第1章 1.3 第2课时 全集与补集（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦高中数学“全集与补集”核心知识点，承接上节课集合的并集、交集运算，系统构建集合运算知识体系。通过定义全集含义，从文字、符号、图形语言多角度阐释补集概念及运算性质，形成从具体实例到抽象概念的学习支架。 该资料以数的研究范围为情境导入，用Venn图和数轴直观呈现集合关系，培养数学眼光。例题分层设计，从基础补集求解到综合运算及参数问题，渗透数形结合思想，发展数学思维。课时对点练覆盖不同题型，助力课后查漏补缺，提升数学语言表达与应用能力。

第2课时　全集与补集 学习目标　1.在具体情境中，了解全集的含义.2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集.3.能使用Venn图表达集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用. 导语 上节课我们学习了集合的两种运算——并集和交集.这节课我们继续来研究集合的基本运算.首先我们来看看从小学到初中对于数的研究： 我们在研究问题时，研究对象的范围不同，得到的结果可能会不同！ 一、全集与补集 问题　若U＝{2，，－}，A＝{2}，B＝{，－}，集合U与集合A，B之间有什么关系？ 提示　集合U是我们研究对象的全体，A⊆U，B⊆U，A∩B＝∅，A∪B＝U.其中集合A与集合B有一种“互补”的关系. 知识梳理 1.全集 在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集，常用符号U表示，全集包含所要研究的这些集合. 2.补集 文字语言 设U是全集，A是U的一个子集(即A⊆U)，则由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫作U中子集A的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 运算性质 ∁UA⊆U，∁UU＝∅，∁U∅＝U，∁U(∁UA)＝A，A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅ 注意点： (1)“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题加以选择的. (2)补集是集合之间的一种运算关系，求集合A的补集的前提是A是全集U的子集. (3)∁UA包含三层含义：①A⊆U；②∁UA是一个集合，且∁UA⊆U；③∁UA是U中所有不属于A的元素构成的集合. 例1　(课本例7)设全集U＝{x|x是小于10的正整数}，A＝{2，4，6，8}，B＝{2，3，5，7}，求∁UA，∁UB. 解　依题意知U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，因为A＝{2，4，6，8}，B＝{2，3，5，7}，所以 ∁UA＝{1，3，5，7，9}，∁UB＝{1，4，6，8，9}. 例1　(1)已知全集U，集合A＝{1，3，5，7}，∁UA＝{2，4，6}，∁UB＝{1，4，6}，则集合B＝　　　　.  答案　{2，3，5，7} 解析　A＝{1，3，5，7}，∁UA＝{2，4，6}， ∴U＝{1，2，3，4，5，6，7}. 又∁UB＝{1，4，6}，∴B＝{2，3，5，7}. (2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则∁UA＝　　　　.  答案　{x|x<－3，或x＝5} 解析　将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示. 由补集定义可得∁UA＝{x|x<－3，或x＝5}. 反思感悟　求集合补集的基本方法及处理技巧 (1)基本方法：定义法. (2)两个处理技巧 ①当集合用列举法表示时，可借助Venn图求解； ②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解. 跟踪训练1　(1)若全集U＝[－2，2]，A＝[－2，0]，则∁UA等于(　　) A.(0，2) B.[0，2) C.(0，2] D.[0，2] 答案　C 解析　∵U＝[－2，2]，A＝[－2，0]， ∴∁UA＝(0，2]. (2)设全集U＝{1，2，3，4}，且A＝{x∈U|x2－5x＋m＝0}，若∁UA＝{2，3}，则m＝　　　　.  答案　4 解析　因为U＝{1，2，3，4}，∁UA＝{2，3}， 所以A＝{1，4}， 即1，4是方程x2－5x＋m＝0的两个根， 由根与系数的关系可得m＝1×4＝4. 