第1章 2.2 第1课时 全称量词命题与存在量词命题（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦高中数学“全称量词与存在量词”第一课时，核心知识点包括全称量词命题与存在量词命题的概念、识别、真假判断及由命题真假求参数范围。通过团体操情境实例引入，对比含变量语句与有量词限定的命题，搭建从具体到抽象的学习支架，逐步梳理定义、符号表示及注意点，形成完整知识脉络。 该资料以生活化情境（团体操条件）引导学生用数学眼光观察现实世界，通过问题驱动（对比非命题与命题）培养数学思维中的推理意识，借助符号语言（∀、∃）规范表达命题，体现数学语言的精确性。课中助力教师引导学生自主探究，课后通过分层练习（例题、跟踪训练、对点练）帮助学生巩固知识，查漏补缺，提升解决问题的能力。

2.2　全称量词与存在量词 第1课时　全称量词命题与存在量词命题 学习目标　1.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义.2.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假. 导语 某校为了迎接今年秋季田径运动会，正在排练由100名学生参加的开幕式团体操表演.这100名学生符合下列条件： (1)所有学生都来自高二年级； (2)至少有10名学生来自高二·一班； (3)每一个学生都有固定表演路线. 这里出现了一些我们数学中非常重要的量词“所有”“至少有”“每一个”，今天我们就对含有这些量词的命题展开讨论. 一、全称量词命题与存在量词命题的识别 问题1　下列语句是命题吗？比较①和③，②和④，它们之间有什么关系？ ①x>3； ②2x＋1是整数； ③对所有的x∈R，x>3； ④对任意一个x∈Z，2x＋1是整数. 提示　语句①②中含有变量x，由于不知道变量x代表什么数，无法判断它们的真假，所以它们不是命题.语句③在①的基础上，用短语“所有的”对变量x的取值进行限定；语句④在②的基础上，用短语“任意一个”对变量x的取值进行限定，从而使③④成为可以判断真假的语句，因此语句③④是命题. 问题2　下列语句是命题吗？比较①和③，②和④，它们之间有什么关系？ ①2x＋1＝3； ②x能被2和3整除； ③存在一个x∈R，使2x＋1＝3； ④至少有一个x∈Z，x能被2和3整除. 提示　容易判断，①②不是命题.语句③在①的基础上，用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定；语句④在②的基础上，用“至少有一个”对变量x的取值进行限定，从而使③④变成了可以判断真假的陈述句，因此③④是命题. 知识梳理 1.全称量词命题及全称量词 (1)定义：在给定集合中，断言所有元素都具有同一种性质的命题叫作全称量词命题. (2)全称量词 在命题中，诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词，用符号“∀”表示，读作“对任意的”.常见的全称量词还有“任给”“凡是”等.全称量词命题“对M中任意的x，有p(x)成立”可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”.其中，M是给定的集合，p(x)是一个关于x的语句. 2.存在量词命题及存在量词 (1)定义：在给定集合中，断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题. (2)存在量词 在命题中，诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词，用符号“∃”表示，读作“存在”.常见的存在量词还有“有的”“对某些”等.存在量词命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”.其中，M是给定的集合，p(x)是一个关于x的语句. 注意点： (1)有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补充出来. (2)从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中的所有元素都具有某种性质的命题. (3)含有存在量词的命题，或虽没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题. (4)从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有(存在)一些元素具有某种性质的命题. 例1　(1)(课本例4)判断下列命题是不是全称量词命题，如果是，指出其中的全称量词： ①所有的正方形都是平行四边形； ②能被5整除的整数末位数字为0. 解　①“所有的正方形都是平行四边形”是全称量词命题，“所有”是全称量词. ②“能被5整除的整数末位数字为0”可以表述为“所有能被5整除的整数，末位数字都为0”，它是全称量词命题，其中省略了全称量词“所有”. (2)(课本例5)判断下列命题是不是存在量词命题，如果是，指出其中的存在量词： ①存在一个无理数x，使x2也是无理数； ②∃x∈R，使x2＋x＋1＝0. 解　①“存在一个无理数x，使x2也是无理数”是存在量词命题，“存在”是存在量词. ②“∃x∈R，使x2＋x＋1＝0”是存在量词命题，“∃(即存在)”是存在量词. 