第1章 4.2 一元二次不等式及其解法（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦高中数学一元二次不等式及其解法，从实际情境抽象概念，通过二次函数图象与方程根的联系掌握解法，再以分类讨论突破含参数问题，构建“概念-解法-应用”的完整学习支架。 以熊猫饲养员圈建活动室问题引入培养数学眼光，结合函数图象分析解集发展数学思维，用集合语言规范表达提升数学语言能力。课中例题与延伸探究助力分层教学，课后对点练帮助学生巩固知识，查漏补缺。

4.2　一元二次不等式及其解法 学习目标　1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.2.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.3.掌握解一元二次不等式的方法. 导语 春天来了，熊猫饲养员计划在靠墙的位置为它们圈建一个矩形的室外活动室.现有可以做出20 m栅栏的材料，要求使得活动室的面积不小于42 m2，你能确定与墙平行的栅栏的长度范围吗？ 一、一元二次不等式的概念 问题1　给出下面四个不等式： ①x2－x－6>0；②x2－x－6≤0； ③x2－4x＋4≥0；④2x2＋x＋5<0. 以上四个不等式中，每个不等式含有几个未知数？未知数的最高次数是多少？ 提示　含有一个未知数，未知数的最高次数是2. 问题2　在上述不等式①②中，对应方程x2－x－6＝0的实根是什么？ 提示　x1＝－2，x2＝3. 知识梳理 定义：一般地，形如ax2＋bx＋c>0，或ax2＋bx＋c<0，或ax2＋bx＋c≥0，或ax2＋bx＋c≤0(其中，x为未知数，a，b，c均为常数，且a≠0)的不等式叫作一元二次不等式.使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集. 注意点： 一元二次不等式中必须保证a≠0. 例1　(多选)下列关于x的不等式中是一元二次不等式的为(　　) A.－x2－x≤5 B.x2＋mx－1>0 C.x3＋5x－6>0 D.ax2＋bx＋c>0 答案　AB 解析　根据一元二次不等式的定义，只有A，B满足. 反思感悟　理解一元二次不等式的定义应注意两点 (1)一元，即只含一个未知数，其他元素均为常数(或参数). (2)二次，即未知数的最高次数必须为2，且二次项系数不能为0. 特别注意：当二次项系数含参数时，根据题意判断系数是否为0. 跟踪训练　若把ab≠0，a2b＋2ab2＋9>0看成关于a的一元二次不等式，则该不等式的二次项系数为　　　　.  答案　b 解析　由ab≠0知，b≠0且a≠0， a2b＋2ab2＋9>0可化为ba2＋2b2a＋9>0， 故该不等式的二次项系数为b. 二、一元二次不等式的解法 问题3　下列图表是函数y＝x2－x－2的图象及部分对应值. x －2 －1 0 1 2 3 y 4 0 －2 －2 0 4 根据图表，你能说出方程x2－x－2＝0的解吗？ 提示　x＝－1或x＝2. 问题4　你能从一元二次函数y＝x2－x－2的图象上得到x2－x－2<0的解集吗？ 提示　从图象上看，位于x轴上方的图象使得函数值大于零，位于x轴下方的图象使得函数值小于零，故x2－x－2<0的解集为{x|－1<x<2}. 知识梳理 一元二次函数的图象与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的实数根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R 一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 注意点： (1)在解一元二次不等式时，应首先将二次项系数a转化为大于0的情况，然后借助图象解决. (2)若一元二次不等式对应的一元二次方程能因式分解，可直接利用“大于取两边，小于取中间”的方法得到不等式的解集. (3)不等式的解集必须写成集合的形式，若不等式无解，则应说解集为空集. (4)三个二次间的关系：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根⇔y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标；ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集⇔y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象上的点(x，y)在x轴上方时，对应的x的取值集合；ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集⇔y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象上的点(x，y)在x轴下方时，对应的x的取值集合. 例2　(1)(课本例2)求不等式9x2－6x＋1>0的解集. 解　因为方程9x2－6x＋1＝0的Δ＝(－6)2－4×9×1＝0，所以该方程有两个相等的实数根，解得x1＝x2＝. 