q是p的必要条件. 二、充分条件与判定定理 问题2　观察下面的判定定理，它们的条件与结论之间具有怎样的逻辑关系呢？ 定理1　若a>0，b>0，则ab>0. 定理2　对角线互相平分的四边形是平行四边形. 定理3　在一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行. 提示　由定理中的条件均能得到结论，反之由结论均不能得到条件，也就是说条件是结论的充分条件，而不是必要条件. 知识梳理 1.充分条件 一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称p是q的充分条件. 2.判定定理与充分条件的关系 数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件. 3.必要条件与充分条件 对于真命题“若p，则q”，即p⇒q时，称q是p的必要条件，也称p是q的充分条件. 注意点： (1)叙述充分、必要条件时，注意p和q的前后顺序. (2)“p是q的充分条件”还可以换种说法“q的充分条件是p”. 例2　下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ (1)若a，b为无理数，则ab为无理数； (2)在△ABC中，若∠A>∠B，则BC>AC； (3)已知a，b∈R，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0. 解　(1)，2为无理数，但×2＝4，为有理数，因此p不能推出q，所以p不是q的充分条件. (2)由三角形中大角对大边可知，若∠A>∠B，则BC>AC，因此p⇒q，所以p是q的充分条件. (3)因为a，b∈R，所以a2≥0，b2≥0，由a2＋b2＝0，可推出a＝b＝0，即p⇒q，所以p是q的充分条件. 反思感悟　充分条件的两种判断方法 (1)定义法 (2)命题判断方法 如果命题“若p，则q”是真命题，则p是q的充分条件； 如果命题“若p，则q”是假命题，则p不是q的充分条件. 跟踪训练2　(多选)下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的有(　　) A.若x<1，则x<2 B.若两个三角形的三边对应成比例，则这两个三角形相似 C.若|x|≠1，则x≠1 D.若ab>0，则a>0，b>0 答案　ABC 解析　由x<1可以推出x<2，所以选项A符合题意；由两个三角形的三边对应成比例，可以推出这两个三角形相似，所以选项B符合题意；由|x|≠1可以推出x≠1，所以选项C符合题意；由ab>0不一定能推出a>0，b>0，比如a＝b＝－1，所以选项D不符合题意. 三、由必要条件、充分条件求参数的范围 例3　已知p：实数x满足3a<x<a，其中a<0，q：实数x满足－2≤x≤3.若p是q的充分条件，求实数a的取值范围. 解　p：3a<x<a，设集合A＝{x|3a<x<a，a<0}. q：－2≤x≤3，设集合B＝{x|－2≤x≤3}. 因为p⇒q，所以A⊆B， 所以解得－≤a<0， 所以实数a的取值范围是. 延伸探究　将本例中条件p改为“实数x满足a<x<3a，其中a>0”，若p是q的必要条件，求实数a的取值范围. 解　p：a<x<3a，设集合A＝{x|a<x<3a，a>0}. q：－2≤x≤3，设集合B＝{x|－2≤x≤3}. 因为q⇒p，所以B⊆A， 所以无解，所以实数a的取值范围为∅. 反思感悟　充分条件与必要条件的应用技巧 (1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题. (2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解. 1.知识清单： (1)必要条件、充分条件的概念. (2)必要性、充分性的判断. (3)必要条件与性质定理、充分条件与判定定理的关系. (4)必要条件与充分条件的应用. 2.方法归纳：反例法. 3.常见误区： (1)必要条件、充分条件不唯一. (2)求参数范围能否取到端点值. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分 1.若p是q的充分条件，则q是p的(　　) A.充分条件 B.必要条件 C.不充分条件 D.不必要条件 答案　B 解析　因为p是q的充分条件，所以p⇒q， 所以q是p的必要条件. 2.下列各题中，p是q的充分条件的是(　　) A.p：ab≠0，q：a≠0 B.p：a2＋b2≥0，q：a≥0且b≥0 C.p：a2>1，q：a>1 D.p：a>b，q：> 答案　A 3.使x>1成立的一个必要条件是(　　) A.x>0 B.x>3 C.x>2 D.x<2 答案　A 解析　只有x>1⇒x>0，其他选项均不可由x>1推出，故选A. 4.下列命题中为真命题的是(　　) A.“a>b”是“a2>b2”的充分条件 B.“a>b”是“a2>b2”的必要条件 C.“a＋3是无理数”是“a是无理数”的充分条件 D.“x＝1”是“x2＋2x－3＝0”的必要条件 答案　C 解析　对于A，不妨设a＝0>b＝－1，但此时有a2＝0<b2＝1，所以“a>b”不是“a2>b2”的充分条件，故A为假命题；对于B，不妨设a＝－1<b＝0，但此时有a2＝1>b2＝0，所以“a>b”不是“a2>b2”的必要条件，故B为假命题；对于C，a＋3是无限不循环小数，则a是无限不循环小数，由无理数的定义可知“a＋3是无理数”是“a是无理数”的充分条件，故C为真命题；对于D，x2＋2x－3＝0，则x＝－3或x＝1，所以“x＝1”不是“x2＋2x－3＝0”的必要条件，故D为假命题. 5.已知条件p：2k－1≤x≤3，q：－5≤x≤3，若p是q的必要条件，则实数k的取值范围是(　　) A.－2<k≤0 B.0<k≤2 C.－5<k≤2 D.k≤－2 答案　D 解析　p：2k－1≤x≤3，q：－5≤x≤3， 设集合A＝{x|2k－1≤x≤3}， B＝{x|－5≤x≤3}， 因为p是q的必要条件，所以B⊆A， 所以2k－1≤－5，解得k≤－2. 6.(多选)如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么(　　) A.