例1　判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题： (1)有一个实数x，x不能取倒数； (2)所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径； (3)圆内接四边形，其对角互补； (4)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直. 解　(1)含有存在量词“有一个”，故为存在量词命题. (2)含有全称量词“所有”，故为全称量词命题. (3)可改写为“所有圆内接四边形的对角互补”，故为全称量词命题. (4)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题. 反思感悟　全称量词命题或存在量词命题的判断 跟踪训练1　判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题： (1)对∀n∈Z，2n＋1是奇数； (2)自然数的平方大于或等于零； (3)有的实数是无限不循环小数； (4)所有的正方形都是矩形. 解　(1)含有全称量词“∀”，故为全称量词命题. (2)可改写为“所有自然数的平方大于或等于零”，故为全称量词命题. (3)含有存在量词“有的”，故为存在量词命题. (4)含有全称量词“所有”，故为全称量词命题. 二、全称量词命题与存在量词命题的真假判断 例2　判断下列命题的真假： (1)∃x∈Z，x3<1； (2)存在一个四边形不是平行四边形； (3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P； (4)∀x∈N，x2>0. 解　(1)因为－1∈Z，且(－1)3＝－1<1， 所以“∃x∈Z，x3<1”是真命题. (2)真命题，如梯形. (3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题. (4)因为0∈N，02＝0，所以命题“∀x∈N，x2>0”是假命题. 反思感悟　全称量词命题和存在量词命题真假的判断 跟踪训练2　指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假. (1)∀x∈N，2x＋1是奇数； (2)存在一个x∈R，使＝0； (3)一次函数y＝kx＋b(k≠0)，y随着x的增大而增大； (4)∃x，y∈Z，3x－2y＝10. 解　(1)是全称量词命题，因为∀x∈N，2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题. (2)是存在量词命题.因为不存在x∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题. (3)是全称量词命题.当k<0时，y随x的增大而减小，所以该命题是假命题. (4)是存在量词命题.当x＝4，y＝1时，3x－2y＝10，所以该命题为真命题. 三、由含量词命题的真假求参数的范围 例3　已知集合A＝{x|－1≤x≤9}，B＝{x|2m＋1≤x≤4m－3}，且B≠∅，若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围. 解　由于命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题， 所以B⊆A，因为B≠∅，所以 解得2≤m≤3. 即m的取值范围为{m|2≤m≤3}. 延伸探究1　把本例中命题p改为“∃x∈A，x∈B”，求m的取值范围. 解　若p为真，则A∩B≠∅，因为B≠∅， 所以m≥2. 所以或 解得2≤m≤4. 延伸探究2　把本例中的命题p改为“∀x∈A，x∈B”，是否存在实数m，使命题p是真命题？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由. 解　由于命题p：“∀x∈A，x∈B”是真命题， 所以A⊆B，B≠∅，所以无解， 所以不存在实数m，使命题p是真命题. 反思感悟　含量词命题的真假求参数取值范围 把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式(组)求参数的取值范围. 1.知识清单： (1)全称量词命题、存在量词命题的概念. (2)含量词的命题的真假判断. (3)通过含量词的命题的真假求参数的取值范围. 2.方法归纳：定义法、转化法、特例法. 3.常见误区：有些命题省略了量词，全称量词命题强调“整体、全部”，存在量词命题强调“个别、部分”. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.命题“实数的平方不小于零”可以表示为(　　) A.∀x∈R，x2≥0 B.∃x∈R，x2≥0 C.∀x∈R，x2>0 D.∃x∈R，x2>0 答案　A 解析　命题“实数的平方不小于零”为全称量词命题，即∀x∈R，x2≥0. 2.下列命题中为存在量词命题的是(　　) A.所有的整数都是有理数 B.每个三角形至少有两个锐角 C.有些三角形是等腰三角形 D.正方形都是菱形 答案　C 解析　A，B，D为全称量词命题，C中含有存在量词“有些”，故为存在量词命题. 3.以下四个命题中，既是全称量词命题又是真命题的是(　　) A.锐角三角形的内角是锐角或钝角 B.至少有一个实数x，使x2≤0 C.两个奇数的和是偶数 D.存在一个负数x，使>2 答案　C 解析　B，D为存在量词命题，A，C为全称量词命题.选项A中，锐角三角形的内角一定是锐角，故A为假命题；选项C中，两个奇数的和为偶数，故C为真命题. 4.下列存在量词命题中，是假命题的是(　　) A.∃x∈Z，x2－2x－3＝0 B.