专题01 不等式能成立及恒成立的八大题型（高效培优专项训练）高一数学北师大版2019必修第一册

专题01 不等式能成立及恒成立的八大题型 题型一：上恒成立问题 2 题型二：给定区间内恒成立问题 3 题型三：恒成立综合性问题 4 题型四 ：上能成立问题 6 题型五：给定区间内能成立问题 7 题型六：能成立综合性问题 8 题型七：能成立及恒成立综合问题 10 题型八：双变量问题 11 【方法指导】 一、高中数学中不等式恒成立问题的解决办法主要有： 1. 分离参数法：将参数与变量分离，转化为求函数最值。 2. 函数最值法：直接构造函数，求其最值，使不等式与最值比较（如f(x)≥0恒成立即f(x)最小值≥0）。 3. 数形结合法：转化为函数图像位置关系，如一方图像恒在另一方上方（如f(x)图像恒在g(x)上方），简化分析。 4. 判别式法：针对二次不等式，用判别式判断解集情况。 5. 变量替换法：换元简化不等式，再用上述方法求解。 二、高中数学中不等式能成立问题的解决办法主要有： 1. 分离参数法：分离参数与变量，转化为求函数最值。 2. 函数法：构造函数，利用函数值域判断是否存在满足条件的解。 3. 数形结合法：将不等式转化为函数图像关系，通过图像交点等分析。 4. 等价转化法：转化为对应方程有解或区间内存在值满足条件。 题型一：上恒成立问题 不等式上恒成立求参数的取值范围问题的策略 （1） 简单不等式相关的用不等式性质及基本不等式. （2） 一元二次不等式：用开口方向和判别式判断． （3）分离参数法：将参数分离出来，进而转化为a>f(x)max或a<f(x)min的形式，通过求出f(x)的最值，即得参数的范围． 1．（24-25高一上·福建泉州·期中）（多选）若，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·湖北武汉·开学考试）（多选）设，，下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期末）若函数的定义域为，则实数取值范围是 . 4．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）已知函数的定义域是，则实数的取值范围是 ． 5．已知关于x的一元二次方程对任意的实数a均有实数根，则实数m的取值范围是 ． 6．（24-25高一上·上海·随堂练习）若，（且）恒成立，则实数a的取值范围是 . 题型二：给定区间内恒成立问题 不等式定区间内恒成立求参数的取值范围问题的策略 （1）简单不等式相关的用不等式性质及基本不等式。 （2）分离参数法：将参数分离出来，进而转化为a>f(x)max或a<f(x)min的形式，通过求出f(x)的最值，即得参数的范围． 8．已知实数，且，若恒成立，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 9．（2025高三·全国·专题练习）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（2025高一上·全国·专题练习）若正实数满足，且恒成立，则实数的取值范围是 ． 11．（2025高一·全国·专题练习）（1）设函数的最大值是，若对于任意的恒成立，则的取值范围是 ； （2）若不等式对满足的所有都成立，则的取值范围是 . 12．（25-26高三上·福建龙岩·阶段练习）已知二次函数． (1)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围． (2)解关于的不等式（其中）． 题型三：恒成立综合性问题 不等式恒成立求参数的取值范围问题之特别注意 解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数． 13.（24-25高一下·湖南·阶段练习）已知命题的值域为，命题的定义域为，则是的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．已知函数的定义域和值域都为，则（    ） A． B． C． D．不存在 15．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）(多选)已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的图象恒过原点 B．若，则是增函数 C．若的定义域为，则的取值范围为 D．若的值域为，则的取值范围为 16．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）若的定义域为，则实数的取值范围为 ； （2）若函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 17．（2025高一·全国·专题练习）（1）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为 ． （2）若，不等式恒成立，则实数的最小值为 ． 18．（24-25高二下·江苏南京·期末）不等式对一切实数恒成立的的取值集合为，集合． (1)求集合； (2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围． 