第1章 3.2 第1课时 基本不等式（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦高中数学基本不等式核心知识点，从重要不等式（a²+b²≥2ab，a,b∈R）切入，通过变量替换推导基本不等式（√(ab)≤(a+b)/2，a,b≥0），涵盖证明（作差法、性质法、几何意义）、变形及比较大小、证明、求最值等应用，构建完整知识支架。 资料以金店天平问题创设情境，引导学生用数学眼光观察现实，结合几何图形（国际数学家大会会标、半圆）直观证明培养几何直观。通过多条件变式训练（如x>0与x<0的最值对比）发展推理意识，课中助教师高效授课，课后练习帮助学生查漏补缺，强化应用能力。

3.2　基本不等式 第1课时　基本不等式 学习目标　1.掌握基本不等式及推导过程.2.能熟练运用基本不等式比较两实数的大小.3.能初步运用基本不等式进行证明和求最值. 导语 从前有个金店的天平坏了，天平的两臂长短不相等，店主不想购置新的天平，又怕别人说他缺斤少两，于是他想出一个办法：先把顾客要购买的黄金放入左边的托盘中，右边托盘中加砝码得到一个读数，再把黄金放入右边的托盘中，在左边托盘加砝码得到第二个读数，然后把两个读数相加除以2作为黄金的最终质量出售.你觉得店主这个买卖做到诚信无欺了吗？要解决这个问题，我们一起进入今天的课堂吧！ 一、基本不等式的证明与理解 问题1　如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，我们能得出什么样的结论呢？ 提示　正方形的边长AB＝，故正方形的面积为x2＋y2，而四个直角三角形面积的和为2xy，故有x2＋y2≥2xy，当且仅当x＝y时，等号成立.即≥xy，当且仅当x＝y时等号成立. 问题2　如果a>0，b>0，我们用，分别替换重要不等式中的a，b，能得到什么样的结论？ 提示　用，分别替换重要不等式中的a，b可得到a＋b≥2，当且仅当a＝b时，等号成立.我们习惯表示成≤，当且仅当a＝b时，等号成立. 问题3　上述不等式是否对所有的a≥0，b≥0都能成立？请给出证明. 提示　方法一　(作差法) ＝≥0， 即≥，当且仅当a＝b时，等号成立. 方法二　(性质法) 要证≤， 只需证2≤a＋b， 只需证2－a－b≤0， 只需证－()2≤0， 显然()2≥0成立，当且仅当a＝b时，等号成立. 方法三　(利用几何意义证明) 如图，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b，过点C作AB的垂线，交于点D，连接AD，OD，BD，显然OD＝OA＝；利用三角形相似可证得△ACD∽△DCB，故CD＝，又OD≥CD，故用不等式表示为≥，由此也可以得出圆的半径大于或等于半弦. 知识梳理 1.如果a≥0，b≥0，≥，当且仅当a＝b时，等号成立.这个不等式称为基本不等式，其中称为a，b的算术平均值，称为a，b的几何平均值.因此，基本不等式又称为均值不等式，也可以表述为：两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值. 2.变形：ab≤≤，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立. a＋b≥2，a≥0，b≥0，当且仅当a＝b时，等号成立. 注意点： (1)基本不等式成立的条件是a≥0，b≥0；当条件出现负数时，可以转化为正数，再用基本不等式求解. (2)不等式中的a，b既可以是具体的某个数，也可以是代数式. (3)a2＋b2≥2ab，a，b∈R也成立. (4)等号成立的条件：当且仅当a＝b时等号成立. 例1　(多选)若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，不成立的是(　　) A.a2＋b2>2ab B.a＋b≥2 C.> D.≥2 答案　ABC 解析　对∀a，b∈R，a2＋b2≥2ab，故A错误；当a<0，b<0时，选项B，C错误；因为ab>0，所以>0，>0，所以≥2＝2，当且仅当，即a＝b时，等号成立，选项D正确. 