至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除 C.∃x∈R，|x|<0 D.有些自然数是偶数 答案　C 解析　A中，当x＝－1时，满足x2－2x－3＝0，所以A是真命题； B中，6能同时被2和3整除，所以B是真命题； D中，2既是自然数又是偶数，所以D是真命题； C中，因为所有实数的绝对值非负，所以C是假命题. 5.下列命题中的假命题是(　　) A.∃x∈R，|x|＝0 B.∃x∈R，2x－10＝1 C.∀x∈R，x3>0 D.∀x∈R，x2＋1>0 答案　C 解析　当x＝0时，x3＝0，故选项C为假命题. 6.已知命题p：∃x∈R，x＋2>x2，命题q：∀x∈R，－x2<0，则(　　) A.命题p，q都是真命题 B.命题p是真命题，q是假命题 C.命题p是假命题，q是真命题 D.命题p，q都是假命题 答案　B 解析　当x＝0时，x＋2＝2，x2＝0， 故命题p为真命题， 当x＝0时，－x2＝0，故命题q为假命题. 7.(5分)命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)>0”用“∃”或“∀”可表述为　　　　　　　　　　.  答案　∃x<0，(1＋x)(1－9x)>0 解析　“有些”为存在量词，因此可用存在量词命题来表述. 8.(5分)若“∃x∈[1，2]，x－a≥0”是真命题，则实数a的取值范围是　　　　；若上述命题为假命题，则实数a的取值范围是　　　　.  答案　　(2，＋∞) 解析　若“∃x∈[1，2]，x－a≥0”是真命题， 即“∃x∈[1，2]，x≥a”能成立， 所以a≤2. 若“∃x∈[1，2]，x－a≥0”是假命题， 即在区间[1，2]上找不到满足x≥a的数，故a>2. 9.(10分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假： (1)∃x∈R，x－2≤0；(3分) (2)三角形两边之和大于第三边；(3分) (3)有些整数是偶数.(4分) 解　(1)存在量词命题.当x＝1时，x－2＝－1<0，故存在量词命题“∃x∈R，x－2≤0”是真命题. (2)全称量词命题.三角形中，任意两边之和大于第三边.故全称量词命题“三角形两边之和大于第三边”是真命题. (3)存在量词命题.2是整数，2也是偶数.故存在量词命题“有些整数是偶数”是真命题. 10.(11分)若命题“∀x∈{x|1≤x≤2}，一次函数y＝x＋m的图象在x轴上方”为真命题，求实数m的取值范围. 解　当1≤x≤2时，1＋m≤x＋m≤2＋m， 因为一次函数y＝x＋m的图象在x轴上方， 所以1＋m>0，即m>－1， 所以实数m的取值范围是{m|m>－1}. 11.(多选)已知命题p：∃x∈R，x2＋4x＋a＋1＝0为真命题，则实数a的值可以是(　　) A.4 B.3 C.2 D.1 答案　BCD 解析　由∃x∈R，x2＋4x＋a＋1＝0为真命题，即关于x的方程x2＋4x＋a＋1＝0有实根，得Δ≥0，即16－4(a＋1)≥0，解得a≤3，对照选项可知B，C，D正确. 12.下列命题为真命题的是(　　) A.对所有的正实数t，有<t B.存在实数x，使x2－3x－4＝0 C.不存在实数x，使x<4且x2＋5x－24＝0 D.对任意实数x，都有|x＋1|≤1且x2>4 答案　B 解析　当t＝时，>t，所以A选项为假命题；由x2－3x－4＝0，得x＝－1或x＝4，因此当x＝－1或x＝4时，x2－3x－4＝0，故B选项为真命题； 由x2＋5x－24＝0，得x＝－8或x＝3，因此当x＝3或x＝－8时，满足x<4且x2＋5x－24＝0，所以C选项为假命题；当x＝0时，|x＋1|＝1，但x2＝0<4，所以D选项为假命题. 13.(5分)能够说明“存在两个不相等的正数a，b，使得a－b＝ab”是真命题的一组有序数对(a，b)为　　　　.  答案　(答案不唯一) 解析　存在两个不相等的正数a，b，如当a＝，b＝时，使得a－b＝ab是真命题. 14.(5分)观察下列等式： 1＝1 1＋2＝3 1＋2＋3＝6 1＋2＋3＋4＝10 1＋2＋3＋4＋5＝15 … 13＝1 13＋23＝9 13＋23＋33＝36 13＋23＋33＋43＝100 13＋23＋33＋43＋53＝225 … 写出含有量词的全称量词命题或存在量词命题：　　　　　　　　　　　　　　　.  答案　对于任意的正整数n，必有13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2 15.(多选)设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，且P≠Q，则下列选项中正确的是(　　) A.∀x∈Q，有x∈P B.∃x∈Q，使得x∉P C.∃x∈P，使得x∉Q D.∀x∉Q，有x∉P 答案　BD 解析　由题意得P⊆Q且P≠Q，对于A，B，∃x∈Q，使得x∉P，故A错误，B正确；对于C，∀x∈P，有x∈Q，故C错误；对于D，∀x∉Q，有x∉P，故D正确. 16.(12分)是否存在整数m，使得命题“∀x∈，－5<3－4m<x＋1”是真命题？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 解　假设存在整数m，使得命题“∀x∈，－5<3－4m<x＋1”是真命题. 因为当x≥－时，x＋1≥， 所以－5<3－4m<， 解得<m<2. 又m为整数，所以m＝1， 故存在整数m＝1，使得命题“∀x∈，－5<3－4m<x＋1”是真命题. 学科网（北京）股份有限公司 $