19．（2025高一·全国·专题练习）已知函数． (1)若的定义域为，求实数的取值范围； (2)若的值域为，求实数的取值范围． 20．已知，使；不等式对一切恒成立.如果为真命题，为假命题，求实数的取值范围. 21．已知函数． (1)当时，求该函数的值域； (2)若对于恒成立，求的取值范围． 题型四：上能成立问题 不等式能成立问题的解题技巧： （1）优先用分离参数法，将参数与变量分离，转化为“参数与函数最值比较”，如存在x使f(x)＞a成立，即a＜f(x)最大值. （2）直接构造函数，分析其值域，若值域与不等式范围有交集则成立. （3）注意与恒成立问题的区别，能成立关注“存在性”，常与最值、值域相关联. 22．已知函数．若关于x的方程有解，则a的取值范围为 ． 23．已知函数． (1)当时，解关于的不等式； (2)若在上有解，求实数的取值范围． 24．（24-25高三上·陕西西安·开学考试）已知函数. (1)当时，求的值域； (2)若最小值为，求m的值； (3)在（2）的条件下，若不等式有实数解，求实数a的取值范围． 题型五：给定区间内能成立问题 不等式能成立问题的解题技巧： （1）优先用分离参数法，将参数与变量分离，转化为“参数与函数最值比较”，如存在x使f(x)＞a成立，即a＜f(x)最大值. （2）直接构造函数，分析其值域，若值域与不等式范围有交集则成立. （3）复杂问题可结合数形结合，将不等式转化为两函数图像关系，通过交点或位置判断存在性. （4）注意与恒成立问题的区别，能成立关注“存在性”，常与最值、值域相关联. 25． （25-26高一上·全国·单元测试）若命题“”为真命题，则实数的取值范围是 ． 26． 26．（2025高三·全国·专题练习）若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 ． 27．（24-25高二下·黑龙江佳木斯·开学考试）若两个正实数，满足，且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围 . 28．（24-25高一上·福建莆田·阶段练习）已知当时，有解，则实数的取值范围是 ． 题型六：能成立综合问题 不等式能成立问题的解题技巧： （1）对于对数函数与二次函数复合的函数最值问题，通常采用换元法将对数函数转化为新变量，转化为二次函数在给定区间上的最值问题求解. （2）对于不等式有解求参数范围问题，常通过参变分离将参数与变量分离，转化为求函数最值问题，再结合函数单调性等性质求解. 29．已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 30．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知函数． (1)求函数的定义域； (2)若不等式有解，求实数的取值范围． 31．（2025高三·全国·专题练习）已知方程在上： (1)有解，求的范围； (2)有一解，求的范围； (3)有两不同解，求的范围； (4)无解，求的范围． 32．（2025高三·全国·专题练习）已知方程在上： (1)有解，求的范围； (2)有一解，求的范围； (3)有两不同解，求的范围； (4)无解，求的范围． 33．已知，函数的最大值为4，最小值为0. (1)求的值 (2)若不等式在上有解，求实数的取值范围. 题型七：能成立及恒成立综合问题 不等式能成立及恒成立问题： 一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数． 34．（2025高三·天津·专题练习）设实数满足条件：关于的方程至多一个实数根. （1）则的取值范围是 ； （2）在此条件下，使有解，则的取值范围为 . 35.（24-25高一上·河南周口·期末）已知函数且. (1)若的图象经过点，求不等式的解集； (2)若存在x，使得，求a的取值范围. 题型八：双变量问题 双变量问题的解题技巧主要有 1. 消元法：利用已知等量关系消去一个变量，转化为单变量问题求解。 2. 分离变量法：将两变量分置于等式或不等式两侧，转化为两个函数的最值比较。 3. 换元法：设比值（如t=x₁/x₂）、和差（如t=x₁+x₂）等，将双变量化为单变量t的函数。 4. 构造函数法：构造含双变量的新函数（如差值函数），研究其单调性或最值。 5. 利用对称性：若变量对称，可假设x₁≥x₂简化讨论，减少运算量。 36．已知函数，，若对任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 37．已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是 . 38．（2025高三·全国·专题练习）已知函数满足对任意的实数a，b，都有，且当时，．若对所有的恒成立，则实数的取值范围为 ． 39．（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）已知幂函数在上单调递减，函数，对任意，总存在，使得，则的取值范围为 ． 40．（24-25高一上·福建福州·期中）设函数，，若对任意的，存在，使得，则实数m的取值范围是 . 