第1章 4.1 一元二次函数（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦高中数学一元二次函数核心知识点，系统梳理定义、图象（与判别式关系及变换）、解析式（一般式、顶点式、交点式）及性质（对称轴、顶点、单调性、最值），通过问题引导、知识梳理、例题解析与跟踪训练构建从基础到应用的学习支架。 该资料以圆锥曲线历史情境导入，培养数学眼光，通过配方法、数形结合等例题解析发展数学思维，设计层次化练习题助力数学语言表达。课中辅助教师教学逻辑清晰，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺，提升综合应用能力。

4.1　一元二次函数 学习目标　1.理解函数y＝ax2(a≠0)与y＝a(x－h)2＋k(a≠0)及y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象之间的关系.2.能利用配方法或图象法掌握一元二次函数的重要性质. 导语 古希腊数学家梅内克缪斯偶然发现，把圆锥按不同角度切开，会出现不同的形状.当与圆锥侧线平行切开时，出现了一种从未见过的优美曲线.直到中世纪，大物理学家伽利略才发现了它在实际生活中的重大意义.伽利略注意到，把物体斜着抛出去之后，其运动的轨迹正是当初梅内克缪斯切圆锥得到的那条曲线，而且还是自然界中普遍的物体运动轨迹.这时，笛卡尔把数和形结合了起来，开创了解析几何，这样各种各样的几何图形都可以用方程来表示.后来，随着函数概念的不断发展，人们又发现，一元二次函数的图象正是那条让数学家们魂牵梦萦了一千多年的曲线——抛物线. 一、一元二次函数的图象 问题1　一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式Δ有什么关系？ 提示　①当Δ>0时，ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根x1，x2，此时，一元二次函数与x轴有两个不同的交点，x1，x2即为两交点的横坐标. ②当Δ＝0时，ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根x1＝x2，此时，一元二次函数与x轴有1个交点，x1(x2)即为交点的横坐标. ③当Δ<0时，ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实数根，此时，一元二次函数与x轴没有交点. 知识梳理 1.一元二次函数的定义 一般地，把形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)(a，b，c是常数)的函数叫作一元二次函数，其中a，b，c分别称为二次项系数、一次项系数和常数项.通常把一元二次函数的图象叫作抛物线. 2.一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 注意点： (1)在利用一元二次函数图象解决问题时，应注意以下几点：①a决定函数图象的开口方向；②判别式Δ决定与x轴是否有交点；③过定点(0，c)；④对称轴的位置. (2)一元二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象可以由y＝ax2的图象经过向左(或向右)平移|h|个单位长度，再向上(或向下)平移|k|个单位长度而得到. 例1　(1)设abc>0，一元二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　) 答案　D 解析　A图，a<0，c<0，－<0，∴b<0， ∴abc<0，不符合题意； B图，a<0，c>0，－>0，∴b>0，∴abc<0，不符合题意； C图，a>0，c<0，－<0，∴b>0，∴abc<0，不符合题意； D图，a>0，c<0，－>0，∴b<0，此时abc>0满足题意. (2)由函数y＝x2的图象如何得到y＝x2－2x＋3的图象？ 解　y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2. 由y＝x2的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，可得到y＝x2－2x＋3的图象. 反思感悟　处理一元二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象问题，主要是考虑其图象特征，如开口、顶点、与x轴交点、与y轴交点、对称轴等与系数a，b，c之间的关系.在图象变换中，记住“h正右移，h负左移，k正上移，k负下移”. 跟踪训练1　将一元二次函数y＝x2＋bx＋c的图象向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到一元二次函数y＝x2－2x＋1的图象，则b＝　　　　，c＝　　　　.  答案　－6　6 解析　y＝x2－2x＋1＝(x－1)2，其图象顶点坐标为(1，0). 