第1章 02-3.2 基本不等式(同步精炼)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（北师大版）

该高中数学课件聚焦“基本不等式”核心知识点，从预备知识导入，通过题组形式（对基本不等式的理解、比较大小、求最值等）搭建从概念到应用的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于题组设计层层递进，结合实际问题（如矩形与正方形边长比较、网店促销利润计算）培养数学语言表达能力，易错警示和技巧点拨强化数学思维推理，创新题型激发数学眼光探究兴趣。学生能提升应用意识，教师可系统教学提升效率。

第一章 预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 §3　不等式 3.2　基本不等式 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　对基本不等式的理解 1.不等式x-2y+ ≥2成立的前提条件为 (　    ) A.x≥2y　    B.x>2y　    C.x≤2y　    D.x<2y B 解析     　基本不等式成立的前提条件是各项均为非负数,又分母不能为0,即x-2y≠0,所以x-2y>0,即x>2 y. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026山东枣庄九中月考]已知a>b>0,则下列不等式恒成立的是 ( ) A.b> > 　    B. >b>  C. > >b　    D. > >b     C     解析　　由a>b>0得 > ,ab>b2,则 >b,因此 > >b. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026河南安阳第一中学周练]已知实数a,b,则下列不等式中正确的是 ( ) A.a+ ≥2　    B. + ≥2 C. ≤ 　    D.a2+b2≥2ab     D     解析　　对于A,取a=-1,则a+ =-2<2,A错误; 对于B, + ≥2× =2,当且仅当 = ,即 =1时取等号,而  ≥ >1(易错点),因此等号不能取到,B错误; 对于C,取a=2,b=4,则 =3>2 = ,C错误; 对于D,a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,则a2+b2≥2ab,D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 易错警示　利用基本不等式解题时要注意验证“一正、二定、三相等”,只有三个条件同时满足才能 得出结论. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　利用基本不等式比较大小 4.[2026江西宜春高安中学月考]设a,b为正数,且a+2b=1,则ab与 的大小关系为 ( ) A.ab≤ 　    B.ab<  C.ab≥ 　    D.ab>      A     解析　    ab= a·2b≤  = ,当且仅当a=2b,即a= ,b= 时,取等号. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[教材习题改编]已知a>0,b>0,则 , , , 中最大的是 ( ) A. 　    B. 　    C. 　    D.      A     解析　　因为a>0,b>0,所以 ≤ = , ≤ , = ≥ = ,当且仅 当a=b时,三个不等式中的等号均成立, 则 ≤ ≤ ≤ ,所以最大的是 . 知识拓展　当a>0,b>0时, ≤ ≤ ≤ (当且仅当a=b时等号同时成立),其中 , ,  , 分别叫作正数a,b的调和平均值、几何平均值、算术平均值、平方平均值,上述结论被称 为不等式链,熟记该不等式链可速解相关的小题. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026安徽合肥第十中学考试]如图所示的是一个矩形和一个正方形,矩形的相邻两条边的长分别为a, b(a>0,b>0),当正方形的周长与矩形的周长相等时正方形的边长为x,当正方形的面积与矩形的面积相等 时正方形的边长为y,当正方形的对角线与矩形的对角线相等时正方形的边长为z,则 ( )   A.x≥y≥z　    B.z≥x≥y C.x≥z≥y　    D.z≥y≥x     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　由题意得2(a+b)=4x,ab=y2, = z,且a,b>0, 由a+b≥2 ,当且仅当a=b时等号成立,得x≥y, 因为(a+b)2=a2+b2+2ab≤2(a2+b2),所以a2+b2≥ ,当且仅当a=b时等号成立, 故2z2≥ =2x2,所以z≥x,故z≥x≥y. 