41．已知函数. (1)求不等式的解集； (2)函数，若存在，使得成立，求实数的取值范围. 42．已知. (1)若的值域为，求实数的取值范围； (2)已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围. 43．（24-25高二下·山东威海·期末）已知函数，. (1)当时，解关于的方程； (2)若对，，使得，求的取值范围. 44．（24-25高一上·山西·期末）已知函数是上的奇函数，函数． (1)求实数的值； (2)若函数在上的最小值为11，求实数的值； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 不等式能成立及恒成立的八大题型 题型一：上恒成立问题 2 题型二：给定区间内恒成立问题 5 题型三：恒成立综合性问题 9 题型四 ：上能成立问题 15 题型五：给定区间内能成立问题 17 题型六：能成立综合性问题 20 题型七：能成立及恒成立综合问题 25 题型八：双变量问题 27 【方法指导】 一、高中数学中不等式恒成立问题的解决办法主要有： 1. 分离参数法：将参数与变量分离，转化为求函数最值。 2. 函数最值法：直接构造函数，求其最值，使不等式与最值比较（如f(x)≥0恒成立即f(x)最小值≥0）。 3. 数形结合法：转化为函数图像位置关系，如一方图像恒在另一方上方（如f(x)图像恒在g(x)上方），简化分析。 4. 判别式法：针对二次不等式，用判别式判断解集情况。 5. 变量替换法：换元简化不等式，再用上述方法求解。 二、高中数学中不等式能成立问题的解决办法主要有： 1. 分离参数法：分离参数与变量，转化为求函数最值。 2. 函数法：构造函数，利用函数值域判断是否存在满足条件的解。 3. 数形结合法：将不等式转化为函数图像关系，通过图像交点等分析。 4. 等价转化法：转化为对应方程有解或区间内存在值满足条件。 题型一：上恒成立问题 不等式上恒成立求参数的取值范围问题的策略 （1） 简单不等式相关的用不等式性质及基本不等式. （2） 一元二次不等式：用开口方向和判别式判断． （3）分离参数法：将参数分离出来，进而转化为a>f(x)max或a<f(x)min的形式，通过求出f(x)的最值，即得参数的范围． 1．（24-25高一上·福建泉州·期中）（多选）若，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】作差，由不等式的性质判断ABD选项，举反例排除C选项. 【详解】A选项，， 因为，所以，所以，，A正确； B选项，， 因为，所以，所以，，B正确； C选项，当时，，C错误； D选项，， 因为，所以， 当时，，， 当时，，，D错误； 故选：AB. 2．（25-26高三上·湖北武汉·开学考试）（多选）设，，下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】做差法可判断AD；利用基本不等式可判断BC. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，，，所以， 当且仅当即时等号成立，故B正确； 对于C，，，所以， 当且仅当即时等号成立，故C正确； 对于D，，， ， 所以，故D错误. 故选：ABC. 3．（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期末）若函数的定义域为，则实数取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意知恒成立，再求解即可. 【详解】函数的定义域为，则恒成立， 当时显然不成立； 当时，则恒成立， 当时，，解得. 综上所述：实数取值范围是. 故答案为：. 4．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）已知函数的定义域是，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意解决一元二次不等式恒成立问题，根据对数函数和二次函数的性质求得结果即可． 【详解】由题意可得在上恒成立， 时，不等式为，恒成立； 时，应满足 解得， 综上知，的取值范围是． 故答案为：． 5．已知关于x的一元二次方程对任意的实数a均有实数根，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据方程的根得出判别式的不等关系计算求解. 【详解】关于x的一元二次方程对任意的实数a均有实数根， 则恒成立， 又因为， 所以. 故答案为：. 6．（24-25高一上·上海·随堂练习）若，（且）恒成立，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】将原不等式变形为，由指数函数的图象性质可解. 【详解】由，且， 所以，则，所以. 故答案为： 7．（2025高三·全国·专题练习）若函数的定义域为，求的取值范围． 【答案】 【分析】转化为一元二次不等式恒成立问题解得. 【详解】由已知得的定义域为，即取任何实数都有成立， 所以，解得． 故的取值范围为. 