将一元二次函数y＝x2－2x＋1的图象向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后的图象的顶点坐标为(3，－3)，得到的抛物线方程为y＝(x－3)2－3，即y＝x2＋bx＋c， ∴(x－3)2－3＝x2＋bx＋c， 即x2－6x＋6＝x2＋bx＋c， ∴b＝－6，c＝6. 二、求一元二次函数的解析式 一元二次函数的解析式的三种不同形式： (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0). (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0). (3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0). 例2　用待定系数法求下列一元二次函数的解析式： (1)已知一元二次函数的图象过点(－2，20)，(1，2)，(3，0)； (2)已知一元二次函数图象的顶点坐标为(－1，－2)，且图象过点(2，25)； (3)已知一元二次函数的图象与x轴的交点坐标为(－2，0)，(3，0)，且图象过点(－1，8). 解　(1)设所求一元二次函数的解析式为 y＝ax2＋bx＋c(a≠0). 将(－2，20)，(1，2)，(3，0)分别代入解析式， 得解得 ∴所求一元二次函数的解析式为y＝x2－5x＋6. (2)∵一元二次函数图象的顶点坐标为(－1，－2)， ∴设一元二次函数的解析式为y＝a(x＋1)2－2(a≠0). ∵图象过点(2，25)， ∴a(2＋1)2－2＝25， 解得a＝3， ∴所求一元二次函数的解析式为y＝3(x＋1)2－2， 即y＝3x2＋6x＋1. (3)∵一元二次函数的图象与x轴的交点坐标为(－2，0)，(3，0)， ∴设所求一元二次函数的解析式为 y＝a(x＋2)(x－3)(a≠0). 又∵图象过点(－1，8)， ∴8＝a(－1＋2)×(－1－3)，解得a＝－2， ∴所求一元二次函数的解析式为 y＝－2(x＋2)(x－3)， 即y＝－2x2＋2x＋12. 反思感悟　一元二次函数常见解析式的形式有三种：一般式、顶点式、两根式.一般地，若已知函数图象经过三点，常设一般式；若题目中给出顶点坐标、最大值、对称轴等信息，常考虑顶点式；若题目中给出函数图象与x轴的交点坐标，可设两根式. 跟踪训练2　一元二次函数的图象经过两点(0,3)，(2,3)，且函数的最大值是5，则这个一元二次函数的解析式为________． 答案　y＝－2x2＋4x＋3 解析　由于点(0,3)，(2,3)在一元二次函数的图象上，所以一元二次函数的图象关于直线x＝1对称， 又函数的最大值为5， 设y＝a(x－1)2＋5(a<0)， 则3＝a＋5，所以a＝－2， 因此y＝－2(x－1)2＋5＝－2x2＋4x＋3. 三、一元二次函数的性质 问题2　你能找出一元二次函数y＝2(x－1)2＋5的对称轴和顶点坐标吗？你能找出函数值y随x的增大而减小，函数值y随x的增大而增大所对应的区间吗？你能求出函数的最值吗？ 提示　对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，5).函数值y随x的增大而减小的区间是(－∞，1]，函数值y随x的增大而增大的区间是[1，＋∞).当x＝1时，ymin＝5，无最大值. 知识梳理 函数y＝a(x－h)2＋k(a，h，k是常数，a≠0) a>0(开口向上) a<0(开口向下) 图象 性 质 对称轴 直线x＝h 顶点 (h，k) x的取值范围 R y的取值范围 [k，＋∞) (－∞，k] 函数值的变化趋势 在区间(－∞，h]上，y随x的增大而减小，在区间[h，＋∞)上，y随x的增大而增大 在区间(－∞，h]上，y随x的增大而增大，在区间[h，＋∞)上，y随x的增大而减小 最值 当x＝h时，y有最小值，ymin＝k 当x＝h时，y有最大值，ymax＝k 注意点： 解决一元二次函数的单调性与最值问题时要注意数形结合法的应用. 例3　(1)已知函数y＝x2－3x－. ①求函数图象的顶点坐标、对称轴方程和最值； ②若x∈[1，4]，求函数值的取值范围. 解　①配方，得 y＝x2－3x－(x－3)2－， 所以函数图象的顶点坐标为， 对称轴方程为x＝3，最小值为－，无最大值. ②由于3∈[1，4]，所以函数值在区间[1，3]上随x的增大而减小，在区间[3，4]上随x的增大而增大， 所以当x＝3时，ymin＝－， 当x＝1时，ymax＝×4－＝－， 所以当x∈[1，4]时，函数值的取值范围为. (2)已知函数y＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0，1]上有最大值2，求a的值. 解　函数y＝－x2＋2ax＋1－a＝－(x－a)2＋a2－a＋1，对称轴为直线x＝a. 当a<0，x＝0时，ymax＝1－a，所以1－a＝2， 所以a＝－1； 当0≤a≤1时，ymax＝a2－a＋1， 所以a2－a＋1＝2，所以a2－a－1＝0， 所以a＝(舍去)； 当a>1，x＝1时，ymax＝a，所以a＝2. 综上可知，a＝－1或a＝2. 