丙是甲的充分条件 B.丙不是甲的充分条件 C.丙是甲的必要条件 D.丙不是甲的必要条件 答案　AD 解析　因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲.又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙不能推出丙， 综上，有丙⇒甲，但甲不能推出丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件. 7.(5分)“a>2且b>2”是“a＋b>4，ab>4”的　　　条件.(用“充分”“必要”填空)  答案　充分 解析　由a>2且b>2⇒a＋b>4，ab>4， 所以是充分条件. 8.(5分)已知p：x>a，q：x＋2>0，且p是q的必要条件，则实数a的取值范围是　　　　.  答案　(－∞，－2] 解析　因为p是q的必要条件，则q⇒p，所以q对应的集合是p对应集合的子集，又q：x>－2， 故a≤－2. 9.(10分)下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ (1)若x＝y，则x2＝y2；(3分) (2)若x＝1，则x－1＝；(3分) (3)若x>1，则x2>1.(4分) 解　(1)显然p⇒q，所以p是q的充分条件， 即q是p的必要条件. (2)显然p⇒q，所以p是q的充分条件， 即q是p的必要条件. (3)显然p⇒q，所以p是q的充分条件， 即q是p的必要条件. 10.(11分)(1)是否存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件？(5分) (2)是否存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件？(6分) 解　(1)欲使2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件， 则只要⊆{x|x<－1或x>3}， 即只需－≤－1，所以m≥2. 故存在实数m≥2，使2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件. (2)欲使2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件，则只要{x|x<－1或x>3}⊆， 这是不可能的. 故不存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件. 11.设x，y是两个实数，命题“x，y中至少有一个数大于1”的充分条件是(　　) A.x＋y＝2 B.x＋y>2 C.x2＋y2>2 D.xy>1 答案　B 解析　对于选项A，当x＝1，y＝1时，满足x＋y＝2，但命题不成立； 对于选项C，D，当x＝－2，y＝－3时，满足x2＋y2>2，xy>1，但命题不成立，也不符合题意；显然选项B符合题意. 12.(多选)若关于x的方程x2＋2x＋m＝0至多有一个实数根，则它成立的必要条件可以是(　　) A.m>0 B.－2<m<1 C.m>－4 D.1≤m<2 答案　AC 解析　方程x2＋2x＋m＝0至多有一个实数根，则其判别式Δ≤0，即4－4m≤0，解得m≥1，结合选项可知，选项A和选项C正确. 13.集合A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|－a<x－b<a}.若“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件，则实数b的取值范围是(　　) A.{b|－2≤b<0} B.{b|0<b≤2} C.{b|－2<b<2} D.{b|－2≤b≤2} 答案　C 解析　A＝{x|－1<x<1}， B＝{x|－a<x－b<a}＝{x|b－a<x<b＋a}. 因为“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件， 所以－1≤b－1<1或－1<b＋1≤1，即－2<b<2. 14.已知不等式m－1<x<m＋1成立的充分条件是<x<，则实数m的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由题意得⊆{x|m－1<x<m＋1}， 所以 解得－≤m≤. 15.(5分)已知p：x<－1或x>3，q：x<－m＋1或x>m＋1(m>0)，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是　　　　.  答案　{m|0<m≤2} 解析　由题意，设集合A＝{x|x<－1，或x>3}，B＝{x|x<－m＋1，或x>m＋1，m>0}，因为p是q的充分条件，即集合A是集合B的子集， 所以解得0<m≤2， 所以实数m的取值范围是{m|0<m≤2}. 16.(12分)已知集合A＝{x|x＝m2－n2，m，n∈Z}. (1)分别判断－1，0，1是否属于集合A；(4分) (2)写出所有满足集合A的不超过15的正偶数；(4分) (3)已知集合B＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，证明：“x∈B”是“x∈A”的充分条件.(4分) (1)解　因为－1＝02－12，0＝12－(－1)2，1＝12－02，所以－1，0，1都属于集合A. (2)解　集合A＝{x|x＝m2－n2，m，n∈Z}，m2－n2＝(m－n)(m＋n)，m，n∈Z. ①当m，n同奇或同偶时，m＋n，m－n均为偶数，(m－n)(m＋n)为4的倍数； ②当m，n一奇一偶时，m＋n，m－n均为奇数，(m－n)(m＋n)为奇数， 综上，所有满足集合A的偶数为4k(k∈Z). 因此，满足集合A的不超过15的正偶数有4，8，12. (3)证明　集合B＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}， 因为2k＋1＝(k＋1)2－k2，k＋1∈Z，k∈Z， 所以2k＋1∈A，即一切奇数都属于A， 所以“x∈B”是“x∈A”的充分条件. 学科网（北京）股份有限公司 $