题型二：给定区间内恒成立问题 不等式定区间内恒成立求参数的取值范围问题的策略 （1）简单不等式相关的用不等式性质及基本不等式。 （2）分离参数法：将参数分离出来，进而转化为a>f(x)max或a<f(x)min的形式，通过求出f(x)的最值，即得参数的范围． 8．已知实数，且，若恒成立，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用“1”的妙用求出最小值，再建立不等式求解. 【详解】实数，则， 当且仅当时等号成立， 由恒成立，得，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：C 9．（2025高三·全国·专题练习）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解法一：先将原不等式的右式进行化简，然后利用基本不等式的性质求出其最小值，然后解关于的不等式解集即可； 解法二：先将原不等式的右式进行化简，然后利用柯西不等式的性质求出其最小值，然后解关于的不等式解集即可； 【详解】关于的不等式在上恒成立， 即， 因为，所以． 解法一：（基本不等式）   ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，解得． 解法二 ：（柯西不等式） ， 当且仅当，即时等号成立． （柯西不等式：，当且仅当时等号成立） 所以，解得. 故选：D． 10．（2025高一上·全国·专题练习）若正实数满足，且恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】依题意可得，利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，解此不等式即可得的取值范围． 【详解】因为正实数满足，即，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号． 因此的最小值为4， 又恒成立，所以，解得， 即实数的取值范围是． 故答案为：. 11．（2025高一·全国·专题练习）（1）设函数的最大值是，若对于任意的恒成立，则的取值范围是 ； （2）若不等式对满足的所有都成立，则的取值范围是 . 【分析】（1）利用基本不等式可求解，进而利用分离参数法，结合二次函数的性质求解，或者构造二次函数，利用二次函数的性质求解， （2）将其看作是关于的一次函数，即可列不等式，由一元二次不等式化简求解. 【详解】（1）当时，.当时，（当且仅当时取等号），则，即. 由题意知在时恒成立. 方法一  分离参数得在时恒成立， 故�� 需小于等于函数在区间上的下确界. ，故当时，， 所以. 方法二  在时恒成立（*）. 令，则问题（*）等价于在上恒成立， 函数的图象的对称轴为直线，且开口向上， 所以在上，，所以，即. （2）不等式对满足的所有都成立， 则对任意的，恒成立， 令，则 即解得. 故答案为：； 12．（25-26高三上·福建龙岩·阶段练习）已知二次函数． (1)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围． (2)解关于的不等式（其中）． 【分析】（1）等价变形给定不等式，分离参数，利用基本不等式求出最小值即可. （2）分类讨论求解含参数的不等式. 【详解】（1）不等式， 当时，恒成立，而， 当且仅当时取等号，则， 所以实数a的取值范围是. （2）不等式， 当时，不等式为，解得； 当时，不等式为，解得或； 所以当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为. 题型三：恒成立综合性问题 不等式恒成立求参数的取值范围问题之特别注意 解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数． 13.（24-25高一下·湖南·阶段练习）已知命题的值域为，命题的定义域为，则是的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】对于命题，要使能取到所有大于的数，需分和两种情况讨论，时根据二次函数图象性质确定的取值范围； 对于命题，要使在上恒成立，同样分和两种情况，时根据二次函数图象性质确定的取值范围. 最后根据充分不必要条件的定义判断与的关系. 【详解】对于命题可以取到所有大于0的数显然成立； 时，，解得，所以. 对于命题在上恒成立.时显然成立； 时，，解得，所以. 所以是的充分不必要条件， 故选：B. 14．已知函数的定义域和值域都为，则（    ） A． B． C． D．不存在 【答案】B 【分析】根据题意结合指、对数函数性质分析求解. 【详解】因为函数的定义域为，则恒成立， 且，可得； 又因为函数的定义域和值域都为，则取到所有正数， 且，可得； 综上所述：. 故选：B. 15．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）(多选)已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的图象恒过原点 B．若，则是增函数 C．若的定义域为，则的取值范围为 D．