二、交集、并集、补集的综合运算 例2　(课本例8)设全集U＝R，A＝{x|x<5}，B＝{x|x>3}，求： (1)∁R(A∩B)； (2)∁R(A∪B)； (3)(∁RA)∩(∁RB)； (4)(∁RA)∪(∁RB). 解　(1)在数轴上表示出集合A，B(如图①)， 则A∩B＝{x|x<5}∩{x|x>3} ＝{x|3<x<5}， 所以∁R(A∩B)＝{x|x≤3，或x≥5}； (2)由图①可知 A∪B＝{x|x<5}∪{x|x>3}＝R， 所以∁R(A∪B)＝∅； (3)在数轴上表示出集合∁RA，∁RB(如图②)，即∁RA＝{x|x≥5}，∁RB＝{x|x≤3}，所以 (∁RA)∩(∁RB)＝{x|x≥5}∩{x|x≤3}＝∅； (4)由图②可知 (∁RA)∪(∁RB)＝{x|x≥5}∪{x|x≤3}＝{x|x≤3，或x≥5}. 例2　已知集合U＝{x|1<x≤7}，A＝{x|2≤x<5}，B＝{x|3≤x<7}.求： (1)(∁UA)∩(∁UB)；(2)∁U(A∪B)； (3)(∁UA)∪(∁UB)；(4)∁U(A∩B). 解　在数轴上表示出集合U、集合A和集合B，如图所示， 则A∩B＝{x|3≤x<5}，A∪B＝{x|2≤x<7}， ∁UA＝{x|1<x<2，或5≤x≤7}， ∁UB＝{x|1<x<3}∪{7}. 由此可得， (1)(∁UA)∩(∁UB)＝{x|1<x<2}∪{7}＝{x|x＝7，或1<x<2}. (2)∁U(A∪B)＝{x|1<x<2}∪{7}＝{x|x＝7，或1<x<2}. (3)(∁UA)∪(∁UB)＝{x|1<x<2，或5≤x≤7}∪{x|1<x<3}∪{7}＝{x|1<x<3，或5≤x≤7}. (4)∁U(A∩B)＝{x|1<x<3，或5≤x≤7}. 反思感悟　(1)求集合交、并、补运算的方法 (2)∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB). 跟踪训练2　(1)(2024·全国甲卷)已知集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝，则∁A(A∩B)等于(　　) A.{1，4，9} B.{3，4，9} C.{1，2，3} D.{2，3，5} 答案　D 解析　因为A＝{1，2，3，4，5，9}， B＝{x|∈A}， 所以B＝{1，4，9，16，25，81}， 则A∩B＝{1，4，9}，∁A(A∩B)＝{2，3，5}. (2)已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁UA)∪B，A∩(∁UB)，∁U(A∪B). 解　∵A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}， U＝{x|x≤4}，如图所示. ∴∁UA＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}， ∁UB＝{x|x<－3，或2<x≤4}， A∩B＝{x|－2<x≤2}，A∪B＝{x|－3≤x<3}. 故(∁UA)∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}， A∩(∁UB)＝{x|2<x<3}， ∁U(A∪B)＝{x|x<－3，或3≤x≤4}. 三、由补集的运算求参数的值(范围) 例3　设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且(∁UA)∩B＝∅，求实数m的取值范围. 解　方法一　(直接法) 由A＝{x|x＋m≥0}＝{x|x≥－m}， 得∁UA＝{x|x<－m}. 因为B＝{x|－2<x<4}，(∁UA)∩B＝∅， 如图所示，所以－m≤－2，即m≥2， 所以m的取值范围是[2，＋∞). 方法二　(集合间的关系) 由(∁UA)∩B＝∅可知B⊆A， 又B＝{x|－2<x<4}，A＝{x|x＋m≥0}＝{x|x≥－m}，结合数轴(如图)， 得－m≤－2，即m≥2. 所以m的取值范围是[2，＋∞). 延伸探究1　将本例中条件“(∁UA)∩B＝∅”改为“(∁UA)∩B＝B”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？ 解　由已知得A＝{x|x≥－m}， 所以∁UA＝{x|x<－m}， 又(∁UA)∩B＝B，所以－m≥4，解得m≤－4. 所以m的取值范围是(－∞，－4]. 延伸探究2　将本例中条件“(∁UA)∩B＝∅”改为“(∁UB)∪A＝R”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？ 解　由已知得A＝{x|x≥－m}， ∁UB＝{x|x≤－2或x≥4}. 