反思感悟　基本不等式及变形形式使用的条件 (1)a2＋b2≥2ab，其中a，b∈R. (2)≥，其中a≥0，b≥0. (3)ab≤，其中a，b∈R. 跟踪训练1　不等式(x－2y)＋≥2成立的前提条件为　　　　.  答案　x>2y 解析　因为不等式成立的前提条件是各项均为非负数，又x－2y≠0，所以x－2y>0，即x>2y. 二、用基本不等式证明不等式 例2　(课本例4)已知a>0，b>0，c>0，求证：a＋b＋c≥. 证明　因为a>0，b>0，c>0， 所以由基本不等式，得 a＋b≥2，当且仅当a＝b时，等号成立， b＋c≥2，当且仅当b＝c时，等号成立， a＋c≥2，当且仅当a＝c时，等号成立. 上面三式相加，得 2a＋2b＋2c≥2＋2＋2， 即a＋b＋c≥， 当且仅当a＝b＝c时，等号成立. 例2　已知a，b，c均为正实数，且a＋b＋c＝1. 求证：≥8. 证明　因为a，b，c均为正实数，a＋b＋c＝1， 所以－1＝≥， 同理－1≥，－1≥. 上述三个不等式两边均为正，分别相乘， 得≥··＝8， 当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立. 延伸探究1　本例的条件不变，求证：≥9. 证明　＝3＋≥3＋2＋2＋2＝9， 当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立. 反思感悟　利用基本不等式证明不等式时，要先观察题中要证明的不等式的结构特征，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之转化为能使用基本不等式的形式；若题目中还有已知条件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有“1”时，要注意“1”的代换，另外，解题时要时刻注意等号能否取到. 跟踪训练2　已知a，b，c都是正实数，求证：(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc. 证明　∵a，b，c都是正实数， ∴a＋b≥2>0，当且仅当a＝b时，等号成立， b＋c≥2>0，当且仅当b＝c时，等号成立， c＋a≥2>0，当且仅当a＝c时，等号成立. ∴(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥2·2·2＝8abc.即(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc， 当且仅当a＝b＝c时，等号成立. 即证原不等式成立. 三、利用基本不等式求简单式子的最值 用基本不等式求最值 当x，y均为正数时， (1)若x＋y＝s(s为定值)，则当且仅当x＝y时，xy取得最大值. (2)若xy＝p(p为定值)，则当且仅当x＝y时，x＋y取得最小值2. 例3　(1)若x>0，则x＋的最小值为　　　　　　；  (2)若0<a<2，则的最大值为　　　　　　.  答案　(1)4　(2)1 解析　(1)因为x>0， 所以x＋≥2＝4， 当且仅当x＝，即x＝2时，等号成立，因此所求的最小值为4. (2)当0<a<2时，2－a>0， 则≤＝1， 当且仅当2－a＝a，即a＝1时，等号成立， 因此所求的最大值为1. 延伸探究2　将例3(1)的条件“x>0”改成“x<0”，则x＋的最大值为　　　　.  答案　－4 解析　x＋＝－， 因为x<0，则－x>0， 故有－x＋≥2＝4， 所以－≤－4，当且仅当－x＝－，即x＝－2时，等号成立. 故原式的最大值为－4. 延伸探究3　将例3(1)的条件“x>0”改成“x>2”，则x＋的最小值为　　　　.  答案　6 解析　因为x>2，所以x－2>0， 则x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝6， 当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立， 所以x＋的最小值为6. 延伸探究4　将例3(1)的条件“x>0”改成“x<2”，则x＋的最大值为　　　　.  