若的值域为，则的取值范围为 【答案】AC 【分析】对于A：直接代入运算即可；对于B：举反例说明即可；对于C：分析可知对任意恒成立，结合判别式分析运算；对于D：分析可知的值域包含，结合判别式分析运算. 【详解】因为函数， 对于选项A：因为，所以的图象恒过原点，故A正确； 对于选项B：若，则， 因为，可知不是增函数，故B错误； 对于选项C：若的定义域为，则对任意恒成立， 则，解得， 所以的取值范围为，故C正确； 对于选项D：若的值域为，则的值域包含， 则，解得或， 所以的取值范围为，故D错误； 故选：AC. 16．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）若的定义域为，则实数的取值范围为 ； （2）若函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】（1）定义域为，说明真数恒大于0，列式求解； （2）值域为，说明真数能取遍，列式求解. 【详解】定义域为即真数恒大于0，则或，得 所以的取值范围是． （2）值域为即真数能取遍 当时，成立， 当，解得， 所以的取值范围是 故答案为：； 17．（2025高一·全国·专题练习）（1）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为 ． （2）若，不等式恒成立，则实数的最小值为 ． 【答案】 / 【分析】（1）二次项含参数，需对是否为0进行讨论．（2）方法一：由题意函数在时的最小值大于或等于0，对对称轴位置进行分类讨论即可求解；方法二：分离参数即可求解. 【详解】（1）若，则不等式为，显然恒成立； 若对一切实数都成立， 则解得． 综上所述，当时，对一切实数都成立． （2）方法一：二次项系数大于0，在时恒成立 函数在时的最小值大于或等于0. ①若函数的图象的对称轴在给定范围左侧，此时，即， 函数在时取得最小值，则最小值，结合得； ②若函数的图象的对称轴在给定范围右侧，此时，即， 函数在时取得最小值，则最小值，不满足，此时无解； ③若函数的图象的对称轴在给定范围内，此时，即， 函数在时取得最小值，则最小值，不满足，此时无解． 综合①②③，得实数的最小值为． 方法二：分离参数，知道的取值范围求的最小值，则是变量，是参数． 因为，所以，则，即． 令，则大于或等于的最大值即可． ，则．故实数的最小值为． 故答案为：（1），（2）. 18．（24-25高二下·江苏南京·期末）不等式对一切实数恒成立的的取值集合为，集合． (1)求集合； (2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围． 【分析】（1）当 时，显然成立；当时，由求解即可； （2）由题设得，即在上恒成立，由解出m的取值范围即可. 【详解】（1）当 时， 显然恒成立； 当 时，不等式 对一切实数 都成立， 则 ，解得 ． 综上， ． （2）因为“”是“”的充分条件， 所以． 又 ，即 在 上恒成立． 令 ， 则 ， 解得 ， 所以的取值范围为． 19．（2025高一·全国·专题练习）已知函数． (1)若的定义域为，求实数的取值范围； (2)若的值域为，求实数的取值范围． 【分析】（1）根据题意得到在上恒成立，再分类讨论求解即可； （2）根据题意得到的值域必须包含，再分类讨论求解即可. 【详解】（1）函数的定义域为， 则在上恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，有，解得． 所以实数的取值范围为． （2）函数的值域为， 则的值域必须包含， 当时，，不符合题意； 当时，有，解得. 所以实数的取值范围为． 20．已知，使；不等式对一切恒成立.如果为真命题，为假命题，求实数的取值范围. 【分析】若为真命题，利用分离参数法结合指数函数性质，可得；若为真命题，利用分离参数法并结合基本不等式可得，再根据为真命题，为假命题，可知，一真命题一假命题；再分“为真命题，为假命题”和“为假命题，为真命题”两种情况，求解范围，即可得到结果. 【详解】解：若为真命题，则有解，所以，即； 若为真命题，则对一切恒成立, 令, 则,当且仅当，即时，取得最小值； 所以，即； 又为真命题，为假命题，所以，一真命题一假命题； 当为真命题，为假命题时，，所以； 当为假命题，为真命题时，，所以； 综上所述，. 21．已知函数． (1)当时，求该函数的值域； (2)若对于恒成立，求的取值范围． 【分析】（1）利用换元，转化为二次函数求值域； （2）根据（1）的过程，参变分离转化为最值问题，即可求解. 【详解】（1）因为，设，，则， 所以， 在上单调递减，在上单调递增，，， 所以函数的值域是. （2）由（1）可知，，， 即，， 即，恒成立， 在上单调递增，所以函数的最小值为， 所以. 题型四：上能成立问题 不等式能成立问题的解题技巧： （1）优先用分离参数法，将参数与变量分离，转化为“参数与函数最值比较”，如存在x使f(x)＞a成立，即a＜f(x)最大值. （2）直接构造函数，分析其值域，若值域与不等式范围有交集则成立. （3）注意与恒成立问题的区别，能成立关注“存在性”，常与最值、值域相关联. 22．已知函数．