反思感悟　一元二次函数最值问题的解法 抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合对称轴的位置，根据函数的变化趋势及分类讨论的思想即可完成. 跟踪训练3　已知函数y＝ax2＋2ax＋1在区间[－1，2]上有最大值4，求实数a的值. 解　y＝a(x＋1)2＋1－a. 当a＝0时，函数在区间[－1，2]上的值不变，恒为常数1，不符合题意，舍去； 当a>0时，函数值在区间[－1，2]上随x的增大而增大，最大值为8a＋1＝4，解得a＝； 当a<0时，函数值在区间[－1，2]上随x的增大而减小，最大值为1－a＝4，解得a＝－3. 综上，a的值为－3或. 1.知识清单： (1)一元二次函数解析式的三种形式. (2)一元二次函数的图象及变换. (3)一元二次函数的性质. 2.方法归纳：配方法、数形结合、图象变换. 3.常见误区： (1)易忽视一元二次函数的开口方向. (2)二次项含参时，要注意是否需要对二次项系数进行讨论. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分 1.若函数y＝x2＋mx的图象关于直线x＝2对称，则(　　) A.m＝－4 B.m＝4 C.m＝－2 D.m＝2 答案　A 解析　一元二次函数y＝x2＋mx图象的对称轴为直线x＝－，于是－＝2，解得m＝－4. 2.已知抛物线与x轴交于点(－1，0)，(1，0)，并且与y轴交于点(0，1)，则抛物线的解析式为(　　) A.y＝－x2＋1 B.y＝x2＋1 C.y＝－x2－1 D.y＝x2－1 答案　A 解析　设y＝a(x－1)(x＋1)， 代入(0，1)，得a(0－1)(0＋1)＝－a＝1， ∴a＝－1，∴y＝－x2＋1. 3.已知一元二次函数y＝x2＋2x＋5，它的图象可以由函数y＝x2的图象经过怎样的变换得到(　　) A.向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 B.向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 C.向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 D.向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 答案　C 解析　y＝x2＋2x＋5＝(x＋2)2＋3，显然C正确. 4.关于一元二次函数y＝－2x2＋1，下列说法中正确的是(　　) A.它的图象的开口方向是向上的 B.当x<－1时，y随x的增大而增大 C.它的顶点坐标是(－2，1) D.当x＝0时，y有最大值是2 答案　B 解析　∵一元二次函数y＝－2x2＋1，a＝－2<0，∴该函数的图象开口方向向下，故选项A错误； 当x<0时，y随x的增大而增大，故选项B正确； 它的顶点坐标为(0，1)，故选项C错误； 当x＝0时，y有最大值1，故选项D错误. 5.函数y＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4)上函数值y随着自变量x的增大而减小，则a的取值范围是(　　) A.[－3，＋∞) B.(－∞，－3] C.(－∞，5) D.[3，＋∞) 答案　B 解析　函数图象的对称轴是直线x＝1－a，开口向上，则1－a≥4，解得a≤－3. 6.已知一元二次函数y＝x2＋(k－2)x－2，则下列说法错误的是(　　) A.其图象开口向上，且始终与x轴有两个不同的交点 B.无论k取何实数，其图象始终过定点(0，－2) C.其图象对称轴的位置不确定，但其形状不会因k的取值不同而改变 D.函数的最小值大于－2 答案　D 解析　对于A选项，函数对应的二次方程x2＋(k－2)x－2＝0，其判别式Δ＝(k－2)2＋8>0恒成立，故抛物线始终与x轴有两个不同的交点，故A选项正确； 对于B选项，当x＝0时，函数值y＝－2，故B选项正确； 对于C选项，抛物线的形状只与二次项系数a有关，无论k取何实数，该函数图象的形状都与y＝x2的图象形状相同，故C选项正确； 对于D选项，函数的最小值ymin＝，其中－8－(k－2)2≤－8，所以ymin≤－2，故D选项错误. 7.(5分)已知函数y＝(m2－3m)是一元二次函数，则m＝　　　，此时函数的最大值为　　　.  答案　2　0 解析　由题意得 ∴ ∴m＝2，此时y＝－2x2，函数的最大值为0. 8.(5分)一元二次函数的图象过点(0，1)，对称轴为直线x＝2，最小值为－1，则它的解析式是　　　　　　　　　　　　. 答案　y＝x2－2x＋1 解析　依题意可设y＝a(x－2)2－1(a>0)， 又其图象过点(0，1)， ∴4a－1＝1，∴a＝. ∴y＝(x－2)2－1＝x2－2x＋1. 9.(10分)已知抛物线y＝ax2＋6x－8与直线y＝－3x相交于点A(1，m). (1)求抛物线的解析式；(5分) (2)(1)中的抛物线经过怎样的平移可以得到y＝ax2的图象.(5分) 解　(1)由题意得，点A(1，m)在直线y＝－3x上， ∴m＝－3×1＝－3. 把x＝1，y＝－3代入y＝ax2＋6x－8， 得a＋6－8＝－3，解得a＝－1. ∴抛物线的解析式是y＝－x2＋6x－8. (2)∵y＝－x2＋6x－8＝－(x－3)2＋1， ∴顶点坐标为(3，1).