画出一元二次函数y＝9x2－6x＋1的图象(如图)， 可知该函数的图象是开口向上的抛物线，且与x轴仅有一个交点. 观察图象可得原不等式的解集为. (2)(课本例3)求不等式3x2＋5x－2>0的解集. 解　方法一　因为方程3x2＋5x－2＝0的Δ＝52－4×3×(－2)>0，所以该方程有两个不相等的实数根，解得x1＝－2，x2＝. 画出一元二次函数y＝3x2＋5x－2的图象(如图)， 可知该函数的图象是开口向上的抛物线，且与x轴有两个交点(－2，0)和. 观察图象可得原不等式的解集为. 方法二　因为方程3x2＋5x－2＝0的Δ＝52－4×3×(－2)>0，所以该方程有两个不相等的实数根，解得x1＝－2，x2＝，因此3x2＋5x－2＝(x＋2)(3x－1).所以原不等式可以转化为(x＋2)(3x－1)>0， 即或 所以原不等式的解集为. 例2　解下列不等式： (1)x2－4x＋5>0； (2)4x2－12x＋9>0； (3)3x2－5x－2<0； (4)－x2＋6x－10>0； (5)－3x2＋6x≤2. 解　(1)方程x2－4x＋5＝0中，Δ＝42－4×5＝－4<0，无实数根，函数y＝x2－4x＋5的图象是开口向上的抛物线，与x轴无交点(如图①).观察图象可得，原不等式的解集为R. 图① (2)方程4x2－12x＋9＝0中，因为Δ＝0， 所以方程4x2－12x＋9＝0有两个相等的实数根， 解得x1＝x2＝，作出函数y＝4x2－12x＋9的图象，如图②，结合图象可得原不等式的解集为. 图② (3)方程3x2－5x－2＝0中， 因为Δ＝(－5)2－4×3×(－2)＝49>0， 所以该方程有两个不相等的实数根， 图③ 解得x1＝－，x2＝2，作出函数y＝3x2－5x－2的图象，如图③，结合图象可得原不等式的解集为. (4)原不等式可化为x2－6x＋10<0，在方程x2－6x＋10＝0中，因为Δ<0，所以方程x2－6x＋10＝0无实数根，函数y＝x2－6x＋10恒大于0，所以原不等式的解集为∅. 图④ (5)原不等式可化为3x2－6x＋2≥0.方程3x2－6x＋2＝0中，Δ＝12>0，所以方程3x2－6x＋2＝0有两个不相等的实数根，解得x1＝，x2＝，作出函数y＝3x2－6x＋2的图象，如图④，结合图象可得原不等式的解集为. 反思感悟　解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)化标准.通过对不等式变形，使不等式的右侧为0，使二次项系数为正. (2)判别式.对不等式的左侧进行因式分解，若不能分解，则计算对应方程的判别式. (3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实数根. (4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的一元二次函数的草图. (5)写解集.根据图象写出不等式的解集. 三、含参数的一元二次不等式的解法 例3　(课本例4)求关于x的不等式x2＋(1－a)x－a<0的解集，其中a是常数. 解　依题意知方程x2＋(1－a)x－a＝0的实数根为x1＝－1，x2＝a，且一元二次函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象是开口向上的抛物线. (1)当a<－1时，如图①，一元二次函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象与x轴从左至右有两个交点(a，0)与(－1，0). 所以原不等式的解集为(a，－1). (2)当a＝－1时，如图②，一元二次函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象与x轴只有一个交点(－1，0).所以原不等式的解集为∅. (3)当a>－1时，如图③，一元二次函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象与x轴从左至右有两个交点(－1，0)与(a，0). 所以原不等式的解集为（-1，a）. 综上所述， 当a<-1时，原不等式的解集为（a，-1）； 当a＝-1时，原不等式的解集为∅； 当a>-1时，原不等式的解集为（-1，a）. 例3　求[x－(a－1)][x－(a＋3)]>0(a∈R)的解集. 解　易知方程[x－(a－1)][x－(a＋3)]＝0的两根为x1＝a－1，x2＝a＋3，且x1<x2. 故不等式的解集为{x|x<a－1或x>a＋3}. 延伸探究1　若将例3中的不等式改成[x＋(a－1)][x－(a＋3)]>0(a∈R)，该如何求解呢？求解过程与例3相比简单了还是复杂了？为什么？ 解　易知方程[x＋(a－1)][x－(a＋3)]＝0的两根为x1＝1－a，x2＝a＋3， (1)当1－a>a＋3，即a<－1时， 不等式的解集为{x|x>1－a或x<a＋3}. (2)当1－a＝a＋3，即a＝－1时， 不等式的解集为{x|x≠2}. (3)当1－a<a＋3，即a>－1时， 不等式的解集为{x|x>a＋3或x<1－a}. 显然，由于x1与x2的大小关系不确定，我们需要比较两个根的大小来确定解集，过程变复杂了. 