若关于x的方程有解，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】令，得，令，换元得出二次函数由二次方程的根的性质可求得a的取值范围. 【详解】因为， 令，则． ∵有解，∴在上有解， ∴且,解得， ∴a的取值范围为 ． 故答案为：. 23．已知函数． (1)当时，解关于的不等式； (2)若在上有解，求实数的取值范围． 【分析】（1）将代入，直接解指数不等式即可； （2）化简后，令换元后转化成二次函数问题即可求解. 【详解】（1）当时，，则，解得， 所以不等式的解集为； （2）由可得：， 所以， 令，则， 当时，， 所以实数的取值范围为：． 24．（24-25高三上·陕西西安·开学考试）已知函数. (1)当时，求的值域； (2)若最小值为，求m的值； (3)在（2）的条件下，若不等式有实数解，求实数a的取值范围． 【分析】（1）利用换元法将函数转化为二次函数在定区间求值域问题，根据二次函数的性质计算即可； （2）分类讨论，结合二次函数的性质计算即可； （3）利用分离参数法将问题转化为有解，利用基本不等式计算的最小值解不等式即可. 【详解】（1）设， ，，， 其对称轴方程为，故函数在上单调递增， 所以， 故所求值域为； （2）∵函数的最小值为，， 若，在R上单调递增，没有最小值； 若时，可知当时，y取得最小值； 即，解得或舍去， 综上，； （3）由题意，有实数解，即，可得， 要使此不等式有解，只需即可， （当且仅当时取等号）， ， ，解得， 即实数a的取值范围为. 题型五：给定区间内能成立问题 不等式能成立问题的解题技巧： （1）优先用分离参数法，将参数与变量分离，转化为“参数与函数最值比较”，如存在x使f(x)＞a成立，即a＜f(x)最大值. （2）直接构造函数，分析其值域，若值域与不等式范围有交集则成立. （3）复杂问题可结合数形结合，将不等式转化为两函数图像关系，通过交点或位置判断存在性. （4）注意与恒成立问题的区别，能成立关注“存在性”，常与最值、值域相关联. 25．（25-26高一上·全国·单元测试）若命题“”为真命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分离参数后转化为求函数的最小值. 【详解】在时有解，分离参数得在区间上有解， 只需要不小于函数在区间上的最小值即可， 因为，函数图像对称轴，且， 所以当时，在区间上取最小值，， 所以若命题“”为真命题，则， 实数的取值范围是． 故答案为： 26．（2025高三·全国·专题练习）若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】解法一、令，转化为，再分，，讨论即可；解法二、根据题意，参变分离得，再分，求函数最值即可. 【详解】解法一 、令， ①当时，在上单调递减，所以，此时满足条件． ②当时，的图象的对称轴方程为， 若，则在上单调递减，则只需满足，得； 若，则，且时已满足条件． 综上，实数的取值范围为． 解法二、时，，由得， 则在上有解． 令，则当时，； 当时，， 又在单调递增，所以，即， 故实数的取值范围为． 故答案为：. 27．（24-25高二下·黑龙江佳木斯·开学考试）若两个正实数，满足，且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围 . 【答案】． 【分析】由基本不等式求得的最小值，然后解相应不等式可得． 【详解】因为，则， 所以 ，当且仅当，即时取等号， 所以不等式有解，即，解得或， 故答案为：． 28．（24-25高一上·福建莆田·阶段练习）已知当时，有解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先求出的范围，再分、两种情况讨论，结合对数函数的单调性，求出的范围，即可得到不等式组，解得即可. 【详解】因为当时，， 当时，在上单调递增，且， 显然无解，故舍去； 当时，在上单调递减，且， 要使当时，有解，只需，解得； 综上可得实数的取值范围是. 故答案为： 题型六：能成立综合问题 不等式能成立问题的解题技巧： （1）对于对数函数与二次函数复合的函数最值问题，通常采用换元法将对数函数转化为新变量，转化为二次函数在给定区间上的最值问题求解. （2）对于不等式有解求参数范围问题，常通过参变分离将参数与变量分离，转化为求函数最值问题，再结合函数单调性等性质求解. 29．已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知即有解，且无最大值，分为，，三种情况讨论求解. 【详解】由，可知有解，且无最大值， 即有解，且无最大值， 当时，有解，无最大值，符合题意； 当时，，则有解， 当时，有最大值，则有最大值，不符合题意； 当时，有解需满足，解得， 此时无最大值，无最大值，满足题意． 综上，实数的取值范围是． 故选：A． 30．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知函数． (1)求函数的定义域； (2)若不等式有解，求实数的取值范围． 【分析】（1）由复合对数函数定义域的求法列出不等式组，解之即可得解； （2）只需结合换元法、对数函数单调性，求出的最大值即可得解. 