答案　－2 解析　因为x<2，所以2－x>0， 则x＋＝x－2＋＋2 ＝－＋2≤－2＋2 ＝－2， 当且仅当2－x＝，即x＝0时，等号成立， 所以x＋的最大值为－2. 延伸探究5　将例3(1)的条件“x>0”改成“x>1”，则2－x－的最大值为　　　　.  答案　－1 解析　2－x－＝1＋1－x－ ＝1－， 由x>1，得x－1>0， 可得(x－1)＋≥2＝2， 当且仅当＝x－1，即x＝2时，等号成立， 故2－x－≤1－2＝－1，即2－x－的最大值为－1. 延伸探究6　将例3(2)改为“若0<a<”，则的最大值为　　　　.  答案　 解析　当0<a<时，1－2a>0， 原式＝ ＝·≤·， 当且仅当1－2a＝2a，即a＝时，等号成立，故原式的最大值为. 反思感悟　(1)利用基本不等式求最值的注意点 ①一正：各项必须为正. ②二定：各项之和或各项之积为定值. ③三相等：必须验证取等号时的条件是否具备. (2)通过配凑法利用基本不等式求最值的策略 配凑法的实质在于代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键，利用配凑法求最值应注意以下几个方面：①配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价转换；②代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标；③拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提. 1.知识清单： 三个不等式：a2+b2≥2ab(a，b∈R)，≥（a，b都是非负数），ab≤(a，b∈R). 2.方法归纳：配凑法、转化法. 3.常见误区：使用基本不等式或基本不等式的变形形式时，要注意使用条件. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.已知a，b∈R，则a2＋b2与2|ab|的大小关系是(　　) A.a2＋b2≥2|ab| B.a2＋b2＝2|ab| C.a2＋b2≤2|ab| D.a2＋b2>2|ab| 答案　A 解析　∵a2＋b2－2|ab|＝(|a|－|b|)2≥0， ∴a2＋b2≥2|ab|(当且仅当|a|＝|b|时，等号成立). 2.若0<a<b，则下列不等式一定成立的是(　　) A.a>>>b B.b>>>a C.b>>>a D.b>a>> 答案　C 解析　∵0<a<b，∴2b>a＋b， ∴b>>. 又∵b>a>0，∴ab>a2， ∴>a.故b>>>a. 3.若x>0，则x－2＋(　　) A.有最小值4 B.有最大值4 C.有最小值2 D.有最大值－2 答案　C 解析　∵x>0， ∴x－2＋＝x＋－2≥2－2＝2， 当且仅当x＝，即x＝2时，等号成立， ∴x－2＋有最小值2. 4.(多选)下列不等式一定成立且等号也能取到的是(　　) A.3x＋≥ B.3x2＋≥ C.3(x2＋1)＋≥ D.≥4 答案　BD 解析　A中，x可能是负数，不成立；B中，当且仅当3x2＝，即x4＝时，等号成立；C中，当且仅当3(x2＋1)＝，即(x2＋1)2＝时等号成立，而(x2＋1)2＝无解，不成立；D中，当且仅当，即x2＝2时，等号成立. 5.设x>0，则3－3x－的最大值是(　　) A.3 B.3－2 C.－1 D.3－2 答案　D 解析　∵x>0，∴3x＋≥2＝2，当且仅当x＝时，等号成立， ∴－≤－2，则3－3x－≤3－2， 即3－3x－的最大值为3－2. 6.(多选)下列命题中，为真命题的有(　　) A.∀x>0，x＋≥2 B.∃x<0，x＋>－2 C.∀x>0，≥ D.∃x<0，≤－ 答案　AD 解析　利用基本不等式可得∀x>0，x＋≥2＝2， 当且仅当x＝1时，等号成立，故A正确； ∀x<0，x＋＝－≤－2＝－2， 当且仅当x＝－1时，等号成立，即命题∃x<0，x＋>－2不成立，故B错误； 易知∀x>0，≤， 当且仅当x＝1时，等号成立，故C错误； 易知当x＝－1时，＝－，即∃x<0，≤－，故D正确. 7.(5分)已知a>b>c，则与的大小关系是　　　　　　　　　　　　　　　.  