第1章 2.2 第2课时 全称量词命题与存在量词命题的否定（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦高中数学“全称量词命题与存在量词命题的否定”核心知识点，承接上节课对全称量词命题（∀x∈M，p(x)）与存在量词命题（∃x∈M，p(x)）表示方法的学习，系统构建从命题表示到否定形式的转化支架，具体包括全称量词命题的否定（改为存在量词命题并否定结论）、存在量词命题的否定（改为全称量词命题并否定结论）及综合应用（根据命题真假求参数范围）。 该资料以问题链驱动学生用数学眼光观察命题形式变化，通过“改变量词，否定结论”八字法则及常见词语否定表格培养数学思维的逻辑性，借助例题解析与跟踪训练强化数学语言的规范表达。课中助力教师引导学生掌握转化方法，课后通过课时对点练帮助学生查漏补缺，提升解决含参问题的能力。

第2课时　全称量词命题与存在量词命题的否定 学习目标　1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.2.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定. 导语 在上节课，我们学习了含有“任何”“一切”“全部”“所有”“任意”“每一个”等词语的全称量词命题，用“∀x∈M，p(x)”表示，以及含有“存在”“有的”“某些”“某个”“至少有一个”等词语的存在量词命题，用“∃x∈M，p(x)”表示.今天，我们将继续探究全称量词命题与存在量词命题的逻辑关系——全称量词命题与存在量词命题的否定. 一、全称量词命题的否定 问题1　写出下列命题的否定： (1)所有的三角形都有外接圆； (2)∀x∈R，x>a2＋b2； (3)被7整除的数都是奇数. 它们与原命题在形式上有什么变化？ 提示　上面三个命题都是全称量词命题，即具有“∀x∈M，x具有性质p(x)”的形式.其中命题(1)的否定是“并非所有的三角形都有外接圆”，也就是说，存在一个三角形没有外接圆. 命题(2)的否定是“并非所有的实数x，都使x>a2＋b2成立”，也就是说，∃x∈R，x≤a2＋b2. 命题(3)的否定是“并非所有被7整除的数都是奇数”，也就是说，存在被7整除的数是偶数. 从命题形式看，这三个全称量词命题的否定都变成了存在量词命题. 知识梳理 1.命题的否定 当命题是真命题时，命题的否定是假命题；当命题是假命题时，命题的否定是真命题. 2.全称量词命题的否定 对于全称量词命题“∀x∈M，p(x)”的否定，通常表示为∃x∈M，¬p(x). 全称量词命题的否定是存在量词命题. 3.常见词语的否定形式 原词语 否定词语 原词语 否定词语 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有n个 至多有 (n－1)个 小于 不小于 至多有n个 至少有 (n＋1)个 任意的 某个 能 不能 所有的 某些 等于 不等于 注意点： (1)总结起来八个字“改变量词，否定结论”，从集合的角度来看，x的范围没有变，只是对结论进行了否定. (2)一个命题和它的否定真假性相反. 例1　(课本例6)写出下列全称量词命题的否定： (1)任意一个一元二次函数的图象都与x轴相交； (2)∀x∈R，有＝x. 解　(1)“任意一个一元二次函数的图象都与x轴相交”的否定是“存在一个一元二次函数，它的图象与x轴不相交”. (2)“∀x∈R，有＝x”的否定是“∃x∈R，使≠x”. 例1　写出下列全称量词命题的否定： (1)所有矩形都是平行四边形； (2)每一个素数都是奇数； (3)∀x∈R，有x2－2x＋1≥0. 解　(1)该命题的否定：存在一个矩形不是平行四边形. (2)该命题的否定：存在一个素数不是奇数. (3)该命题的否定：∃x∈R，使x2－2x＋1<0. 反思感悟　对全称量词命题否定的两个步骤 (1)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词. (2)否定结论：原命题中的结论改为否定形式. 跟踪训练1　写出下列全称量词命题的否定： (1)对所有正数x，>x＋1； (2)∀x∈R，x3＋1≠0； (3)四边形的四个顶点共圆. 解　(1)该命题的否定：存在正数x，≤x＋1. (2)该命题的否定：∃x∈R，x3＋1＝0. (3)该命题的否定：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆. 