【详解】（1）函数有意义，须满足，∴． ∴函数的定义域为． （2）∵不等式有解，∴小于的最大值． ． 令，由于，∴． ∴函数的最大值为， ∴实数的取值范围为． 31．（2025高三·全国·专题练习）已知方程在上： (1)有解，求的范围； (2)有一解，求的范围； (3)有两不同解，求的范围； (4)无解，求的范围． 【分析】令，求出对称轴，得到，分别讨论，，时满足的条件得到答案 【详解】（1）令， 由题意得对称轴为：，且 ①时，要使在上有零点， 则，即，解得： ②时，要使在上有零点， 则，即，解得： ③时，，无零点，不符合题意， 综上所述， （2）由（1）知，， ①时，，即，解得： ②时，，即，解得： ③时，，无零点，不符合题意， 综上所述， （3）由（1）知，， ①时，有一解或无解，不符合题意 ②时，，即，解得： ③时，，无零点，不符合题意， 综上所述， （4）由（1）知， ①时，，即，解得：，， ②时，，即，解得：，， ③时，，无零点，符合题意， 综上所述， 32．（2025高三·全国·专题练习）已知方程在上： (1)有解，求的范围； (2)有一解，求的范围； (3)有两不同解，求的范围； (4)无解，求的范围． 【分析】将问题转化为与在上交点个数的问题，画出的图像，依次分析4个问题即可求解. 【详解】（1）令与， 方程在上有解，则函数与有交点： 作出函数图像如下： 则，解得：，所以的范围为 （2）方程在上有一解，则函数与有一个交点： 作出函数图像如下： 则或，解得：或，所以的范围为 （3）方程在上有两个解，则函数与有两个交点： 作出函数图像如下： 则，解得：，所以的范围为 （4）方程在上无解，则函数与没有交点： 作出函数图像如下： 则或，解得：或，所以的范围为 33．已知，函数的最大值为4，最小值为0. (1)求的值 (2)若不等式在上有解，求实数的取值范围. 【分析】(1)化简f(x)解析式，将看作整体即可求f(x)最值，即可求出a、b的值； (2)化简，化简不等式，参变分离k和t，得，问题等价于. 【详解】（1）， 由得，， 又a＞0，因此的最大值为， 最小值为，解得． （2）， 又，， 而在上单调递减，在上单调递增． 因为，，所以． 由不等式在上有解， 得：． 因此，的取值范围是． 题型七：能成立及恒成立综合问题 不等式能成立及恒成立问题： 一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数． 34．（2025高三·天津·专题练习）设实数满足条件：关于的方程至多一个实数根. （1）则的取值范围是 ； （2）在此条件下，使有解，则的取值范围为 . 【答案】 ． 【分析】（1）根据题意，只需满足求解即可； （2）将分离，得到关于的不等式，令进行换元，得到关于的函数，求出该函数的单调性，根据题中条件可知，函数有解，求得该函数的最大值即可. 【详解】（1）由方程至多一个实数根需满足，其中判别式： ， 解得 即的取值范围为; （2）对于，使有解， 即在上能成立，令，则， 则， 因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，则， 即实数的取值范围. 故答案为：（1），（2） 35.（24-25高一上·河南周口·期末）已知函数且. (1)若的图象经过点，求不等式的解集； (2)若存在x，使得，求a的取值范围. 【分析】（1）将代入解析式，得到，根据对数函数定义域和单调性得到不等式，求出不等式解集； （2）先求出，变形得到在上有解，求出，从而得到，求出a的取值范围. 【详解】（1）将代入得，，解得， 故，其在上单调递增， ，故，解得， 故不等式的解集为； （2）， ，解得， 且，故在上有解， 即在上有解， 其中在上单调递增，且， 当时，，故， 所以， 又且，解得. 题型八：双变量问题 双变量问题的解题技巧主要有 1. 消元法：利用已知等量关系消去一个变量，转化为单变量问题求解。 2. 分离变量法：将两变量分置于等式或不等式两侧，转化为两个函数的最值比较。 3. 换元法：设比值（如t=x₁/x₂）、和差（如t=x₁+x₂）等，将双变量化为单变量t的函数。 4. 构造函数法：构造含双变量的新函数（如差值函数），研究其单调性或最值。 5. 利用对称性：若变量对称，可假设x₁≥x₂简化讨论，减少运算量。 36．已知函数，，若对任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别计算出与的最大值，满足即可. 【详解】，，有，解得，即A正确. 故选：A. 37．已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】首先求出两函数的值域，再根据题意转化为两个函数值域的包含关系，可分和两种情况进行分类讨论，列示求解. 【详解】当时，； 当时，当，， 又，，使得， 所以， 所以，解得； 当时，当，， 又，，使得， 所以， 所以，解得. 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 38．（2025高三·全国·专题练习）已知函数满足对任意的实数a，b，都有，且当时，．