答案　≤ 解析　因为a>b>c，所以a－b>0，b－c>0， 所以≥， 当且仅当a－b＝b－c时，等号成立. 8.(5分)(x>0)的最小值为　　　　.  答案　2＋2 解析　＝x＋＋2≥2＋2＝2＋2.当且仅当x＝时，等号成立. 9.(10分)已知a>0，b>0，且a＋b＝，求证：a＋b≥2. 证明　由a>0，b>0， 则a＋b＝， 由于a＋b>0，则ab＝1，即a＋b≥2＝2， 当且仅当a＝b＝1时，等号成立， 所以a＋b≥2. 10.(11分)(1)已知x<3，求＋x的最大值.(5分) (2)已知0<b<2，求(2－b)(1＋2b)的最大值.(6分) 解　(1)∵x<3，∴x－3<0， ∴＋x＝＋(x－3)＋3 ＝－＋3 ≤－2＋3＝－1， 当且仅当＝3－x，即x＝1时，等号成立， ∴＋x的最大值为－1. (2)∵0<b<2，∴4－2b>0，1＋2b>0， 则(2－b)(1＋2b)＝(4－2b)(1＋2b)≤×， 当且仅当4－2b＝1＋2b，即b＝时等号成立， ∴(2－b)(1＋2b)的最大值为. 11.已知a，b∈R，下列不等式始终成立的是(　　) A.a2＋b2>2(a－b－1) B.＋b≥2a C.≥ D.≥ab 答案　D 解析　A选项，a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，即a2＋b2≥2(a－b－1)，故A不正确；B选项，当a>0，b<0时不成立，故B不正确；C选项，当a<0，b<0时不成立，故C不正确；D选项，－ab＝≥0，即≥ab，当且仅当a＝b时取等号，故D正确. 12.某工厂第一年产量为A，第二年产量的增长率为a，第三年产量的增长率为b，这两年产量的平均增长率为x，则(　　) A.x＝ B.x≤ C.x> D.x≥ 答案　B 解析　由题意得A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)， ∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)，又a>0，b>0，x>0， ∴1＋x＝≤ ＝1＋， ∴x≤，当且仅当1＋a＝1＋b，即a＝b时，等号成立. 13.《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示的图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为(　　) A.≥(a>0，b>0) B.a2＋b2≥2(a>0，b>0) C.≤(a>0，b>0) D.≤(a>0，b>0) 答案　D 解析　由AC＝a，BC＝b，可得圆O的半径r＝，又OC＝OB－BC＝－b＝， 则FC2＝OC2＋OF2＝， 再根据题图知OF≤FC，即≤(a>0，b>0)，当且仅当a＝b时，等号成立. 14.(5分)当x∈(0，＋∞)时，不等式x2－mx＋x＋1>0恒成立，则实数m的取值范围是　　　　.  答案　(－∞，3) 解析　当x∈(0，＋∞)时，不等式x2－mx＋x＋1>0恒成立， 即mx<x2＋x＋1，m<x＋＋1在x∈(0，＋∞)上恒成立，故m<. ∵x>0， ∴x＋＋1≥2＋1＝3， 当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立，∴m<3. 15.(5分)已知a>0，b>0，则＋2的最小值是　　　　.  答案　4 解析　∵a>0，b>0， ∴＋2≥2＋2 ≥4＝4， 当且仅当a＝b＝1时，等号成立. 16.(12分)已知实数a>b>0， (1)比较b(a－b)与的大小；(5分) (2)求a2＋的最小值及取最小值时a，b的值.(7分) 解　(1)∵a>b>0，∴a－b>0， ∴b(a－b)≤， 当且仅当b＝a－b，即2b＝a时，等号成立. ∴b(a－b)≤. (2)由(1)知0<b(a－b)≤，当且仅当2b＝a时等号成立， ∴≥，∴≥， ∴a2＋≥a2＋≥2＝20， 当且仅当a2＝且2b＝a， 即a＝，b＝时取等号. 综上可知，当a＝，b＝时，a2＋取得最小值20. 学科网（北京）股份有限公司 $