又(∁UB)∪A＝R，所以－m≤－2，解得m≥2. 所以m的取值范围是[2，＋∞). 反思感悟　由集合的补集求解参数的方法 (1)如果所给集合是有限集，可利用补集定义求解. (2)如果所给集合是无限集，求与集合交、并、补运算有关的参数问题时，一般借助数轴求解. 1.知识清单： (1)全集和补集的概念及运算. (2)并、交、补集的混合运算. (3)与补集有关的参数的求解. 2.方法归纳：正难则反、数形结合. 3.常见误区：求补集时忽视全集，运算时易忽视端点的取舍. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分 1.设全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，M＝{1，3，5，7}，N＝{5，6，7}，则∁U(M∪N)等于(　　) A.{5，7} B.{2，4} C.{2，4，8} D.{1，3，5，6，7} 答案　C 解析　∵M∪N＝{1，3，5，7}∪{5，6，7}＝{1，3，5，6，7}，∴∁U(M∪N)＝{2，4，8}. 2.已知集合U＝{x|x是菱形或矩形}，B＝{x|x是矩形}，则∁UB等于(　　) A.{x|x是菱形} B.{x|x是内角都不是直角的菱形} C.{x|x是正方形} D.{x|x是邻边都不相等的矩形} 答案　B 解析　由集合U＝{x|x是菱形或矩形}，B＝{x|x是矩形}，则∁UB＝{x|x是内角都不是直角的菱形}. 3.设全集U为实数集R，M＝{x|x>2或x<－2}，N＝{x|x≥3或x<1}都是全集U的子集，则图中阴影部分所表示的集合是(　　) A.{x|－2≤x<1} B.{x|－2≤x≤2} C.{x|1<x≤2} D.{x|x<2} 答案　A 解析　阴影部分表示的集合为N∩(∁UM)＝{x|－2≤x<1}. 4.(多选)设全集U＝{1，3，5，7，9}，集合A＝{1，|a－5|，9}，∁UA＝{5，7}，则a的所有可能取值是(　　) A.2 B.8 C.4 D.3 答案　AB 解析　∵A∪(∁UA)＝U， ∴|a－5|＝3，解得a＝2或a＝8. 5.已知U为全集，集合M，N是U的子集.若M∩N＝N，则(　　) A.(∁UM)⊇(∁UN) B.M⊆(∁UN) C.(∁UM)⊆(∁UN) D.M⊇(∁UN) 答案　C 解析　∵M∩N＝N，∴N⊆M， ∴(∁UM)⊆(∁UN). 6.已知全集U＝R，集合A＝{x|x<3或x≥7}，B＝{x|x<a}，若(∁UA)∩B＝∅，则实数a的取值范围为(　　) A.{a|a≤3} B.{a|a<3} C.{a|a≥7} D.{a|a>7} 答案　A 解析　因为A＝{x|x<3或x≥7}， 所以∁UA＝{x|3≤x<7}. 又(∁UA)∩B＝∅，所以a≤3. 7.(5分)设U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，若∁UA＝{x|x<3或x>4}，则a＋b＝　　　　.  答案　7 解析　∵U＝R，A＝{x|a≤x≤b}， ∴∁UA＝{x|x<a或x>b}， 又∵∁UA＝{x|x<3或x>4}， ∴a＝3，b＝4，a＋b＝7. 8.(5分)已知全集为R，集合M＝{x|－2<x<2}，P＝{x|x≥a}，且M⊆(∁RP)，则实数a的取值范围是　　　　.  答案　{a|a≥2} 解析　M＝{x|－2<x<2}， ∁RP＝{x|x<a}， ∵M⊆(∁RP)， ∴由数轴(如图)知a≥2. 9.(10分)已知U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{3，4，5}，B＝{4，7，8}，求A∩B，A∪B，(∁UA)∩(∁UB)，A∩(∁UB)，(∁UA)∪B. 解　方法一　(直接法)由已知易求得A∩B＝{4}，A∪B＝{3，4，5，7，8}，∁UA＝{1，2，6，7，8}，∁UB＝{1，2，3，5，6}，∴(∁UA)∩(∁UB)＝{1，2，6}， A∩(∁UB)＝{3，5}，(∁UA)∪B＝{1，2，4，6，7，8}. 方法二　(Venn图法)画出Venn图，如图所示，可得A∩B＝{4}，A∪B＝{3，4，5，7，8}，(∁UA)∩(∁UB)＝{1，2，6}，A∩(∁UB)＝{3，5}，(∁UA)∪B＝{1，2，4，6，7，8}. 10.(11分)已知集合A＝{x|a<x<a＋1}，B＝{x|0≤x≤2}. (1)若a＝1，求A∪B；(4分) (2)在①A∩B＝∅，②(∁RB)∩A＝∅，③B∪(∁RA)＝R这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围.