若对所有的恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】首先确定函数性质，在上单调递增，再求函数在区间上的最大值为，将最大值带入不等式.已知函数的值域为，则恒或立，即；恒成立，即.所以本题可化为对所有的恒成立, 令，由对恒成立,即 ，可得结果. 【详解】设且，则，即， 因为，当时，，所以，即， 所以，故在上单调递增，则在上的最大值为． 因为对所有的恒成立， 所以对所有的恒成立， 即对所有的恒成立． 令，由对恒成立， 得，即，解得或或． 所以实数的取值范围为． 故答案为：． 39．（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）已知幂函数在上单调递减，函数，对任意，总存在，使得，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件求出函数及其在上的值域，再借助对勾函数求出函数在上的值域，利用值域的包含关系求出的范围. 【详解】由幂函数在上单调递减，得， 解得，，因此在上的值域为， 当时，令，由函数在上单调递减，在上单调递增， 得，于是函数在上的值域， 而对任意，总存在，使得， 则函数在上的值域为函数在上的值域的子集， 于是，即，所以. 故答案为： 40．（24-25高一上·福建福州·期中）设函数，，若对任意的，存在，使得，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】首先求出与的取值范围，依题意可得的值域为函数的值域的子集，即，即可得到不等式组，解得即可. 【详解】函数，，则， 函数，，则， 因为对任意的，存在，使得， 所以的值域为函数的值域的子集，即， 所以，解得， 即实数m的取值范围是. 故答案为： 41．已知函数. (1)求不等式的解集； (2)函数，若存在，使得成立，求实数的取值范围. 【分析】（1）利用，构造对数不等式，解出该不等式即可; （2）由题意可知，和的值域有交集,分别求出值域，整理计算即可. 【详解】（1）因为,所以,故的定义域为, 由，所以，所以，解得：， 所以不等式的解集为. （2）由题意可知：，和的值域有交集, 易知在是减函数，所以， 当时，在是减函数，所以， 所以即； 当时，在是增函数，所以，显然不符合. 综上所述：实数的取值范围. 42．已知. (1)若的值域为，求实数的取值范围； (2)已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围. 【分析】（1）利用对数值域的性质，将问题转化为，从而得解； （2）将问题转化为的值域是的值域的子集，从而利用二次函数与指数函数的性质即可得解. 【详解】（1）依题意，函数的值域为， 设，可得，解得或， 故的取值范围是. （2）若，则， 因为，其开口向上，对称轴为， 所以当时，的最小值为8， 当时，取得最大值为， 且在定义域内单调递增， 可得在上的最小值为，最大值为， 即函数的值域是. 因为对任意的，总存在，使成立， 所以的值域是的值域的子集. 当时，在上单调递增， 所以，则，解得； 当时，在上单调递减， 所以，则，解得； 当时，，不符合题意； 综上所述，实数的取值范围. 43．（24-25高二下·山东威海·期末）已知函数，. (1)当时，解关于的方程； (2)若对，，使得，求的取值范围. 【分析】（1）解指数方程结合指数函数值域计算求解； （2）先把存在问题转化为指数不等式恒成立，结合指数函数值域计算求解. 【详解】（1）当时，， 令，则即，， 解得或，即或， 解得或. （2）设在上的值域为A，在上的值域为B，则， 因为，所以，当且仅当即时等号成立， 所以， 因为，所以对恒成立， 即对恒成立， 令，则，， 当时，， 所以. 44．（24-25高一上·山西·期末）已知函数是上的奇函数，函数． (1)求实数的值； (2)若函数在上的最小值为11，求实数的值； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 【分析】（1）根据函数的奇偶性列方程来求得的值. （2）利用换元法，结合函数的单调性、二次函数的性质来求得的值. （3）根据复合函数的单调性、恒成立、存在性等知识来求得的取值范围. 【详解】（1）因为是上的奇函数，所以， 即，整理得， 所以，， 所以，检验可知符合题意， 所以． （2）由（1）知，，所以． 令，因为函数在区间上单调递增，所以， 则（的最小值11就是的最小值），抛物线开口向上，对称轴为直线， 当，即时，， 解得． 当，即时，， 解得，无解． 综上所述，实数的值为． （3）由题知， 若对任意的，总存在，使得，可得， 由复合函数单调性可得函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，有最小值． 由（2）知当时，，， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 因为函数，在时均单调递减， 所以函数在时单调递减，所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围为． 1 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $$