第1章 习题课 不等式恒成立、能成立问题（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦高中数学不等式恒成立、能成立问题，构建“R上恒成立（含二次项系数讨论）→给定范围恒成立（结合端点值）→能成立问题（转化为最值）”的递进学习支架，系统梳理判别式法、分离参数法、数形结合法的应用。 资料以“例题-反思-跟踪训练”分层设计，突出等价转化思维，如例1分类讨论k是否为0培养严谨推理（数学思维），跟踪训练2结合充分不必要条件发展抽象能力（数学眼光）。课时对点练覆盖多样题型，课中助教师分层授课，课后助学生查漏补缺，提升用数学语言解决问题的能力（数学语言）。

习题课　不等式恒成立、能成立问题 学习目标　会用判别式法、分离参数法、数形结合等方法解决不等式中的恒成立、能成立问题. 一、在R上的恒成立问题 例1　已知∀x∈R，不等式kx2＋2kx－(k＋2)<0恒成立，求实数k的取值范围. 解　当k＝0时，原不等式化为－2<0，显然符合题意； 当k≠0时，令y＝kx2＋2kx－(k＋2)， ∵y<0恒成立，∴其图象都在x轴的下方， 即开口向下，且与x轴无交点. ∴解得－1<k<0. 综上，实数k的取值范围是{k|－1<k≤0}. 反思感悟　转化为一元二次不等式解集为R的情况 ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔ ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立⇔ ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立⇔ ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立⇔ 提醒：若题目中未强调是一元二次不等式，且二次项系数含参，则一定要讨论二次项系数是否为0. 跟踪训练1　已知∀x∈R，不等式x2＋ax＋3≥a恒成立，则实数a的取值范围为　　　　.  答案　[－6，2] 解析　原不等式可化为x2＋ax＋3－a≥0， ∵函数y＝x2＋ax＋3－a的图象开口向上， ∴Δ＝a2－4(3－a)＝a2＋4a－12≤0， 即(a－2)(a＋6)≤0， ∴－6≤a≤2， ∴实数a的取值范围为[－6，2]. 二、在给定范围上的恒成立问题 例2　当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，求实数m的取值范围. 解　令y＝x2＋mx＋4， ∵y<0在1≤x≤2上恒成立， ∴y＝0的根一个小于1，另一个大于2. 如图，可得 解得m<－5， ∴实数m的取值范围是{m|m<－5}. 反思感悟　在给定范围上的恒成立问题 (1)当a>0时，ax2＋bx＋c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时小于0. (2)当a<0时，ax2＋bx＋c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时大于0. 跟踪训练2　命题“∀x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(　　) A.a≥4 B.a≥5 C.a≤4 D.a≤5 答案　B 解析　因为命题“∀x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”是真命题， 所以当1≤x≤2时，a≥x2恒成立， 所以a≥4， 结合选项，该命题为真命题的一个充分不必要条件是a≥5. 三、解决简单的能成立问题 例3　当1<x<2时，关于x的不等式x2＋mx＋4>0有解，则实数m的取值范围为　　　　　　　　.  答案　{m|m>－5} 解析　记y＝x2＋mx＋4，则由二次函数的图象(图略)知，不等式x2＋mx＋4>0(1<x<2)有解，即m＋5>0或2m＋8>0，解得m>－5. 反思感悟　解决能成立问题的方法 (1)结合二次函数图象，将问题转化为端点值的问题解决. (2)对一些简单的问题，可转化为m>ymin或m<ymax的形式，通过求y的最小值与最大值，求得参数的取值范围. 跟踪训练3　若存在x∈R，使得≥2成立，求实数m的取值范围. 解　∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0， ∴4x＋m≥2(x2－2x＋3)能成立， ∴m≥2x2－8x＋6能成立， 又2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2≥－2， ∴m≥－2， ∴实数m的取值范围为{m|m≥－2}. 1.知识清单： (1)在R上的恒成立问题. (2)给定范围上的恒成立问题. (3)解决简单的能成立问题. 2.方法归纳：等价转换法、数形结合法. 3.常见误区：要注意端点值的取舍. 课时对点练 [分值：80分] 一、单项选择题(每小题5分，共25分) 1.已知关于x的不等式x2＋ax＋4<0的解集为空集，则实数a的取值范围是(　　) A.[－4，4] B.(－4，4) C.(－∞，－4]∪[4，＋∞) D.(－∞，－4)∪(4，＋∞) 答案　A 解析　由题意得，Δ＝a2－16≤0，解得－4≤a≤4. 2.一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为全体实数的条件是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为全体实数等价于二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象全部在x轴下方，需要开口向下，且与x轴无交点，故需要 3.若关于x的不等式－x2＋mx－1≥0有解，则实数m的取值范围是(　　) A.{m|m≤－2或m≥2} B.{m|－2≤m≤2} C.{m|m<－2或m>2} D.{m|－2<m<2} 答案　A 解析　因为关于x的不等式－x2＋mx－1≥0有解， 所以Δ＝m2－4≥0，解得m≥2或m≤－2. 4.若当1≤x≤4时，不等式x2－(m＋1)x＋9≤0有解，则实数m的最小值为(　　) A.9 B.5 C.6 D. 答案　B 解析　因为当1≤x≤4时，不等式x2－(m＋1)x＋9≤0有解， 所以m＋1≥x＋有解， 又因为x＋≥2＝6， 当且仅当x＝，即x＝3时取等号， 所以当1≤x≤4时，x＋的最小值为6， 所以m＋1≥6，即m≥5，故m的最小值为5. 5.若两个正实数x，y满足＝1，且不等式x＋<m2－3m有解，则实数m的取值范围是(　　) A.{m|－1<m<4} B.{m|m<0或m>3} C.{m|－4<m<1} D.{m|m<－1或m>4} 答案　D 解析　因为正实数x，y满足＝1， 所以x＋＝2＋≥2＋2＝4，当且仅当x＝2，y＝8时，等号成立，x＋取得最小值4. 由x＋<m2－3m有解，可得m2－3m>4， 解得m>4或m<－1. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 6.若命题“∃x∈R，(k2－1)x2＋2(k－1)x－1>0”是假命题，则k的值可能为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案　AB 解析　由题知“∀x∈R，(k2－1)x2＋2(k－1)x－1≤0”是真命题， 若k2－1＝0，则k＝1或k＝－1， 当k＝1时，－1<0恒成立，当k＝－1时，－4x－1≤0不恒成立； 若k2－1<0，Δ＝4(k－1)2＋4(k2－1)≤0，解得0≤k<1， 综上，0≤k≤1. 7.若对于∀x∈{x|a≤x≤a＋2}，不等式x2－2x－3≤0恒成立，则实数a的值可能为(　　) A.－2 B.－1 C. D.2 答案　BC 解析　不等式x2－2x－3≤0的解集是{x|－1≤x≤3}， 因为对于∀x∈{x|a≤x≤a＋2}，不等式x2－2x－3≤0恒成立， 记A＝{x|a≤x≤a＋2}，B＝{x|－1≤x≤3}， 则A⊆B， 所以 解得－1≤a≤1， 所以结合选项，实数a的值可能为－1，. 8.已知当0<x≤2时，关于x的不等式ax2－2x＋3a<0有解，则实数a的取值可能是(　　) A.－3 B.－2 C.1 D.2 答案　AB 解析　由当0<x≤2时，ax2－2x＋3a<0有解， 可得a<有解， 当0<x≤2时，≤， 当且仅当x＝时取等号，所以a<，故A，B正确，C，D错误. 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.若关于x的不等式ax2－2x＋1<0有解，则实数a的取值范围为　　　　　　　　.  答案　{a|a<1} 解析　因为ax2－2x＋1<0有解，显然a≤0时恒成立； 又由解得0<a<1， 综上，a<1. 10.关于x的不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1≤0的解集为R，则实数a的取值范围是　　　　　　　　　　.  答案　 解析　当a2－1＝0时，a＝1或a＝－1， 若a＝1，不等式为－1≤0，恒成立； 若a＝－1，不等式为2x－1≤0， 解得x≤，不符合题意. 当a2－1≠0时， 若要不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1≤0的解集为R， 则a2－1<0，且Δ＝(a－1)2＋4(a2－1)≤0， 解得－≤a<1. 综上可得，实数a的取值范围是. 四、解答题(共27分) 11.(13分)对于∀x∈{x|2≤x≤3}，不等式mx2－mx－1<0恒成立，求m的取值范围. 解　由不等式mx2－mx－1<0，得m(x2－x)<1， 因为x∈{x|2≤x≤3}，所以x2－x>0， 所以m(x2－x)<1可化为m<， 因为x2－x＝≤6， 所以≥，所以m<. 即m的取值范围是. 12.(14分)已知关于x的不等式2x2＋bx＋c<20的解集为{x|－4<x<1}. (1)求b，c的值；(7分) (2)若当2<x<4时，关于x的不等式2x2＋bx＋c<mx有解，求实数m的取值范围.(7分) 解　(1)由题意知，2x2＋bx＋c－20<0的解集为{x|－4<x<1}， ∴－4和1是方程2x2＋bx＋c－20＝0的两个根， 由根与系数的关系可得 解得 (2)∵当2<x<4时，关于x的不等式2x2＋6x＋12<mx有解， ∴m>2x＋＋6有解， 当2<x<4时，2x＋＋6≥2＋6＝4＋6，当且仅当x＝时，等号成立， ∴m>4＋6. 学科网（北京）股份有限公司 $