2.1生活中的变量关系教学设计-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦“生活中的变量关系”，通过储油罐储油量、高铁运营里程等生活实例导入，衔接初中函数认知基础，构建从具体依赖关系到抽象函数关系的认知支架，帮助学生区分变量间依赖关系与函数关系。 资料以真实情境（如阶梯电价、弹簧弹力）为载体，通过小组讨论、常量变量辨析等问题链探究，培养数学抽象与数学建模能力，引导学生用数学眼光观察生活，用数学思维分析关系，教师可直接借鉴实例与探究活动，高效突破重难点。

课题 2.1 生活中的变量关系 学科 数学 教材 北师大版（2019）必修第一册 章节 第二章第一节 课程类型 新授 课时安排 1课时 年级 高一 教学目标及教学重点、难点 教学目标： 1. 从实际生活中的例子出发，让学生认识到日常生活中各种变量之间的依赖关系． 2．能利用初中对函数的认识，了解依赖关系与函数关系的联系与区别． 3．在观察事物的变量间关系过程中，培养学生发现问题、提出问题的能力，发展数学应用意识． 教学重、难点： 重点：生活中的变量关系与函数关系的区分. 难点：生活中的变量关系与函数关系的区分. 教材分析 本节课是高中数学北师大版（2019）必修一的内容，这一章节主要聚焦于揭示现实世界中的变量间依赖关系，特别是函数关系。通过实例引入，教材让学生认识到生活中处处有数学，变量关系无处不在。教学内容旨在深化学生对函数概念的理解，区分依赖关系和函数关系的不同，并通过实际例子加以应用。 教材通过多个实例，如高速公路加油站储油量的变化、高铁运营里程随时间的变化、弹簧的伸长量与弹力的关系等，生动展示了变量间的依赖关系，并引导学生理解这些关系中的数学规律。此外，教材还强调了函数关系的核心特征，即对于自变量每一个取值，因变量都有唯一确定的值与之对应。 核心素养 1. 数学抽象：通过实例，引导学生抽象出变量之间的关系，理解函数概念，提高数学抽象能力。 2. 逻辑推理：借助初中所学的变量之间的关系，分析生活中变量的关系，将函数运用于实际生活中，提高逻辑推理能力。 3. 数学运算：根据变量之间的关系，列出相应函数关系式，解决实际问题，提高数学运算能力。 4. 直观想象：通过观察生活中的实例和函数图像，直观理解变量之间的关系，提高直观想象能力。 5. 数学建模：利用函数变量的关系，构建数学模型，解决生活中的实际问题，提高数学建模能力。 教学方法和手段 教学方法：启发法、练习法、讨论法 教学手段：多媒体辅助教学 教学过程(表格描述) 教学环节 主要教学活动 设置意图 情境导入 创设情境： 现实世界充满着变量，一些变量之间存在着依赖关系，函数是揭示变量间依赖关系的重要的数学概念，它是现代数学最基本的概念，在解决实际问题中发挥着重要作用. 函数已经成为高中数学课程的主线，贯穿高中数学学习始终. 本章在复习初中函数概念的基础上，以集合、对应的观点研究函数，加深对函数概念的理解，形成完整的认识；并通过具体实例，讨论一般函数的表示法和基本性质，为高中数学的学习打下基础，提升数学抽象和直观想象等核心素养. 通过创设情境，建立知识间的联系，提高学生类比推理的能力。 探究新知 知识点：生活中的变量关系 教师提问：经过高速公路的加油站时，你是否想过，汽油存在哪里？怎样存储的？ 例1、 如图2-1，是某高速公路加油站的图片，加油站在地下常用圆柱体储油罐储存汽油等燃料．储油罐的长度、截面半径，油面高度、油面宽度、储油量V． （1）哪些是变量？哪些是常量？ （2）哪些变量之间存在依赖关系？ （3）哪些依赖关系是函数关系？哪些依赖关系不是函数关系？ 师生活动： 教师提问，学生独立思考并回答． 预设答案： （1） ，为常量，，，V为变量． （2） 储油量V与油面高度存在着依赖关系，也与油面宽度也存在着依赖关系． （3）对于油面高度的每一个取值，都有唯一的储油量V和它对应，但是每一个油面宽度的值，却对应着两个储油量V． 例2、自2008年京津城际列车开通运营以来，高速铁路在中国大陆迅猛发展．截至2017年年底，中国高铁运营里程突破25000km．图中表示的是中国高铁年运营里程的变化． （1）哪些是变量？哪些是常量？ （2）哪些变量之间存在依赖关系？ （3）哪些依赖关系是函数关系？哪些依赖关系不是函数关系？ 师生活动： 教师提问，学生独立思考并回答． 