1.3.2基本不等式（第一课时） 教案-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

该教案聚焦基本不等式教学，以折纸游戏导入，先回顾初中恒等式引出不等关系，再用两张正方形纸片折成三角形构造矩形，比较面积发现不等关系，衔接不等式性质，搭建学习支架。 资料特色在于实验探究与多维度理解结合，通过折纸实验让学生用数学眼光抽象出不等关系，几何解释借助圆的半径与半弦关系培养逻辑推理，例题变式训练提升数学表达能力。启发式教学激发探究欲，助学生发展核心素养，为教师提供直观案例与分层练习，便于高效教学。

课题 1.3.2 基本不等式（第一课时） 学科 数学 教材 北师大版（2019）必修第一册 章节 第一章第三部分第二节 课程类型 新授 课时安排 2课时 年级 高一 教学目标及教学重点、难点 教学目标： 1.通过折纸排图的数学实验，从中概括出不等关系，发现、提出重要的不等关系，发展学生数学建模素养. 2.通过阅读教材，反思得到基本不等式的方法，从代数结构、儿何直观、数量关系实际意义等角度分析、理解基本不等式. 3.初步运用基本不等式解决简单的证明问题，发展数学运算素养和逻辑推理素养，培养发现问题、提出问题的意识与能力. 教学重、难点： 重点：从实际生活情境或数学情境有意识地发现、提出不等关系，理解基本不等式； 难点：运用基本不等式解决简单的证明问题，培养发现问题、提出问题的意识与能力； 教材分析 本节课选自北师大版高中数学必修一第一章《预备知识》中的3.2节，它是在学习了不等式性质的基础上对不等式的进一步研究。本节课作为基本不等式的第一课时，主要侧重于基本不等式的推导教学。教材通过引导学生从代数和几何两个角度探索基本不等式，理解并掌握其基本形式和应用条件。同时，教材也强调了基本不等式在证明不等式和求解最值问题中的重要性，为学生的后续学习打下坚实的基础。 核心素养 1.数学抽象：通过实际例子和图形，抽象概括出基本不等式的形式，培养学生的数学抽象能力。 2.逻辑推理：引导学生从代数和几何两个角度推导基本不等式，并通过分析法等方法证明不等式，提高学生的逻辑推理能力。 3.数学建模：基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，本节课通过引导学生解决实际问题，培养他们的数学建模能力。 4.数学运算：通过基本不等式的应用，培养学生的数学运算能力和解决实际问题的能力。 教学方法和手段 教学方法：启发法、练习法、讨论法 教学手段：多媒体辅助教学 教学过程(表格描述) 教学环节 主要教学活动 设置意图 情境导入 创设问题情境：在初中数学学习中，我们学过了大量的恒等式，如平方差公式、完全平方公式，我们能不能找到数学中一些重要的恒发立的不等式? 过渡：接下来，让我们通过探究折纸游戏发现其中的奥秘。 通过创设情境，建立知识间的联系。 探究新知 知识点：基本不等式 例题典析 【师生共同探究折纸游戏】 （1）教师引导学生先将两张面积分别为a,b的正方形纸片分别沿它们对角线折成两个等腰直角三角形； （2）等学生折完之后，再用这两个三角形构造出一个矩形（矩形的长和宽分别等于这两个直角三角形直角边，多余的部分折叠）； （3）教师让学生比较两等腰三角形面积之和、矩形面积的大小关系，请小组合作讨论思考，发表自己的见解； 教师讲解： （1）两等腰三角形面积之和大于等于矩形面积（当且仅当a=b时等号成立） （2）如果，那么>（当且仅当a=b时等号成立） 幻灯片P7：教师对基本不等式的知识进行讲解 教师引导学生探究基本不等式的几何解释： 问题：如图，AB是圆O的直径，点C在AB上，且AC=a，CB=b, 过点C作AB的垂线交弧AB于点D，连接AD,OD,BD. （1） 计算OD和CD的长度； （2） 请讨论、比较OD和CD的长度； （3） 请大家根据上述过程，总结出基本不等式的几何解释； 师生活动： （1） 学生分析题意， 根据已知条件对教师提出的问题进行思考，小组讨论得出显然OD=OA=；利用三角形相似，可证得∆ACD∽∆DBC，从而CD=； （2） 教师对学生的答案点评，并引导学生根据几何位置确定它们的大小关系，即数量之间的不等关系及等号成立的条件； （3） 学生继续思考，从图中还可以看出，ODCD，当且仅当点C与圆心O重合时，等号成立，即“圆的半径大于或等于半弦” 教师讲解基本不等式： 1.符号语言： 如果a>0，b>0，那么>（当且仅当a=b时等号成立） 2.文字语言： 两个正数的算数平均数大于等于几何平均数 3.图形语言： 圆的半径大于等于半弦 例1、已知,求证：. 【师生活动】 学生自主思考，根据基本不等式完成证明，教师点评。 【解析】 证明：因为,所以由基本不等式，得 ,当且仅当时，等号成立， ,当且仅当时，等号成立， ,当且仅当时，等号成立. 上面三式相加，得，即 ,当且仅当时，等号成立. 变式1、已知，证明. 【师生活动】 学生采用分析法对问题进行思考，本题只需证出即可，教师对证明过程进一步讲解。 【解析】 证明：（分析法）要证，只需证明，即证明. 又，所以，当且仅当时，等号成立. 思考交流： 如图1-15，是半圆的直径，点在上，且,.过点作的垂线，交于点,连接.请你利用写出一个关于的不等式，并将这个不等式与基本不等式进行比较. 师生活动： 学生自主思考，小组合作对问题进行探究，教师总结讲解调和平均数。 通过对折纸游戏的探究，从中抽象出基本不等式的知识，为后续的学习做铺垫 通过探究基本不等式的几何解释，进一步巩固知识 通过例题讲解，让学生理解怎样解决问题，提高学生解决问题的能力。 当堂练习 教师PPT出示练习题，学生自主完成，教师点评 通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的核心素养。 课堂总结 回顾本节课知识点，总结概括 通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。 板书设计 1.3.2 基本不等式（第一课时） 知识点： 基本不等式 1.符号语言： 如果a>0，b>0，那么>（当且仅当a=b时等号成立） 2.文字语言： 两个正数的算数平均数大于等于几何平均数 3.图形语言： 圆的半径大于等于半弦 教学设计反思 优点： 本节课通过引入实际情境和图形，激发了学生的学习兴趣和探究欲望。 通过引导学生从代数和几何两个角度探索基本不等式，培养了学生的数学抽象和逻辑推理能力。 不足： 在推导基本不等式的过程中，部分学生对分析法的应用感到陌生，需要教师在后续教学中加强引导和训练。 课堂容量偏大，导致学生思考时间不够充分，需要在今后的教学中合理安排课时和例题量，给学生更多的思考时间和空间。 在提问和互动环节，部分问题设计不够深入，未能充分调动学生的学习积极性，需要在今后的教学中设计更有深度的问题，引导学生深入思考。 改进建议： 加强分析法的讲解和训练，帮助学生掌握这种重要的证明方法。 合理安排课时和例题量，确保学生能够充分理解和掌握基本不等式的推导和应用。 设计更有深度的问题和互动环节，引导学生深入思考和理解基本不等式的本质和应用。同时，鼓励学生提出自己的问题和见解，培养他们的批判性思维和创新能力。 学科网（北京）股份有限公司 $