延伸探究2　若将延伸探究1中的不等式改成(ax－2)(x＋1)>0(a>0)，该如何求解呢？求解过程与延伸探究1相比简单了还是复杂了？为什么？ 解　易知方程(ax－2)(x＋1)＝0的两根为x1＝，x2＝－1， 因为a>0，所以>－1， 故不等式的解集为. 由于x1与x2的大小关系能确定，过程变简单了. 延伸探究3　若将延伸探究2中的“a>0”改为“a<0”，该如何求解呢？求解过程与延伸探究2相比简单了还是复杂了？为什么？ 解　易知方程(ax－2)(x＋1)＝0的两根为x1＝，x2＝－1， 当a<0时，x1＝，x2＝－1的大小关系不确定，需要讨论比较其大小，分3种情况： (1)当－1<<0，即a<－2时，解得－1<x<； (2)当＝－1，即a＝－2时，无解； (3)当<－1，即－2<a<0时，解得<x<－1. 综上所述，当－2<a<0时，不等式的解集为； 当a＝－2时，不等式的解集为∅； 当a<－2时，不等式的解集为. 显然，由于x1与x2的大小关系不确定，我们需要比较两个根的大小来确定解集，过程变复杂了. 延伸探究4　若将延伸探究2中的“a>0”改为“a≠0”，该如何求解呢？ 解　易知方程(ax－2)(x＋1)＝0的两根为x1＝，x2＝－1，下面讨论x1与x2的大小关系： (1)若a>0，则>－1， 故不等式的解集为. (2)若a<0， ①当－1<<0，即a<－2时，解得－1<x<； ②当＝－1，即a＝－2时，无解； ③当<－1，即－2<a<0时，解得<x<－1. 综上所述，当a>0时，不等式的解集为； 当－2<a<0时，不等式的解集为； 当a＝－2时，不等式的解集为∅； 当a<－2时，不等式的解集为. 延伸探究5　若将延伸探究2中的“a>0”改为“a∈R”，与延伸探究4相比，有什么变化？ 解　不等式中，二次项系数为a，因为a∈R，所以我们应在延伸探究4的解题过程中添加a＝0的情况. 当a＝0时，原不等式化为－2(x＋1)>0，则不等式的解集为{x|x<－1}. 反思感悟　在解含参数的一元二次不等式时常从以下三个方面进行考虑 (1)不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a＝0. (2)不等式对应的方程根的讨论：两不同实根(Δ>0)，两相同实根(Δ＝0)，无根(Δ<0). (3)不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x1<x2. 1.知识清单： (1)一元二次不等式的概念及解法. (2)含参数的一元二次不等式的解法. 2.方法归纳：数形结合、分类讨论. 3.常见误区： (1)解含参数的一元二次不等式时找不到分类讨论的标准. (2)忽略二次项系数的符号. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分 1.(多选)下面所给关于x的几个不等式，其中一定为一元二次不等式的有(　　) A.3－x2－x≤a B.x2－y>0 C.ax2＋4x－7>0 D.x2<0 答案　AD 2.若集合A＝{x|(2x＋1)(x－3)<0}，B＝{x∈N＋|x≤5}，则A∩B等于(　　) A.{1，2，3} B.{1，2} C.{4，5} D.{1，2，3，4，5} 答案　B 解析　∵(2x＋1)(x－3)<0，∴－<x<3， 又x∈N＋且x≤5，则x＝1，2. 3.不等式－4x2＋4x<－15的解集为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　原不等式可化为4x2－4x－15>0， 即(2x－5)(2x＋3)>0，解得x>或x<－. 4.在R上定义运算⊗：a⊗b＝2ab＋a2＋b＋1，则满足x⊗(x－1)<0的实数x的取值范围为(　　) A. B.(－3，0) C.(－∞，0)∪ D.(－1，0) 答案　A 解析　∵x⊗(x－1)＝2x(x－1)＋x2＋x－1＋1<0， ∴3x2－x<0，解得0<x<. 5.一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)(x∈R)的部分对应值如下表： x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6 则不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集是(　　) A.{x|x<－3或x>2} B.{x|x<－2或x>3} C.{x|－3<x<2} D.{x|－2<x<3} 答案　B 解析　当y＝0时，x＝－2或x＝3， ∴对应方程的根为－2和3，又y随x的增加先减小后增加， ∴a>0，结合函数图象(图略)，可得不等式的解集为{x|x<－2或x>3}. 6.已知2a＋1<0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2>0的解集是(　　) A.{x|x<5a或x>－a} B.{x|x>5a或x<－a} C.{x|－a<x<5a} D.