二、存在量词命题的否定 问题2　写出下列命题的否定： (1)存在一个实数的绝对值是正数； (2)有些平行四边形是菱形； (3)∃x∈R，使x2－2x＋3＝0. 它们与原命题在形式上有什么变化？ 提示　这三个命题都是存在量词命题，即具有“∃x∈M，x具有性质p(x)”的形式.其中命题(1)的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也就是说，所有实数的绝对值都不是正数； 命题(2)的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，也就是说，每一个平行四边形都不是菱形； 命题(3)的否定是“不存在x∈R，使x2－2x＋3＝0”，也就是说，∀x∈R，有x2－2x＋3≠0. 从命题形式看，这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题. 知识梳理　存在量词命题的否定 对于存在量词命题“∃x∈M，p(x)”的否定，通常表示为∀x∈M，¬p(x). 存在量词命题的否定是全称量词命题. 例2　(课本例7)写出下列存在量词命题的否定： (1)某箱产品中至少有一件次品； (2)方程x2－8x＋15＝0有一个根是偶数； (3)∃x∈R，使x2＋x＋1≤0. 解　(1)“某箱产品中至少有一件次品”的否定是“某箱产品都是正品”. (2)“方程x2－8x＋15＝0有一个根是偶数”的否定是“方程x2－8x＋15＝0的每一个根都不是偶数”. (3)“∃x∈R，使x2＋x＋1≤0”的否定是“∀x∈R，有x2＋x＋1>0”. 例2　写出下列存在量词命题的否定： (1)某些矩形是正方形； (2)∃x∈R，x2＋1<0； (3)∃x，y∈Z，使得x＋y＝3. 解　(1)该命题的否定：“没有一个矩形是正方形”，也即“每一个矩形都不是正方形”. (2)该命题的否定：“不存在x∈R，x2＋1<0”，也即“∀x∈R，x2＋1≥0”. (3)该命题的否定：“∀x，y∈Z，x＋y≠3”. 反思感悟　对存在量词命题否定的两个步骤 (1)改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词. (2)否定结论：原命题中的结论改为否定形式. 跟踪训练2　判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定： (1)存在一个梯形的对角线互相平分； (2)∃x∈{x|x是无理数}，x2是无理数； (3)存在k∈R，函数y＝kx＋b随x值的增大而减小. 解　(1)假命题，该命题的否定：任意一个梯形的对角线都不互相平分. (2)真命题，该命题的否定：∀x∈{x|x是无理数}，x2是有理数. (3)真命题，该命题的否定：任意k∈R，函数y＝kx＋b不随x值的增大而减小. 三、全称量词命题与存在量词命题的综合应用 例3　命题“存在x>1，使得2x＋a<3”是假命题，求实数a的取值范围. 解　命题“存在x>1，使得2x＋a<3”是假命题， 所以此命题的否定“任意x>1，2x＋a≥3”是真命题， 因为对任意x>1，都有2x＋a>2＋a， 所以2＋a≥3，所以a≥1. 延伸探究　若把本例中的“假命题”改为“真命题”，求实数a的取值范围. 解　由题意知“存在x>1，使得x<”是真命题，故有>1，所以a<1. 反思感悟　求解含有量词的命题中参数范围的策略 (1)对于全称量词命题“∀x∈M，a>y(或a<y)”为真命题的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值(或最小值)，即a>y的最大值(或a<y的最小值). (2)对于存在量词命题“∃x∈M，a>y(或a<y)”为真命题的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值(或最大值)，即a>y的最小值(或a<y的最大值). 1.知识清单： (1)全称量词命题、存在量词命题的否定. (2)命题真假的判断. (3)全称量词命题与存在量词命题的综合应用. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区： (1)否定范围不改变. (2)否定不唯一. (3)命题与其否定的真假性相反. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.命题“∃x∈[0，＋∞)，2x2－x≥0”的否定是(　　) A.∃x∉[0，＋∞)，2x2－x<0 B.