预设答案： 从图中可看出： （1）时间、高铁运营里程是变量． （2）随着时间的变化，高铁运营里程在变化，它与年份存在着依赖关系． （3）从2008年到2017年，高铁年运营里程是不断增加的，与前一年相比，2014年增长得最多；高铁年运营里程是时间的函数． 教师讲解： 在初中数学中，我们曾学习过：如果在一个变化过程中，有两个变量x和y,对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，其中x是自变量，y是因变量. 在现实生活中，凡是要确定两个变量具有函数关系，就要判断“对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它对应”. 师生对以下材料进行分析： 材料1：弹簧的伸长量与弹力满足函数关系：，其中为劲度系数． 材料2：如下表，记录了几个不同气压下水的沸点： 材料3：绿化可以改变小环境气候．某市有甲、乙两个气温观测点，观测点甲的绿化优于观测点乙，图中是这两个观测点某一天的气温曲线图． 材料4：某地电力公司为鼓励市民节约用电，采取阶梯电价，即按月用电量分段计费办法.居民每月应缴电费（单位：元）与用电量（单位：的关系是 对于变量“用电量的每一个值，变量“应缴电费都有唯一的值与之对应，所以应缴电费是用电量的函数，如图2-4. 师生活动： 小组合作交流，用自己的文字语言陈述变量之间的函数关系，教师归纳总结．再次巩固函数关系的概念，同时引入分段函数． 预设答案： 材料1中，对于变量“伸长量”的每一个值，变量“弹力”都有唯一确定的值和它对应，弹力是伸长量的函数． 材料2中，对于变量“气压”的每一个值，变量“沸点”都有唯一确定的值和它对应，沸点是气压的函数． 材料3中，图中反映的都是对于“时间”的每一个值，都有唯一确定的“气温”值和它对应，所以每一条曲线都表示了一个函数关系． 材料4中，用电量与应缴电费的函数解析式为： ． 注意：形如上述的函数，称为分段函数． 思考：分段函数的特点并举例说明实际问题中存在的分段函数模型. 师生活动： （1）师生共同总结分段函数的特点：不同变量范围存在不同的对应关系. （2）学生小组合作说出实际问题中存在的分段函数模型，在生活中，有很多可用分段函数描述的实际问题，如出租车的计费、个人所得税的税率等. 教师讲解： 生活中存在着许许多多的函数关系.在很多时候，正是函数概念中的关键词“每一个”“唯一”“对应”恰当地反映了事物特征. 学生举例说明： 一定量的水银，温度与其体积间存在函数关系，温度越高，水银的体积越大.因此，可以用这个体积表示温度，这就是制造温度计的依据. 在银行，给定本金和利率后，活期存款的利息依存款的天数而定，利息是天数的函数，天数越多，利息就越多. 在田径比赛时，铅球运动员的掷远距离和出手速度、出手角度、出手高度均有关系.当出手速度和出手高度确定之后，调整好出手角度，会使铅球掷得更远一些.这时，运动员的掷远距离是出手角度的函数. 在较为复杂的问题情境中，理解变量之间的依赖关系和函数关系，提升对函数概念的认识． 通过以上三个问题的分析，加强学生对函数关系的理解和认识，突破本节课的难点． 鼓励学生积极思考，让学生体会到生活中的函数关系非常普遍，数学源于生活，用于生活． 当堂练习 教师PPT出示练习题，学生自主完成，教师点评 通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的核心素养。 课堂总结 1.生活中变量关系与函数关系； 2.研究函数关系对于实际问题的意义； 3.分段函数及其特征； 4.函数关系的认识和判定. 通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。 板书设计 2.1 生活中的变量关系 1.生活中变量关系与函数关系； 2.分段函数及其特征： ． 注意：形如上述的函数，称为分段函数． 分段函数的特点：不同变量范围存在不同的对应关系. 教学设计反思 1. 实例引入：通过生动形象的实例，来激发学生的学习兴趣，帮助学生更好地理解和应用变量关系。 2. 理论与实践结合：在讲解理论知识的同时，结合实际应用问题，让学生理解数学知识在生活中的实际应用。 3. 课堂互动：鼓励学生积极参与课堂活动，如小组讨论等，通过实践来掌握变量关系的应用，提高学生的实践能力和团队合作能力。 4. 难点突破：针对依赖关系和函数关系的差别这一教学难点，可以通过详细讲解和实例对比，帮助学生准确理解两者的不同。 学科网（北京）股份有限公司 $