∴把抛物线y＝－x2＋6x－8向左平移3个单位长度后得到y＝－x2＋1的图象，再把y＝－x2＋1的图象向下平移1个单位长度得到y＝－x2的图象. 10.(11分)已知函数y＝－x2＋4x－2. (1)试述该函数的变化趋势及最大值或最小值；(5分) (2)若x∈[0，3]，求该函数的最大值和最小值.(6分) 解　y＝－x2＋4x－2＝－(x－2)2＋2. (1)该函数的图象开口向下，对称轴为直线x＝2， 在区间(－∞，2]上函数值y随自变量x的增大而增大，在区间[2，＋∞)上，函数值y随自变量x的增大而减小；函数值y在x＝2处取得最大值，即ymax＝2. (2)若x∈[0，3]，画出函数图象，如图所示.由图可知， 当x＝2时，ymax＝2； 当x＝0时，ymin＝－2. 11.一元一次函数y＝ax＋b(a≠0)与一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在同一坐标系中的图象大致是(　　) 答案　C 解析　选项A，y＝ax＋b中，a>0，而y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，矛盾； 选项B，y＝ax＋b中，a>0，b>0，而y＝ax2＋bx＋c的图象的对称轴x＝－>0，矛盾； 选项C，y＝ax＋b中，a<0，b<0，y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，且对称轴x＝－<0，满足题意； 选项D，y＝ax＋b中，a<0，但y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，矛盾. 12.(多选)下列关于一元二次函数y＝(x－2)2－1的说法正确的是(　　) A.∀x∈R，y＝(x－2)2－1≥1 B.∀a>－1，∃x∈R，y＝(x－2)2－1<a C.∀a<－1，∃x∈R，y＝(x－2)2－1＝a D.∃x1≠x2，(x1－2)2－1＝(x2－2)2－1 答案　BD 解析　对于A，由于一元二次函数y＝(x－2)2－1≥－1，故A错误； 对于B，由一元二次函数y＝(x－2)2－1≥－1， 得∀a>－1，∃x∈R，y＝(x－2)2－1<a为真命题，故B正确； 对于C，由一元二次函数y＝(x－2)2－1≥－1， 得∀a<－1，∃x∈R，y＝(x－2)2－1＝a为假命题，故C错误； 对于D，∵y＝(x－2)2－1＝x2－4x＋3， Δ＝(－4)2－4×1×3＝4>0， ∴∃x1≠x2，(x1－2)2－1＝(x2－2)2－1为真命题，故D正确. 13.(多选)如图是一元二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为直线x＝－1.给出下面四个选项，正确的是(　　) A.b2>4ac　　 B.2a－b＝1 C.a－b＋c＝0 D.5a<b 答案　AD 解析　因为图象与x轴交于两点， 所以b2－4ac>0，即b2>4ac，A正确； 对称轴为直线x＝－1， 即－＝－1，2a－b＝0，B错误； 结合图象，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，C错误； 由对称轴为直线x＝－1知，b＝2a.又函数图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a<b，D正确. 14.(5分)函数y＝x2－2x，当－1≤x≤t时，该函数的最大值为3，则t的最大值为　　　　　.  答案　3 解析　令y＝3，则x2－2x＝3，解得x＝－1或x＝3. 由图可知，t的最大值为3. 15.若关于x的一元二次方程(x－2)(x－3)＝m有实数根x1，x2，且x1<x2，则下列说法中错误的是(　　) A.当m＝0时，x1＝2，x2＝3 B.m>－ C.当m>0时，2<x1<x2<3 D.当m>0时，x1<2<3<x2 答案　C 解析　当m＝0时，(x－2)(x－3)＝0， ∴x1＝2，x2＝3，故A对； 方程(x－2)(x－3)＝m可化为x2－5x＋6－m＝0， 由方程有两个不等实根得Δ＝25－4(6－m)＝1＋4m>0， ∴m>－，故B对； 当m>0时，画出函数y＝(x－2)(x－3)和函数y＝m的图象如图， 由(x－2)(x－3)＝m得，函数y＝(x－2)(x－3)和函数y＝m图象的交点横坐标分别为x1，x2，由图可知，x1<2<3<x2，故C错，D对. 16.(12分)求函数y＝－x(x－a)在[－1，1]上的最大值. 解　函数y＝－图象的对称轴方程为x＝，应分<－1，－1≤≤1，>1， 即a<－2，－2≤a≤2和a>2这三种情形讨论. ①当a<－2时，函数大致图象如图1所示， 由图可知ymax＝－a－1； ②当－2≤a≤2时，函数大致图象如图2所示， 由图可知ymax＝； ③当a>2时，函数大致图象如图3所示， 由图可知ymax＝a－1. 图1　　　　　图2　　　　　图3 综上，当a<－2时，ymax＝－a－1， 当－2≤a≤2时，ymax＝， 当a>2时，ymax＝a－1. 学科网（北京）股份有限公司 $