∃x∉[0，＋∞)，2x2－x≥0 C.∀x∈[0，＋∞)，2x2－x<0 D.∀x∈[0，＋∞)，2x2－x≥0 答案　C 解析　命题是存在量词命题，则命题的否定是全称量词命题，据此可得命题“∃x∈[0，＋∞)，2x2－x≥0”的否定是“∀x∈[0，＋∞)，2x2－x<0”. 2.设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集.若命题p：∀x∈A，2x∈B，则(　　) A.p的否定：∀x∈A，2x∈B B.p的否定：∀x∉A，2x∉B C.p的否定：∃x∉A，2x∈B D.p的否定：∃x∈A，2x∉B 答案　D 解析　命题p：∀x∈A，2x∈B是一个全称量词命题，p的否定：∃x∈A，2x∉B. 3．(多选)下列命题的否定中，是存在量词命题且是真命题的有(　　) A．所有平行四边形都是菱形 B．∃x∈R，x2－3x＋3<0 C．∀x∈R，|x|＋x2≥0 D．∀a∈R，x2－ax＋1＝0有实数根 答案　AD 解析　由符合题意的原命题是全称量词命题知，可排除B； 对于A，并不是所有的平行四边形都是菱形，是假命题； 对于C，∀x∈R，|x|＋x2≥0，是真命题； 对于D，只有当Δ＝a2－4≥0，即a≤－2或a≥2时，x2－ax＋1＝0有实数根，是假命题. 根据原命题和它的否定真假相反的法则判断，选项A，D中，原命题的否定是真命题. 4.(多选)关于命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的叙述，正确的是(　　) A.p的否定：∃x∈R，x2＋1＝0 B.p的否定：∀x∈R，x2＋1＝0 C.p是真命题，p的否定是假命题 D.p是假命题，p的否定是真命题 答案　AC 解析　命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的否定是“∃x∈R，x2＋1＝0”. 所以p是真命题，p的否定是假命题. 5.(2024·新课标全国Ⅱ)已知命题p：∀x∈R，|x＋1|>1；命题q：∃x>0，x3＝x，则(　　) A.p和q都是真命题 B.¬p和q都是真命题 C.p和¬q都是真命题 D.¬p和¬q都是真命题 答案　B 解析　对于命题p，取x＝－1， 则有|x＋1|＝0<1， 故p是假命题，¬p是真命题， 对于命题q，取x＝1， 则有x3＝13＝1＝x， 故q是真命题，¬q是假命题， 综上，¬p和q都是真命题. 6.已知命题“存在x∈{x|0<x<3}，使得等式2x－m＝0成立”是假命题，则实数m的取值范围是(　　) A.{m|m≤0或m≥6} B.{m|m<0或m>6} C.{m|m<0或m≥6} D.{m|m≤0或m>6} 答案　A 解析　命题“存在x∈{x|0<x<3}，使得等式2x－m＝0成立”是假命题，即命题“存在x∈{x|0<x<3}，使得等式x＝成立”是假命题，即∉{x|0<x<3}，所以≤0或≥3，解得m≤0或m≥6. 7.(5分)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是　　　　　　　　　　　　　　.  答案　任意一个无理数，它的平方不是有理数 解析　量词“存在”改为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”. 8.(5分)已知命题p：存在x∈R，x2＋2x＋a＝0.若命题p的否定是假命题，则实数a的取值范围是　　　　.  答案　{a|a≤1} 解析　∵命题p的否定是假命题， ∴命题p是真命题， 即存在x∈R，x2＋2x＋a＝0为真命题， ∴Δ＝4－4a≥0，∴a≤1. 9.(10分)写出下列命题的否定，并判断它们的真假： (1)∀x∈R，x2>0；(2分) (2)∃x∈R，x2＝1；(2分) (3)∃x∈R，x是方程x2－3x＋2＝0的根；(3分) (4)等腰梯形的对角线垂直.(3分) 解　(1)命题的否定：∃x∈R，使x2≤0，因为x＝0时，02＝0，所以命题的否定为真命题. (2)命题的否定：∀x∈R，x2≠1， 因为x＝1时，x2＝1，所以命题的否定为假命题. (3)命题的否定：∀x∈R，x不是方程x2－3x＋2＝0的根，因为x＝1时，12－3×1＋2＝0，即x＝1为方程的根，所以命题的否定为假命题. (4)命题的否定：存在一个等腰梯形的对角线不垂直，所以命题的否定是真命题. 10.(11分)已知命题p：∃x∈R，x2－2x＋m＝0，命题q：－2<m<2. (1)写出p的否定；(4分) (2)若命题p，q一真一假，求实数m的取值范围.