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　利用基本不等式求最值 7.[2026江西鹰潭余江一中月考]已知0<x<2,则y=2x 取最大值时x的值为 ( ) A.1　    B. -1　    C. 　    D.2-      C     解析　　因为0<x<2,所以y=2x =2 ≤2 =4, 当且仅当x2=4-x2,即x= 时等号成立. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[多选题][2026广东佛山阶段检测]下列选项正确的是　     ( ) A.当x>1时,x+ 的最小值是3 B.已知x<0,则x+ 的最大值是-2 C.当0<x<10时, 的最大值是5 D.设x∈R,则x2+2+ 的最小值为2     ABC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　对于A,由x>1,得x-1>0,则x+ =x-1+ +1≥2 +1=3,当且仅当x-1= ,即x=2时 等号成立,A正确. 对于B,当x<0时,-x>0, 则x+ =- ≤-2 =-2, 当且仅当-x= ,即x=-1时等号成立,B正确. 对于C, ≤ =5,当且仅当x=10-x,即x=5时等号成立,C正确. 对于D,x2+2+ ≥2 =2,但x2+2= 无解,所以等号不成立,D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2025江西上饶广丰一中月考]已知实数x满足0<x< ,则 + 的最小值为 ( ) A.9　    B.18　    C.27　    D.36     C     解析　　因为0<x< ,所以1-3x>0,所以 + = [3x+(1-3x)]= + +15≥2×  +15=27,当且仅当 = ,即x= 时取等号.故 + 的最小值为27. 解题模板　解决此类最大(小)值问题,常需找出各个分式间的关系,即“隐含条件”,如本题中的“3x+ (1-3x)=1”,从而得到解决问题的方法. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2026江西南昌中学月考]已知正数x,y满足x+y=1,则 + 的最小值为 ( ) A. 　    B.4　    C. 　    D.5     A     解析　　因为x>0,y>0,x+y=1,所以x+y+1=2, 则 + =  [x+(y+1)]=  1+ + +4 ≥  5+2  = ,当且仅当 = ,即x = ,y= 时等号成立, 所以 + 的最小值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 技巧点拨　若已知条件中的“1”(常量可化为“1”)与目标式之间具有某种关系(尤其是整式与分式 相乘的形式),通常可进行“1”的代换,配凑和或积为常数.常见模型:①已知正数x,y满足ax+by=1,求 +  的最小值;②已知正数x,y满足 + =1,求mx+ny的最小值.(a>0,b>0,m>0,n>0) 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2026江西赣州于都中学月考]已知x>1,y>2且xy-2x-y=0,则x+y的最小值为 ( ) A.4 　    B.2 +3　    C.4　    D.6     B     解析　    解法一:由xy-2x-y=0得y= , 则x+y=x+ =(x-1)+ +1=(x-1)+ +3≥2 +3=2 +3, 当且仅当x-1= ,即x= +1时取等号,故x+y的最小值为2 +3. 解法二:由xy-2x-y=0得(x-1)(y-2)=2, 则x+y=(x-1)+(y-2)+3≥2 +3=2 +3, 当且仅当x-1=y-2,即x= +1,y= +2时取等号, 故x+y的最小值为2 +3. 第1讲　描述运动的基本概念 解题技法　求含有两个变量的式子的最大(小)值时,往往先找出条件与待求式的关系,得到定值,再利用 基本不等式求解.若找不到定值,可先利用条件消去一个变量,再利用基本不等式得出最值. 第1讲　描述运动的基本概念 12.[2026江西九江部分中学联考]已知a,b,x,y均为正实数,且 + =2,若a=1,b=4,则x+y的最小值为______; 若a+b=10,x+y的最小值为9,则a的值为___________.     2或8     解析　当a=1,b=4时, + =2, 则x+y= (x+y) =  1+4+ +  ≥  5+2  = , 当且仅当 = ,即x= ,y=3时取等号,故x+y的最小值为 . 当a,b,x,y>0时,若a+b=10, 则x+y= (x+y)  +  =  a+b+ +  ≥  10+2  =5+ ,∴5+ =9,解得ab=16, 又∵a+b=10,∴a=2,b=8或a=8,b=2. 第1讲　描述运动的基本概念 当且仅当 即 或 时不等式中的等号成立. 技巧点拨　在利用基本不等式求最值时,若两个正数的和为常数a(a不为1),则可将所求代数式乘a后再 乘 ,然后将常数a代换成两个正数的和,从而构造出使用基本不等式的条件. 第1讲　描述运动的基本概念 题组四　利用基本不等式解决恒成立问题 13.[2026江西赣州三县期中联考]已知不等式4x+m+ >0(x>-1)恒成立,则( ) A.m<0　    B.m>-4　    C.m>0　    D.m<4     C     解析　　不等式4x+m+ >0(x>-1)恒成立即m>- 恒成立, 因为x>-1,所以x+1>0,则4x+ =4(x+1)+ -4≥2× -4=0,当且仅当4(x+1)= ,即x=- 时等号成立, 由- ≤0,得m>0. 技巧点拨　若关于x的代数式A存在最值,则m<A恒成立⇔m<Amin,m>A恒成立⇔m>Amax,可记为“小于最 小的,大于最大的”. 第1讲　描述运动的基本概念 14.[2026江苏南京七校联合体期中]已知x>0,y>0,且x+y=1,若4x+1≥mxy恒成立,则实数m的最大值为 ____________. +2          6 解析　因为x>0,y>0,x+y=1,所以mxy≤4x+1=4x+x+y=5x+y,则m≤ = + , 又 + =(x+y) =6+ + ≥6+2 =6+2 , 当且仅当 即 时等号成立,所以m≤6+2 , 故实数m的最大值为6+2 . 第1讲　描述运动的基本概念 15.[2026江西吉安吉水中学月考]若命题“存在正数a,b,使得 + <k( +2 )”是假命题,则实数k 的最大值为_________. 解析　因为“存在正数a,b,使得 + <k( +2 )”是假命题, 所以“对任意正数a,b, + ≥k( +2 )”为真命题,即 ≥k恒成立, 因为a+2 ≤a+a+2b=2(a+b),当且仅当a=2b时等号成立, 所以 ≥ , 所以实数k的最大值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 题组五　利用基本不等式证明不等式 16.[2025陕西咸阳多校联考]已知x>0,y>0,证明:  ≥4. 证明　因为x>0,y>0,所以x+ ≥2 ,当且仅当x= ,即xy=1时,等号成立. 同理可得 +y≥2 ,当且仅当xy=1时,等号成立. 因为x+ ≥2 >0, +y≥2 >0,所以  ≥4 =4,当且仅当xy=1时,等号成立. 易错警示　多次使用基本不等式时,只有每次取等号的条件一致,等号才能传递下去.如本题中,两次不 等式成立的条件都是xy=1,故最终 x+  ·  +y 能取到4. 第1讲　描述运动的基本概念 17.[2026江西景德镇乐平中学月考] (1)已知a>0,b>0,c>0,求证: + + ≥a+b+c; (2)已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,求证:ab+bc+ca≤ . 第1讲　描述运动的基本概念 证明    (1)因为a>0,b>0,c>0, 所以 + ≥2 =2c, 同理, + ≥2b, + ≥2a, 所以 + + + + + ≥2c+2a+2b,即2 ≥2(a+b+c), 故 + + ≥a+b+c, 当且仅当 = = ,即a=b=c时,等号均成立. (2)由a+b+c=1两边平方得a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=1, 故a2+b2+c2=1-(2ab+2bc+2ac), 所以2a2+2b2+2c2=2-(4ab+4bc+4ac), 第1讲　描述运动的基本概念 其中2a2+2b2+2c2=(a2+b2)+(a2+c2)+(b2+c2)≥2ab+2ac+2bc, 即2-(4ab+4bc+4ac)≥2ab+2ac+2bc, 解得ab+bc+ca≤ , 当且仅当a=b=c= 时,等号均成立. 第1讲　描述运动的基本概念 题组六　利用基本不等式解决实际问题 18.[2026广东佛山月考]李明自主创业,经营一家网店,每售出一件A商品获利8元.现计划在“五一”期 间对A商品进行广告促销,假设售出A商品的件数m(单位:万)与广告费用x(单位:万元)满足m=3- .若 要使这次促销活动获利最多,则投入的广告费用x应为_________万元,获得的总利润为__________万元.     17         3     解析　设李明获得的总利润为y万元,由题知x≥0, 则y=8m-x=8 -x=24- -x=25- ≤25-2 =25-8=17,当且仅当x+1= ,即x =3时,等号成立.故要使这次促销活动获利最多,投入的广告费用应为3万元,获得的总利润为17万元. 技巧点拨　若两个负数a,b之积为定值,求a+b的最大值,可将a+b变形为-[(-a)+(-b)],-a,-b为正数,从而可 利用基本不等式求最值. 第1讲　描述运动的基本概念 19.[2026江西宜春中学月考]如图,某人计划用篱笆围成一个一边靠墙(墙足够长)的矩形菜园.设菜园的 长为x米,宽为y米. (1)若菜园的面积为36平方米,则x,y分别为何值时,所用篱笆的总长最小? (2)若使用的篱笆的总长为30米,求 的最小值.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意知xy=36,所用篱笆的总长为(x+2y)米. 因为x>0,y>0,所以x+2y≥2 =2× =12 ,当且仅当x=2y,xy=36,即x=6 ,y=3 时等号成立. 所以当x=6 ,y=3 时,所用篱笆的总长最小. (2)由题意得x+2y=30,x>0,y>0,所以 = + =   +  (x+2y)=  5+ +  ≥  5+2  =  , 当且仅当 = ,x+2y=30,即x=y=10时等号成立,所以 的最小值是 . 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 §3　不等式 3.2　基本不等式 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　利用基本不等式求最值 1.[2026山东青岛第一中学月考]已知a≥0,b≥0,且ab+2a-b=6,则a+b的最小值为 ( ) A.5　    B.4　    C.3　    D.2     C     解析　　∵ab+2a-b=6,∴a(b+2)=6+b,∴a= = = +1, ∴a+b= +1+b= +(b+2)-1,(利用消元法将两个变量变为一个变量) ∵b≥0,∴ >0,b+2>0, 则a+b= +(b+2)-1≥2 -1=4-1=3, 当且仅当 =b+2,即b=0时取等号, ∴a+b的最小值为3. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026湖南名校大联考]已知x>0,y>0,且x+y=1,则 + 的最小值为 ( ) A.8　    B.7　    C.6　    D.5     A     解析　　由题意得x=1-y,则 + = + = -8+ + = + -8= (x+y)-8= +9+1+ -8=  + +2≥2 +2=6+2=8, 当且仅当 = ,即x= ,y= 时取等号,所以 + 的最小值为8. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026江西宜春丰城九中期中]已知a,b,c均为正实数,ab+ac=4,则 + + 的最小值是( ) A.6　    B.4　    C.3　    D.2     B 解析　　因为ab+ac=4,所以a(b+c)=4,设a=x,b+c=y,则x>0,y>0,且xy=4,(利用换元法减少变量的个数) 则 + + = + + = + = (x+y)+ ≥2 =4,当且仅当  即x=y=2时等号成立, 所以 + + 的最小值是4. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[多选题][2025江苏南通期中]已知a>0,b>0,4a+b=ab,则下列结论正确的有 ( ） A.ab的最小值为4 B.a+b的最小值为9 C.a+ +4 的最小值为10 D.16a2+b2的最小值为128     BD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　因为a>0,b>0,所以ab=4a+b≥2 =4 ,解得 ≥4( ≤0舍去),所以ab≥16, 当且仅当 即 时,等号成立,此时ab取得最小值,为16,故A错误; 因为4a+b=ab,所以 + =1, 所以a+b=(a+b) =5+ + ≥5+2 =9, 当且仅当 即 时,等号成立,此时a+b取得最小值,为9,故B正确; a+ +4 =a+ +4b+ =a+4b+1 =(a+4b) +1=18+ + ≥18+2 =26, 第1讲　描述运动的基本概念 当且仅当 即a=b=5时取等号,所以a+ +4 的最小值为26,故C错误; 由A知ab≥16,所以16a2+b2≥2×4ab≥128,当且仅当 即 时取等号,所以16a2+b2的最小值 为128,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026江西南昌中学期中]已知正实数a,b满足a+b≥ + ,则a+b的最小值为_________. 解析　∵a>0,b>0,∴a+b>0, 又a+b≥ + , ∴(a+b)2≥ (a+b)= +2+ + ≥2 + =6+ = , 当且仅当 即 时,等号成立,此时(a+b)2取到最小值,为 , ∴a+b≥ = . 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　基本不等式的应用 6.[2026江西上饶玉山一中月考]若不等式 ≥ k(a+b)对任意正数a,b恒成立,则实数k的最大值为  ( ) A. 　    B.1　    C.2　    D.      A     解析　　由 ≥ k(a+b)可得k2≤ ,故k2≤ .  = ≥ = ,当且仅当a=b时等号成立, 故 的最小值为 ,故k2≤ ,解得- ≤k≤ ,则实数k的最大值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026天津南开质量监测]已知x>0,y>0,若不等式 + ≥a(x+y)恒成立,则a的最大值为( ) A. 　    B. 　    C.1　    D.      C     解析　　因为x>0,y>0,所以 + ≥a(x+y)即a≤ .  = = = = + -1≥2 -1=1,当且仅当x=y时等号成立, 所以a≤1,故a的最大值为1. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2025福建部分学校期中]已知x>0,y>0,且x+y=5,若 + ≥2m+1恒成立,则实数m的取值范围是  ( ) A. 　    B.  C. 　    D.(-∞,4]     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　因为x>0,y>0,且x+y=5,所以x+1+y+2=8,x+1>0,y+2>0, 所以 + =  [(x+1)+(y+2)]= × ≥ × = , 当且仅当 即x= ,y= 时等号成立,所以 + 的最小值为 , 因为 + ≥2m+1恒成立,所以2m+1≤ ,解得m≤ ,所以实数m的取值范围是 . 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2026江苏南京励志高级中学月考](1)已知正实数a,b,c,且a+b+c=2,求证: + + ≥ ; (2)已知正实数a,b,c,且abc=1,求证: + + ≥a+b+c; (3)已知x,y,z都是正实数,且 + + =1,求证:x+y+z≥36. 第1讲　描述运动的基本概念 证明    (1)由a,b,c均为正实数,且a+b+c=2, 得 + + =  (a+b+c)=  1+ + + +1+ + + +1  =   + + + + + +3  ≥  2 +2 +2 +3 = , 当且仅当 = , = , = ,即a=b=c= 时等号成立,(使用了3次基本不等式求最值,要保证这3次等号能 同时取到) 故 + + ≥ . (2)由a,b,c均为正实数,且abc=1, 得 + ≥2 = =2c, 第1讲　描述运动的基本概念 当且仅当 = ,即a=b时等号成立,  + ≥2 = =2a, 当且仅当 = ,即b=c时等号成立,  + ≥2 = =2b, 当且仅当 = ,即a=c时等号成立, 所以 + + + + + ≥2c+2a+2b,则 + + ≥a+b+c, 当且仅当a=b=c=1时等号成立. (3)由x,y,z均为正实数,且 + + =1,得x+y+z=(x+y+z)  + +  =1+ + + +4+ + + +9=14+ + 第1讲　描述运动的基本概念  + + + + ≥14+2 +2 +2 =36, 当且仅当 = , = , = ,即x=6,y=12,z=18时等号成立, 故x+y+z≥36. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2026江西赣州部分学校诊断性测试]某公司决定在公司仓库外借助一侧原有墙体,建造一间墙高为 3米,底面积为24平方米,且背面靠墙的长方体形状的应急室,由于此应急室背面靠墙,无需建造费用,因 此甲工程队给出以下报价:应急室正面墙体每平方米400元,侧面墙体每平方米300元,屋顶、地面及其 他报价共计7 200元.设应急室左、右两侧墙体的长度均为x米(2≤x≤6),且原有墙体足够长. (1)如何设计应急室正面和两侧墙体的长度,才可以使建造费用最低? (2)现有乙工程队也参与此应急室的建造竞标,其给出的整体报价为 元(a>0),若无论左、右 两侧墙体的长度为多少米,乙工程队都能竞标成功,求a的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意知正面墙体的长度为 (2≤x≤6)米,则建造费用为300×2×3x+400×3× +7 200=1 800  +7 200≥1 800×2 +7 200=21 600(元), 当且仅当x= ,即x=4时等号成立, 所以设计应急室正面墙体的长度为6米,两侧墙体的长度均为4米,可以使建造费用最低. (2)由题意得300×2×3x+400×3× +7 200> 对任意的x∈[2,6]恒成立,整理得3x2+48+12x>2a(1 +x), 即当x∈[2,6]时,a< 恒成立, 所以当x∈[2,6]时,a<   min. 第1讲　描述运动的基本概念  = ·  = ·  =  (1+x)+ +2  ≥ ×(2 +2)=3+3 , 当且仅当1+x= ,即x= -1时取等号, 所以若乙工程队总能竞标成功,则a的取值范围是(0,3+3 ). 第1讲　描述运动的基本概念 创新题型 创新点　基本不等式的思维创新 11.[2026江西宜春部分中学联考]关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础. 两个正数的大小关系是完全确定的,但通过运算就会产生非常奇妙的变化,基本不等式就是其中之一. 通过运算(代数变形)可以解决很多关于基本不等式的问题.例如:已知a,b为正实数,且a+b=1,则 + 的最 小值为_______. 其解法如下: + = + = + +1≥2 +1=3,当且仅当 = ,即a=b= 时,等号成立,因此 + 的最 小值为3. 根据上述材料解决以下问题. (1)已知a,b,c为正实数,且a+b+c=1,求证: + ≥4; 第1讲　描述运动的基本概念 (2)已知a>0,b>0,且a+b=1,则 + 的最小值是多少? (3)某同学在解决题目“已知x为正实数,y为非负实数,且x+2y=2,则 + 的最小值是多少?”时,给 出如下解法: 令t=y+1(t≥1),则x+2y=2化为x+2t=4. 原式= + =x+ +2 =(x+2t-4)+ + = + =  (x+2t)=  ≥ ,当且仅 当 = ,即x= ,y= 时,等号成立.因此 + 的最小值是 . 利用上述解题思路和数学逻辑思维,解决如下问题:已知a,b∈R,a+b=4,则 + 的最大值是多少? 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明: + = + =2+ + ≥2+2 =4,当且仅当 = ,即c= a+b= 时等号成立,得证. (2) + = + = + = + - ≥2- = , 当且仅当 = ,即a= ,b= 时等号成立, 则 + 的最小值是 . (3) + =  =  = , 第1讲　描述运动的基本概念 令t=ab,则t≤ =4,当且仅当a=b时等号成立,可得原式= , 令μ=9-t,则μ≥5, 则 = = = ≤ = , 当且仅当μ= ,即μ=4 ,t=ab=9-4 时等号成立, 所以 + 的最大值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 $