(7分) 解　(1)当a＝1时，A＝{x|1<x<2}， B＝{x|0≤x≤2}，所以A∪B＝{x|0≤x≤2}. (2)若选①A∩B＝∅，则a＋1≤0或a≥2， 解得a≤－1或a≥2. 若选②(∁RB)∩A＝∅，∁RB＝{x|x<0或x>2}， 所以解得0≤a≤1. 若选③B∪(∁RA)＝R，∁RA＝{x|x≤a或x≥a＋1}， 所以解得0≤a≤1. 11.已知U为全集，则下列说法错误的是(　　) A.若A∩B＝∅，则(∁UA)∪(∁UB)＝U B.若A∩B＝∅，则A＝∅或B＝∅ C.若A∪B＝U，则(∁UA)∩(∁UB)＝∅ D.若A∪B＝∅，则A＝B＝∅ 答案　B 解析　A说法正确，因为(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)，A∩B＝∅，所以(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)＝U；B说法错误，若A∩B＝∅，则集合A，B不一定为空集，只需两个集合无公共元素；C说法正确，因为(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)，A∪B＝U，所以(∁UA)∩(∁UB)＝∅；D说法正确，A∪B＝∅，即集合A，B均无元素，可得A＝B＝∅. 12.学校开运动会，某班45人，参加100 m跑的同学20人，参加200 m跑的同学20人，参加400 m跑的同学17人，既参加100 m跑又参加200 m跑的同学10人，既参加100 m跑又参加400 m跑的同学7人，既参加200 m跑又参加400 m跑的同学8人，都不参加的同学11人，则同时参加100 m，200 m，400 m跑的同学为(　　) A.1人 B.2人 C.3人 D.4人 答案　B 解析　设同时参加100 m，200 m，400 m跑的同学为x人，作出Venn图： ∴3＋x＋2＋x＋2＋x＋10－x＋7－x＋8－x＋x＋11＝45，解得x＝2. 13.用card(A)来表示有限集合A中元素的个数，已知全集U＝A∪B，D＝(∁UA)∪(∁UB)，card(U)＝m，card(D)＝n，若A∩B非空，则card(A∩B)等于(　　) A.mn B.m＋n C.n－m D.m－n 答案　D 解析　由Venn图可知card(A∩B)＝card(A∪B)－card(D)＝card(U)－card(D)＝m－n. 14.(5分)已知集合A＝{x|8<x<10}，设集合S＝{x|0<x<9}，B＝{x|a<x<2a－1}，若(∁SB)∩A＝{x|8<x<9}，则实数a的取值范围是　　　　.  答案　a≤ 解析　当B＝∅时，2a－1≤a，得a≤1， 此时∁SB＝S，(∁SB)∩A＝S∩A＝{x|8<x<9}，符合题意； 当B≠∅时，2a－1>a，得a>1， 因为S＝{x|0<x<9}，B＝{x|a<x<2a－1}， 所以∁SB＝{x|0<x≤a或2a－1≤x<9}， 因为(∁SB)∩A＝{x|8<x<9}， 所以2a－1≤8，得a≤， 所以当B≠∅时，1<a≤， 综上所述，实数a的取值范围是a≤. 15.(多选)我们知道，如果集合A⊆S，那么S的子集A的补集为∁SA＝{x|x∈S，且x∉A}，类似地，对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A，且x∉B}叫作集合A和B的差集，记作A－B，例如：A＝{1，2，3，4，5}，B＝{4，5，6，7，8}，则有A－B＝{1，2，3}，B－A＝{6，7，8}.根据上述定义，下列选项正确的是(　　) A.已知A＝{4，5，6，7，9}，B＝{3，5，6，8，9}，则B－A＝{3，7，8} B.已知A＝{x|x<－1，或x>3}，B＝{x|－2≤x<4}，则A－B＝{x|x<－2，或x≥4} C.如果A－B＝∅，那么A⊆B D.已知全集U、集合A、集合B的关系如图所示，则A－B＝A∩(∁UB) 答案　BCD 解析　A中，由差集的定义，得B－A＝{3，8}，故A错误；B，C，D都正确. 16.(12分)设全集U＝R，集合A＝{x|－5<x<4}，集合B＝{x|x<－6，或x>1}，集合C＝{x|x－m<0}，求实数m的取值范围，使其同时满足下列两个条件：①C⊇(A∩B)；②C⊇(∁UA)∩(∁UB). 解　∵A＝{x|－5<x<4}， B＝{x|x<－6，或x>1}， ∴A∩B＝{x|1<x<4}， ∁UA＝{x|x≤－5，或x≥4}， ∁UB＝{x|－6≤x≤1}， ∴(∁UA)∩(∁UB)＝{x|－6≤x≤－5}， 而C＝{x|x<m}，∴当(A∩B)⊆C时，m≥4， 当(∁UA)∩(∁UB)⊆C时，m>－5，∴m≥4， 即实数m的取值范围为{m|m≥4}. 学科网（北京）股份有限公司 $