(7分) 解　(1)命题p：∃x∈R，x2－2x＋m＝0的否定为∀x∈R，x2－2x＋m≠0. (2)由p是真命题，得Δ＝4－4m≥0，所以m≤1. 若p为真命题，q为假命题， 则解得m≤－2； 若p为假命题，q为真命题，则 解得1<m<2. 所以实数m的取值范围为{m|m≤－2或1<m<2}. 11.下列选项中，正确的是(　　) A.命题“∃x∈R，x2＋1>3x”的否定是“∀x∈R，x2＋1<3x” B.命题“∀x，y∈R，x2＋y2≥0”的否定是“∃x，y∈R，x2＋y2<0” C.“a>2”是“a>5”的充分不必要条件 D.命题“对任意x∈R，总有x2>0”是真命题 答案　B 解析　对于A，命题“∃x∈R，x2＋1>3x”的否定是“∀x∈R，x2＋1≤3x”，故错误； 对于B，命题“∀x，y∈R，x2＋y2≥0”的否定是“∃x，y∈R，x2＋y2<0”，故正确； 对于C，“a>2”是“a>5”的必要不充分条件，故错误； 对于D，当x＝0时，x2＝0，故错误. 12.若“∀x∈M，|x|>6”为真命题，“∃x∈M，使x<5”为假命题，则集合M可以是(　　) A.{x|x>6} B.{x|x<－6} C.{x|x<6} D.{x|x>－6} 答案　A 解析　“∀x∈M，|x|>6”为真命题， 则M⊆{x|x>6或x<－6}， “∃x∈M，使x<5”为假命题， ∴“∀x∈M，x≥5”为真命题， M⊆{x|x≥5}， ∴M⊆{x|x>6}. 13.(5分)已知命题p：∀x∈{x|－3≤x≤2}，都有x∈{x|a－4≤x≤a＋5}，且􀱑p是假命题，则实数a的取值范围为　　　　　.  答案　{a|－3≤a≤1} 解析　因为¬p是假命题，所以p是真命题，又∀x∈{x|－3≤x≤2}，都有x∈{x|a－4≤x≤a＋5}，所以{x|－3≤x≤2}⊆{x|a－4≤x≤a＋5}， 则解得－3≤a≤1， 即实数a的取值范围是{a|－3≤a≤1}. 14.(5分)一学校开展小组合作学习模式，高二某班某组王小一同学给组内王小二同学出题如下：若“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求m的取值范围.王小二略加思索，反手给了王小一一道题：若“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，求m的取值范围，你认为，两位同学题中m的取值范围是否一致？　　　　(填“是”或“否”).  答案　是 解析　∵“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”的否定是“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”， 而“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题， 则其否定“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题， ∴两位同学题中m的取值范围是一致的. 15.命题“∀x∈R， ∃n∈N＋，使得n≥2x＋1”的否定是(　　) A.∀x∈R，∃n∈N＋，使得n<2x＋1 B.∀x∈R，∀n∈N＋，使得n<2x＋1 C.∃x∈R，∃n∈N＋，使得n<2x＋1 D.∃x∈R，∀n∈N＋，使得n<2x＋1 答案　D 解析　由题意可知，命题“∀x∈R，∃n∈N＋，使得n≥2x＋1”的否定为命题“∃x∈R，∀n∈N＋，使得n<2x＋1”. 16.(12分)已知集合A＝{x|6≤x≤20}，集合B＝{x|x≤2a}，命题p：∃x∈A，x∈B，命题q：∀x∈R，x2＋2x－a>0. (1)若命题p为假命题，求实数a的取值范围；(5分) (2)若命题p和命题q至少有一个为真命题，求实数a的取值范围.(7分) 解　(1)若命题p为假命题，则命题¬p：∀x∈A，x∉B为真命题， 所以2a<6，所以a<3， 所以当命题p为假命题时，实数a的取值范围为{a|a<3}. (2)当命题q为假命题时，命题¬q：“∃x∈R，x2＋2x－a≤0”为真命题， 所以Δ＝4＋4a≥0，解得a≥－1， 所以a的取值范围为{a|a≥－1}， 所以当命题p，q均为假命题时，a的取值范围为 {a|a<3}∩{a|a≥－1}＝{a|－1≤a<3}， 所以当命题p和命题q至少有一个为真命题时，a的取值范围为{a|a<－1或a≥3}. 学科网（北京）股份有限公司 $