{x|5a<x<－a} 答案　A 解析　方程x2－4ax－5a2＝0的两根为－a，5a， ∵2a＋1<0，∴a<－， ∴－a>5a，结合函数y＝x2－4ax－5a2的图象(图略)，得原不等式的解集为{x|x<5a或x>－a}. 7.(5分)若－1<a<0，则关于x的不等式(a－x)·>0的解集是　　　　.  答案　 解析　原不等式可化成(x－a)<0，因为－1<a<0，所以a>，故原不等式的解集为. 8.(5分)已知集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x2－2ax＋a2－1<0}，若A⊆B，则实数a的取值范围是　　　　.  答案　{a|1≤a≤2} 解析　方程x2－2ax＋a2－1＝0的两根为a＋1和a－1，∴B＝{x|a－1<x<a＋1}， ∵A⊆B，∴解得1≤a≤2. 9.(10分)已知不等式x2＋x－6<0的解集为A，不等式x2－2x－3<0的解集为B.求A∩B. 解　由x2＋x－6<0得－3<x<2. ∴A＝{x|－3<x<2}.由x2－2x－3<0，得－1<x<3， ∴B＝{x|－1<x<3}.∴A∩B＝{x|－1<x<2}. 10.(11分)已知关于x的一元二次函数y＝x2－4mx＋3m2. (1)若m＝1，求不等式y≥1的解集；(5分) (2)求不等式y<0的解集.(6分) 解　(1)当m＝1时，y＝x2－4x＋3， 不等式y≥1可化为x2－4x＋2≥0， 令x2－4x＋2＝0， 则Δ＝(－4)2－4×2＝8>0，方程x2－4x＋2＝0的两根为x＝＝2±， 所以x2－4x＋2≥0的解集为 (－∞，2－]∪[2＋，＋∞). (2)不等式y<0，即x2－4mx＋3m2<0， 即(x－m)(x－3m)<0， 当m＝0时，原不等式即x2<0，无解，解集为∅； 当m>0时，3m>m，即原不等式的解集为(m，3m)； 当m<0时，3m<m，即原不等式的解集为(3m，m). 综上可得，当m＝0时，不等式的解集为∅；当m>0时，不等式的解集为(m，3m)；当m<0时，不等式的解集为(3m，m). 11.(多选)已知关于x的不等式x2＋x＋a<0的解集为空集，则a的值可以是(　　) A.－1 B.－ C. D.1 答案　CD 解析　欲使不等式x2＋x＋a<0的解集为空集，则方程x2＋x＋a＝0中，Δ＝1－4a≤0，∴a≥. 12.对于给定的实数a，关于实数x的一元二次不等式a(x－a)(x＋1)>0的解集不可能是(　　) A.∅ B.(－1，a) C.(a，－1) D.(a，＋∞) 答案　D 解析　根据题意，易知a≠0. 当a>0时，函数y＝a(x－a)(x＋1)的图象开口向上，故不等式的解集为(－∞，－1)∪(a，＋∞). 当a<0时，函数y＝a(x－a)(x＋1)的图象开口向下，若a＝－1，则不等式的解集为∅； 若－1<a<0，则不等式的解集为(－1，a)； 若a<－1，则不等式的解集为(a，－1). 13.已知p：(x－m)2>3(x－m)是q：x2－3x－4≤0成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围为(　　) A.{m|m≤－4或m≥4} B.{m|m<－4或m>4} C.{m|－4<m<4} D.{m|－4≤m≤4} 答案　B 解析　对于p，不等式(x－m)2>3(x－m)即(x－m)[x－(m＋3)]>0， 则不等式的解集为P＝{x|x<m或x>m＋3}； 又q：x2－3x－4≤0， 则不等式的解集为Q＝{x|－1≤x≤4}， 又已知p是q成立的必要不充分条件， 则Q是P的真子集， 所以m>4或m＋3<－1，即m>4或m<－4， 故实数m的取值范围为{m|m<－4或m>4}. 14.(5分)若关于x的不等式(a－2)x2－2(a－2)x＋1>0的解集为R，则实数a的取值范围是　　　　.  答案　[2，3) 解析　当a－2＝0，即a＝2时，原不等式可化为1>0，对∀x∈R都成立，∴a＝2满足条件， 若a－2≠0， 则a－2>0，且Δ＝4(a－2)2－4(a－2)<0， 解得2<a<3， 综上，实数a的取值范围是2≤a<3. 15.对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，那么使不等式4[x]2－36[x]＋45<0成立的x的取值范围是(　　) A. B.{x|2≤x≤8} C.{x|2≤x<8} D.{x|2≤x≤7} 答案　C 解析　由4[x]2－36[x]＋45<0，得<[x]<，又[x]表示不大于x的最大整数，所以2≤x<8. 16.(12分)解关于x的不等式ax2＋(2－4a)x－8>0. 解　不等式ax2＋(2－4a)x－8>0可化为(ax＋2)·(x－4)>0， 当a＝0时，不等式的解集为{x|x>4}； 当a>0时，不等式的解集为； 当a<0时，有(x－4)<0， ①当－<4，即a<－时，不等式的解集为； ②当－>4，即－<a<0时，不等式的解集为； ③当－＝4，即a＝－时，不等式的解集为∅. 综上，当a＝0时，不等式的解集为{x|x>4}； 当a>0时，不等式的解集为； 当a<－时， 不等式的解集为； 当－<a<0时，不等式的解集为； 当a＝－时，不等式的解集为∅. 学科网（北京）股份有限公司 $